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Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T20:26:52Z

Carlos Gómez: /* Solución Fundamental */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo, si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos y como la energía ha de conservarse, las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,16 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,16 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
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for i=1:nt
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figura=figure(1);
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close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos modelizando no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2\Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando <math>\varepsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\varepsilon}(x,t)=\frac{1}{\varepsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales porque solo depende de <math>|x|</math>. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\varepsilon}(r,t)</math> con <math>\varepsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2\Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y,t)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>

Es fácil ver que <math>u(x,t)</math> es radial al estar integrando una función radial en una bola. Nótese que si el dominio de integración no tuviera esta simetría, la convolución no tendría por qué ser radial pese a que el integrando sí lo es.
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos

<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>

Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\varepsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos

<center><math>K_{2}^{\varepsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\varepsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>

Como hemos comentado la solución es radial, por lo que basta con obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})\\
\end{array}\right),t\right)=u\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\\
0\\
\end{array}\right),t\right)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T19:57:29Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo, si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos y como la energía ha de conservarse, las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,16 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,16 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos modelizando no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
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}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
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%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
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U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
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ylabel('y',Interpreter='latex')
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xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
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ylabel('y',Interpreter='latex')
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[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
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%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Hacer el video
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[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T19:49:31Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Dirichlet */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
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figura=figure(1);
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end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
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u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
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%Serie de Fourier
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u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
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[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
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title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo, si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos y como la energía ha de conservarse, las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,16 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,16 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T19:40:13Z

Carlos Gómez:

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
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end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
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for i=1:nt
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figura=figure(1);
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close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T15:10:35Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Dirichlet */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y "cambian su orientación". Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>f(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
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%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
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end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
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mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
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mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
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mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
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%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
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%Hacer el video
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}}

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T15:06:22Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos qué modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> a su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} \left(\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} \sin\left(\frac{k \pi c}{L}t\right)+ u_{0,k}\cos\left(\frac{k\pi c}{L}t\right)\right) \sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L \sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L \sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que no hay condiciones frontera. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
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u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
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for i=1:nt
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figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
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end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
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%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
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%Serie de Fourier
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U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
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[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
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figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
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close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T14:58:06Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando quitamos las condiciones frontera y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
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nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
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U=zeros(nt,nx);
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%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
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[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
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%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
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for i=1:nt
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close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T14:53:20Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión 1 en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann, y daremos una interpretación física a los resultados obtenidos. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer3Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer4.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter="latex")
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
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xlabel('x',Interpreter='latex')
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figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y teniendo expresando la norma en polares <math>\lvert x-y\rvert=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})}</math>, obtenemos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x-y,t)=\frac{1}{\epsilon+2\pi \sqrt{t^2- \left(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x})\right)}}\chi_{[0,t]}(r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-2r_{x}r_{y}\cos(\theta_{y}-\theta_{x}))</math></center>
Podemos ver que la solución no depende de <math>\theta_{x}</math>, es decir, la solución es radial. Esto se debe a que la solución fundamental es radial, y al multiplicarla en el integrando por <math>r_{y}</math> lo sigue siendo. por ello basta obtener la solución en puntos de la forma <math>x=(r_{x},0)</math> para tener la solución en cualquier punto <math>x=(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x}))</math>, ya que
<center><math>u\left(r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{y}\sin(\theta_{x})\right)=u(r_{x},0)</math></center>
Integrando esto numéricamente con la regla del trapecio en MatLab obtenemos la solución.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
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end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
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mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
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zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
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mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
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%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
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%Epsylon de la solución fundamental
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%Construcción de la solución por convolución
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%Discretización radial y angular para la integral
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%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
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%Hacer el video
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}}

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T14:29:01Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Ecuación de Ondas. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de [[Series de Fourier (CGomJRod)|series de Fourier]] se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{1}{k\pi}u_{1,k}\sin\left( k\pi t\right)+u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

Al ser <math>u_{1}(x)=u_{t}(x,0)=0</math>, se tiene que <math>u_{1,k}=0, \forall k\in\mathbb{N}</math>, por lo que se llega a la expresión

<center><math>u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} u_{0,k}\cos\left( k\pi t\right)\sin\left( k\pi x\right)</math></center>

donde <math>u_{0,k}</math> son los coeficientes de Fourier de <math>u_{0}(x)=u(x,0)</math> en la base <math>\lbrace \sin\left( k\pi x\right)\rbrace_{k\in\mathbb{N}}</math>, los mostrados en la sección de [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]].

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
zlim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer3.png')
}}

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer3Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
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U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
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figura=figure(1);
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end
close(pelicula);
}}

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
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%Numero de terminos de la serie de Fourier
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u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
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%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
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[[Archivo:CGomJRodOndasEjer4Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
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close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
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%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer4Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
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imagen=getframe(figura);
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end
close(pelicula);
}}

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.
[[Archivo:CGomJRodOndasEjer41.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math> para dos instantes de <math>t</math>]]
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%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=50;
tini=0; tfin=2; nt=50;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*sin(k*pi*vectint))/trapz(vectint,sin(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*sin(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
plot(xx,U(1,:),'b')
hold on
plot(xx,U(5,:),'c')
quiver(xx(21),U(1,21),tt(5),0,1,'r')
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylim([-0,1.5])
legend(['Solucion en $t='+string(tt(1))+'$','Solucion en $t='+string(tt(5))+'$'],Interpreter="latex")
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer41.png')
hold off
}}

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5V1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5V1Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(zeros(height(x),width(x)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5V1Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5.png|600px|thumb|right|Gráfico de la solución <math>u(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
%Serie de Fourier
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,U)
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjer5.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjer5Video.gif|600px|thumb|right|Animación bidimensional de la solución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
xini=0; xfin=1; nx=150;
tini=0; tfin=2; nt=150;
xx=linspace(xini,xfin,nx)'; tt=linspace(tini,tfin,nt)';
%Numero de terminos de la serie de Fourier
nterms=50;
%Condiciones iniciales
u0=@(x)(exp(-100*((x-1/2).^2)));
u1=@(x)(200*(x-1/2).*exp(-100*((x-1/2).^2)));
%Definicion de la discretizacion para la regla del trapecio
nfour=200; vectint=linspace(xini,xfin,nfour)';
U=zeros(nt,nx);
for k=1:nterms
u0k=trapz(vectint,u0(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
u1k=trapz(vectint,u1(vectint).*cos(k*pi*vectint))/trapz(vectint,cos(k*pi*vectint).^2);
U=U+(u0k*cos(k*pi*tt)+u1k*sin(k*pi*tt)/(k*pi))*cos(k*pi*xx)';
end
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjer5Video.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
plot(xx,U(i,:)','b')
ylim([-2,2])
xlabel('x',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en [[Ecuación de Ondas (CGomJRod)#Conocimientos Previos|conocimientos previos]] ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.
 
 
Como podemos ver, la función tiene una singularidad cuando <math>x\in\partial B(0,ct)</math>, por lo que la salvaremos sumando un <math>\epsilon</math> en el denominador. Obtenemos así la siguiente función, que es la que dibujaremos y usaremos en los códigos
<center><math>K_{2}^{\epsilon}(x,t)=\frac{1}{\epsilon + 2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>
Para la <math>\delta</math> tomaremos la aproximación
<center><math>\delta(s)\sim\varphi_{k}(s)=\sqrt{\frac{k}{\pi}}e ^{-ks^{2}}, k>>1</math></center>
Es fácil ver que todas estas soluciones son radiales. Aprovechando esta característica, podemos graficarlas en los ejes <math>(r,t)</math>. Dichas gráficas se muestran a continuación
[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund1.png|400px|thumb|right|Gráfico de la solución fundamental <math>K_{1}(x,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
close all
clear all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=50;
xini=-2; xfin=2; nx=50;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; xx=linspace(xini,xfin,nx)';
%Definición de la solución fundamental
K1=@(x,t)((heaviside(x+t)-heaviside(x-t))/2);
%Graficado de la solucion
[XX,TT]=meshgrid(xx,tt);
mesh(XX,TT,K1(XX,TT))
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund1.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund2.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{2}^{\epsilon}(r,t)</math> con <math>\epsilon=0.01</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definicion de intervalos espacial y temporal
e=0.01;
tini=0; tfin=2; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Construcción de la solución fundamental
U=zeros(nt,nr);
K2=@(e,r,t)((caract(r,t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-r.^2))))';
for i=1:length(tt)
U(i,:)=K2(e,rr,tt(i));
end
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,real(U))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund2.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFund3.png|400px|thumb|right|Gráfico radial de la solución fundamental <math>K_{3}(r,t)</math> con <math>\delta(s)=\varphi_{k}(s),k=1000</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Función Aproximación de la delta
phi=@(k,s)(sqrt(k/pi)*exp(-k*s.^2));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=1; nt=500;
rini=-2; rfin=2; nr=500;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Constante de la función phi
k=1000;
%Definición de la solución fundamental
K3=@(k,r,t)(phi(k,r-t))./(4*pi*r);
%Graficado de la solucion
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,K3(k,RR,TT))
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasSolFund3.png')
}}
Estas soluciones fundamentales son de vital importancia de cara a solucionar problemas de la ecuación de ondas en dominios no acotados, ya que dado un problema general
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{n}</math>, podemos obtener la solución convolucionando (respecto a las variables espaciales) la solución fundamental correspondiente con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{n}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\! K_{n}(x-y)h(y)\, dy</math></center>
==Ejemplo en dimensión 2==
Tomemos un ejemplo concreto para ver esto más a fondo en <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Consideremos el siguiente problema.
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=h(x)=\chi_{B(0,1/2)}(x)

\end{array} \right.

</math></center>
donde <math>x\in\mathbb{R}^{2}</math>.
 
 
Como hemos dicho, podemos obtener la solución convolucionando la solución fundamental con la condición inicial:
<center><math>u(x,t)=\left(K_{2}\ast h\right)(x,t)=\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)h(y)\, dy =\int_{\mathbb{R}^{2}}\! K_{2}(x-y,t)\chi_{B(0,1/2)}(y)\, dy = \int_{B(0,1/2)} \! K_{2}(x-y,t) \, dy</math></center>
Con el cambio de variable <math>y=\left(r_{y}\cos(\theta_{y}),r_{y}\sin(\theta_{y})\right)</math> y expresando en polares <math>x=\left( r_{x}\cos(\theta_{x}),r_{x}\sin(\theta_{x})\right)</math>, tenemos
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1/2} \! r_{y}K_{2}\left(\left(\begin{array}{c}
r_{x}\cos(\theta_{x})-r_{y}\cos(\theta_{y})\\
r_{x}\sin(\theta_{x})-r_{y}\sin(\theta_{y})\\
\end{array}\right),t\right) \, dr_{y}d\theta_{y}</math></center>
Tomando la regularización <math>K_{2}(x,t)=K_{2}^{\epsilon}(x,t)</math> y
[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvRadial.png|600px|thumb|right|Gráfico radial de la solución por convolución <math>u(r,t)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Graficado de la solución (ejes radial y temporal)
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
mesh(RR,TT,U)
xlabel('r',Interpreter='latex')
ylabel('t',Interpreter='latex')
saveas(gcf,'CGomJRodOndasEjConvRadial.png')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasEjConvTiemposV2.png|800px|thumb|right|Gráfico en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> para distintos instantes de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Graficado de la solución (ejes cartesianos, distintos tiempos)
subplot(2,2,1)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,2)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==0.5),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=0.5$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,3)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==1),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=1$',Interpreter='latex')
subplot(2,2,4)
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(find(tt==2),:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
subtitle('$t=2$',Interpreter='latex')
}}

[[Archivo:CGomJRodOndasSolFundVideo.gif|600px|thumb|right|Animación en cartesianas de la solución por convolución <math>u(x,t)</math> a lo largo de <math>t</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
%Definición de la solución fundamental en polares preparada para la
%integral
% e es epsylon, (rx,thx) son las coordenadas de x en polares, (ry,thy) son
% las coordenadas de y en polares, como argumento x de la función siempre
% se introduce x-y. Por último t es el t de la definición de la función
K2=@(e,rx,ry,thx,thy,t)(caract(sqrt(rx.^2+ry.^2-2.*rx.*ry.*cos(thy-thx)),t)./(e+2*pi*sqrt(t.^2-rx.^2-ry.^2+2.*rx.*ry.*cos(thy-thx))));
%Definicion de intervalos espacial y temporal
tini=0; tfin=2; nt=101;
rini=-2; rfin=2; nr=101;
tt=linspace(tini,tfin,nt)'; rr=linspace(rini,rfin,nr)';
%Epsylon de la solución fundamental
e=0.01;

%Construcción de la solución por convolución
U=zeros(nr,nt);
%Discretización radial y angular para la integral
nrint=200; rrint=linspace(0,1/2,nrint);
nthint=200; ththint=linspace(0,2*pi,nthint);
[RRINT,THTHINT]=meshgrid(rrint,ththint);
for i=1:nr
for j=1:nt
%Convolución de la solución fundamental con la condición inicial
U(i,j)=trapz(ththint,trapz(rrint,K2(e,rr(i),RRINT,0,THTHINT,tt(j)),2));
end
end
U=real(U');
%Paso a coordenadas cartesianas
thini=0; thfin=2*pi; nth=50; thth=linspace(thini,thfin,nth);
[RR,THTH]=meshgrid(rr,thth);
XX=RR.*cos(THTH);
YY=RR.*sin(THTH);
%Hacer el video
pelicula=VideoWriter('CGomJRodOndasEjConvVideo.avi');
pelicula.FrameRate=20;
open(pelicula);
for i=1:nt
mesh(XX,YY,ones(nth,1)*real(U(i,:)))
zlim([0,3])
xlabel('x',Interpreter='latex')
ylabel('y',Interpreter='latex')
title('$t='+string(tt(i))+'$',Interpreter="latex")
figura=figure(1);
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen)
end
close(pelicula);
}}

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-27T00:20:59Z

Carlos Gómez: /* Solución Fundamental */

=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier <math>\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}</math> se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math>

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN}</math>

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

<math>\textbf{INSERTAR VIDEO}</math>

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}</math>

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en <math>\textbf{INSERTAR Link intro}</math> y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES Y VIDEOS CORRESPONDIENTES}</math>

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES CORRESPONDIENTES}</math>

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en <math>\textbf{Link Introducción}</math> ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental <math>K_n</math> para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\
u(x,0)=0
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

donde <math>x \in \mathbb{R}^n</math> y <math>\delta (x)</math> la delta de Dirac.

Particularizando para las distintas dimensiones se puede demostrar que:

<math>\textbf{dim=1}</math>

<center><math>K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)]</math></center>

donde <math>H</math> es la función de Heavyside:

<center><math>H(x)=\left \{ \begin{array}{ll}

0 \hspace{0.3cm}\text{si}\hspace{0.1cm} x<0

\\
1 \hspace{0.3cm} \text{si}\hspace{0.1cm}x \geq 0

\end{array} \right.

</math></center>

<math>\textbf{dim=2}</math>

<center><math>K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2- |x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x)</math></center>
donde <math>\chi_{B(0,ct)}(x)</math> es la función característica de la bola de centro 0 y radio <math>ct</math>.

<math>\textbf{dim=3}</math>

<center><math>K_3(x,t)=\frac{\delta(|x|-ct)}{4\pi c|x|}</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:52:46Z

Carlos Gómez: /* Solución Fundamental */

=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier <math>\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}</math> se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math>

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN}</math>

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

<math>\textbf{INSERTAR VIDEO}</math>

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}</math>

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en <math>\textbf{INSERTAR Link intro}</math> y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES Y VIDEOS CORRESPONDIENTES}</math>

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES CORRESPONDIENTES}</math>

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en <math>\textbf{Link Introducción}</math> ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – \Delta u =0

\\

u(x,0)=
\\

u_t(x,0)=\delta(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:51:34Z

Carlos Gómez: /* Solución Fundamental */

=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta y mediante una convolución. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier <math>\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}</math> se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math>

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN}</math>

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

<math>\textbf{INSERTAR VIDEO}</math>

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}</math>

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en <math>\textbf{INSERTAR Link intro}</math> y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES Y VIDEOS CORRESPONDIENTES}</math>

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES CORRESPONDIENTES}</math>

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

=Solución Fundamental=
Como hemos comentado en <math>\textbf{Link Introducción}</math> ahora trataremos de dibujar las gráficas de la solución fundamental para dimensión 1,2 y 3. Estas soluciones se obtienen al dar un impulso inicial localizado en <math>x=0</math>. Matemáticamente es la solución del problema:

<center><math></math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:45:26Z

Carlos Gómez:

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:44:57Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:40:03Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier <math>\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}</math> se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math>

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN}</math>

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

<math>\textbf{INSERTAR VIDEO}</math>

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}</math>

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en <math>\textbf{INSERTAR Link intro}</math> y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES Y VIDEOS CORRESPONDIENTES}</math>

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES CORRESPONDIENTES}</math>

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando el frente de la onda golpea el extremo del intervalo este cambia de sentido y se encuentra con la parte que aún sigue desplazándose en el sentido anterior. Al tener la misma fase, ambas se suman provocando que el extremo de la cuerda termine superando la altura máxima de la onda inicial. Es precisamente esto lo que da la sensación de que la onda se acumula en esa zona.

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T23:33:40Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

=Introducción=

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

=Conocimientos Previos=

Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo <math>[0, L]</math>. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d</math>. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – c^2 u_{xx} =0 </math></center>

Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(L,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier <math>\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}</math> se puede demostrar el siguiente resultado:

<math>\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}</math> Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} (\frac{L}{k\pi c} u_{1,k} sin(\frac{k \pi c}{L}t)+ u_{0,k}cos(\frac{k\pi c}{L}t)) sin(\frac{k\pi}{L}x) </math></center>
donde <math>u_{0,k}</math> y <math>u_{1,k}</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> u_{0,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> u_{1,k}= \frac{\int_0^L sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^L sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Otro resultado importante que debemos conocer previo al estudio que haremos en este trabajo es la fórmula de D'Alembert. Esta nos da una expresión de la solución del problema de Cauchy global, es decir que el abierto sobre el que trabajamos no es acotado; todo el espacio. Utilizaremos su expresión para dimensión 1.

<math>\textbf{Teorema (Fórmula de D'Alembert):}</math> Sea el problema de Cauchy global:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – c^2 u_{xx} =0

\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Entonces la solución de la ecuación viene dada por la expresión:

<center><math>u(x,t)=\frac{1}{2}(u_0(x-ct)+u_0(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}u_1(y)dy</math></center>

A partir de esta expresión es posible obtener una cierta intuición sobre el funcionamiento de las soluciones de esta ecuación. Como se puede ver en la fórmula anterior, para calcular <math>u(x,t)</math> solo necesitamos conocer los valores de <math>u_0</math> en los puntos <math>x\pm ct</math> y los de <math>u_1</math> en <math>[x-ct,x+ct]</math>. Es decir, la solución solo depende de cómo es la condición inicial en dicho intervalo. A esto se le conoce como dominio de dependencia de <math>u(x,t)</math>. Por otro lado, podemos obtener otra interpretación que veremos más adelante pero cuya intuición se puede ver en el primer sumando de la fórmula; la solución está compuesta por dos ondas iguales que se mueven en la misma dirección y sentido contrario a la misma velocidad.

<math>\textbf{Principio de Huygens:}</math> El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.

=Ejemplos de resolución=
==Condiciones Dirichlet==
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:

<math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math>

A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN}</math>

En ella se aprecia como aparecen dos ondas que se mueven en sentidos opuestos hasta que al llegar al límite del intervalo rebotan y ``cambian su orientación''. Estas dos se vuelven a unir en el centro y posteriormente continúan su camino hasta que vuelven a rebotar cambiando de nuevo la orientación y encontrándose en el centro, empezando de nuevo el proceso; la solución es periódica en tiempo. Esto se aprecia mejor en el siguiente GIF

<math>\textbf{INSERTAR VIDEO}</math>

Hemos visto que nada más empezar el proceso, la onda se divide en dos y se mueven en sentidos opuestos. Sin embargo, podemos eliminar este efecto cambiando las condiciones iniciales del problema a estudiar. Si consideramos <math>u_0=f(x)</math> y <math>u_1(x)=-f'(x)</math> con
<math>e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math>, podemos comprobar a continuación que el comportamiento que muestra la solución anterior es el mismo salvo que en este caso no encontramos dos ondas, sino una.

<math>\textbf{INSERTAR IMAGEN Y VIDEO}</math>

La pregunta que surge ahora es por qué pasa esto, ya que parece que las nuevas condiciones escogidas salen de la nada. Sin embargo si recordamos la fórmula de D'Alembert que presentamos en <math>\textbf{INSERTAR Link intro}</math> y hacemos los siguientes cálculos podemos observar que estas condiciones no son tan caprichosas y en realidad obedecen a lo que dicta esta fórmula. Sustituyendo en esta las condiciones del nuevo problema y haciendo uso del teorema fundamental del cálculo:
<center><math>u(x,t)= = \frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))-\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f'(y)dy=\frac{1}{2}(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c} (cf(x-ct)-cf(x+ct))=f(x-ct)</math></center>

Particularizando a este caso, como <math>c=1</math> :
<center><math>u(x,t)= f(x-t)</math></center>

Es decir, que la solución de la ecuación en realidad es una onda transversal con la forma de la gráfica de <math>f</math>. Este es el motivo por el cual al imponer estas condiciones obtenemos una de las ondas del caso anterior. Nótese que si en vez de imponer <math>u_1(x)=-f'(x)</math>, imponemos <math>u_1(x)=f'(x)</math> la onda que obtenemos es la que se mueve en sentido contrario. También es necesario recalcar que en el primer caso, al dividirse la onda en dos, como la energía ha de conservarse las dos ondas que obtenemos son más "pequeñas"; se aplanan. Esto es porque la energía debe dividirse entre ambas y por partes iguales, no debería haber una preferencia por las ondas que viajan en uno u otro sentido. Por otro lado, si observamos el GIF del segundo caso se aprecia como esto no sucede, sino que simplemente hay una traslación de la gráfica de la función al no dividirse. Finalmente, una cosa que queda por verificar es la velocidad de propagación de la onda, que como indicamos debe ser <math>c=1</math>. Para verlo, hemos tomado dos imágenes de la onda en diferentes tiempos, espaciados en 0,2 unidades de tiempo, y las hemos superpuesto. En esta imagen que se muestra a continuación podemos observar como la gráfica se ha desplazado 0,2 unidades en el eje espacial. Por tanto, la velocidad es efectivamente <math>c=1</math>.

==Condiciones Neumann==
Una vez hemos entendido qué pasaba en el ejemplo anterior, vamos a considerar el mismo problema de antes pero con condiciones Neumann. Sea el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u_x(0,t)=u_x(1,t)=0
\\

u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}
\\

u_t(x,0)=0

\end{array} \right.

</math></center>

A continuación mostramos las mismas imágenes que antes pero para este nuevo problema:

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES Y VIDEOS CORRESPONDIENTES}</math>

En estas se puede ver un comportamiento similar al anterior, vemos una onda que se divide en dos que después de rebotar con los extremos del intervalo terminan combinándose en el centro de nuevo para volver a empezar. Sin embargo, ahora encontramos dos diferencias fundamentales respecto a la situación anterior: la onda ni cambia de orientación ni cambia de sentido inmediatamente. Al cambiar de sentido esta parece acumularse en los extremos hasta que llegado un punto termina por cambiar de sentido. Por otro lado, si modificamos las condiciones iniciales como hicimos en el apartado anterior obtenemos el mismo resultado. En vez de tener dos ondas más pequeñas que se mueven en sentidos contrarios, aparece una única onda que se mueve en un sentido. Nótese que el comportamiento de esta nueva onda es el mismo que en el caso inmediatamente anterior, pues no hemos cambiado las condiciones frontera. A continuación se muestran las imágenes correspondientes a este caso en las que se aprecia lo que acabamos de comentar :

<math>\textbf{INSERTAR IMÁGENES CORRESPONDIENTES}</math>

Por tanto, vemos que cambiar las condiciones de frontera lo único que afecta al comportamiento de la onda es en realidad cómo "rebota". Antes, cambiando su orientación y sentido de forma inmediata, y ahora, acumulándose hasta que termina modificando su trayectoria. Por lo que la pregunta que surge de manera natural es por qué pasa esto. A diferencia de lo anterior, la cuerda que estaríamos no se encuentra fija, sino que es móvil. Podríamos imaginar que los extremos se encuentran atados a un objeto que se mueve por una vía sin resistencia en el eje vertical. Esto da lugar a que efectivamente la tangente a la cuerda en el extremo tenga siempre pendiente nula. Esto además explicaría el porqué no se invierte la orientación.

Imaginemos ahora la onda desplazándose hacia uno de los extremos, según se va acercando este va ganando altura poco a poco. Por conservación de la energía es lógico pensar que la altura máxima alcanzada por el extremo debería ser igual al máximo de la gráfica. Una vez lo alcanza, la onda "rebota" y cambia de sentido para repetir el proceso. Sin embargo, la altura alcanzada es mayor que la comentada. Esto se puede deber a que al llegar ahí se produce un fenómeno parecido a la resonancia. Cuando la parte ""

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T22:15:39Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T22:14:53Z

Carlos Gómez: /* Condiciones Neumann */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T22:12:30Z

Carlos Gómez: /* Ejemplos de resolución */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T21:51:27Z

Carlos Gómez: /* Ejemplos de resolución */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T21:35:30Z

Carlos Gómez: /* Ejemplos de resolución */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T19:28:28Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T19:24:09Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T18:05:31Z

Carlos Gómez: /* Ejemplos de resolución */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T17:29:02Z

Carlos Gómez: /* Ejemplos de resolución */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T17:07:00Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T17:00:08Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T16:38:06Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T16:10:08Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T16:08:01Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T15:53:35Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

=Introducción=
=Conocimientos Previos=
Ppio de Huygens
¿Solución ecuacion de ondas serie Fourier?
¿link trabajo Fourier?

=Ejercicio 6=
Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>

Supongamos que tiene los extremos fijos, entonces hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) </math></center>
donde <math>c_k</math> y <math>d_k</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T09:36:20Z

Carlos Gómez: /* Conocimientos Previos */

=Introducción=
=Conocimientos Previos=
Ppio de Huygens
¿Solución ecuacion de ondas serie Fourier?
¿link trabajo Fourier?

=Ejercicio 6=
Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>

Como estamos suponiendo los extremos fijos, hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) </math></center>
donde <math>c_k</math> y <math>d_k</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T09:34:55Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

=Introducción=
=Conocimientos Previos=
=Ejercicio 6=
Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>

Como estamos suponiendo los extremos fijos, hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

<center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) </math></center>
donde <math>c_k</math> y <math>d_k</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

<center><math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

<center><math> d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T09:01:00Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

=Introducción=
=Conocimientos Previos=
=Ejercicio 6=
Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la conocida como ecuación de ondas:

<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>

Como estamos suponiendo los extremos fijos, hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

<center><math> </math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T08:55:15Z

Carlos Gómez: /* Ejercicio 6 */

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-26T08:04:16Z

Carlos Gómez:

=Introducción=
=Conocimientos Previos=
=Ejercicio 6=
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}

u_{tt} – u_{xx} =0

\\

u(0,t)=u(1,t)=0
\\

u(x,0)=u_0(x)
\\

u_t(x,0)=u_1(x)

\end{array} \right.

</math></center>

Ecuación de Ondas (CGomJRod)

2024-05-16T07:05:30Z

Carlos Gómez: Página creada con «Siuuuu»

Siuuuu

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T19:34:05Z

Carlos Gómez: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos la fórmula de Poisson a partir de varios ejemplos de problemas de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet. Analizaremos cuáles son sus limitaciones y los problemas que surgen al intentar solventarlos mediante métodos numéricos. Además, trataremos de entender en profundidad el significado de la desigualdad de Harnack tanto analíticamente como gráficamente. Como consecuencia demostraremos el teorema de Liouville. Por último, quitaremos las condiciones frontera y estudiaremos el carácter de las soluciones de la ecuación de Laplace en un dominio no acotado, en este caso <math>\mathbb{R}^{2}</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>

<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en [[Ecuación de Laplace (CGomJRod)#Interpretación desigualdad de Harnack|interpretación desigualdad de Harnack]], este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<center><math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math></center>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <ref>Salsa, S., Verzini, G. (2022). Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory. Alemania: Springer International Publishing.</ref>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución del Problema]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=100; %Número de puntos para la aproximación del
Nr=30; Nt=60; %Número de puntos para el graficado
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio
g=@(t)(max(0,1-2/pi*abs(t-pi))); %Condición frontera
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Expresión de la solución por la fórmula de Poisson
rr=linspace(0,0.95,Nr); %Vector de puntos para evaluar en coordenada radial
tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vector de puntos para evaluar en coordenada angular
U=zeros(length(rr),length(tt)); %Inicialización de la matriz de evaluación
for i=1:length(rr)
for j=1:length(tt)
U(i,j)=u(rr(i),tt(j)); %Evaluación de la solución por fórmula de Poisson para cada punto
end
end
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Formación de la malla de puntos
X=RR.*cos(TT); %Cambio a cartesianas
Y=RR.*sin(TT);
mesh(X,Y,U')
colormap turbo %Graficado de la función
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Error en un punto fijo con <math>10^n</math> puntos]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
}}
 
 

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Error según nos acercamos a la frontera]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')

}}
 
 

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente
[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrapV2.png|300px|thumb|right|Comparación error real con la cota]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos

hold on
plot(log10(listaNpuntos),log10(errcota(0.9,listaNpuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFronteraV2.png|300px|thumb|right|Comparación error real con la cota]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
hold on
plot(-[log10(nn)],log10(errcota(1-nn,Npuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex','Location','northwest')
}}
 
 
==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan <math>\mathcal{V}_{1}</math> en escala logarítmica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnack.png|300px|thumb|right|Funciones límite desigualdad de Harnack en <math>B_1(0)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
M=-1/2; N=100; %Definición del valor máximo y del número de puntos
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t)); %Definición de la solución
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M; %Definición de v:=u-M
vmax=@(r) v(0,0)*(1+r)./(1-r); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
vmin=@(r) v(0,0)*(1-r)./(1+r); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las funciones
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmax(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold on
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmin(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('Cota con $R=1$','Location','Northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2.png|300px|thumb|right|Funciones límite desigualdad de Harnack en <math>B_1(0),B_5(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Location','northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2Mov.png|300px|thumb|right|Funciones límite desigualdad de Harnack trasladadas en <math>B_1(0),B_5(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV3.png|300px|thumb|right|Funciones límite desigualdad de Harnack trasladadas en <math>B_1(0),B_5(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> ]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=3; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

=Ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}</math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=100; Nt0=100; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,10,Nr0); tt0=linspace(0,2*pi,Nt0); %Vectores discretización radio y angulo para la solución
[RR0,TT0]=meshgrid(rr0,tt0); %Construcción de la malla para la solución
U=zeros(Nr0,Nt0); %Inicialización de la matriz de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
for j=1:Nt0
U(i,j)=trapz(tt,trapz(rr,F(RR0(i,j),TT0(i,j),RR,TT),2));
%Evaluación de la matriz de la función solución discretizada
end
end
X0=RR0.*cos(TT0); Y0=RR0.*sin(TT0); %Cambio a coordenadas cartesianas
mesh(X0,Y0,U) %Graficado de la función
colormap turbo
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=200; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,Nr0,Nr0); %Vector discretización radio
U=zeros(1,Nr0); %Inicialización del vector de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
U(i)=trapz(tt,trapz(rr,F(rr0(i),0,RR,TT),2)); %Evaluación del vector de la función solución discretizada
end
uinfty=@(r)(-1/2)*log(abs(r))+1./r; %Definición de la solución asintótica calculada
plot(rr0,U,'b') %Graficado de las funciones
hold on
plot(rr0,uinfty(rr0),'r')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('$\mathcal{U}(r,0)$','$u_{\infty}$','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T19:19:51Z

Carlos Gómez: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos la fórmula de Poisson a partir de varios ejemplos de problemas de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet. Analizaremos cuáles son sus limitaciones y los problemas que surgen al intentar solventarlos mediante métodos numéricos. Además, trataremos de entender en profundidad el significado de la desigualdad de Harnack tanto analíticamente como gráficamente. Como consecuencia demostraremos el teorema de Liouville. Por último, quitaremos las condiciones frontera y estudiaremos el carácter de las soluciones de la ecuación de Laplace en un dominio no acotado, en este caso <math>\mathbb{R}^{2}</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>

<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<center><math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math></center>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución del Problema]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=100; %Número de puntos para la aproximación del
Nr=30; Nt=60; %Número de puntos para el graficado
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio
g=@(t)(max(0,1-2/pi*abs(t-pi))); %Condición frontera
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Expresión de la solución por la fórmula de Poisson
rr=linspace(0,0.95,Nr); %Vector de puntos para evaluar en coordenada radial
tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vector de puntos para evaluar en coordenada angular
U=zeros(length(rr),length(tt)); %Inicialización de la matriz de evaluación
for i=1:length(rr)
for j=1:length(tt)
U(i,j)=u(rr(i),tt(j)); %Evaluación de la solución por fórmula de Poisson para cada punto
end
end
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Formación de la malla de puntos
X=RR.*cos(TT); %Cambio a cartesianas
Y=RR.*sin(TT);
mesh(X,Y,U')
colormap turbo %Graficado de la función
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Error en un punto fijo con <math>10^n</math> puntos]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
}}
 
 

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Error según nos acercamos a la frontera]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')

}}
 
 

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente
[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrapV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos

hold on
plot(log10(listaNpuntos),log10(errcota(0.9,listaNpuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFronteraV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
hold on
plot(-[log10(nn)],log10(errcota(1-nn,Npuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex','Location','northwest')
}}
 
 
==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan <math>\mathcal{V}_{1}</math> en escala logarítmica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnack.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
M=-1/2; N=100; %Definición del valor máximo y del número de puntos
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t)); %Definición de la solución
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M; %Definición de v:=u-M
vmax=@(r) v(0,0)*(1+r)./(1-r); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
vmin=@(r) v(0,0)*(1-r)./(1+r); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las funciones
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmax(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold on
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmin(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('Cota con $R=1$','Location','Northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Location','northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2Mov.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV3.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=3; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

=Ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}<math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=100; Nt0=100; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,10,Nr0); tt0=linspace(0,2*pi,Nt0); %Vectores discretización radio y angulo para la solución
[RR0,TT0]=meshgrid(rr0,tt0); %Construcción de la malla para la solución
U=zeros(Nr0,Nt0); %Inicialización de la matriz de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
for j=1:Nt0
U(i,j)=trapz(tt,trapz(rr,F(RR0(i,j),TT0(i,j),RR,TT),2));
%Evaluación de la matriz de la función solución discretizada
end
end
X0=RR0.*cos(TT0); Y0=RR0.*sin(TT0); %Cambio a coordenadas cartesianas
mesh(X0,Y0,U) %Graficado de la función
colormap turbo
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=200; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,Nr0,Nr0); %Vector discretización radio
U=zeros(1,Nr0); %Inicialización del vector de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
U(i)=trapz(tt,trapz(rr,F(rr0(i),0,RR,TT),2)); %Evaluación del vector de la función solución discretizada
end
uinfty=@(r)(-1/2)*log(abs(r))+1./r; %Definición de la solución asintótica calculada
plot(rr0,U,'b') %Graficado de las funciones
hold on
plot(rr0,uinfty(rr0),'r')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('$\mathcal{U}(r,0)$','$u_{\infty}$','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T19:16:54Z

Carlos Gómez: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos la fórmula de Poisson a partir de varios ejemplos de problemas de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet. Analizaremos cuáles son sus limitaciones y los problemas que surgen al intentar solventarlos mediante métodos numéricos. Además, trataremos de entender en profundidad el significado de la desigualdad de Harnack tanto analíticamente como gráficamente. Como consecuencia demostraremos el teorema de Liouville. Por últ

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>

<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<center><math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math></center>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución del Problema]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=100; %Número de puntos para la aproximación del
Nr=30; Nt=60; %Número de puntos para el graficado
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio
g=@(t)(max(0,1-2/pi*abs(t-pi))); %Condición frontera
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Expresión de la solución por la fórmula de Poisson
rr=linspace(0,0.95,Nr); %Vector de puntos para evaluar en coordenada radial
tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vector de puntos para evaluar en coordenada angular
U=zeros(length(rr),length(tt)); %Inicialización de la matriz de evaluación
for i=1:length(rr)
for j=1:length(tt)
U(i,j)=u(rr(i),tt(j)); %Evaluación de la solución por fórmula de Poisson para cada punto
end
end
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Formación de la malla de puntos
X=RR.*cos(TT); %Cambio a cartesianas
Y=RR.*sin(TT);
mesh(X,Y,U')
colormap turbo %Graficado de la función
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
}}
 
 

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')

}}
 
 

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente
[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrapV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos

hold on
plot(log10(listaNpuntos),log10(errcota(0.9,listaNpuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFronteraV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
hold on
plot(-[log10(nn)],log10(errcota(1-nn,Npuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex','Location','northwest')
}}
 
 
==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan <math>\mathcal{V}_{1}</math> en escala logarítmica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnack.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
M=-1/2; N=100; %Definición del valor máximo y del número de puntos
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t)); %Definición de la solución
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M; %Definición de v:=u-M
vmax=@(r) v(0,0)*(1+r)./(1-r); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
vmin=@(r) v(0,0)*(1-r)./(1+r); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las funciones
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmax(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold on
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmin(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('Cota con $R=1$','Location','Northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Location','northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV2Mov.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=2; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) v(0,0)*R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),-log(v(0,0))*ones(1,length(linspace(0,R-0.01,N)))+log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnackV3.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
n=3; %Dimensión del problema
Rs=[1,5,10]; %Vector de radios
colores=['r','b','g']; %Vector de colores (para graficar)
for i=1:length(Rs)
R=Rs(i); %Fijamos el radio a la componente i de Rs
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t));
M=@(R)-R.^2/2; N=100; %Calculamos el mínimo de la función u
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M(R); %Definimos v:=u-M
harnmax=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R-r)./((R+r).^(n-1)); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
harnmin=@(R,n,r) R.^(n-2).*(R+r)./((R-r).^(n-1)); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las cotas
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmax(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
hold on
plot(linspace(0,R-0.01,N),log(harnmin(R,n,linspace(0,R-0.01,N))),colores(i))
end
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend({'Cota con $R=1$','','Cota con $R=5$','','Cota con $R=10$',''},'Interpreter','latex')
}}
 
 

=Ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}<math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=100; Nt0=100; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,10,Nr0); tt0=linspace(0,2*pi,Nt0); %Vectores discretización radio y angulo para la solución
[RR0,TT0]=meshgrid(rr0,tt0); %Construcción de la malla para la solución
U=zeros(Nr0,Nt0); %Inicialización de la matriz de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
for j=1:Nt0
U(i,j)=trapz(tt,trapz(rr,F(RR0(i,j),TT0(i,j),RR,TT),2));
%Evaluación de la matriz de la función solución discretizada
end
end
X0=RR0.*cos(TT0); Y0=RR0.*sin(TT0); %Cambio a coordenadas cartesianas
mesh(X0,Y0,U) %Graficado de la función
colormap turbo
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Nr=200; Nt=200; Nr0=200; %Número de puntos de las discretizaciones
F=@(r0,t0,rr,tt)(-1/(4*pi))*log(r0^2+rr.^2-2*r0*rr.*cos(tt-t0)).*rr;
%Fórmula del potencial logaritmico en polares
rr=linspace(0,0.99999,Nr); tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vectores discretización radio y angulo para la integral
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Construcción de la malla para la integral
rr0=linspace(0,Nr0,Nr0); %Vector discretización radio
U=zeros(1,Nr0); %Inicialización del vector de la función solución discretizada
for i=1:Nr0
U(i)=trapz(tt,trapz(rr,F(rr0(i),0,RR,TT),2)); %Evaluación del vector de la función solución discretizada
end
uinfty=@(r)(-1/2)*log(abs(r))+1./r; %Definición de la solución asintótica calculada
plot(rr0,U,'b') %Graficado de las funciones
hold on
plot(rr0,uinfty(rr0),'r')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('$\mathcal{U}(r,0)$','$u_{\infty}$','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T19:05:50Z

Carlos Gómez: /* Preliminares */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos la fórmula de Poisson a partir de varios ejemplos de problemas de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet. Analizaremos cuáles son sus limitaciones y los problemas que surgen al intentar solventarlos mediante métodos numéricos. Además, trataremos de entender en profundidad el significado de la desigualdad de Harnack tanto analíticamente como gráficamente. Como consecuencia demostraremos el teorema de Liouville. Por últ

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>

<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<center><math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math></center>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=100; %Número de puntos para la aproximación del
Nr=30; Nt=60; %Número de puntos para el graficado
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio
g=@(t)(max(0,1-2/pi*abs(t-pi))); %Condición frontera
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Expresión de la solución por la fórmula de Poisson
rr=linspace(0,0.95,Nr); %Vector de puntos para evaluar en coordenada radial
tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vector de puntos para evaluar en coordenada angular
U=zeros(length(rr),length(tt)); %Inicialización de la matriz de evaluación
for i=1:length(rr)
for j=1:length(tt)
U(i,j)=u(rr(i),tt(j)); %Evaluación de la solución por fórmula de Poisson para cada punto
end
end
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Formación de la malla de puntos
X=RR.*cos(TT); %Cambio a cartesianas
Y=RR.*sin(TT);
mesh(X,Y,U')
colormap turbo %Graficado de la función
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
}}
 
 

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')

}}
 
 

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente
[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrapV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos

hold on
plot(log10(listaNpuntos),log10(errcota(0.9,listaNpuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex')
}}
 
 

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFronteraV2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
errcota=@(r,n)((20*pi^3.*(1-r.^2))./(2*pi*3.*n.^2.*(r-1).^6));
%Cota de error de la fórmula del trapecio
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
hold on
plot(-[log10(nn)],log10(errcota(1-nn,Npuntos)),'r')
hold off
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')
legend('Error calculado','Cota del error','Interpreter','latex','Location','northwest')
}}
 
 
==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan <math>\mathcal{V}_{1}</math> en escala logarítmica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnack.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
M=-1/2; N=100; %Definición del valor máximo y del número de puntos
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t)); %Definición de la solución
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M; %Definición de v:=u-M
vmax=@(r) v(0,0)*(1+r)./(1-r); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
vmin=@(r) v(0,0)*(1-r)./(1+r); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las funciones
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmax(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold on
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmin(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('Cota con $R=1$','Location','Northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

<math>\textbf{Insertar imagen no movida}</math>

Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

<math>\textbf{Insertar imagen movida}</math>

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

=Ecuación de Poisson en <math>\textbf{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}<math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T19:03:18Z

Carlos Gómez: /* Preliminares */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos la fórmula de Poisson a partir de varios ejemplos de problemas de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet. Analizaremos cuáles son sus limitaciones y los problemas que surgen al intentar solventarlos mediante métodos numéricos. Además, trataremos de entender en profundidad el significado de la desigualdad de Harnack tanto analíticamente como gráficamente. Como consecuencia demostraremos el teorema de Liouville. Por últ

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>

<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=100; %Número de puntos para la aproximación del
Nr=30; Nt=60; %Número de puntos para el graficado
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio
g=@(t)(max(0,1-2/pi*abs(t-pi))); %Condición frontera
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Expresión de la solución por la fórmula de Poisson
rr=linspace(0,0.95,Nr); %Vector de puntos para evaluar en coordenada radial
tt=linspace(0,2*pi,Nt); %Vector de puntos para evaluar en coordenada angular
U=zeros(length(rr),length(tt)); %Inicialización de la matriz de evaluación
for i=1:length(rr)
for j=1:length(tt)
U(i,j)=u(rr(i),tt(j)); %Evaluación de la solución por fórmula de Poisson para cada punto
end
end
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt); %Formación de la malla de puntos
X=RR.*cos(TT); %Cambio a cartesianas
Y=RR.*sin(TT);
mesh(X,Y,U')
colormap turbo %Graficado de la función
xlabel('$x_1$','Interpreter','latex')
ylabel('$x_2$','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
listaNpuntos=10.^[1:8]; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
err=zeros(1,length(listaNpuntos)); %Inicialización del vector error (con logaritmo)
for i=1:length(listaNpuntos)
Npuntos=listaNpuntos(i); %Fijamos el número de puntos de la discretización a la componente i-ésima del vector listaNpuntos
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
err(i)=log10(abs(uexacta(0.9,pi/4)-u(0.9,pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(log10(listaNpuntos),err,'b') %Gráfico del error en función del número de puntos
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(error(10^n))$','Interpreter','latex')
}}
 
 

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
Npuntos=1000; %Número de puntos de la discretización para aproximar la integral por la regla del trapecio
tint=linspace(0,2*pi,Npuntos); %Partición del intervalo [0,2pi] con Npuntos puntos para la aproximación de la integral
uexacta=@(r,t)(sin(t).*cos(t).*r.^2); %Solución exacta del problema (en polares)
g=@(t)(cos(t).*sin(t)); %Condición frontera del problema (en polares)
u=@(r,t)((1-r^2)/(2*pi)*trapz(tint,g(tint)./(r^2+1-2*r*cos(tint-t))));
%Función u solución del problema calculada con la fórmula de Poisson
nn=10.^-[2:8]; %Vector de lo que le vamos a restar a 1 para ir acercandonos a la frontera
err=zeros(1,length(nn)); %Inicialización del vector de error
for i=1:length(nn)
err(i)=log10(abs(uexacta(1-nn(i),pi/4)-u(1-nn(i),pi/4)));
%Cálculo del logaritmo del error puntual en valor absoluto
end
plot(-[log10(nn)],err,'b') %Gráfico del error en función de n con x=1-nn
xlabel('$n$','Interpreter','latex')
ylabel('$\log_{10}(errorpunt(1-10^{-n}))$','Interpreter','latex')

}}
 
 

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente

==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan <math>\mathcal{V}_{1}</math> en escala logarítmica.
[[Archivo:CGomJRod LaplaceHarnack.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
M=-1/2; N=100; %Definición del valor máximo y del número de puntos
u=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t)); %Definición de la solución
v=@(r,t)(r.^2)*(cos(t).*sin(t))-M; %Definición de v:=u-M
vmax=@(r) v(0,0)*(1+r)./(1-r); %Función cota superior de la desigualdad de Harnack
vmin=@(r) v(0,0)*(1-r)./(1+r); %Función cota inferior de la desigualdad de Harnack
%Graficado de las funciones
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmax(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold on
plot(linspace(0,0.99,N),log(vmin(linspace(0,0.99,N))),'b')
hold off
xlabel('$r$','Interpreter','latex')
legend('Cota con $R=1$','Location','Northwest','Interpreter','latex')
}}
 
 
<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

<math>\textbf{Insertar imagen no movida}</math>

Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

<math>\textbf{Insertar imagen movida}</math>

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

=Ecuación de Poisson en <math>\textbf{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}<math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:53:59Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:48:19Z

Carlos Gómez: /* Ecuación de Poisson en \textbf{R}^2 */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>
<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada.

<math>\textbf{Insertar imagen. ¿Enseñamos una única gráfica o ponemos dos para ver cómo aumenta el error según nos acercamos a la frontera?}</math>
<math>\textbf{Yo pondría una porque el error en la frontera se va a estudiar con más detenimiento en las secciones siguientes. Eso sí pondría una donde la cosa fuera rara en la frontera a posta, poniendo pocos puntos en el trapecio, vaya}</math>

Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:

<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

\textbf{meter gráfica}

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

<math>\textbf{METER GRÁFICA}</math>

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente

==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan $\mathcal{V}_{1}$ en escala logarítmica.

<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

<math>\textbf{Insertar imagen no movida}</math>

Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

<math>\textbf{Insertar imagen movida}</math>

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

=Ecuación de Poisson en <math>\textbf{R}^2</math>=

Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente <math>\mathbb{R}^{2}</math>. Planteemos por tanto el siguiente problema
<center><math>\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión <math>2</math> la solución fundamental tiene la expresión <math>\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)</math>, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logarítmico:
<center><math>u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy</math></center>
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en <math>\mathbb{R}^2</math>, supongamos el siguiente problema
<center><math>\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}</math></center>
donde <math>1_{B_{1}}<math> es la función característica en <math>B_{1}</math>, es decir, la función que vale <math>1</math> en <math>x\in \mathbb{B}_{1}</math> y <math>0</math> en <math>x\notin B_{1}</math>. De manera que la solución vendrá dada por
<center><math>u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy</math></center>
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
<center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <math>\textbf{Referenciar libro del pavo este}</math> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
<center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:41:58Z

Carlos Gómez:

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>
<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada.

<math>\textbf{Insertar imagen. ¿Enseñamos una única gráfica o ponemos dos para ver cómo aumenta el error según nos acercamos a la frontera?}</math>
<math>\textbf{Yo pondría una porque el error en la frontera se va a estudiar con más detenimiento en las secciones siguientes. Eso sí pondría una donde la cosa fuera rara en la frontera a posta, poniendo pocos puntos en el trapecio, vaya}</math>

Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:

<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

\textbf{meter gráfica}

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

<math>\textbf{METER GRÁFICA}</math>

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente

==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan $\mathcal{V}_{1}$ en escala logarítmica.

<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

<math>\textbf{Insertar imagen no movida}</math>

Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

<math>\textbf{Insertar imagen movida}</math>

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.

=Ecuación de Poisson en <math>\textbf{R}^2</math>=
\section{Ecuación de Poisson en R2}
Hasta ahora, siempre se ha estudiado el problema de Laplace en regiones acotadas. A diferencia de las secciones anteriores, ahora se estudiará el caso en un dominio no acotado, concretamente $\mathbb{R}^{2}$. Planteemos por tanto el siguiente problema
$$\Delta u = f, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}$$
Cuya solución viene dada por la convolución con la solución fundamental. En dimensión $2$ la solución fundamental tiene la expresión $\Phi(x)=-\frac{1}{2\pi}\log(\left| x \right|)$, por lo que concluimos que la solución del problema viene dado por el llamado potencial logaritmico:
$$u(x)=\int_{\mathbb{R}^2}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)f(y)dy$$
Pongamos ahora un ejemplo para ver la apariencia de las soluciones en $\mathbb{R}^2$, supongamos el siguiente problema
$$\Delta u = 1_{B_{1}}, \hspace{10px} x \in \mathbb{R}^{2}$$
donde $1_{B_{1}}$ es la función característica en $B_{1}$, es decir, la función que vale $1$ en $x\in \mathbb{B}_{1}$ y $0$ en $x\notin B_{1}$. De manera que la solución vendrá dada por
$$u(x)=\int_{B_{1}}-\frac{1}{2\pi}\log(\lvert x-y\rvert)dy$$
Haciendo un cambio a coordenadas polares resultaría en la integral
$$\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta$$
Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función $f$, que dicta que en $B_{1}(0)$, $\Delta u=1$. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de $B_{1}(0)$. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que $\Delta u=0$, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.

Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando $\lvert x\rvert\to\infty$. Por teoría se tiene \textbf{Referenciar libro del pavo este} que cuando $\lvert x\rvert\to\infty$, la solución del problema se comporta de manera que
$$u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)$$
donde $M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi$. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logaritmico en función de $r$ y para un $\theta=0$ fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
{{ referencias }}
[[Categoría:Grado en Matemáticas]]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:36:59Z

Carlos Gómez: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>
<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

Lo primero que hay que estudiar una vez llegamos a un resultado es su ámbito de aplicación. Por ejemplo, debemos cuestionarnos si las hipótesis planteadas son más fuertes de las necesarias. En caso afirmativo implicaría que la conclusión es en realidad más general y la podemos aplicar en más casos. Otra vía de estudio es, dicho de manera informal, cómo de buena es nuestra solución. Un ejemplo sencillo de esto podría ser el teorema de la convergencia de las series de Fourier. Este nos dice que la aproximación en serie de Fourier converge puntualmente allí donde la función a aproximar es continua y al punto medio en las discontinuidades <math>\textbf{¿Ponemos las hipotesis y conclusiones restantes en una nota o algo? (No hay pie de página en matewiki)¿Link a nuestro trabajo?}.</math> Además, en caso de ser periódica y continua la serie converge uniformemente. Por tanto, nos clasifica cómo de buena es la aproximación, es decir nuestra solución, en diferentes situaciones en las que las hipótesis previas se verifican.

Veamos entonces cómo de buena es la fórmula de Poisson que presentamos en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>. A la vista de sus hipótesis y conclusiones, se podría pensar que al haber obtenido una fórmula explicita que podemos aplicar en cualquier caso, el problema en la bola quedaría totalmente resuelto. Sin embargo, esta presenta algunos inconvenientes que se analizarán en las secciones posteriores. Como bien dice el teorema, la solución calculada por esta vía es <math>\mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math>. Sin embargo, salta a la vista que aunque la fórmula efectivamente nos da una solución con la regularidad que buscamos, en muchos casos es muy difícil resolver la integral. Por ello, en la práctica recurrimos a aproximaciones mediante métodos numéricos. Es aquí donde aparece una limitación de la fórmula de Poisson y que estudiaremos en esta sección. <math>\textbf{aquí un espacio gordo}</math> Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= g , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>

Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada.

<math>\textbf{Insertar imagen. ¿Enseñamos una única gráfica o ponemos dos para ver cómo aumenta el error según nos acercamos a la frontera?}</math>
<math>\textbf{Yo pondría una porque el error en la frontera se va a estudiar con más detenimiento en las secciones siguientes. Eso sí pondría una donde la cosa fuera rara en la frontera a posta, poniendo pocos puntos en el trapecio, vaya}</math>

Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:

<math>\textbf{Insertar código}</math>

En la gráfica se aprecia cómo la aproximación es cada vez peor según nos acercamos a la frontera. La razón de esto se encuentra en que el integrando tiene una singularidad en la frontera de la bola unidad. Como se puede ver, esto provoca que la solución obtenida numéricamente diverja según se acerca a la frontera. Por lo que los problemas que aparecen en la integral exacta únicamente en la frontera, al hacer una aproximación numérica los encontramos también en el interior. Una forma de mitigar este problema es haciendo la malla más fina, sin embargo esto no evita que eventualmente la solución termine divergiendo, aspecto que se estudiará a continuación. En conclusión, en muchos casos no tenemos más remedio que usar estas aproximaciones y debemos imponer directamente la condición frontera en la solución.

Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.

<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>

Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en <math>\texbf{LINK Preeliminares}</math> esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.

\textbf{meter gráfica}

Podemos ver cómo el error se comporta como es de esperar. Para un punto lejano a la frontera basta aproximar la integral con <math>10^{-3}</math> puntos para que la aproximación sea prácticamente exacta. Por lo que para puntos no muy cercanos a la frontera, como hemos mencionado, basta aumentar el número de puntos involucrados en la fórmula del trapecio.

Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.

<math>\textbf{METER GRÁFICA}</math>

Se puede observar también que según nos vamos acercando a la frontera los errores son cada vez mayores, como ya adelantamos.

Por otro lado, como hemos visto en <math>\textbf{LINK PREELIMINARES}</math>, podemos estimar el error cometido pues conocemos la fórmula del error en el método del trapecio. Calculemos dicha cota.

Particularizando la fórmula de Poisson para este problema tenemos que :

<center><math>u(\vec{x}_{0})=\frac{1-|\vec{x}_{0}|^2}{\omega_n}\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}_{0}-\sigma|^2} d\sigma</math></center>

Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>

Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio <math>\textbf{LINK}.</math> Obteniendo
<center><math>Error=\frac{(2\pi)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>

Para algún <math>\xi \in (0,2\pi)</math>.
Ahora, derivando tenemos que

<center><math>|f^{''}(\theta)|=\left|\frac{4r_0^2\sin(\theta-\theta_0)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^3}+\frac{2\sin(2\theta)}{r_0^2-\cos(\theta-\theta_0)r_0+1}-\frac{r_0\cos(\theta-\theta_0)\sin2\theta}{r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}+\frac{4r_0\sin(\theta-\theta_0)\cos(2\theta)}{(r_0^2-2\cos(\theta-\theta_0)r_0+1)^2}\right|</math></center>
<center><math>\leq\left| \frac{4 r_0^2}{(r_0^2-2r_0+1)^3}\right| +\left|\frac{2}{r_0^2-2r_0+1}\right| +\left|\frac{r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2}\right| +\left|\frac{4r_0}{(r_0^2-2r_0+1)^2} \right|
</math></center> <center><math>\leq \frac{4r_0^2}{(r_0-1)^6} +\frac{2}{(r_0-1)^2}+\frac{r_o}{(r_0-1)^4}+\frac{4r_o}{(r_0-1)^4} \leq \frac{2+r_0+2r_0^2-3r_0^3+2r_0^4}{(r_0-1)^6}\leq \frac{10}{(r_0-1)^6}</math></center>

Finalmente, podemos acotar el error total multiplicando por la constante que falta:
<center><math>Error_t\leq\frac{20\pi^3(1-r_0^2)}{3 n^2\omega_n(r_0-1)^6}</math></center>

Podemos emplear esta cota en los errores calculados anteriormente

==Solución por serie de Fourier==
Una vez mostrados los errores que conlleva el uso de la fórmula de Poisson sobre todo en la frontera del dominio, calcularemos la solución del problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_1(0) \\
u &= xy , & x &\in \partial B_1(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
esta vez sin usar la fórmula. La manera de calcularla ahora será mediante la serie de Fourier. Como se ve en <math>\textbf{PREELIMINARES}</math>, la solución de este problema en polares viene dado por la expresión
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
donde <math>a_{0},\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty},\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}</math> son los coeficientes de Fourier de la función <math>\mathcal{G}(\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math>, que es la condición frontera en coordenadas polares. En este caso se puede ver fácilmente que si la expresión en serie de Fourier de <math>\mathcal{G}</math> es
<center><math>\mathcal{G}(\theta)=a_{0}\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k}\sin(k\theta)+b_{k}\cos(k\theta)\right]</math></center>
por unicidad de los coeficientes, se tendría que <math>a_{0}=0,\lbrace a_{k}\rbrace_{k=1}^{\infty}=0,\lbrace b_{k}\rbrace_{k=1,k\neq 2}^{\infty}=0, a_{2}=\frac{1}{2}</math>. Por tanto, se tiene de manera exacta que la solución del problema en polares es
<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math></center>
Nótese cómo la solución ahora no tiene ningún problema en la frontera del dominio, en contrapartida con la dada por la fórmula de Poisson.
==Interpretación desigualdad de Harnack==

Como se adeltantó en <math>\textbf{Introducción}</math>uno de los objetivos del trabajo era darle una interpretación a la desigualdad de Harnack. Además, obtendremos como cosecuencia inmediata el teorema de Liouville. Para hacerlo, estudiaremos esta desigualdad en el ejemplo anterior.

En primer lugar, hay que recordar que Harnack es cierta si <math>u\geq 0</math>. Es fácil comprobar que la solución que hemos obtenido no verifica esto, <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}<0</math>. Sin embargo, lo que podemos hacer es hallar el mínimo de la función y trasladarla de forma que la función obtenida es positiva. Nótese que al estar trabajando en un compacto y con una función continua siempre va a existir dicho mínimo. Vamos a hallarlo:

Recordemos que en el ejemplo anterior, habíamos visto que <math>u(x,y)=xy</math> era la solución al problema, por lo que es una función armónica. Por el principio del máximo en funciones armónicas <math>\textbf{Preeliminares}</math>, el máximo en <math>B_1(0)</math>debe estar en su frontera. Por tanto basta escribir la función en coordenadas polares <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math> y buscar los extremos en <math>\partial B_1(0)</math>. Derivando:

<center><math>\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\theta}(r,\theta)=\cos(2\theta)</math></center>

Tomando <math>\theta\in [0,2\pi)</math> vemos que hay un mínimo en <math>\theta =\frac{3\pi}{4}</math> donde <math>\mathcal{U}(1,\frac{3\pi}{4})=-\frac{1}{2}</math>. Así, podemos definir la siguiente función
<center><math>\mathcal{V}_{1}:=u+\frac{1}{2}</math></center>

Como mencionamos, esta función es la trasladada de forma que <math>\mathcal{V}_{1}</math> es positiva, por lo que sí podemos aplicar Harnack en el punto <math>(0)</math>:

<center><math>\frac{1-r}{1+r} \mathcal{V}_1(0) \leq \mathcal{V}_1(x) \leq \frac{1+r}{1-r} \mathcal{V}_1(0)</math></center>

A continuación se muestra la gráfica en la que se pueden ver las funciones que acotan $\mathcal{V}_{1}$ en escala logarítmica.

<math>\textbf{Insertar Gráfica}<math>

Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.

Una vez entendido esto, podemos dar un paso más. Veamos qué pasa si hacemos el radio de la bola compacta más grande. Tomemos por ejemplo <math>B_{2}(0)</math> y <math>B_{10}(0)</math>. Al igual que antes debemos trasladar la función para que sea positiva; hallando su mínimo que estará en las fronteras de cada caso. Como la función es la misma que antes el cálculo del mínimo es igual, se encuentra en <math>\frac{3\pi}{4}</math>. Sin embargo, recordemos que <math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)</math>, por lo que dicho valor disminuirá según el radio. Concretamente, <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -2</math> y <math>\mathcal{U}(r,\theta)= -50</math> respectivamente. Ahora, podemos definir las funciones a las que aplicaremos Harnack:

<center><math>\mathcal{V}_2:=\mathcal{U}+2</math></center>
<center><math>\mathcal{V}_3:=\mathcal{U}+50</math></center>

Las cotas en estos dos casos quedarán:

<center><math>\frac{2-r}{2+r} \mathcal{V}_2(0) \leq \mathcal{V}_2(x) \leq \frac{2+r}{2-r} \mathcal{V}_2(0)</math></center>

<center><math>\frac{10-r}{10+r} \mathcal{V}_3(0) \leq \mathcal{V}_3(x) \leq \frac{10+r}{10-r} \mathcal{V}_3(0) </math></center>
donde la primera corresponde a <math>B_2(0)</math> y la segunda a <math>B_{10}(0)</math>. A continuación se muestran las funciones "límite" en los tres casos:

<math>\textbf{Insertar imagen no movida}</math>

Para poder ver mejor su comportamiento vamos a desplazar las gráficas de tal manera que quedan de la siguiente forma:

<math>\textbf{Insertar imagen movida}</math>

Es fácil apreciar que según tomamos bolas de radio más grande el área que encierran las funciones límite se va haciendo más pequeña. Esto nos puede dar la idea de que si tomamos el límite <math>R \to \infty</math> el área se hará tan pequeña que tendremos la función completamente determinada. Es más, viendo el comportamiento de la gráfica es razonable suponer que dicha función sería una constante. Para ver esto podemos tomar el límite <math>R \to \infty</math> a ambos lados de la expresión. Sabemos que
<center><math>\frac{R-r}{R+r} \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \frac{R+r}{R-r} \mathcal{V}(0) </math></center>

Tomando límites $R \to \infty$ a los dos lados :
<center><math> \mathcal{V}(0) \leq \mathcal{V}(x) \leq \mathcal{V}(0) \Rightarrow \mathcal{V}(x)=\mathcal{V}(0) </math></center>

Como intuíamos llegamos a que la función <math>\mathcal{V}(x)</math> es constante y por tanto <math>\mathcal{U}(x)</math> también. Este es un resultado famoso que se conoce como teorema de Liouville.

<math>\textbf{Teorema de Liouville}:</math> Sea <math>u</math> una función acotada y armónica en <math>\mathbb{R}^n</math> entonces <math>u</math> es constante.
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Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:07:16Z

Carlos Gómez:

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>
<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>

=Limitaciones de la fórmula de Poisson=

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Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T18:06:19Z

Carlos Gómez: /* Preliminares */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma:
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= f, & x &\in \Omega \\
u &= g, & x &\in \partial \Omega
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:

*Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math>

*Condiciones Robin: <math> u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega</math>

*Condiciones Mixtas: <math>
\left\{
\begin{aligned}
u &= g, & x &\in \Gamma \\
\partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma
\end{aligned}
\right.
</math>

De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.

<math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema
<math>
\left\{
\begin{aligned}
\Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\
u &= g, & x &\in \partial B_R(0)
\end{aligned}
\right.
</math>
donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson:

<center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center>

donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:

<center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center>
<math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.

<math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>.

<math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:

<center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center>

Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".

<math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces.

<math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math>

Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

<center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center>
donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math>
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Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T17:30:37Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=

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Ecuación de Laplace (CGomJRod)

2024-04-19T17:29:41Z

Carlos Gómez: /* Introducción */

{{ TrabajoED |Ecuación de Laplace. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla }}
=Introducción=
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.

Por último trataremos la ecuación de Poisson en </math>\mathbb{R}^2</math>.

=Preliminares=

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