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Archivo:Placa desplazada C22.jpeg

2013-12-13T10:54:05Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-13T10:38:21Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que el módulo del vector es muy pequeño.
Si tomamos el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math> podemos observar mejor el desplazamiento.
[[Archivo:Placa desplazada|300px|thumb|right|placa desplazada según el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math>]]
{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=rho.*cos(theta)-sin(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=rho.*sin(theta)+cos(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

En definitiva, como el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, las tensiones representadas anteriormente en las secciones 4.4.1 y 4.4.2 representan las zonas de la placa que presentan una mayor tensión tangencial respecto a los vectores de cada gráfica.
Podemos observar en esas gráficas que donde las tensiones tangenciales son máximas, representan las zonas donde las tensiones normales son nulas, por ello, las zonas donde la compresión y la tracción son mayores, presentan una tensión normal máxima, y una tensión tangencial prácticamente nula.
Por ello, podemos interpretar que las tensiones tangenciales y normales respecto de un mismo vector son ortogonales.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-13T10:35:46Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector \vec g_\theta/\rho */

Archivo:Placa desplazada 22C.jpeg

2013-12-13T10:02:02Z

Carlos Luis Garrido:

Archivo:Placa desplazada grupo 22C.jpeg

2013-12-13T10:00:04Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-13T09:58:22Z

Carlos Luis Garrido:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que el módulo del vector es muy pequeño.
Si tomamos el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math> podemos observar mejor el desplazamiento.
[[Archivo:Placa desplazada|300px|thumb|right|placa desplazada según el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math>]]
{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=rho.*cos(theta)-sin(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=rho.*sin(theta)+cos(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

En definitiva, como el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, las tensiones representadas anteriormente en las secciones 4.4.1 y 4.4.2 representan los puntos cuya tensión es mayor respecto de los planos ortogonales a sus respectivos vectores, siendo éstas en valor absoluto.
Es decir, en este caso representamos en rojo tanto las zonas de tracción máxima como de compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-13T09:58:09Z

Carlos Luis Garrido: /* Campo de los desplazamientos */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que el módulo del vector es muy pequeño.
Si tomamos el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math> podemos observar mejor el desplazamiento.
[[Archivo:Placa desplazada|300px|thumb|right|placa desplazada según el vector <math>\vec u =\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}</math>]]
{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=rho.*cos(theta)-sin(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=rho.*sin(theta)+cos(theta).*sin(pi*theta)./(2*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

En definitiva, como el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, las tensiones representadas anteriormente en las secciones 4.4.1 y 4.4.2 representan los puntos cuya tensión es mayor respecto de los planos ortogonales a sus respectivos vectores, siendo éstas en valor absoluto.
Es decir, en este caso representamos en rojo tanto las zonas de tracción máxima como de compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T22:57:00Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que vuelve a hacer el mallado original.

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

En definitiva, como el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, las tensiones representadas anteriormente en las secciones 4.4.1 y 4.4.2 representan los puntos cuya tensión es mayor respecto de los planos ortogonales a sus respectivos vectores, siendo éstas en valor absoluto.
Es decir, en este caso representamos en rojo tanto las zonas de tracción máxima como de compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T22:54:48Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que vuelve a hacer el mallado original.

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

En definitiva, como el estudio se realiza en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, las tensiones representadas anteriormente representan los puntos cuya tensión es mayor, siendo éstas en valor absoluto.
Es decir, en este caso representamos en rojo tanto las zonas de tracción máxima como de compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T22:39:19Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
mesh(xx,yy,0*xx)
% representación del mallado
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
% campo escalar de temperaturas
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
%gradiente del campo escalar de temperaturas
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
% representación de las curvas de nivel y gradiente
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=exp(-yy);
% campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho);
% componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy)
% representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que vuelve a hacer el mallado original.

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2));
% campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f)
% representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3])
view
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2);
%tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno);
%gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos);
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
% paso de muestreo
u=1:h:2;
% valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h;
% valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v);
% matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta);
yy=rho.*sin(theta);
% parametrización
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2));
%tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta)
% gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar
%gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T22:26:13Z

Carlos Luis Garrido: /* Desplazamiento de la placa */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}
La placa desplazada vendrá definida por el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa, ya que al representar la placa desplazada en MatLAB, no observamos diferencias, ya que vuelve a hacer el mallado original.

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:28:56Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}:

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:27:04Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos asegurar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:25:31Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
== Introducción ==
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:24:45Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}

== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:24:09Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
En este trabajo vamos a someter a una placa plana (contenida en el plano Z=0) a varios campos con el fin de interpretar el comportamiento de la placa cuando dichos campos actúan sobre ella.
Para poder realizar una mejor interpretación, nos ayudaremos constantemente de códigos MatLAB y de gráficas obtenidas en MatLAB.

== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora el campo escalar de temperaturas sobre la placa, representado en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:07:02Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>:

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T10:04:11Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|300px|thumb|right|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
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xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|300px|thumb|right|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|300px|thumb|right|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|300px|thumb|right|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T09:57:49Z

Carlos Luis Garrido: /* Placa plana */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|300px|thumb|right|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T09:54:52Z

Carlos Luis Garrido: /* Desplazamiento de la placa */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\theta)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T09:48:29Z

Carlos Luis Garrido: /* Campo de los desplazamientos */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(pi)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(pi)*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-10T09:43:24Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Campo de las temperaturas ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Campo de los desplazamientos ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

[[Archivo:Penultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>
[[Archivo:Ultimagrafica.jpg|miniaturadeimagen|default|Representación de las tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T13:01:50Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortogonal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\theta/\rho-(\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho) \vec g_\theta/\rho|</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialtheta=abs(sin(pi*theta)./(10*rho.^2)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialtheta) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialtheta); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:45:08Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:43:26Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
tangencialrho=abs(sin(pi*theta)./(10*rho)); %tensiones tangenciales
subplot(1,2,1);mesh(xx,yy,tangencialrho) % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2);mesh(xx,yy,tangencialrho); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:30:18Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
Como en esta figura solo estamos trabajando en dos dimensiones, deberíamos decir que la gráfica de la divergencia nos representaría la variación del área de la placa, en donde las zonas rojas se representa una dilatación y en las zonas azules una contracción.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

==== Tensiones tangenciales respecto del plano ortogonal al vector <math>\vec g_\rho</math> ====
Las tensiones tangenciales originadas respecto del plano ortognal a <math>\vec g_\rho</math> están definidas según la siguiente expresión:
<math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:09:10Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:07:34Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de <math>\vec g_\rho</math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>
[[Archivo:Apartado81.jpg|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales del vector g]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T12:03:14Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>
[[Archivo:apartado8.JPG|miniaturadeimagen|Representación de las tensiones normales de \vect g_\theta]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Como las tensiones normales al vector <math>\vec g_\rho</math> coinciden con el campo escalar de la divergencia, la gráfica que representa el campo escalar de las tensiones ortogonales al vector <math>\vec g_\rho</math> es el mismo que el que representa la divergencia.
A su vez, las tensiones normales al vector <math>\vec g_\theta/\rho</math> prácticamente coinciden en planta con las del vector <math>\vec g_\rho</math>, sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de 3D, los valores obtenidos son mayores en la gráfica del vector <math>\vec g_\rho</math>.
En ambas gráficas, los valores más altos indican las zonas de la placa sometida a los esfuerzos de tracción máxima, y por el contrario, los valores más bajos indican las zonas de la placa sometida a compresión máxima.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T11:48:52Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmadosdos=pi*cos(pi.*theta).*((1./(2*rho.^4))+(1./(rho.^2)))/10;
% tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmadosdos); colorbar % gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmadosdos); %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T11:46:59Z

Carlos Luis Garrido:

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
[[Archivo:Placa grupo22C.jpg|miniaturadeimagen|Placa sobre la que se realiza el estudio]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.
Como la temperatura es función únicamente de "y" se puede observar en la gráfica del vector gradiente que siempre tiene la dirección del eje "y" pues es donde se produce la variación de temperatura, después el módulo de los vectores representarán cuanto varía la función, que al ser exponencial, irá aumentando cuanto más se aleje del origen en dirección "-y".
Como se puede observar el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientecurvasdenivel.jpg|miniaturadeimagen|Representación del gradiente junto con las curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
f=exp(-yy);
mesh(xx,yy,f)
[px,py]=gradient(f,0.5,0.5);
contour(xx,yy,f);
hold on;
quiver(xx,yy,px,py);
hold off;
}}

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
[[Archivo:Placa 2grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
[[Archivo:Placa 3grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de los campos vectoriales]]

El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.
En la gráfica adjunta, se representa los desplazamientos que sufren cada elemento en la placa estudiada.
Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>

{{matlab|codigo=

h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
[[Archivo:Placa 4grupoC22.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

=== Tensiones originadas ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]:

<math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} & \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{10\rho} & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^2}+1) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>

También calculamos las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>, es decir <math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho</math> y las tensiones normales en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es decir <math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho</math>

<math>\vec g_{\rho} \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho = \frac{\pi\cos(\pi\theta)}{20\rho^2}\\</math>

{{matlab|codigo=
h=0.1; % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
sigmaunouno=pi*cos(pi.*theta)./(20*rho.^2); %tensiones normales al vector
subplot(1,2,1); mesh(xx,yy,sigmaunouno); %gráfica de las tensiones en 3D
subplot(1,2,2); mesh(xx,yy,sigmaunouno); colorbar %gráfica de las tensiones en 2D
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])
view
}}

<math>\vec g_\theta/\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\theta/\rho =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{10} (\frac{1}{2\rho^4}+\frac{1}{\rho^2})</math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:58:16Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:49:33Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:38:45Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:37:46Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:32:32Z

Carlos Luis Garrido: /* Tensiones originadas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:31:34Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-09T10:09:55Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-08T08:43:08Z

Carlos Luis Garrido: /* Placa plana */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-08T08:41:51Z

Carlos Luis Garrido:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:49:02Z

Carlos Luis Garrido:

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(u,v); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:35:07Z

Carlos Luis Garrido:

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:26:42Z

Carlos Luis Garrido:

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa ,ésta sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:23:39Z

Carlos Luis Garrido: /* Placa plana */

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana sobre la que vamos a realizar el estudio, empleamos un código MatLAB, con el que podremos visualizar la placa a estudiar.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa plana, la placa sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:20:56Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana vamos a utilizar un código MatLAB, con el que se realiza la representación de la placa que se adjunta.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa plana, la placa sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro factor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:20:25Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana vamos a utilizar un código MatLAB, con el que se realiza la representación de la placa que se adjunta.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa plana, la placa sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro valor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es '''''irrotacional''''', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:19:59Z

Carlos Luis Garrido:

''Texto en cursiva''{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana vamos a utilizar un código MatLAB, con el que se realiza la representación de la placa que se adjunta.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa plana, la placa sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro valor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es ''irrotacional'', es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:18:04Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */

{{beta}}
== Introducción ==
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo 22,C)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
A su vez, definimos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math>

== Placa plana ==
Para definir la placa plana vamos a utilizar un código MatLAB, con el que se realiza la representación de la placa que se adjunta.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
mesh(xx,yy,0*xx) % representación del mallado
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización de la placa
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

== Temperatura ==
Una vez representada la placa plana, definimos ahora la temperatura, representada en este caso por el campo escalar <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Pero antes de ver como actúa dicha temperatura sobre la placa, vamos a analizar como varía dicha temperatura.
=== Variación de la temperatura ===
Para poder analizar correctamente la variación de la temperatura, calculamos <math>\nabla T</math>: <math>\nabla T(x,y) = -e^{-y}\vec j </math>
Una vez calculado, para poder interpretarlo mejor representamos el <math>\nabla T</math> y las curvas de nivel del campo escalar de la temperatura en MatLAB.

=== Temperatura sobre la placa ===
Ahora que conocemos mejor el campo escalar de temperaturas, vamos a analizar sus efectos en la placa plana.
Como la temperatura solo depende de la coordenada y, para cualquier punto con la misma coordenada x de la placa, la temperatura actuará de la misma forma en dichos puntos, y al ser una exponencial negativa, a medida que va descendiendo la coordenada y va a aumentar la temperatura de manera exponencial.
La representación de la temperatura la obtenemos usando el siguiente código MatLAB.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=exp(-yy); % campo escalar de la temperatura
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo escalar sobre la placa
}}

== Desplazamiento ==
El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante <math>t_0</math> de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>
Al aplicar dicho campo vectorial de desplazamientos sobre cada punto de la placa plana, la placa sufrirá un desplazamiento, el cual vamos a analizar en los siguientes apartados
=== Desplazamiento de la placa ===
Con la ayuda de MatLAB, vamos a representar el campo vectorial de desplazamientos sobre la placa para poder observar el desplazamiento de cada punto de la placa originado por la vibración.

Para poder representar el campo vectorial en MatLAB, hay que representarlo según la base ortonormal cartesiana:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=-\frac{\sin(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec i+\frac{\cos(\pi)\sin(\pi \theta)}{20\rho}\vec j</math>
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
fx=-sin(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente x(rho,theta) del campo vectorial
fy=cos(theta).*sin(pi*theta)./(20*rho); % componente y(rho,theta) del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % representación del campo vectorial sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización del campo vectorial sobre la placa
}}

=== Variación del volumen ===
Una de las consecuencias del desplazamiento de la placa es la variación del volumen de la placa. Para estudiar dicha variación del volumen tenemos que calcular la divergencia del campo vectorial de desplazamientos:
<math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>.

Una vez calculado, representamos el campo escalar <math>\nabla \cdot \vec u</math> sobre el mallado para poder observar como varía el volumen de la placa en los puntos que la definen.
{{matlab|codigo=
h=0.1 % paso de muestreo
u=1:h:2; % valor u según el muestreo en el intervalo [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % valor v según el muestreo en el intervalo [0,2*pi]
[rho,theta]=meshgrid(a,b); % matrices de las componentes polares de la placa plana
xx=rho.*cos(theta); % parametrización
yy=rho.*sin(theta);
f=pi*cos(pi*theta)./(20*(rho.^2)); % campo escalar de la divergencia
surf(xx,yy,f) % representación del campo escalar sobre la placa
axis([-3,3,-3,3]) % límites de los ejes x e y en la representación de la placa
view % visualización dela divergencia sobre la placa
}}

=== Tendencia a la rotación ===
Otro valor a tener en cuenta a la hora de estudiar el campo vectorial sobre la placa, es la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos de la placa.
Para poder estudiar dicha rotación, tenemos que calcular el rotacional del campo vectorial:
<math>\nabla \times \vec u = \vec 0</math>

Como el rotacional del campo vectorial <math>\vec u</math> es 0, decimos que el campo vectorial es irrotacional, es decir, la tendencia del campo vectorial a inducir rotación alrededor de los puntos es nula.
Sin embargo, como la placa plana sobre la que estamos trabajando no es un dominio simplemente conexo, ya que al estar definida en un plano y presentar un agujero, no todas las curvas contenidas en el dominio pueden reducirse a un punto. Lo que nos conduce a que respecto al dominio de la placa, no podemos considerar al campo vectorial <math>\vec u</math> como un campo conservativo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:07:16Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 22,C)

2013-12-07T23:02:28Z

Carlos Luis Garrido: /* Tendencia a la rotación */