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Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T11:09:35Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T09:07:06Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
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subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
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i=i+1;
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i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
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i=i+1;
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hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraida hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años. Se tomará como valor de (r) el que mas aproxime al valor real de Q.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T08:50:42Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraida hasta ese momento es de 2696 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2696=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años. Se tomará como valor de (r) el que mas aproxime al valor real de Q.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T08:50:22Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
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K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
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i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
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i=i+1;
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hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
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Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraida hasta ese momento es de 2696 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2696=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años. Se tomará como valor de (r) el que mas aproxime al valor real de Q

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T08:49:37Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
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plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
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hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
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hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
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r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
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q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
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i=i+1;
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[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
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t(i+1)=t(i)+h;
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hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
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Q0=0.1;
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Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
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Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
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Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraida hasta ese momento es de 2696 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años. Se tomará como valor de (r) el que mas aproxime al valor real de Q

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T08:48:58Z

Carmenllanes: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraida hasta ese momento es de 2696 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 11770 toneladas.
Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años. Se tomará como valor de (r) el que mas aproxime al valor real de Q

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T16:25:38Z

Carmenllanes: /* Reajuste de Datos */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
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hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Utilizando el programa del apartado 1.5 podemos obtener el valor de la cantidad de material extraído en t=25 que nos da un valor de Q(25)=820ton.
Sabemos que tenemos K= 1087ton. en el total del yacimiento, por tanto restando Q(25) menos el total del yacimiento deducimos que quedarán aproximadamente 10056ton. de material sin extraer

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
Basándonos en la ecuación diferencial dQ/dt= Q*r*log(k/Q), definida en el problema; y mediante el modelo de Gompertz desarrollado en el apartado dos, con los datos reales, cantidad de mineral extraído hasta que se cumplen 12 años es de 2696 toneladas; y las toneladas que se estiman que quedan por extraer son 9075.
La cantidad total k, de mineral extraíble es de 11770 toneladas que resulta de sumar los nuevos datos reales proporcionados en el problema.
Para hallar la nueva r, considerando la tasa de rendimiento de 240 toneladas/año: r=240*e/k=240*e/11770= 0.0055.

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[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T16:24:40Z

Carmenllanes:

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
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i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Utilizando el programa del apartado 1.5 podemos obtener el valor de la cantidad de material extraído en t=25 que nos da un valor de Q(25)=820ton.
Sabemos que tenemos K= 1087ton. en el total del yacimiento, por tanto restando Q(25) menos el total del yacimiento deducimos que quedarán aproximadamente 10056ton. de material sin extraer

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T16:20:34Z

Carmenllanes: /* Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Utilizando el programa del apartado 1.5 podemos obtener el valor de la cantidad de material extraído en t=25 que nos da un valor de Q(25)=820ton.
Sabemos que tenemos K= 1087ton. en el total del yacimiento, por tanto restando Q(25) menos el total del yacimiento deducimos que quedarán aproximadamente 10056ton. de material sin extraer
==1.11 Reajuste a datos reales
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]