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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T18:02:14Z

CarlosDeLaTorre: Se ha deshecho la revisión 64195 de CarlosDeLaTorre (disc.)

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|400px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=\vec{0}</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 
No se desplaza en la dirección transversal. 
Pasaría lo mismo en la dirección <math>\vec{k}</math>, mientras que en la dirección <math>\vec{j}</math> se produciría todo el desplazamiento. 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T18:00:57Z

CarlosDeLaTorre: /* Mallado de la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|400px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado dentro del propio código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=\vec{0}</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 
No se desplaza en la dirección transversal. 
Pasaría lo mismo en la dirección <math>\vec{k}</math>, mientras que en la dirección <math>\vec{j}</math> se produciría todo el desplazamiento. 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T18:00:35Z

CarlosDeLaTorre: /* Mallado de la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado dentro del propio código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=\vec{0}</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 
No se desplaza en la dirección transversal. 
Pasaría lo mismo en la dirección <math>\vec{k}</math>, mientras que en la dirección <math>\vec{j}</math> se produciría todo el desplazamiento. 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:55:46Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=\vec{0}</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 
No se desplaza en la dirección transversal. 
Pasaría lo mismo en la dirección <math>\vec{k}</math>, mientras que en la dirección <math>\vec{j}</math> se produciría todo el desplazamiento. 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:53:18Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=\vec{0}</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:52:27Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}=\vec{0}</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:52:03Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 
Para calcular un desplazamiento en una dirección (en este caso <math>\vec{i}</math>) basta con multiplicar el campo <math>\vec{u}</math> por dicha dirección escalarmente 
<center><math> \vec{v}(\frac{1}{2},1,t)\cdot \vec{i}= [\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))]\cdot\vec{i}</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:48:15Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3}-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j}))</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:47:31Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{j}(sen(\frac{\pi y}{3})-\frac{\pi}{\sqrt{3}}t\vec{j})</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:45:12Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>, se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:44:52Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto <math>(1/2, 1)</math>,se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 
Como esta onda es longitudinal, no se desplazará en otra dirección que no sea la de su amplitud, siendo en este caso <math> \vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math> 
Se mostrará que no se produce ningún desplazamiento:
<center><math> \vec{v}(x,y,t)=</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:40:36Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto (1/2, 1),se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección <math>\vec{i}</math>) a lo largo del tiempo en el intervalo
<math>t∈ [0, 10].</math> 

<center><math> \vec{v}(x,y,t)=</math></center> 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:38:09Z

CarlosDeLaTorre: /* Módulo de desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==
Fijando ahora el punto (1/2, 1),se calculará el módulo del desplazamiento transversal (dirección ) a lo largo del tiempo en el intervalo t ∈ [0, 10].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:34:50Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:34:32Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j} [\frac{m}{s}]</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:33:59Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:33:13Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 
<center><math> \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}= \frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\root{3}}\vec{j}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:29:00Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}=∇ ·σ</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:28:22Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 
Se calcula <math>∇ ·σ</math>, sabiendo que es hacer la divergencia de los vectores fila y se iguala en la expresión de <math>\vec{F}=0</math> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:24:23Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 
Por tanto <center><math>σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix} </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:22:11Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u}\cdot I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:21:52Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u} I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} \cdot I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:21:10Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u} I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} I= \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) \end{pmatrix}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:20:08Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u} I</math> 
<center><math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇ ·\vec{u} I= </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:18:55Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
Lo siguiente, será <math>∇ ·\vec{u} I</math> 
<math>∇ ·\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math> 
<math>∇ ·\vec{u} I= </math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:16:03Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:15:33Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
<center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:14:21Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\cdot\frac{\pi}{3}\vec{j}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:12:56Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial y} = \frac{1}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:11:47Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:11:01Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 
En este caso, se empezará primero con <math> ∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t </math> 
<center><math>∇\vec{u} = = ∇\vec{u}^t) </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:08:21Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t) </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:06:25Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} I + </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:06:01Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} </math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:05:25Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ=∇ ·\vec{u} /math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:05:10Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ<=∇ ·\vec{u} /math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:02:52Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 
<center><math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} = \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:01:29Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t} = \frac{-v}{3}cos(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:00:36Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>, sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<center><math>\frac{\partial \vec u}{\partial t}</math></center> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T17:00:03Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<math>\frac{\partial \vec u}{\partial t}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:59:46Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:58:41Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:57:41Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 
<math>\frac{\partial \vec u}{\partial t}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:56:30Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:54:20Z

CarlosDeLaTorre:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j}</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:53:23Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando <math>\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}</math>,sabiendo que <math>\vec{u}=</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:52:58Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 
Se empieza calculando \frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2},sabiendo que <math>\vec{u}=</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:51:20Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math> 
A continuación se calculara la velocidad de propagación de las ondas <math>\vec{v}</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math> 

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:48:25Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde <math>\nabla \cdot σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz <math>σ.</math>

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 28)

2023-12-14T16:47:36Z

CarlosDeLaTorre: /* Campo de fuerzas que actúan sobre la placa */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos escalares y vectoriales en Placa rectangular plana (en dimensión 2D) (Grupo 28)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Carlos De la Torre Pérez Marcos Herraez Pablo Jauregui}}
== Introducción==
En este artículo se estudiarán los resultados que provocan varios campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, haremos uso de MatLab. Consideramos una placa rectangular plana que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, 12]</math> En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura
* Los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.
La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la función: <center><math>T(x, y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math></center> y la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y) = \vec{r_{0}}(x, y) + \vec{u}(x, y)</math></center> 
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector: <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación. 
Por último, supondremos que los desplazamientos se corresponden a una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud. Tomaremos <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1</math></center>

== Mallado de la placa ==
[[Archivo:PlacaRectangular2812345.png|500px|thumb|right|Figura 1: Mallado de la placa rectangular]]
A continuación, se mostrará el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo. 
Acto seguido se procederá a una breve explicación del código empleado: 
*En la primera línea del código se utilizan esos comandos para limpiar los programas anteriores y que el nuestro se ejecute de forma correcta. 
*En los dos siguientes comandos discretizamos nuestras variables. 
*En la cuarta y en la quinta línea escribimos los comandos para crear el mallado. 
*Los cuatro siguientes comandos definirán nuestros ejes, mientras que los últimos dos sirven para ponerle un título a nuestra gráfica y visualizar la planta de nuestra placa .

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,y2*0)
axis equal;
axis([-5,5,-1,13]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular')
view(2);
}}

== Curvas de nivel de la temperatura de la placa ==
[[Archivo:CurvasDeNivel1234567.png|500px|thumb|right|Figura 2: Curvas de nivel de la temperatura y su gradiente]]
Ahora se expondrán las curvas de nivel de la temperatura mediante las gráficas de la Figura 2. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
en este caso sería: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2} +\frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}</math></center> 
A diferencia del código de MatLab anterior, en este se hace uso de la ecuación de la temperatura y de los comandos <math>quiver</math> y <math>contour.</math> 
La temperatura máxima alcanzada es de <math>9,44343°C</math> y se alcanza en el punto <math>(1,12)</math>
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1+(x2+1).^2)+log(1+(y2-2).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,25)
colorbar
hold off
}}

== Ley de Fourier==
[[Archivo:LeyDeFourier12345.png|600px|thumb|right|Figura 3: Campo vectorial <math>\vec{Q}</math> ]]
De acuerdo a la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula: <center><math>\vec{Q} = −κ∇T</math></center>
donde <math>κ</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>κ = 1</math>. 
Al ser <math>k=1</math> se representará la energía calorífica como el negativo del gradiente. 
Para representarlo, se tiene el gradiente calculado anteriormente, se procederá al uso de la parte negativa de las dos componentes y con el comando <math>quiver</math> se representrá lo pedido. 
A continuación se calculará <math>\vec{Q}</math> y se dibujará como campo vectorial. Para ello, se hará uso del siguiente código: 

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= 3.*log(1.+(x2+1).^2)+log(1.+(y2-2).^2);
hold on
U=(6.*(x2+1)./(1+(x2+1).^2));
V=(2.*(y2-2)./(1+(y2-2).^2));
QU=-U;
QV=-V;
quiver(x1,y1,QU,QV);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Ley de Fourier')
hold off
}}

== Campo de vectores ==
[[Archivo:CampoDeVectores1234.png|500px|thumb|right|Figura 4: Campo de vectores]]
Ahora se mostrará el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
Para calcular el campo de vectores, se calculará primero el vector <center><math>\vec{u}(x, y, t) = \vec{a} sin(πk(\vec{d} · \vec{r_{0}}(x, y) − vt)),</math></center>
siendo <center><math>\vec{a} = \vec{d} = 1/3 \vec{j}, k = 1, t = 0</math></center> 
Con el vector calculado, solo es interesante <math>\vec{j}</math>, ya que <math>\vec{i}</math> se anulará con el producto escalar.

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
quiver(x1,y1,ux,uy)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Campo de vectores')
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Ahora se mostrará el sólido tanto antes como después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math> 
Se utilizará el comando <math>subplot</math> en el código empleado.
[[Archivo:AntesYDespues1234.png|500px|thumb|right|Figura 5: Antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
hold on
subplot(1,2,1)
mesh(r0x,r0y,r0x*0)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
subplot(1,2,2)
mesh(r0x+ux,r0y+uy,r0x*0)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
view(2);
}}

== Divergencia del campo vectorial ==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, siendo la divergencia
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{∂}{∂x_1}(x_1) + \frac{∂}{∂x_2}(x_2) + \frac{∂}{∂x_3}(x_3)</math></center> 
El vector de posición viene dado por
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= x_1\vec{i} + x_2\vec{j} + x_3\vec{k}</math></center> 
y en este caso (cuando <math>t=0</math>) es
<center><math>\vec{r}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3})\vec{j} </math></center> 
así que la divergencia es
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
[[Archivo:Divergencia12345.png|500px|thumb|right|Figura 6: Divergencia]]
Siendo <math>N</math> un número natural, los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula son los siguientes: 
*Máxima: Cuando <math>y= 0+2\pi N</math>
*Mínima: Cuando <math>y=3+2\pi N</math>
*Nula: Cuando <math>y=\frac{3}{\pi+2\pi N}</math> 
El valor máximo es: <math>0,3491</math> y el mínimo es: <math>-0,3491</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
ux=sin(0*r0x);
uy=(1/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
divu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
pcolor(x2,y2,divu)
axis equal
axis([-5,5,-1,13]);
colorbar;
divuMAX=max(max(divu))
divuMIN=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
A continuación se calculara y dibujará el rotacional del campo vectorial <math>\vec{u}</math> cuando <math>t=0</math> 
<center><math>|\nabla\times\vec{u}|= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& \frac{1}{3}sen(\pi\cdot\frac{1}{3}) & 0 \end{vmatrix} = 0</math></center> 
El rotacional define como rota (gira) una pieza al someterla a un campo vectorial. En este caso, como es nulo, nuestra pieza no se ve afectada en ningún punto. 

== Tensor de tensiones ==
Definamos <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)}{2}</math></center> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>, conocido como tensor de deformaciones. 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <center><math>σ = λ∇ ·\vec{u} I + 2 μԐ</math></center> 
donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>I</math> el tensor identidad. 
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. 
Tomando <math>λ = μ = 1</math>, se dibujarán las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>. 
Lo primero, se calcula <math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t</math> 
<center><math>∇\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = ∇\vec{u}^t</math></center> 
Siendo <center><math>\frac{\partial u_{2} }{\partial y}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
entonces <center><math>∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 \pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 
Lo siguiente a calcular es <math>\nabla\cdot\vec{u}</math>, para posteriormente multiplicarlo por el tensor identidad <math>I</math> 
<center><math>\nabla \vec{u}\cdot I = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
Por tanto
<center><math> σ =\nabla\vec{u}\cdot I + Ԑ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 

[[Archivo:TensorDeTensiones12345.png|800px|thumb|right|Figura 7: Tensiones normales en las direcciones <math>\vec{i},\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>]]
{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
r0x= x2;
r0y= y2;
gradu=(pi/9).*cos(pi.*r0y/3);%en t=0
sigmai=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmaj=(pi/3).*sin((1/3).*r0y.*pi);
sigmak=(pi/9).*sin((1/3).*r0y.*pi);
subplot(1,3,1)
surf(x2,y2,sigmai)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales i')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,2)
surf(x2,y2,sigmaj)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales j')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
subplot(1,3,3)
surf(x2,y2,sigmak)
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales k')
axis equal
caxis([0 1]);
axis([-5,5,-1,13]);
}}

== Tensiones tangenciales ==
Ahora se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. 
Siendo <center><math> σ = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \end{pmatrix} </math></center> 
<center><math> σ\cdot\vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
<center><math> (\vec{i}\cdot σ\cdot\vec{i})\cdot \vec{i}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math></center> 
Por tanto
<center><math> |σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\cdot\vec{i}|= |\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)-\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)|=0 </math></center> 
En este caso, las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> son nulas.

== Tensión de Von Mises==
[[Archivo:VonMises123456.png|500px|thumb|right|Figura 8: Tensión de Von Mises]]
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center> donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.
Gracias a ir analizando el valor en cada punto y almacenando el máximo (dentro del bucle), se puede obtener el punto de valor máximo, este es: <math>(0.743590,10.461538,0.854340)</math> 
A diferencia del resto de códigos, en este se hará uso del comando <math>eig.m</math>

{{matlab|codigo=
clc,clear,clf
x1=linspace(-1,1,40);
y1=linspace(0,12,40);
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
fi=@(x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
fj= @(x,y) (pi/3).*sin((1/3).*y.*pi);
fk=@ (x,y) (pi/9).*sin((1/3).*y.*pi);
n=length(x1); m=length(y1);
max=0;
for i=1:n
for j=1:m
xn=fi (x2(i,j),y2(i,j));
yn=fj (x2(i,j),y2(i,j));
zn=fk (x2(i,j),y2(i,j));
Mn=[xn,0,0;0,yn,0;0,0,zn];
autovalores=eig(Mn);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
if VM>max
max=VM;
x=x1(i);
y=y1(i);
z=VM;
end
Z(i,j)=VM;
end
end
hold on
mesh(x2,y2,Z)
view(3)
shading interp
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensión de Von Mises')
axis equal
hold off
fprintf('El punto máximo es (%f,%f,%f)',x,y,z)
}}

== Campo de fuerzas que actúan sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-(\nabla \cdot σ) </math></center> 
donde ∇ · σ es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas
componentes son las filas de la matriz σ

== Módulo de desplazamiento transversal==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]