MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T15:43:38Z

Cayetana.ortiz: /* Divergencia del campo de desplazamiento */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Figura4def.png|thumb|500px|derecha|Gráfico ampliado a 600px para mejor lectura]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 4: campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on
xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);
</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento

<math>\vec{u}(x,y)=(0.1\cos(\pi y),0)</math>

Para obtener la geometría de la placa deformada, se ha aplicado el vector desplazamiento <math>\vec{u}</math> a una malla discreta de puntos <math>(X, Y)</math> que representan la configuración original (referencia) del sólido.

La posición final <math>(x, y)</math> de cada punto material se calcula sumando el desplazamiento a la posición inicial: <math>\vec{x}_{final} = \vec{X}_{inicial} + \vec{u}(\vec{X})</math>

Desglosando por componentes, se han utilizado las siguientes ecuaciones de transformación:

* Coordenada horizontal: Se suma la componente <math>u_x</math> a la posición original <math>X</math>.
::<math>x = X + u_x = X + 0.1 \cos(\pi Y)</math>

* Coordenada vertical: Como la componente <math>u_y</math> es nula, la altura de los puntos no cambia.
::<math>y = Y + u_y = Y + 0</math>

Dado que el desplazamiento depende de <math>y</math>, se observa que la deformación no es uniforme:
* El desplazamiento es '''máximo''' en el eje central de la placa (<math>y=0</math>), donde el coseno vale 1, produciendo un estiramiento máximo de <math>0.1</math> unidades.
* El desplazamiento es '''nulo''' en los bordes superior e inferior (<math>y=\pm 0.5</math>), donde el coseno se anula.

En el primer subplot aparece la placa original y en el segundo la placa desplazada.

[[Archivo:Figura5def.png|thumb|700px|centro|Comparación de la placa sólida antes (izquierda) y después del desplazamiento (derecha).]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Dibujar sólido antes y después
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 1. Definir el Campo de desplazamiento
Ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal
Uy = zeros(size(Ux)); % componente vertical (nula)

% 2. Calcular los Puntos desplazados (Posición final = Inicial + u)
X_new = X + Ux;
Y_new = Y + Uy;

% 3. Generar la Figura
figure;

% Subplot 1: Placa Original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]); % AJUSTE: Margen vertical
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa original');
grid on;
box on;

% Subplot 2: Placa Desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa desplazada');
grid on;
box on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Figura6.png|thumb|600px|centro|Representación gráfica de la divergencia del campo de desplazamientos. Se observa una superficie plana en z=0, lo que indica que la divergencia es nula en todo el dominio (deformación isocórica).]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2. Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical

% 3. Cálculo de la divergencia
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% 4. Representación gráfica
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>

=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

Archivo:Figura6.png

2025-12-03T15:40:18Z

Cayetana.ortiz:

Archivo:Figuradef6.png

2025-12-03T15:38:22Z

Cayetana.ortiz:

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T15:26:30Z

Cayetana.ortiz: /* Placa desplazada */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Figura4def.png|thumb|500px|derecha|Gráfico ampliado a 600px para mejor lectura]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 4: campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on
xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);
</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento

<math>\vec{u}(x,y)=(0.1\cos(\pi y),0)</math>

Para obtener la geometría de la placa deformada, se ha aplicado el vector desplazamiento <math>\vec{u}</math> a una malla discreta de puntos <math>(X, Y)</math> que representan la configuración original (referencia) del sólido.

La posición final <math>(x, y)</math> de cada punto material se calcula sumando el desplazamiento a la posición inicial: <math>\vec{x}_{final} = \vec{X}_{inicial} + \vec{u}(\vec{X})</math>

Desglosando por componentes, se han utilizado las siguientes ecuaciones de transformación:

* Coordenada horizontal: Se suma la componente <math>u_x</math> a la posición original <math>X</math>.
::<math>x = X + u_x = X + 0.1 \cos(\pi Y)</math>

* Coordenada vertical: Como la componente <math>u_y</math> es nula, la altura de los puntos no cambia.
::<math>y = Y + u_y = Y + 0</math>

Dado que el desplazamiento depende de <math>y</math>, se observa que la deformación no es uniforme:
* El desplazamiento es '''máximo''' en el eje central de la placa (<math>y=0</math>), donde el coseno vale 1, produciendo un estiramiento máximo de <math>0.1</math> unidades.
* El desplazamiento es '''nulo''' en los bordes superior e inferior (<math>y=\pm 0.5</math>), donde el coseno se anula.

En el primer subplot aparece la placa original y en el segundo la placa desplazada.

[[Archivo:Figura5def.png|thumb|700px|centro|Comparación de la placa sólida antes (izquierda) y después del desplazamiento (derecha).]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Dibujar sólido antes y después
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 1. Definir el Campo de desplazamiento
Ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal
Uy = zeros(size(Ux)); % componente vertical (nula)

% 2. Calcular los Puntos desplazados (Posición final = Inicial + u)
X_new = X + Ux;
Y_new = Y + Uy;

% 3. Generar la Figura
figure;

% Subplot 1: Placa Original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]); % AJUSTE: Margen vertical
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa original');
grid on;
box on;

% Subplot 2: Placa Desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa desplazada');
grid on;
box on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>
<gallery>

</gallery>
=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T15:15:06Z

Cayetana.ortiz: /* Placa desplazada */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Figura4def.png|thumb|500px|derecha|Gráfico ampliado a 600px para mejor lectura]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 4: campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on
xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);
</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento

<math>\vec{u}(x,y)=(0.1\cos(\pi y),0)</math>.

En el primer subplot aparece la placa original y en el segundo la placa desplazada.

Dado que el desplazamiento depende de <math>y</math>, se observa que la deformación no es uniforme:
* El desplazamiento es '''máximo''' en el eje central de la placa (<math>y=0</math>), donde el coseno vale 1, produciendo un estiramiento máximo de <math>0.1</math> unidades.
* El desplazamiento es '''nulo''' en los bordes superior e inferior (<math>y=\pm 0.5</math>), donde el coseno se anula.

[[Archivo:Figura5def.png|thumb|700px|centro|Comparación de la placa sólida antes (izquierda) y después del desplazamiento (derecha).]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Dibujar sólido antes y después
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 1. Definir el Campo de desplazamiento
Ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal
Uy = zeros(size(Ux)); % componente vertical (nula)

% 2. Calcular los Puntos desplazados (Posición final = Inicial + u)
X_new = X + Ux;
Y_new = Y + Uy;

% 3. Generar la Figura
figure;

% Subplot 1: Placa Original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]); % AJUSTE: Margen vertical
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa original');
grid on;
box on;

% Subplot 2: Placa Desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa desplazada');
grid on;
box on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>
<gallery>

</gallery>
=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T15:05:03Z

Cayetana.ortiz: /* Placa desplazada */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Figura4def.png|thumb|500px|derecha|Gráfico ampliado a 600px para mejor lectura]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 4: campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on
xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);
</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).</math>

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de ''y'', cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.
[[Archivo:Apartado 5 matewiki.png|thumb|center|500px|Placa antes y después del desplazamiento.]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Dibujar sólido antes y después
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% 1. Definir el Campo de desplazamiento
Ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal
Uy = zeros(size(Ux)); % componente vertical (nula)

% 2. Calcular los Puntos desplazados (Posición final = Inicial + u)
X_new = X + Ux;
Y_new = Y + Uy;

% 3. Generar la Figura
figure;

% Subplot 1: Placa Original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]); % AJUSTE: Margen vertical
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa original');
grid on;
box on;

% Subplot 2: Placa Desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlim([-0.1 4.2]); % AJUSTE: Margen horizontal
ylim([-0.6 0.6]);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Placa desplazada');
grid on;
box on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>
<gallery>

</gallery>
=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

Archivo:Figura5def.png

2025-12-03T15:03:31Z

Cayetana.ortiz:

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T14:49:05Z

Cayetana.ortiz: /* Campo de vectores desplazamiento a través de la placa */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Figura4def.png|thumb|500px|derecha|Gráfico ampliado a 600px para mejor lectura]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Apartado 4: campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on
xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);
</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).</math>

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de ''y'', cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.
[[Archivo:Apartado 5 matewiki.png|thumb|center|500px|Placa antes y después del desplazamiento.]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>
<gallery>

</gallery>
=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

Onda Transversal plana (G.53)

2025-12-03T14:43:22Z

Cayetana.ortiz: /* Campo de vectores desplazamiento a través de la placa */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carmen Fernández
*Genoveva Moreno
*Victoria González
*Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa este campo vectorial sobre el mallado del sólido en el dominio
<math>x\in[0,4], \quad y\in[-0.5,0.5]</math>.
[[Archivo:Apartado_4_matewiki.png|thumb|center|600px|Imagen del campo de desplazamientos]]
<syntaxhighlight lang="matlab">

Apartado 4: campo de vectores u(x,y)

h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento u(x,y) = (1/10) cos(pi y) i
Ux = 0.1 * cos(pi*Y);
Uy = zeros(size(Ux));

% Gráfica
figure;
quiver(X, Y, Ux, Uy, 0.7, 'LineWidth', 1);
axis equal
xlim([0 4]);
ylim([-0.5 0.5]);
box on

xlabel('x','FontSize',12);
ylabel('y','FontSize',12);

</syntaxhighlight>

=Placa desplazada=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).</math>

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de ''y'', cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.
[[Archivo:Apartado 5 matewiki.png|thumb|center|500px|Placa antes y después del desplazamiento.]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;
</syntaxhighlight>

=Divergencia del campo de desplazamiento=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>
<gallery>

</gallery>
=Rotacional=
Para calcular el rotacional utilizaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{10}\cos \left ( \ {π}{y} \right ) & 0 & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )\vec{k}; </math>

Por lo tanto, el módulo es:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{10}\sin \left ( \ {π}{y} \right )</math>

Con la grafica podemos llegar a la conclusión que, donde la pendiente de la función que da cuánto se mueve cada punto (esa función es ux(y)u_x(y)ux(y)) cambia más rápido con y, las partículas tienden a girar más localmente. En la placa eso se traduce en “zonas de mayor torsión” o cizallamiento por la onda.

[[Archivo:Representación rotacional|marco|derecha|Representación rotalcional]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Creamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:4;
y=-0.5:h:0.5;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimps el campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));
%Calculamos el rotacional
rot_u= (pi/10)sin(pi*Y);
%representacion
figure;
surf(X, Y, rot_u)
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('rot(u)');
title('Rotacional de u');
axis([-0.5,0.5,0,4]);
axis equal
colorbar;
view(2);
}}

=Tensor de tensiones (normales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>)=

Los campos tensoriales permiten representar cantidades tensoriales que dependen del punto en el que nos encontramos. En concreto el campo de tensiones de un sólido, asigna a cada punto el tensor de tensiones.

Se trata de un tensor <math>\mathbf{T}</math> que, dado un vector unitario <math>\vec{n}</math>, devuelve un vector <math>\mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> que representa la '''tracción''' sobre el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

La componente <math>\sigma_n = \vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n}</math> de este vector en la dirección de <math>\vec{n}</math> corresponde a la '''tensión normal''' sobre dicho plano.

En este caso se nos da un tensor de tensiones que depende de otro tenso, el tensor de deformaciones.

El tensor de deformaciones,Ԑ, y el tensor de tensiones, σ, definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}I + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; <math>I</math> es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>.

Teniendo el vector: <math>\vec{u}=(\frac{1}{10}cos(\ {π}{y}) , 0 , 0)</math>

Calculamos su gradiente

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}{y}) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{20}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores:

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\\frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

Y, procedemos al cálculo de las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>vec{i}</math> y el eje <math>vec{j}</math>.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0\\ \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sin(\ {π}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 

Observando los resultados, llegamos a la conclusión de que la placa no se comprime ni estira, solo se cizalla. Las tensiones normales son cero porque la onda es puramente transversal. Toda la energía mecánica está en la cizalla σ₁₂. La distribución alternante de “zig–zag” en σ₁₂ produce la forma típica de onda transversal.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
La componente tangencial <math>\vec{\tau} = \mathbf{T} \cdot \vec{n} - (\vec{n} \cdot \mathbf{T} \cdot \vec{n})\vec{n}</math> perpendicular a <math>\vec{n}</math> representa la '''tensión cortante''' en el plano ortogonal a <math>\vec{n}</math>.

El campo de desplazamientos está definido en el dominio rectangular
<math> R = [0,4]\times[-\tfrac12,\tfrac12] </math> como:

<math> \mathbf{u}(x,y) = 10\cos(\pi y)\,\vec{i}. </math>

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{i} \;-\; (\vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} \right| </math>

En componentes, con <math> \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \qquad(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\text{)} </math>

tenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\,\vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

Dado que el resultado anterior ha sido: <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, la tensión tangencial será: <math>σ·\vec{i}</math>.

<math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{j}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{i}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

{{matlab|codigo=

% Apartado 9: Tensiones tangenciales

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = 0:h:4;
y = -0.5:h:0.5;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Componente sigma12 (tensión tangencial)
sigma12 = -(pi/10) * sin(pi * Y);

% Construcción del campo vectorial
Ux = zeros(size(X)); % Componente en x = 0 (no hay tensión tangencial en i)
Uy = sigma12; % Toda la tensión tangencial va en dirección j

% Representación del campo vectorial
figure
quiver(X, Y, Ux, Uy, 'AutoScaleFactor', 1.5)
axis equal
axis([-1 5 -2 2])
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗=
De igual manera, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> son la fuerza de corte en la cara horizontal, a lo largo del eje <math>x</math>.

La expresión dada es: <math> \left| \sigma \cdot \vec{j} \;-\; (\vec{j}\cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} \right| </math>

Obtenemos:

<math> \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ \sigma_{yy} \end{pmatrix}, \qquad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \sigma_{yy} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. </math>

Restando:

<math> \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\,\vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

Su módulo es <math>|\sigma_{xy}|</math>.

La tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{j}</math>.
<center><math>σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{-π}{10}sen(πy) & 0\\ \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-π}{10}sen(πy) & 0 & 0 \end{pmatrix}=\frac{-π}{10}sen(πy)\vec{i}</math></center>

<center><math>|σ·\vec{j}|=\frac{-π}{10}sen(πy)</math></center>

La siguiente grafica representa este campo de tensiones con respecto al plano ortogonal a <math>\vec{j}</math>
[[Archivo:Graficoapartado10.png|600px|thumb|Campo de tensiones tangenciales]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% 1) Parámetros y mallado
h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% 2) Campo de desplazamiento u(x,y)
ux = 0.1 * cos(pi .* Y);
uy = zeros(size(Y));

% 3) Derivada analítica ∂u_x/∂y
dud_y = - (pi/10) * sin(pi .* Y);

% 4) Tensión cortante: sigma_xy = ∂u_x/∂y
sigma_xy = dud_y;

% 5) Campo vectorial de la tensión tangencial sobre el plano normal a j
Tx = sigma_xy;
Ty = zeros(size(Y));

% 6) Representación
figure;
quiver(X, Y, Tx, Ty);
title('Campo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a 𝑗⃗ ');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal ;
</syntaxhighlight>

Por ser una onda transversal, <math>\sigma_{xy}</math> es un esfuerzo cortante que no depende de x y varía únicamente con y. Su valor absoluto, <math>|\sigma_{xy}| </math> alcanza el máximo en y = ±0.5, es decir, en las franjas horizontales superior e inferior de la placa. Estas zonas coinciden con las regiones de mayor deformación cortante y mayor rotacional del campo de desplazamientos, siendo los lugares donde la placa experimenta mayor cizallamiento y rotación local.

=Masa de la placa=
La densidad de la placa viene dada por la siguiente expresión:

<math>
d(\rho, \theta) = 1 + e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

donde la densidad está expresada en coordenadas polares \((\rho, \theta)\).
Podemos evaluarla en coordenadas cartesianas \((x, y)\) usando:

<math>
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(y, x)
</math>

La masa de la placa se obtiene integrando la densidad \(d(\rho, \theta)\) sobre la superficie del rectángulo:
<math>

M = \iint_{\text{placa}} d(x,y) \, dx \, dy
</math>
<syntaxhighlight lang="matlab">

h = 0.1;
y = -0.5:h:0.5;
x = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X);

e = rho.^2 .* cos(theta);
expon = min(e, 700); %se limita el exponente a 700, evitando que la funcion nos devuelva infinito.

d = 1 + exp(expon);

mass = sum(d(:)) * h * h;
disp(['Masa aproximada = ', num2str(mass)]);
</syntaxhighlight>

La masa de la placa es aproximadamente 1912270.7874.

2025-11-30T14:28:38Z

Cayetana.ortiz: /* Apartado 6 */

{{ TrabajoED | Onda Transversal plana (G.53). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Carmen Fernández, Genoveva Moreno, Victoria González, Cayetana Ortiz }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
==APARTADO 2==
==APARTADO 3==
=Campo de vectores desplazamiento a través de la placa=
A partir del enunciado, utilizamos los datos proporcionados para definir el campo de desplazamientos.

Tomando t=0 y dado que:

<math> \vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}</math>  y  <math>\vec{b}=\pi\vec{j}</math>, el desplazamiento viene dado por la expresión: <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{10}cos({Π}y)\vec{i}</math>

Esto implica que la componente horizontal es:
<math> u_x=0.1cos({Π}y)</math>   mientras que la componente horizontal es nula: <math>u_y=0</math>

A continuación se representa esta campo vectorial sobre el mallado del sólido:

[[Archivo:Apartado_4_matewiki.png|thumb|center|600px|Imagen del campo de desplazamientos]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 4: mallado campo de vectores u(x,y)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;

[X,Y] = meshgrid(x,y); % mismo mallado que antes

% u(x,y) = (1/10) cos(pi*y) i
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente en x
uy = zeros(size(Y)); % componente en y
figure;

quiver(X, Y, ux, uy); % dibuja el campo de vectores
axis equal;
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
xlabel('x'); ylabel('y');

title('Campo de desplazamientos u(x,y) = (1/10) cos(\pi y) \bfi');
grid on;
</syntaxhighlight>

=apartado 5=
En este apartado representamos la placa antes y después de aplicar el campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = (0.1\cos(\pi y),\, 0).</math>

En el primer subplot aparece la placa original, y en el segundo la placa desplazada. Como el desplazamiento solo actúa en la dirección horizontal y depende de ''y'', cada punto se mueve lateralmente una cantidad distinta. Esto permite visualizar de forma directa cómo la onda transversal deforma la placa de manera no uniforme.
[[Archivo:Apartado 5 matewiki.png|thumb|center|500px|Aquí escribe la descripción de la imagen del Apartado 5.]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
Apartado 5: Placa antes y después del desplazamiento

% Mallado (usa el mismo que en el apartado 4)
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamiento
ux = 0.1 * cos(pi * Y);
uy = zeros(size(Y));

% Puntos desplazados
X_new = X + ux;
Y_new = Y + uy;

% Figura con dos subplots
figure;

% Subplot 1: placa original
subplot(1,2,1);
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa original');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;

% Subplot 2: placa desplazada
subplot(1,2,2);
plot(X_new, Y_new, 'b.', 'MarkerSize', 6);
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Placa desplazada');
xlim([-0.5 0.5]); ylim([0 4]);
grid on;
</syntaxhighlight>

=Apartado 6=
En este apartado calculamos la divergencia del campo de desplazamiento:

:<math>\vec{u}(x,y) = \left(0.1\cos(\pi y),\,0\right)</math>

Esta magnitud mide el cambio de volumen local producido por la deformación de la placa.

Como <math>u_x</math> solo depende de <math>y</math>, su derivada respecto de <math>x</math> es cero, y puesto que <math>u_y=0</math>, también lo es su derivada respecto de <math>y</math>.
Por tanto, la divergencia resulta nula en todo el dominio:

:<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0</math>

Al representarla gráficamente, la figura muestra una superficie plana igual a cero, indicando que la placa no experimenta ni expansión ni compresión local. Este resultado es coherente con el movimiento transversal impuesto: la onda desplaza horizontalmente cada punto, pero no altera el volumen del material, tal y como ocurre en las ondas S.

[[Archivo:Apartado 6 matewiki.png|thumb|center|500px|Divergencia del campo de desplazamientos (nula en todo el dominio)]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Apartado 6: Divergencia de u

% Mallado del dominio
h = 0.1;
x = -0.5:h:0.5;
y = 0:h:4;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Campo de desplazamientos
ux = 0.1 * cos(pi * Y); % componente horizontal del desplazamiento
uy = zeros(size(Y)); % componente vertical = 0

% Cálculo de la divergencia: div(u) = d(ux)/dx + d(uy)/dy
div_u = divergence(X, Y, ux, uy);

% Representación gráfica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, div_u, 'EdgeColor','none');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('div(u)');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
colorbar;
view(40,30);
</syntaxhighlight>

Archivo:Apartado 6 matewiki.png

2025-11-30T14:25:07Z

Cayetana.ortiz:

Onda Transversal plana (G.53)

Imagen del campo de desplazamientos

Onda Transversal plana (G.53)

2025-11-29T12:23:03Z

Cayetana.ortiz: