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Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-10T16:36:26Z

Carlotasancho: /* Cálculo de la divergencia */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ\ </math> y <math> \vec e_θ\ </math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.
La divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo, cuando el cuerpo está en un medio elástico si se desplaza y la divergencia es cero quiere decir que no ha cambiado su volumen y por lo tanto sigue siendo el mismo. En este caso como obtenemos una divergencia igual a cero, el movimiento de las moléculas no afecta a su volumen (densidad constante). Esto se suele dar en líquidos incompresibles.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T19:33:03Z

Carlotasancho: /* Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ\ </math> y <math> \vec e_θ\ </math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.
La divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo. En este caso obtenemos una divergencia igual a cero, el movimiento de las moléculas no afecta a su volumen (densidad constante). Esto se suele dar en líquidos incompresibles.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T19:29:19Z

Carlotasancho: /* Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ\ </math> y <math> \vec e_θ\ </math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.
La divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo. En este caso obtenemos una divergencia igual a cero, el movimiento de las moléculas no afecta a su volumen (densidad constante). Esto se suele dar en líquidos incompresibles.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T19:27:37Z

Carlotasancho: /* Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ\ </math> y <math> \vec e_θ\ </math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.
La divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo. En este caso obtenemos una divergencia igual a cero, el movimiento de las moléculas no afecta a su volumen (densidad constante). Esto se suele dar en líquidos incompresibles.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T19:21:22Z

Carlotasancho: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ\ </math> y <math> \vec e_θ\ </math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.
La divergencia mide el cambio de volumen inducido por el campo. En este caso obtenemos una divergencia igual a cero, el movimiento de las moléculas no afecta a su volumen (densidad constante). Esto se suele dar en líquidos incompresibles.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:58:44Z

Carlotasancho: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes \vec e_ρ\ y \vec e_θ\.

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:56:15Z

Carlotasancho: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math>\vec e_ρ\ y \vec e_θ\<math>.

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:55:47Z

Carlotasancho: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes <math>\vec e_ρ\ y \vec e_θ\ <math> .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:54:38Z

Carlotasancho: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la dirección de los ejes \vec e_ρ\ y \vec e_θ\ .

[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]

{{matlab|codigo=
%Sólido antes y después del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:51:01Z

Carlotasancho: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
Como podemos observar el campo de desplazamientos solo varía en la direción de los ejes ::*<math>\vec e_ρ\ y \vec e_θ\ .
[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:40:31Z

Carlotasancho: /* Cálculo y dibujo del gradiente */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:40:04Z

Carlotasancho: /* Cálculo y dibujo del gradiente */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar : <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Según observamos en la gráfica, la temperatura varía de la zona azul (más fría) a la zona amarilla (más cálida), encontrando sus máximos en los puntos [-2,0] y [2,0].

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo los vectores son ortogonales a las curvas de nivel ya que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:ap3curv.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T18:18:29Z

Carlotasancho:

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}
Tomaremos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. Dibujar
con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. tomar como función de temperatura T(x, y) la que viene dada por:

: <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>,

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:desplazamiento6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-09T10:58:30Z

Carlotasancho: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
Como podemos observar los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo, estos tendrán una mayor capacidad de giro ya que el rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Grupo A5- Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T17:34:56Z

Carlotasancho: /* Dibujo tensiones normales */

{{ TrabajoED | Grupo A5-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. | [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez de Juan, Paula Sánchez García, Carlota Sancho Solanas }}

== Dibujo del sólido ==
Para comenzar dibujamos un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1=10 para las variables x e y.
[[File:Malladoplaca1.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Mallado interior placa recatangular
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

== Dibujo curvas de nivel ==
Dibujamos también las curvas de nivel de la temperatura y decidimos, a partir de la gráfica, en qué punto la temperatura es máxima .

[[File:nivel2.jpg|520px|right]]
{{matlab|codigo=
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
Calculamos y dibujamos el gradiente observando en el dibujo que es ortogonal a las curvas de nivel.
::::::::::::<math>grad T = 2x\vec i\ + 2(y-1)\vec j\ </math>
[[File:gradiente3.jpg|500px|right]]
{{matlab|codigo=
%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
}}

== Dibujo campo de vectores ==
A continuación dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, tomando el campo dado en el enunciado:
::::::::::::<math> \vec u(ρ,θ)=sen(θ)\frac{(ρ)}{10}(\vec e_{ρ}) + cos(θ)\frac{(ρ)}{5}(\vec e_{\theta}) </math>
[[File:campou5.jpg|450px|right]]
{{matlab|codigo=
%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente realizamos el dibujo del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū.
[[File:solido6.jpg|650px|right]]
{{matlab|codigo=
%Sólido antes y despues del desplazamiento
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
%Posición final r(x,y)=r(0)(x,y)+U(x,y)
rx=xx+(yy/20);
ry=yy+(yy/10);
%Situación inicial
figure
subplot(2,2,1)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);;
view(2);
subplot(2,2,3)
surf(xx,yy,yy*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Antes de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);

subplot(2,2,4)
surf(rx,ry,ry*0)
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
title('Después de desplazarse')
axis([-3,3,-1,3]);
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación calculamos la divergencia, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento:
::::::::::<math>\nabla·\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ^2)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})= \frac{(sen(θ))}{5}-\frac{(sen(θ))}{5}=0 </math>.

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
::::::::::::::<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) =\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec ρe_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ sen(θ)\frac{ρ}{10} & \ cosθ\frac{ρ^2}{5} & \ 0 \end{matrix}\right|=\frac{3cosθ}{10}\vec e_z </math>.

::::::::::::::::::::<math>|\nabla×\vec u(ρ,θ)| =\frac{3cosθ}{10}</math>.
[[File:modrot8.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Rotacional del campo vectorial
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
d=(cos(teta).*(3/10));
surf(xx,yy,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
}}

== Dibujo tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones a las que se ve sometida la placa en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo donde los desplazamientos permiten escribir el tensor de la siguiente forma:
:::::::::::::::<math>σ(x,y)=λ∇.(\vec u)1 + 2με</math>
Sabiendo que ε es la parte simétrica del ∇\(\vec u\) y conociendo λ=μ=1 (debido al material), calculamos las tensiones normales y las representamos en el dibujo.
===Cálculo del tensor de deformaciones y de tensiones===
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial ρ}=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial ρ} +(\frac{1}{5})cosθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial ρ}=</math>
 
:::<math>=(\frac{1}{10})senθ \vec e_ ρ + (\frac{1}{5})cosθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial θ}=(\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ + (\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial θ} +(\frac{ρ}{5})senθ\vec e_θ + (\frac{ ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial θ}=</math>
 
:::<math>=(-\frac{ρ}{10})cosθ \vec e_ ρ (-\frac{ρ}{10})senθ \vec e_θ </math>.
 
 
::*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=(\frac{ρ}{10})senθ \frac{\partial \vec e_ ρ}{\partial z} +(\frac{ρ}{5})cosθ \frac{\partial \vec e_θ }{\partial z}=</math>
 
:::<math>=0 </math>.
 
 
Calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>.
::* <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (-\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{5})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
 
::* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} (\frac{1}{10})senθ & (\frac{1}{5})cosθ & 0 \\ (-\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{10})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 
Sabemos que <math>λ</math> y <math>μ</math> toman valor uno, sabiendo que la divergencia es cero, la ecuación se reduce a dos veces el tensor de deformaciones que a su vez está multiplicado por un medio por tanto el dos que multiplica se anula con el que divide y el resultado del tensor de tensiones sería:
::* <math>e(\vec σ(ρ,θ,z))= \left(\begin{matrix} (\frac{1}{5})senθ & (\frac{1}{10})cosθ & 0 \\ (\frac{1}{10})cosθ & (-\frac{1}{5})senθ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>.
 

[[File:tenero3d.jpg|350px|left]]
[[File:tenero2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

[[File:teneteta3d.jpg|350px|left]]
[[File:teneteta2d.jpg|350px|right]]

{{matlab|codigo=
%Apartado 9:Tensiones normales según e teta
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(-1/5).*sin(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e teta')
}}

== Cálculo tensiones tangenciales ==
Calculamos las tensiones tangenciales, que vienen dadas por: σ.*\(\vec e_{\rho}\)+(\(\vec e_{\rho}\)*σ*\(\vec e_{\rho}\))\(\vec e_{\rho}\)

::::::::::<math>|σ.*(\vec e_{ρ})+((\vec e_{ρ})*σ*(\vec e_{ρ}))(\vec e_{ρ})|= |\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ}) -\frac{(sen(θ))}{5}(\vec e_{ρ})+ \frac{(cos(θ)}{10}(\vec e_{\theta})|=\frac{(cos(θ)}{10} </math>.

[[File:tentang.jpg|320px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tensiones tangenciales al plano ortogonal a e ro
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
sigma=(1/10).*cos(teta);
surf(xx,yy,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22|2021-22]]

Plantilla:TrabajoA5

2021-12-06T08:50:26Z

Carlotasancho: Categoría:Teoría de Campos

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 5-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez Paula Sánchez Carlota Sancho}}

ρsen θ

Primer ejercicio grupo 5

Grupo A5 T5

2021-12-06T08:46:54Z

Carlotasancho: Categoría:Teoría de Campos

{{ TrabajoA5 | Deformaciones de una placa plana. Grupo 5-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | María Rodríguez Paula Sánchez Carlota Sancho }}