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Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-04T11:52:12Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial \vec{V} */

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 55 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Carlos De Hita Sánchez, Hicham Ouald Omar Alouat, Naoual Roubio Darkaoui, Khadija Mrauti El Hachadi, David Gómez Matarranz }}
[[Categoría:TC25/26]]
'''INTRODUCCION'''

El efecto de Ekman constituye uno de los mecanismos fundamentales para comprender cómo el viento y la rotación terrestre influyen en la circulación oceánica. Descubierto a comienzos del siglo XX por Vagn Walfrid Ekman, este fenómeno describe cómo la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis genera una desviación progresiva en la dirección de las corrientes marinas. El resultado es la formación de la espiral de Ekman, una estructura tridimensional en la que cada capa de agua se mueve en un ángulo distinto respecto a la anterior, con una intensidad que disminuye con la profundidad.

Este proceso no solo explica la orientación del flujo superficial respecto al viento, sino que también determina el transporte de Ekman, un movimiento neto de agua perpendicular al viento que desempeña un papel crucial en la dinámica oceánica. Dicho transporte es responsable de fenómenos como la surgencia costera, el enriquecimiento de nutrientes y la regulación térmica en numerosos sistemas marinos. Comprender estos mecanismos resulta esencial para analizar la circulación en regiones como el archipiélago canario, donde las condiciones atmosféricas y oceánicas favorecen la manifestación clara del efecto de Ekman.

[[Archivo:espiraldavid1.png|300px|thumb|left|Espiral de Ekman 3D]]
[[Archivo:espiralhorizontal2.png|300px|thumb|left|Proyección horizontal: espiral logarítmica]]

'''Ecuaciones del flujo y soluciones'''

El campo de velocidad horizontal del agua es <math>\vec{V} = u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}</math>, donde <math>\vec{i}</math> apunta al este, <math>\vec{j}</math> al norte, y <math>z</math> es la profundidad (con <math>z \leq 0</math>, siendo <math>z = 0</math> la superficie). Las componentes <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> satisfacen las ecuaciones de Ekman:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d^2u}{dz^2} = -\frac{f}{\nu_e} v, \quad \frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\nu_e} u</math>
</div>

donde:
<ul>
<li><math>f = 2\Omega \sin \phi</math> es el parámetro de Coriolis, con <math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}</math> la velocidad angular terrestre y <math>\phi</math> la latitud;</li>
<li><math>\nu_e</math> es la viscosidad turbulenta (eddy viscosity), que representa el efecto de la turbulencia al mezclar las capas del fluido.</li>
</ul>

La solución de estas ecuaciones diferenciales es:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),
\end{aligned}</math>
</div>

donde:
<ul>
<li><math>V_0</math> es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento;</li>
<li><math>d_E = \sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}}</math> es la profundidad de Ekman (escala de penetración);</li>
<li><math>\vartheta</math> es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;</li>
<li><math>\operatorname{sgn}</math> es la función signo</li>
</ul>

<math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0,
\end{cases}</math>

que determina un signo diferente según el hemisferio.

'''Parámetros del modelo'''

Para los calculos consideraremos una localidad al largo de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas <math>30^\circ 10' 24.2'' \, \text{N}, \; 15^\circ 30' 26.5'' \, \text{W}</math>, y los parámetros:

<ul>
<li>Viscosidad turbulenta: <math>\nu_e = 0.05 \, \text{m}^2/\text{s}</math>;</li>
<li>Viento: sopla de norte a sur con velocidad <math>12 \, \text{m/s}</math>;</li>
<li>Velocidad superficial inducida: <math>V_0 = 0.15 \, \text{m/s}</math>;</li>
<li>Fase inicial: el flujo superficial está desviado aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento en el hemisferio norte.</li>
</ul>

== Parámetro de Coriolis ''f'' ==

El parámetro de Coriolis es una medida de la intensidad de la fuerza de Coriolis sobre un objeto en movimiento debido a la rotación de la Tierra:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math>
</div>

donde:

<p>
*<math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \ \text{rad/s}</math> (velocidad angular terrestre)<br>

*<math>\phi</math> es la latitud
</p>

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>\phi : 30^\circ\;10' \;24.2''\; \mathrm{N}</math>

<math>10' = \frac{10}{60} = 0.1667^\circ</math>

<math>24.2'' = \frac{24.2}{3600} \approx 0.00672^\circ</math>

<math>\phi = 30 + 0.1667 + 0.00672 = 30.17342^\circ\ \mathrm{N}</math>

<math>f = 2\Omega \sin \phi</math>
<math>f = 2 \times (7.2921 \times 10^{-5}) \times \sin(30.17342^\circ) \approx 7.33 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}^{-1}</math>
</div>

=== Lugares en la tierra donde ''f'' es positivo, negativo o nulo ===
Depende de la latitud:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi</math>, donde:
<math>
\begin{aligned}
\phi > 0 &\Rightarrow f > 0 \quad \text{(Hemisferio norte)} \\
\phi = 0 &\Rightarrow f = 0 \quad \text{(Ecuador)} \\
\phi < 0 &\Rightarrow f < 0 \quad \text{(Hemisferio sur)}
\end{aligned}
</math>
</div>

=== Profundidad de Ekman \(d_E\) ===

La '''profundidad de Ekman''' es el espesor de la capa superficial de océano donde el efecto de la fuerza de Coriolis y la fricción por el viento influyen significativamente en el movimiento del agua:

<div style="text-align: center;">
<math>d_E = \sqrt{\frac{2v_e}{f}}</math>
</div>

donde:
*\(v_e\) es la viscosidad turbulenta
*''f'' es el parámetro de Coriolis

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>
d_E = \sqrt{\frac{2 \times 0.05 \ \text{m}^2/\text{s}}{7.33 \times 10^{-5} \ \text{s}^{-1}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.0000733}} = \sqrt{1364.26} \approx 36.94 \ \text{m}
</math>
</div>

=== Implicaciones para la Espiral de Ekman en diferentes latitudes ===

'''Hemisferio norte''': la dirección del flujo de Ekman se desvía a la derecha de la dirección del viento con la profundidad (visto desde arriba). En superficie, la corriente forma 45º a la derecha del viento en el caso teórico clásico con \(v_e\) cte.

'''Hemisferio sur''': la desviación es hacia a la izquierda del viento.

'''Cerca del ecuador''': la profundidad de Ekman \(d_E\)→<math>\infty</math> según la fórmula, lo cual significa que la capa de Ekman se hace muy gruesa y la variación vertical es más lenta. El transporte de Ekman aún existe si se usa teoría más general (''f'' variable), pero la espiral clásica (''f'' constante) deja de aplicarse, y la fuerza de Coriolis es débil.
Además:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan(\theta) = \frac{\text{componente transversal}}{\text{componente longitudinal}} = 1, \quad \text{para } \theta = 45^\circ</math>
</div>

en el modelo clásico. Esto es independiente de ''f'' en magnitud, pero el sentido de giro con la profundidad sí depende del signo de ''f''.

== Resolucion de <math>\vartheta</math>==

El valor de <math>\vartheta</math> es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas ''30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W'', asumiendo una viscosidad turbulenta de ''0.05 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''12 m/s'' que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente ''0.15 m/s'' y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:
* <math>z = 0</math>.
* <math>\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) </math>.
* <math>f > 0</math> ya que estamos en el norte, y por lo tanto <math>sgn(f) = 1</math>.

Resolviendo nos queda:

<math>
\frac{v(z)}{u(z)} =
\frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \sin(\vartheta)}
{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \cos(\vartheta)}
= \tan(\vartheta) = 1
\Rightarrow
</math>

<math>
\Rightarrow
\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>

Como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es:

<center>
<math>\frac{3\pi}{4}</math>
</center>

== Verificación de las soluciones de Ekman ==
Con el fin de confirmar que las expresiones analíticas propuestas para las componentes horizontales de la velocidad <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> constituyen efectivamente una solución del sistema de Ekman en régimen estacionario, se procede a derivar cada función dos veces con respecto a la coordenada vertical <math>𝑧</math> y a comprobar que satisfacen las ecuaciones diferenciales.

Para la componente <math>u(z)</math> :
<center>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Finalmente se obtiene :
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2}= -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>
</center>

Lo que confirma que <math>u(z)</math> cumple su ecuación correspondiente.

Un procedimiento análogo aplicado a <math>v(z)</math>
<center>
<math>v(z)=V_0 \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

</center><br/>
conduce a

<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>

</center>

En consecuencia, la pareja <math> (u(z), v(z))</math> constituye una solución válida del problema de Ekman y reproduce el acoplamiento dinámico entre ambas componentes horizontales impuesto por la fuerza de Coriolis y la fricción turbulenta vertical.

== Campo vectorial <math>\vec{v}</math> ==
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-01 160143.png|520px|thumb|]]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial V evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧)(a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

{{matlab|codigo=%% Apartado 4

clc;close all;clear;
omega = 7.2921*(10)^-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Visualización tridimensional de la espiral de Ekman==
[[Archivo:Espiral_Ekman_3D.png.png|miniaturadeimagen|Representación tridimensional de los vectores <math>\vec V(z)</math> evaluados en <math>(0,0,z)</math> para <math>z \in [0,3d_E]</math>. La curva roja une las puntas de los vectores y forma la espiral de Ekman.]]
'''5.1. Vectores de velocidad a lo largo del eje vertical'''

El campo de velocidad horizontal del agua viene dado por

<math>\vec V(z) = u(z)\,\vec i + v(z)\,\vec j,</math>

donde las soluciones de las ecuaciones de Ekman (obtenidas en el apartado 3) son

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0\, e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
\qquad
v(z) = V_0\, e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
</math>

siendo:

* <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math> la velocidad superficial inducida por el viento (dato del modelo);
* <math>d_E</math> la profundidad de Ekman calculada en el apartado (1);
* <math>\vartheta</math> la fase inicial encontrada en el apartado (2);
* <math>\operatorname{sgn}(f)=1</math> porque <math>f>0</math> en el hemisferio norte.

Para visualizar la espiral tridimensional seguimos exactamente lo que indica el enunciado. Consideramos puntos del eje vertical <math>(0,0,z)</math> con

<math>z \in [0,-3d_E].</math>

Tomamos entre 30 y 40 puntos igualmente espaciados (por ejemplo, <math>N=40</math>). En cada profundidad <math>z</math> calculamos <math>\vec V(z)</math> y dibujamos un vector con origen en <math>(0,0,z)</math> y punta en <math>(u(z),v(z),z)</math>. Las puntas de todos esos vectores describen una curva en el espacio tridimensional: la espiral de Ekman.

'''5.2. Código de MATLAB para la visualización 3D
'''

El siguiente script de MATLAB implementa la construcción descrita anteriormente, utilizando los valores de <math>f</math>, <math>d_E</math> y <math>\vartheta</math> calculados en los apartados (1) y (2). Se generan entre 30 y 40 vectores de velocidad a lo largo de la columna de agua y se representa la espiral de Ekman en tres dimensiones.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos conocidos de los apartados (1) y (2)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida [m/s]
f = 7.3e-5; % Parámetro de Coriolis [1/s] (valor hallado en (1))
nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman (calculada en (1))
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ (hallada en (2))

%% Discretización de la profundidad física: prof ∈ [0, 3 dE]
N = 40; % 30–40 puntos
prof = linspace(0, 3*dE, N); % prof ≥ 0, 0 = superficie

%% z del MODELO (negativo), tal como se definió en el enunciado
z_model = -prof; % z ≤ 0

%% Cálculo de u(z) y v(z) usando z_model
sgnf = sign(f); % = 1 en nuestro caso (hemisferio norte)

u = sgnf * V0 .* exp(z_model/dE) .* cos(z_model/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z_model/dE) .* sin(z_model/dE + theta0);

%% Representación 3D de los vectores V(z)
figure;

% Vectores con origen en (0,0,prof) y punta en (u,v,prof)
h = quiver3( zeros(size(prof)), zeros(size(prof)), prof, ...
u, v, zeros(size(prof)), ...
'LineWidth', 1.5 );
set(h,'AutoScale','on','AutoScaleFactor',5); % Agranda las flechas para verlas bien

hold on;

% Curva que une las puntas de los vectores: la espiral de Ekman
plot3(u, v, prof, '--k', 'LineWidth', 1);

xlabel('Componente este u(z) [m/s]');
ylabel('Componente norte v(z) [m/s]');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Espiral de Ekman en 3D (vectores V evaluados en (0,0,z))');

grid on;
set(gca, 'ZDir','reverse'); % Profundidad positiva hacia abajo
view(45, 25); % Vista tridimensional agradable
% No usamos axis equal para que las flechas no queden aplastadas

hold off;
</syntaxhighlight>

'''5.3. Interpretación del resultado numérico
'''

La figura obtenida con el código anterior muestra la espiral de Ekman correspondiente a los parámetros del modelo. En la superficie (<math>z = 0</math>) el vector de velocidad tiene módulo <math>V_0 = 0{,}15\,\text{m/s}</math> y dirección fijada por la fase <math>\vartheta</math>, desviada aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento, tal como se dedujo en el apartado (2).

A medida que aumenta la profundidad (valores crecientes de la variable <math>\text{prof}</math>):

* la **dirección** de los vectores va rotando debido al efecto de Coriolis, describiendo una espiral;
* la **magnitud** de la velocidad decrece exponencialmente con el término <math>e^{z/d_E}</math>, por lo que los vectores se hacen cada vez más cortos.

La curva que une las puntas de los vectores <math>(u(z),v(z),z)</math> representa así la estructura tridimensional de la espiral de Ekman, y muestra cómo la influencia directa del viento se concentra en la capa superior de espesor del orden de la profundidad de Ekman <math>d_E</math>, desapareciendo progresivamente a mayor profundidad.

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante señalar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La justificación matemática es sencilla, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math>, y todos sus vectores se orientan de forma paralela al plano generado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto implica que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, ya que la componente <math>\vec{v}_z</math> es, de por sí, nula.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la causa de esta divergencia cero. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis.
En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

== El transporte de Ekman ==

El transporte de Ekman se define formalmente como la integral vertical de las velocidades de Ekman a lo largo de toda la columna de agua afectada por el viento, desde la superficie hasta una profundidad donde el efecto del viento se vuelve despreciable. Esta definición de integral representa el flujo neto de masa de agua que resulta de la espiral de Ekman, y es fundamental para comprender la circulación oceánica a gran escala.

El transporte de Ekman se obtiene integrando verticalmente la velocidad inducida por el viento (debido al efecto Coriolis y viscosidad) desde la superficie hasta donde el movimiento se vuelve despreciable. La expresión más común es:
<center>
<math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>
</center>

===Validez de la condición de contorno [math] z=−∞ [/math]===
La elección de <math> z=−∞ </math> como límite inferior de integración es válida en el modelo de Ekman porque representa un océano de profundidad infinita. Esta suposición es válida por las siguientes razones:

'''*Decaimiento exponencial de las velocidades''':

Las soluciones de Ekman para las componentes de velocidad tienen la forma: <math>
\vec{u(z)} \sim e^{z/d_E}\,.\bigl(\text{funciones trigonométricas}\bigr)
</math>

Dado que <math>z<0 </math> bajo la superficie, cuando <math> z<< -d </math> (profundidades mucho mayores que la capa de Ekman), el término exponencial <math> e^{z/d_E} \;\longrightarrow\; 0 </math>

'''* Condición física:'''

En profundidades suficientemente grandes, el efecto del viento superficial se desvanece completamente. La fricción entre capas de agua disminuye progresivamente con la profundidad, y eventualmente el movimiento inducido por el viento cesa. Por tanto, establecer <math> z=−∞ </math> asegura que <math>\lim_{z\to -\infty} \vec{u}_E(z) = \vec{0}</math> lo cual es físicamente consistente con un fondo marino "infinitamente profundo".

=== Cálculo analítico de la integral===

Para calcular <math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>, partimos de las ecuaciones de Ekman en estado estacionario:
<center>
<math>
-f\,v = \nu_e \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
\qquad
f\,u = \nu_e \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
</math>
</center>

Integrando la primera ecuación desde <math> z=-∞ </math> hasta <math> z=0</math> :
<center>
<math>
-f \int_{-\infty}^{0} v \, dz
= \nu_e \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_{z=-\infty}^{z=0}
</math>
</center>
Dado que <math> u \longrightarrow 0 </math> cuando <math> z \longrightarrow - ∞ </math> ,su derivada también se anula en el infinito.

En la superficie (z = 0), el esfuerzo del viento se relaciona con la derivada de la velocidad mediante:
<center>
<math>
\tau_x = \rho\,\nu_e \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{z=0}
</math>
</center>
Por lo tanto:
<center>
<math>
-f \, \frac{M_{Ey}}{\rho} = \frac{\tau_x}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ey} = -\,\frac{\tau_x}{f}
</math>
</center>
Análogamente, integrando la segunda ecuación:
<center>
<math>
f \, \frac{M_{Ex}}{\rho} = \frac{\tau_y}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ex} = \frac{\tau_y}{f}
</math>
</center>
El transporte de Ekman resulta ser:
<center>
<math>
\vec{M}_E =
\left(
\frac{\tau_y}{f},\;
-\frac{\tau_x}{f}
\right)
</math>
</center>

===Demostración de perpendicularidad===

Para verificar que <math>\vec{M}_E</math> es perpendicular al viento, calculamos el producto escalar:

<center>
<math>
\vec{\tau} \cdot \vec{M}_E
= \tau_x \cdot \frac{\tau_y}{f}
+ \tau_y \cdot \left( -\,\frac{\tau_x}{f} \right)
= \frac{\tau_x \tau_y - \tau_y \tau_x}{f}
= 0
</math>
</center>

Esto demuestra matemáticamente que el transporte neto de Ekman es siempre perpendicular a la dirección del viento.
En el Hemisferio Norte (<math>f>0</math>), el transporte es <math>90^{\circ}</math> a la derecha del viento.
En el Hemisferio Sur (<math>f<0</math>), es <math> 90^{\circ}</math> a la izquierda.

==Flujo Neto==
El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico <math> \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>,donde <math> \alpha \in [0,2\pi) </math> es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura <math>L = 10\ \text{m}</math> y la profundidad será infinita <math> z \in [0,-\infty)</math>.
Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial <math>\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}</math>,y un vector perpendicular a la superficie <math>\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>:
<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL</math>

El resultado del producto vectorial<math>(\vec{v} \cdot \vec{n})</math>es:

<math>\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
+ \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right]</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).</math>

Ahora la integral doble sería:

<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0}
V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL</math>

<math>\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0}
e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.</math>

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math>dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes:
<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos: <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral:

<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Como la ultima integral es igual a la primera:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I </math>

Esta la sustituimos en <math>\Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Entonces <math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)</math>

Solo nos queda evaluar la integral entre <math> z=0 </math> y <math> z=-\infty</math>

<math> z =0:</math>

<math>e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha),
\quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty </math> todos los <math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta=\frac{3\pi}{4}</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el oeste. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento, siendo su sentido dependiente precisamente del parámetro de Coriolis y del hemisferio en el que nos encontremos.

== Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas ==

La espiral de Ekman en el espacio 3D esta parametrizada por:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma(z) = (u(z), v(z), z),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral de Ekamn en el océano describe cómo varía la velocidad horizontal ''(u(z), v(z))'' con la profundidad ''z'' (con z=0 en la superficie y z<0 hacia el fondo).

Una forma típica es:

<div style="text-align: center;">
<math>u(z) = \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>

<math>v(z) = V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

donde:

*<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math> es el parámetro de Coriolis

*\(V_0\) es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento.

*\(d_E\) es la profundidad de Ekman.

*sgn es la función signo: <math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0
\end{cases}
</math>, que determina un signo diferente según el hemisferio.

*ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Para pasarlo a coordenadas cilíndricas (r,θ,z):

<div style="text-align: center;">
<math>x = u(z),\quad y = v(z),\quad z = z</math>
</div>

Calculamos:

'''Para el radio:'''

<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E} \sqrt{\operatorname{sgn}(f)^2 \cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta)}</math>
</div>
<p>donde <math>\theta_z = z/d_E</math>.</p>
<p>Pero <math>\operatorname{sgn}(f)^2 = 1</math> (es <math>\pm 1</math>), así que dentro de la raíz solo queda:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>\cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta) = 1.</math>
</div>
<p>Por lo tanto:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = V_0 e^{z/d_E}.</math>
</div>

'''Para 0 (ángulo en el plano u,v):'''

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\theta(z) &= \arctan\!\left( \frac{v(z)}{u(z)} \right) \\
&= \arctan\!\left( \frac{V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right)
\end{aligned}</math>
</div>

* V_0 e^{z/d_E} se cancelan

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \arctan\!\left( \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right) = \arctan\!\left( \frac{1}{\operatorname{sgn}(f)} \tan\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right)</math>
</div>

<p>El factor <math>1/\operatorname{sgn}(f)</math> es:</p>
<ul>
<li><math>+1</math> si <math>f > 0</math> (hemisferio norte),</li>
<li><math>-1</math> si <math>f < 0</math> (hemisferio sur).</li>
</ul>

Podemos absorber este signo dentro del argumento, porque:

<div style="text-align: center;">
<math>\arctan(-\tan A) = -A \ (\text{mod } \pi)</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

'''Para la altura:'''

<div style="text-align: center;">
<math>z = z</math>
</div>

Por tanto, la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas es:

<div style="text-align: center;">
<math>(r(z), \theta(z), z) = \left( V_0 e^{z/d_E},\; \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),\; z \right)</math>
</div>

=== Representación en MATLAB ===

[[Archivo:espiralek.png|miniaturadeimagen|Representación de la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas de <math>z = -4d_E</math> con su superficie de referencia ]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
dE = 1; % Profundidad de Ekman
V0 = 1; % Velocidad superficial
f_sign = 1; % 1 para hemisferio norte, -1 para sur
theta0 = pi/4; % Fase inicial

% Rango de z: de 0 a -4*dE
z = linspace(0, -4*dE, 500);

% Coordenadas cilíndricas DIRECTAS (sin pasar por u, v)
r = V0 * exp(z/dE); % Radio
theta = atan(tan(z/dE + theta0) / f_sign); % Ángulo (simplificado)

% Mejor usar atan2 para manejar cuadrantes correctamente:
% Reconstruimos u, v temporalmente solo para calcular theta correctamente:
u_temp = f_sign * V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v_temp = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);
theta = atan2(v_temp, u_temp);

% Convertir cilíndricas a cartesianas para graficar en 3D
x_cil = r .* cos(theta); % x = r*cos(θ)
y_cil = r .* sin(theta); % y = r*sin(θ)
z_cil = z; % z se mantiene igual

% Representación 3D EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
figure('Position', [100 100 1000 700]);

% 1. Curva 3D en espacio cilíndrico transformado
subplot(2,3,[1 4]);
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x_cil(1), y_cil(1), z_cil(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot3(x_cil(end), y_cil(end), z_cil(end), 'ks', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'k');
grid on;
xlabel('x = r cos(θ)');
ylabel('y = r sin(θ)');
zlabel('Profundidad z');
title('Espiral de Ekman en 3D (de coord. cilíndricas)');
view(40, 25);
axis equal;

% 2. Vista superior - diagrama polar
subplot(2,3,2);
polarplot(theta, r, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Diagrama polar (r,θ)');
rlim([0 V0*1.1]);

% Figura adicional: Superficie cilíndrica de referencia
figure;
% Crear malla para superficie cilíndrica
[Z, TH] = meshgrid(linspace(-4*dE, 0, 20), linspace(min(theta), max(theta), 30));
R_surf = V0 * exp(Z/dE);
[X_surf, Y_surf] = pol2cart(TH, R_surf);

% Graficar superficie cilíndrica
surf(X_surf, Y_surf, Z, 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeAlpha', 0.3);
hold on;

% Graficar curva
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 3);

% Configurar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Espiral sobre superficie cilíndrica de referencia');
axis equal;
grid on;
view(40, 25);
</syntaxhighlight>

==Curvatura y torsión para la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

[[Archivo:imagencurvatura.png|miniaturadeimagen|Representación de la curvatura y la torsión]]

'''Torsión:'''

<math>\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}</math>

'''Curvatura:'''

<math>\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}</math>

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

<math>\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),</math>

donde

<math>u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),</math>

<math>d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.</math>

Derivadas de la curva:

Definimos <math>\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.</math>

Entonces:

<math>\vec{r}'(z) = \left( \frac{\text{sgn}(f) \, A}{d_E} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad \frac{A}{d_E} (\sin \varphi + \cos \varphi),\quad 1 \right),</math>

<math>\vec{r}''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^2} \sin \varphi, \quad \frac{2A}{d_E^2} \cos \varphi,\quad 0 \right),</math>

<math>\vec{r}'''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^3} (\sin \varphi + \cos \varphi), \quad \frac{2A}{d_E^3} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad 0 \right)</math>

<math>
\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)=\Big(-\dfrac{2A}{d_E^2}\cos\varphi,\; \dfrac{2A}{d_E^2}\operatorname{sgn}(f)\sin\varphi,\; \dfrac{2A^2\operatorname{sgn}(f)}{d_E^3}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert^{2}=\dfrac{4A^{2}}{d_E^{4}}\Big(1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{2}=1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}
</math>

<math>
\kappa(z)=\dfrac{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert}{\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{3}}
=\dfrac{\dfrac{2A}{d_E^{2}}\displaystyle\sqrt{1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}}}
{\bigl(1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}\bigr)^{3/2}}
</math>

<math>
\tau(z)=\dfrac{\det\bigl[\mathbf r'(z),\mathbf r''(z),\mathbf r'''(z)\bigr]}{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert^{2}}
=-\,\dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,d_E}{\,d_E^{2}+A^{2}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\, }.
</math>

Conclusión:

* El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
* Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:
<math>\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.</math>
* Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.

==Triedro de Frenet==

En el enunciado (10) se parametrizó la espiral de Ekman en 3D mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), \qquad z \le 0,
</math>

y en el enunciado (11) se calcularon la '''curvatura''' <math>\kappa(z)</math> y la '''torsión''' <math>\tau(z)</math> de esta curva a partir de las expresiones generales

<math>
\kappa(z) = \dfrac{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert}
{\lVert \gamma'(z) \rVert^3}, \qquad
\tau(z) = \dfrac{\bigl[\gamma'(z),\gamma''(z),\gamma'''(z)\bigr]}
{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert^2}.
</math>

A partir de estos invariantes definimos el '''triedro de Frenet'''
<math>\{\mathbf T(z),\mathbf N(z),\mathbf B(z)\}</math> asociado a la espiral:

* El '''vector tangente unitario'''

<math>
\mathbf T(z) = \dfrac{\gamma'(z)}{\lVert \gamma'(z)\rVert},
</math>

* el '''vector normal principal'''

<math>
\mathbf N(z) = \dfrac{\mathbf T'(z)}{\lVert \mathbf T'(z)\rVert},
</math>

* y el '''vector binormal'''

<math>
\mathbf B(z) = \mathbf T(z) \times \mathbf N(z).
</math>

En la práctica, las derivadas se calculan de forma numérica a partir de las coordenadas discretas de la espiral. A continuación se detalla una implementación en MATLAB que permite obtener <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math>, <math>\mathbf B</math>, así como la curvatura <math>\kappa</math> y la torsión <math>\tau</math> de la curva.

=== 12.1. Función ''frenet'' (cálculo numérico del triedro) ===

La función siguiente recibe las coordenadas <math>(x_i,y_i,z_i)</math> de una curva en forma de vectores y devuelve los vectores del triedro de Frenet en cada punto:

<syntaxhighlight lang="matlab">
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z)
% FRENET Triedro de Frenet de una curva dada por (x,y,z)

if nargin == 2
z = zeros(size(x));
end

% Convertir a vectores columna
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% Primera derivada (velocidad de la curva)
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

% Segunda derivada
ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% Vector tangente unitario
T = dr ./ mag(dr,3);

% Derivada del tangente
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));
dT = [dTx dTy dTz];

% Vector normal unitario
N = dT ./ mag(dT,3);

% Binormal
B = cross(T,N);

% Curvatura (fórmula general)
k = mag(cross(dr,ddr),1) ./ (mag(dr,1).^3);

% Torsión (aproximada)
t = dot(-B,N,2);

end

function N = mag(T,n)
% MAG Magnitud de un vector (Nx3)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
end
</syntaxhighlight>

=== 12.2. Representación del triedro en 5–6 puntos de la espiral ===

Para representar gráficamente el triedro de Frenet en la espiral de Ekman, utilizamos los mismos parámetros físicos fijados en los enunciados (1) y (2):

* velocidad superficial inducida <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math>,
* viscosidad turbulenta <math>\nu_e = 0{,}05\ \text{m}^2/\text{s}</math>,
* parámetro de Coriolis local <math>f</math>, de donde se obtiene la profundidad de Ekman <math>d_E = \sqrt{2\nu_e/|f|}</math>,
* fase inicial <math>\vartheta</math> (ángulo de desviación superficial), calculada previamente.

Para mantener la coherencia con el enunciado, trabajamos con una variable de profundidad negativa
<math>z \in [0,-3d_E]</math>, donde <math>z=0</math> corresponde a la superficie y <math>z<0</math> a niveles más profundos.

La espiral de Ekman se describe entonces mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr),
</math>

con

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}
\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\quad
v(z) = V_0 e^{z/d_E}
\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\qquad z \le 0.
</math>

El siguiente código de MATLAB construye la espiral, calcula el triedro de Frenet y lo representa en 5–6 puntos. En la gráfica el eje vertical muestra explícitamente profundidades negativas, desde <math>z=0</math> (superficie) hasta <math>z=-3d_E</math>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Parámetros físicos (de los enunciados (1) y (2))
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud de la zona de estudio
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral en coordenadas (x,y,z)
Npts = 200; % puntos para describir bien la curva
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa (0 = superficie)

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Selección de 5–6 puntos
idx = round(linspace(10, Npts-10, 6));

%% Representación 3D
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Longitud gráfica de los vectores del triedro
L = dE/5;

for j = 1:length(idx)
i = idx(j);
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

quiver3(xb, yb, zb, TT(1), TT(2), TT(3), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, NN(1), NN(2), NN(3), 'g', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, BB(1), BB(2), BB(3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Triedro de Frenet en varios puntos de la espiral de Ekman');

grid on;
view(35,25); % Vista tridimensional
% Aquí NO se invierte el eje Z: se muestran las profundidades negativas tal cual

hold off;
</syntaxhighlight>

En la figura resultante se observan 5–6 sistemas de vectores ortogonales <math>\{\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\}</math> distribuidos a lo largo de la espiral, con el eje vertical indicando explícitamente los valores negativos de profundidad.

=== 12.3. Animación del triedro de Frenet ===

Podemos completar el estudio construyendo una animación en la que el triedro recorra la espiral de Ekman. La idea es la misma que en el apartado anterior, pero actualizando en cada fotograma los vectores <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math> y <math>\mathbf B</math> en un único punto que se desplaza a lo largo de la curva.

El siguiente script de MATLAB genera la animación.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman

% Parámetros físicos (los mismos del trabajo)
Omega = 7.2921e-5; % [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud Canarias
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral (x,y,z) con z negativa
Npts = 200; % puntos de la espiral
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de toda la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Preparar la figura para la animación
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Vector del viento (opcional, solo decorativo)
quiver3(escala*0.15, 0, 0, -escala*0.3, 0, 0, ...
'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);

% Inicializar los manejadores de T, N, B
hT = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hN = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hB = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman');

grid on;
axis vis3d;
view(35,25); % z se muestra negativo, coherente con el modelo

hold off;

%% Parámetros de la animación
L = dE/5; % longitud de los vectores del triedro
nombre_gif = 'Ekman_triedro_Frenet.gif'; % nombre del GIF (opcional)

% Si se quiere empezar un GIF nuevo, se borra el anterior
if exist(nombre_gif,'file')
delete(nombre_gif);
end

%% Bucle de animación
for i = 1:Npts
% Punto actual en la espiral
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

% Vectores del triedro escalados
TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

% Actualizar T, N, B en el punto actual
set(hT, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', TT(1), 'VData', TT(2), 'WData', TT(3));
set(hN, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', NN(1), 'VData', NN(2), 'WData', NN(3));
set(hB, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', BB(1), 'VData', BB(2), 'WData', BB(3));

drawnow;
pause(0.02); % velocidad de la animación

% Guardar cada frame en un GIF (opcional)
frame = getframe(gcf);
im = frame2im(frame);
[A,map] = rgb2ind(im,256);
if i == 1
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',0.02);
else
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.02);
end
end
</syntaxhighlight>

En la animación se observa cómo el triedro de Frenet se desplaza a lo largo de la espiral de Ekman.

== Longitud de arco de la espiral de Ekman ==

La longitud de arco desde <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es
<center>
<math>
L(Z)=\int_{-Z}^{0}\sqrt{\left(\frac{du}{dz}\right)^2+\left(\frac{dv}{dz}\right)^2}\,dz
</math>
</center>

Vamos calculando la integral para distintos valores de z :

* Para \(Z=d_E\):

<math>
\;\;\; L(d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-1}\big)\approx 0.89395346735\,V_0.
</math>

* Para \(Z=2d_E\):

<math>
\;\;\; L(2d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-2}\big)\approx 1.22282056935\,V_0.
</math>

* Para \(Z=3d_E\):

<math>
\;\;\;L(3d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-3}\big)\approx 1.34380401506\,V_0.
</math>

Se observa que al aumentar <math>Z</math> la longitud se acerca a un valor límite y se aproxima a <math> \sqrt{2} V_0 </math>

Entonces la longitud de arco de la espiral de Ekman entre <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es finita para cualquier <math>Z</math>.

De lo anterior se deduce que la longitud total, cuando <math> Z \longrightarrow \infty </math>, converge a un valor finito, no diverge. Esto se debe a que la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad, de modo que la contribución a la longitud de arco de capas muy profundas es cada vez menor y la integral total converge.

== Espiral logarítmica de Ekman ==

La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal (𝑥, 𝑦) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = (u(z), v(z)),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral logarítrmica es ....

===Representación de la espiral en el plano XY===
Se tiene:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) \, V_0 \, e^{z/d_E} \, \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \\
v(z) &= V_0 \, e^{z/d_E} \, \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
\end{aligned}</math>
</div>

<p>con <math>z \in (-\infty, 0]</math>.</p>

Podemos escribir:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E}</math>
</div>

El ángulo polar θ satisface:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \theta = \frac{v}{u} = \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}.</math>
</div>

<p>Sea <math>f > 0</math> (hemisferio norte), <math>\operatorname{sgn}(f) = +1</math>, entonces:</p>

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \frac{z}{d_E} + \vartheta</math>
</div>

En coordenadas cartesianas:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
x(\theta) &= \rho(\theta) \cos \theta = V_0 e^{z/d_E} \cos \frac{z}{d_E} + \vartheta
\\
y(\theta) &= \rho(\theta) \sin \theta = V_0 e^{z/d_E} \sin \frac{z}{d_E} + \vartheta
\end{aligned}</math>
</div>

'''Representación paramétrica en ''XY'' '''

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = \left( V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \; V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right), \quad z \leq 0</math>
</div>

=== Verificación en coordenadas polares:<math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> ===

Tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\rho &= V_0 e^{z/d_E}, \\
\theta &= \frac{z}{d_E} + \vartheta.
\end{aligned}</math>
</div>

Despejamos <math>z/d_E</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{z}{d_E} = \theta - \vartheta.</math>
</div>

Sustituimos en <math>\rho</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho = V_0 e^{\theta - \vartheta} = \underbrace{(V_0 e^{-\vartheta})}_{\rho_0} e^{\theta}.</math>
</div>

Esto es de la forma <math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> con <math>b = 1</math>.

Por lo tanto la espiral logarítmica cumple

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta},\quad b = 1,\quad \rho_0 = V_0 e^{-\vartheta}</math>
</div>

Nota: Si <math>f < 0</math>, <math>\operatorname{sgn}(f) = -1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= -V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right).
\end{aligned}</math>
</div>

=== Ángulo entre vector posición y vector tangente ===

Trabajemos con la forma polar <math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta}</math> y parametizamos la curva en θ. El vector posición es

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r}(\theta) = \rho(\theta) \mathbf{e}_r</math>
</div>

La '''derivada''' respecto θ de (proporcional al vector tangente) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho'(\theta) \mathbf{e}_r + \rho(\theta) \mathbf{e}_\theta</math>
</div>

Como <math>\rho'(\theta) = b\rho(\theta)</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho(\theta) \left( b \mathbf{e}_r + \mathbf{e}_\theta\right).</math>
</div>

'''Producto escalar'''

Como <math>\mathbf{r} = \rho \mathbf{e}_r</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}
&= (\rho \mathbf{e}_r) \cdot (b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta) \\
&= \rho \cdot b\rho (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r) + \rho^2 (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta).
\end{aligned}</math>
</div>

Pero <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r = 1</math>, <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0</math>, luego:

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = b\rho^2.</math>
</div>

'''Módulos'''

<div style="text-align: center;">
<math>|\mathbf{r}| = \rho,</math>

<math>\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right| = |b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta| = \rho \sqrt{b^2 + 1}.</math>
</div>

'''Ángulo <math>\alpha</math> entre <math>\mathbf{r}</math> y <math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}</math>'''

<div style="text-align: center;">
<math>\cos \alpha = \frac{\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{|\mathbf{r}| \, \left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \frac{b\rho^2}{\rho \cdot \rho \sqrt{b^2 + 1}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}.</math>
</div>

Dado que esto no depende de θ se verifica la propiedad característica de la espiral logarítmica que dice que el ángulo es constante.

De <math>\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}</math> tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = \frac{b}{1} = b.</math>
</div>

Para la espiral de Ekman (caso <math>f > 0</math>) en (b) obtuvimos <math>b = 1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}.</math>
</div>

Por tanto el ángulo que forman el vector posición y el vector tangente es <math>\frac{\pi}{4}.</math>

=== Aplicaciones de la espiral logarítmica en ingeniería ===

====¿Por qué esta curva aparece tan frecuentemente en la naturaleza?====

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-04T11:50:26Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial \vec{v} */

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 55 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Carlos De Hita Sánchez, Hicham Ouald Omar Alouat, Naoual Roubio Darkaoui, Khadija Mrauti El Hachadi, David Gómez Matarranz }}
[[Categoría:TC25/26]]
'''INTRODUCCION'''

El efecto de Ekman constituye uno de los mecanismos fundamentales para comprender cómo el viento y la rotación terrestre influyen en la circulación oceánica. Descubierto a comienzos del siglo XX por Vagn Walfrid Ekman, este fenómeno describe cómo la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis genera una desviación progresiva en la dirección de las corrientes marinas. El resultado es la formación de la espiral de Ekman, una estructura tridimensional en la que cada capa de agua se mueve en un ángulo distinto respecto a la anterior, con una intensidad que disminuye con la profundidad.

Este proceso no solo explica la orientación del flujo superficial respecto al viento, sino que también determina el transporte de Ekman, un movimiento neto de agua perpendicular al viento que desempeña un papel crucial en la dinámica oceánica. Dicho transporte es responsable de fenómenos como la surgencia costera, el enriquecimiento de nutrientes y la regulación térmica en numerosos sistemas marinos. Comprender estos mecanismos resulta esencial para analizar la circulación en regiones como el archipiélago canario, donde las condiciones atmosféricas y oceánicas favorecen la manifestación clara del efecto de Ekman.

[[Archivo:espiraldavid1.png|300px|thumb|left|Espiral de Ekman 3D]]
[[Archivo:espiralhorizontal2.png|300px|thumb|left|Proyección horizontal: espiral logarítmica]]

'''Ecuaciones del flujo y soluciones'''

El campo de velocidad horizontal del agua es <math>\vec{V} = u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}</math>, donde <math>\vec{i}</math> apunta al este, <math>\vec{j}</math> al norte, y <math>z</math> es la profundidad (con <math>z \leq 0</math>, siendo <math>z = 0</math> la superficie). Las componentes <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> satisfacen las ecuaciones de Ekman:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d^2u}{dz^2} = -\frac{f}{\nu_e} v, \quad \frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\nu_e} u</math>
</div>

donde:
<ul>
<li><math>f = 2\Omega \sin \phi</math> es el parámetro de Coriolis, con <math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}</math> la velocidad angular terrestre y <math>\phi</math> la latitud;</li>
<li><math>\nu_e</math> es la viscosidad turbulenta (eddy viscosity), que representa el efecto de la turbulencia al mezclar las capas del fluido.</li>
</ul>

La solución de estas ecuaciones diferenciales es:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),
\end{aligned}</math>
</div>

donde:
<ul>
<li><math>V_0</math> es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento;</li>
<li><math>d_E = \sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}}</math> es la profundidad de Ekman (escala de penetración);</li>
<li><math>\vartheta</math> es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;</li>
<li><math>\operatorname{sgn}</math> es la función signo</li>
</ul>

<math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0,
\end{cases}</math>

que determina un signo diferente según el hemisferio.

'''Parámetros del modelo'''

Para los calculos consideraremos una localidad al largo de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas <math>30^\circ 10' 24.2'' \, \text{N}, \; 15^\circ 30' 26.5'' \, \text{W}</math>, y los parámetros:

<ul>
<li>Viscosidad turbulenta: <math>\nu_e = 0.05 \, \text{m}^2/\text{s}</math>;</li>
<li>Viento: sopla de norte a sur con velocidad <math>12 \, \text{m/s}</math>;</li>
<li>Velocidad superficial inducida: <math>V_0 = 0.15 \, \text{m/s}</math>;</li>
<li>Fase inicial: el flujo superficial está desviado aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento en el hemisferio norte.</li>
</ul>

== Parámetro de Coriolis ''f'' ==

El parámetro de Coriolis es una medida de la intensidad de la fuerza de Coriolis sobre un objeto en movimiento debido a la rotación de la Tierra:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math>
</div>

donde:

<p>
*<math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \ \text{rad/s}</math> (velocidad angular terrestre)<br>

*<math>\phi</math> es la latitud
</p>

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>\phi : 30^\circ\;10' \;24.2''\; \mathrm{N}</math>

<math>10' = \frac{10}{60} = 0.1667^\circ</math>

<math>24.2'' = \frac{24.2}{3600} \approx 0.00672^\circ</math>

<math>\phi = 30 + 0.1667 + 0.00672 = 30.17342^\circ\ \mathrm{N}</math>

<math>f = 2\Omega \sin \phi</math>
<math>f = 2 \times (7.2921 \times 10^{-5}) \times \sin(30.17342^\circ) \approx 7.33 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}^{-1}</math>
</div>

=== Lugares en la tierra donde ''f'' es positivo, negativo o nulo ===
Depende de la latitud:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi</math>, donde:
<math>
\begin{aligned}
\phi > 0 &\Rightarrow f > 0 \quad \text{(Hemisferio norte)} \\
\phi = 0 &\Rightarrow f = 0 \quad \text{(Ecuador)} \\
\phi < 0 &\Rightarrow f < 0 \quad \text{(Hemisferio sur)}
\end{aligned}
</math>
</div>

=== Profundidad de Ekman \(d_E\) ===

La '''profundidad de Ekman''' es el espesor de la capa superficial de océano donde el efecto de la fuerza de Coriolis y la fricción por el viento influyen significativamente en el movimiento del agua:

<div style="text-align: center;">
<math>d_E = \sqrt{\frac{2v_e}{f}}</math>
</div>

donde:
*\(v_e\) es la viscosidad turbulenta
*''f'' es el parámetro de Coriolis

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>
d_E = \sqrt{\frac{2 \times 0.05 \ \text{m}^2/\text{s}}{7.33 \times 10^{-5} \ \text{s}^{-1}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.0000733}} = \sqrt{1364.26} \approx 36.94 \ \text{m}
</math>
</div>

=== Implicaciones para la Espiral de Ekman en diferentes latitudes ===

'''Hemisferio norte''': la dirección del flujo de Ekman se desvía a la derecha de la dirección del viento con la profundidad (visto desde arriba). En superficie, la corriente forma 45º a la derecha del viento en el caso teórico clásico con \(v_e\) cte.

'''Hemisferio sur''': la desviación es hacia a la izquierda del viento.

'''Cerca del ecuador''': la profundidad de Ekman \(d_E\)→<math>\infty</math> según la fórmula, lo cual significa que la capa de Ekman se hace muy gruesa y la variación vertical es más lenta. El transporte de Ekman aún existe si se usa teoría más general (''f'' variable), pero la espiral clásica (''f'' constante) deja de aplicarse, y la fuerza de Coriolis es débil.
Además:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan(\theta) = \frac{\text{componente transversal}}{\text{componente longitudinal}} = 1, \quad \text{para } \theta = 45^\circ</math>
</div>

en el modelo clásico. Esto es independiente de ''f'' en magnitud, pero el sentido de giro con la profundidad sí depende del signo de ''f''.

== Resolucion de <math>\vartheta</math>==

El valor de <math>\vartheta</math> es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas ''30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W'', asumiendo una viscosidad turbulenta de ''0.05 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''12 m/s'' que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente ''0.15 m/s'' y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:
* <math>z = 0</math>.
* <math>\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) </math>.
* <math>f > 0</math> ya que estamos en el norte, y por lo tanto <math>sgn(f) = 1</math>.

Resolviendo nos queda:

<math>
\frac{v(z)}{u(z)} =
\frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \sin(\vartheta)}
{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \cos(\vartheta)}
= \tan(\vartheta) = 1
\Rightarrow
</math>

<math>
\Rightarrow
\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>

Como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es:

<center>
<math>\frac{3\pi}{4}</math>
</center>

== Verificación de las soluciones de Ekman ==
Con el fin de confirmar que las expresiones analíticas propuestas para las componentes horizontales de la velocidad <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> constituyen efectivamente una solución del sistema de Ekman en régimen estacionario, se procede a derivar cada función dos veces con respecto a la coordenada vertical <math>𝑧</math> y a comprobar que satisfacen las ecuaciones diferenciales.

Para la componente <math>u(z)</math> :
<center>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Finalmente se obtiene :
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2}= -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>
</center>

Lo que confirma que <math>u(z)</math> cumple su ecuación correspondiente.

Un procedimiento análogo aplicado a <math>v(z)</math>
<center>
<math>v(z)=V_0 \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

</center><br/>
conduce a

<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>

</center>

En consecuencia, la pareja <math> (u(z), v(z))</math> constituye una solución válida del problema de Ekman y reproduce el acoplamiento dinámico entre ambas componentes horizontales impuesto por la fuerza de Coriolis y la fricción turbulenta vertical.

== Campo vectorial <math>\vec{V}</math> ==
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-01 160143.png|520px|thumb|]]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial V evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧)(a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

{{matlab|codigo=%% Apartado 4

clc;close all;clear;
omega = 7.2921*(10)^-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Visualización tridimensional de la espiral de Ekman==
[[Archivo:Espiral_Ekman_3D.png.png|miniaturadeimagen|Representación tridimensional de los vectores <math>\vec V(z)</math> evaluados en <math>(0,0,z)</math> para <math>z \in [0,3d_E]</math>. La curva roja une las puntas de los vectores y forma la espiral de Ekman.]]
'''5.1. Vectores de velocidad a lo largo del eje vertical'''

El campo de velocidad horizontal del agua viene dado por

<math>\vec V(z) = u(z)\,\vec i + v(z)\,\vec j,</math>

donde las soluciones de las ecuaciones de Ekman (obtenidas en el apartado 3) son

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0\, e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
\qquad
v(z) = V_0\, e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
</math>

siendo:

* <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math> la velocidad superficial inducida por el viento (dato del modelo);
* <math>d_E</math> la profundidad de Ekman calculada en el apartado (1);
* <math>\vartheta</math> la fase inicial encontrada en el apartado (2);
* <math>\operatorname{sgn}(f)=1</math> porque <math>f>0</math> en el hemisferio norte.

Para visualizar la espiral tridimensional seguimos exactamente lo que indica el enunciado. Consideramos puntos del eje vertical <math>(0,0,z)</math> con

<math>z \in [0,-3d_E].</math>

Tomamos entre 30 y 40 puntos igualmente espaciados (por ejemplo, <math>N=40</math>). En cada profundidad <math>z</math> calculamos <math>\vec V(z)</math> y dibujamos un vector con origen en <math>(0,0,z)</math> y punta en <math>(u(z),v(z),z)</math>. Las puntas de todos esos vectores describen una curva en el espacio tridimensional: la espiral de Ekman.

'''5.2. Código de MATLAB para la visualización 3D
'''

El siguiente script de MATLAB implementa la construcción descrita anteriormente, utilizando los valores de <math>f</math>, <math>d_E</math> y <math>\vartheta</math> calculados en los apartados (1) y (2). Se generan entre 30 y 40 vectores de velocidad a lo largo de la columna de agua y se representa la espiral de Ekman en tres dimensiones.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos conocidos de los apartados (1) y (2)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida [m/s]
f = 7.3e-5; % Parámetro de Coriolis [1/s] (valor hallado en (1))
nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman (calculada en (1))
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ (hallada en (2))

%% Discretización de la profundidad física: prof ∈ [0, 3 dE]
N = 40; % 30–40 puntos
prof = linspace(0, 3*dE, N); % prof ≥ 0, 0 = superficie

%% z del MODELO (negativo), tal como se definió en el enunciado
z_model = -prof; % z ≤ 0

%% Cálculo de u(z) y v(z) usando z_model
sgnf = sign(f); % = 1 en nuestro caso (hemisferio norte)

u = sgnf * V0 .* exp(z_model/dE) .* cos(z_model/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z_model/dE) .* sin(z_model/dE + theta0);

%% Representación 3D de los vectores V(z)
figure;

% Vectores con origen en (0,0,prof) y punta en (u,v,prof)
h = quiver3( zeros(size(prof)), zeros(size(prof)), prof, ...
u, v, zeros(size(prof)), ...
'LineWidth', 1.5 );
set(h,'AutoScale','on','AutoScaleFactor',5); % Agranda las flechas para verlas bien

hold on;

% Curva que une las puntas de los vectores: la espiral de Ekman
plot3(u, v, prof, '--k', 'LineWidth', 1);

xlabel('Componente este u(z) [m/s]');
ylabel('Componente norte v(z) [m/s]');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Espiral de Ekman en 3D (vectores V evaluados en (0,0,z))');

grid on;
set(gca, 'ZDir','reverse'); % Profundidad positiva hacia abajo
view(45, 25); % Vista tridimensional agradable
% No usamos axis equal para que las flechas no queden aplastadas

hold off;
</syntaxhighlight>

'''5.3. Interpretación del resultado numérico
'''

La figura obtenida con el código anterior muestra la espiral de Ekman correspondiente a los parámetros del modelo. En la superficie (<math>z = 0</math>) el vector de velocidad tiene módulo <math>V_0 = 0{,}15\,\text{m/s}</math> y dirección fijada por la fase <math>\vartheta</math>, desviada aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento, tal como se dedujo en el apartado (2).

A medida que aumenta la profundidad (valores crecientes de la variable <math>\text{prof}</math>):

* la **dirección** de los vectores va rotando debido al efecto de Coriolis, describiendo una espiral;
* la **magnitud** de la velocidad decrece exponencialmente con el término <math>e^{z/d_E}</math>, por lo que los vectores se hacen cada vez más cortos.

La curva que une las puntas de los vectores <math>(u(z),v(z),z)</math> representa así la estructura tridimensional de la espiral de Ekman, y muestra cómo la influencia directa del viento se concentra en la capa superior de espesor del orden de la profundidad de Ekman <math>d_E</math>, desapareciendo progresivamente a mayor profundidad.

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante señalar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La justificación matemática es sencilla, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math>, y todos sus vectores se orientan de forma paralela al plano generado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto implica que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, ya que la componente <math>\vec{v}_z</math> es, de por sí, nula.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la causa de esta divergencia cero. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis.
En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

== El transporte de Ekman ==

El transporte de Ekman se define formalmente como la integral vertical de las velocidades de Ekman a lo largo de toda la columna de agua afectada por el viento, desde la superficie hasta una profundidad donde el efecto del viento se vuelve despreciable. Esta definición de integral representa el flujo neto de masa de agua que resulta de la espiral de Ekman, y es fundamental para comprender la circulación oceánica a gran escala.

El transporte de Ekman se obtiene integrando verticalmente la velocidad inducida por el viento (debido al efecto Coriolis y viscosidad) desde la superficie hasta donde el movimiento se vuelve despreciable. La expresión más común es:
<center>
<math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>
</center>

===Validez de la condición de contorno [math] z=−∞ [/math]===
La elección de <math> z=−∞ </math> como límite inferior de integración es válida en el modelo de Ekman porque representa un océano de profundidad infinita. Esta suposición es válida por las siguientes razones:

'''*Decaimiento exponencial de las velocidades''':

Las soluciones de Ekman para las componentes de velocidad tienen la forma: <math>
\vec{u(z)} \sim e^{z/d_E}\,.\bigl(\text{funciones trigonométricas}\bigr)
</math>

Dado que <math>z<0 </math> bajo la superficie, cuando <math> z<< -d </math> (profundidades mucho mayores que la capa de Ekman), el término exponencial <math> e^{z/d_E} \;\longrightarrow\; 0 </math>

'''* Condición física:'''

En profundidades suficientemente grandes, el efecto del viento superficial se desvanece completamente. La fricción entre capas de agua disminuye progresivamente con la profundidad, y eventualmente el movimiento inducido por el viento cesa. Por tanto, establecer <math> z=−∞ </math> asegura que <math>\lim_{z\to -\infty} \vec{u}_E(z) = \vec{0}</math> lo cual es físicamente consistente con un fondo marino "infinitamente profundo".

=== Cálculo analítico de la integral===

Para calcular <math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>, partimos de las ecuaciones de Ekman en estado estacionario:
<center>
<math>
-f\,v = \nu_e \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
\qquad
f\,u = \nu_e \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
</math>
</center>

Integrando la primera ecuación desde <math> z=-∞ </math> hasta <math> z=0</math> :
<center>
<math>
-f \int_{-\infty}^{0} v \, dz
= \nu_e \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_{z=-\infty}^{z=0}
</math>
</center>
Dado que <math> u \longrightarrow 0 </math> cuando <math> z \longrightarrow - ∞ </math> ,su derivada también se anula en el infinito.

En la superficie (z = 0), el esfuerzo del viento se relaciona con la derivada de la velocidad mediante:
<center>
<math>
\tau_x = \rho\,\nu_e \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{z=0}
</math>
</center>
Por lo tanto:
<center>
<math>
-f \, \frac{M_{Ey}}{\rho} = \frac{\tau_x}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ey} = -\,\frac{\tau_x}{f}
</math>
</center>
Análogamente, integrando la segunda ecuación:
<center>
<math>
f \, \frac{M_{Ex}}{\rho} = \frac{\tau_y}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ex} = \frac{\tau_y}{f}
</math>
</center>
El transporte de Ekman resulta ser:
<center>
<math>
\vec{M}_E =
\left(
\frac{\tau_y}{f},\;
-\frac{\tau_x}{f}
\right)
</math>
</center>

===Demostración de perpendicularidad===

Para verificar que <math>\vec{M}_E</math> es perpendicular al viento, calculamos el producto escalar:

<center>
<math>
\vec{\tau} \cdot \vec{M}_E
= \tau_x \cdot \frac{\tau_y}{f}
+ \tau_y \cdot \left( -\,\frac{\tau_x}{f} \right)
= \frac{\tau_x \tau_y - \tau_y \tau_x}{f}
= 0
</math>
</center>

Esto demuestra matemáticamente que el transporte neto de Ekman es siempre perpendicular a la dirección del viento.
En el Hemisferio Norte (<math>f>0</math>), el transporte es <math>90^{\circ}</math> a la derecha del viento.
En el Hemisferio Sur (<math>f<0</math>), es <math> 90^{\circ}</math> a la izquierda.

==Flujo Neto==
El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico <math> \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>,donde <math> \alpha \in [0,2\pi) </math> es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura <math>L = 10\ \text{m}</math> y la profundidad será infinita <math> z \in [0,-\infty)</math>.
Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial <math>\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}</math>,y un vector perpendicular a la superficie <math>\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>:
<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL</math>

El resultado del producto vectorial<math>(\vec{v} \cdot \vec{n})</math>es:

<math>\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
+ \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right]</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).</math>

Ahora la integral doble sería:

<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0}
V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL</math>

<math>\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0}
e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.</math>

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math>dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes:
<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos: <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral:

<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Como la ultima integral es igual a la primera:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I </math>

Esta la sustituimos en <math>\Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Entonces <math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)</math>

Solo nos queda evaluar la integral entre <math> z=0 </math> y <math> z=-\infty</math>

<math> z =0:</math>

<math>e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha),
\quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty </math> todos los <math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta=\frac{3\pi}{4}</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el oeste. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento, siendo su sentido dependiente precisamente del parámetro de Coriolis y del hemisferio en el que nos encontremos.

== Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas ==

La espiral de Ekman en el espacio 3D esta parametrizada por:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma(z) = (u(z), v(z), z),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral de Ekamn en el océano describe cómo varía la velocidad horizontal ''(u(z), v(z))'' con la profundidad ''z'' (con z=0 en la superficie y z<0 hacia el fondo).

Una forma típica es:

<div style="text-align: center;">
<math>u(z) = \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>

<math>v(z) = V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

donde:

*<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math> es el parámetro de Coriolis

*\(V_0\) es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento.

*\(d_E\) es la profundidad de Ekman.

*sgn es la función signo: <math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0
\end{cases}
</math>, que determina un signo diferente según el hemisferio.

*ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Para pasarlo a coordenadas cilíndricas (r,θ,z):

<div style="text-align: center;">
<math>x = u(z),\quad y = v(z),\quad z = z</math>
</div>

Calculamos:

'''Para el radio:'''

<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E} \sqrt{\operatorname{sgn}(f)^2 \cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta)}</math>
</div>
<p>donde <math>\theta_z = z/d_E</math>.</p>
<p>Pero <math>\operatorname{sgn}(f)^2 = 1</math> (es <math>\pm 1</math>), así que dentro de la raíz solo queda:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>\cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta) = 1.</math>
</div>
<p>Por lo tanto:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = V_0 e^{z/d_E}.</math>
</div>

'''Para 0 (ángulo en el plano u,v):'''

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\theta(z) &= \arctan\!\left( \frac{v(z)}{u(z)} \right) \\
&= \arctan\!\left( \frac{V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right)
\end{aligned}</math>
</div>

* V_0 e^{z/d_E} se cancelan

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \arctan\!\left( \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right) = \arctan\!\left( \frac{1}{\operatorname{sgn}(f)} \tan\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right)</math>
</div>

<p>El factor <math>1/\operatorname{sgn}(f)</math> es:</p>
<ul>
<li><math>+1</math> si <math>f > 0</math> (hemisferio norte),</li>
<li><math>-1</math> si <math>f < 0</math> (hemisferio sur).</li>
</ul>

Podemos absorber este signo dentro del argumento, porque:

<div style="text-align: center;">
<math>\arctan(-\tan A) = -A \ (\text{mod } \pi)</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

'''Para la altura:'''

<div style="text-align: center;">
<math>z = z</math>
</div>

Por tanto, la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas es:

<div style="text-align: center;">
<math>(r(z), \theta(z), z) = \left( V_0 e^{z/d_E},\; \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),\; z \right)</math>
</div>

=== Representación en MATLAB ===

[[Archivo:espiralek.png|miniaturadeimagen|Representación de la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas de <math>z = -4d_E</math> con su superficie de referencia ]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
dE = 1; % Profundidad de Ekman
V0 = 1; % Velocidad superficial
f_sign = 1; % 1 para hemisferio norte, -1 para sur
theta0 = pi/4; % Fase inicial

% Rango de z: de 0 a -4*dE
z = linspace(0, -4*dE, 500);

% Coordenadas cilíndricas DIRECTAS (sin pasar por u, v)
r = V0 * exp(z/dE); % Radio
theta = atan(tan(z/dE + theta0) / f_sign); % Ángulo (simplificado)

% Mejor usar atan2 para manejar cuadrantes correctamente:
% Reconstruimos u, v temporalmente solo para calcular theta correctamente:
u_temp = f_sign * V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v_temp = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);
theta = atan2(v_temp, u_temp);

% Convertir cilíndricas a cartesianas para graficar en 3D
x_cil = r .* cos(theta); % x = r*cos(θ)
y_cil = r .* sin(theta); % y = r*sin(θ)
z_cil = z; % z se mantiene igual

% Representación 3D EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
figure('Position', [100 100 1000 700]);

% 1. Curva 3D en espacio cilíndrico transformado
subplot(2,3,[1 4]);
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x_cil(1), y_cil(1), z_cil(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot3(x_cil(end), y_cil(end), z_cil(end), 'ks', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'k');
grid on;
xlabel('x = r cos(θ)');
ylabel('y = r sin(θ)');
zlabel('Profundidad z');
title('Espiral de Ekman en 3D (de coord. cilíndricas)');
view(40, 25);
axis equal;

% 2. Vista superior - diagrama polar
subplot(2,3,2);
polarplot(theta, r, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Diagrama polar (r,θ)');
rlim([0 V0*1.1]);

% Figura adicional: Superficie cilíndrica de referencia
figure;
% Crear malla para superficie cilíndrica
[Z, TH] = meshgrid(linspace(-4*dE, 0, 20), linspace(min(theta), max(theta), 30));
R_surf = V0 * exp(Z/dE);
[X_surf, Y_surf] = pol2cart(TH, R_surf);

% Graficar superficie cilíndrica
surf(X_surf, Y_surf, Z, 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeAlpha', 0.3);
hold on;

% Graficar curva
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 3);

% Configurar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Espiral sobre superficie cilíndrica de referencia');
axis equal;
grid on;
view(40, 25);
</syntaxhighlight>

==Curvatura y torsión para la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

[[Archivo:imagencurvatura.png|miniaturadeimagen|Representación de la curvatura y la torsión]]

'''Torsión:'''

<math>\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}</math>

'''Curvatura:'''

<math>\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}</math>

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

<math>\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),</math>

donde

<math>u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),</math>

<math>d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.</math>

Derivadas de la curva:

Definimos <math>\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.</math>

Entonces:

<math>\vec{r}'(z) = \left( \frac{\text{sgn}(f) \, A}{d_E} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad \frac{A}{d_E} (\sin \varphi + \cos \varphi),\quad 1 \right),</math>

<math>\vec{r}''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^2} \sin \varphi, \quad \frac{2A}{d_E^2} \cos \varphi,\quad 0 \right),</math>

<math>\vec{r}'''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^3} (\sin \varphi + \cos \varphi), \quad \frac{2A}{d_E^3} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad 0 \right)</math>

<math>
\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)=\Big(-\dfrac{2A}{d_E^2}\cos\varphi,\; \dfrac{2A}{d_E^2}\operatorname{sgn}(f)\sin\varphi,\; \dfrac{2A^2\operatorname{sgn}(f)}{d_E^3}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert^{2}=\dfrac{4A^{2}}{d_E^{4}}\Big(1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{2}=1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}
</math>

<math>
\kappa(z)=\dfrac{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert}{\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{3}}
=\dfrac{\dfrac{2A}{d_E^{2}}\displaystyle\sqrt{1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}}}
{\bigl(1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}\bigr)^{3/2}}
</math>

<math>
\tau(z)=\dfrac{\det\bigl[\mathbf r'(z),\mathbf r''(z),\mathbf r'''(z)\bigr]}{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert^{2}}
=-\,\dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,d_E}{\,d_E^{2}+A^{2}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\, }.
</math>

Conclusión:

* El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
* Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:
<math>\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.</math>
* Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.

==Triedro de Frenet==

En el enunciado (10) se parametrizó la espiral de Ekman en 3D mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), \qquad z \le 0,
</math>

y en el enunciado (11) se calcularon la '''curvatura''' <math>\kappa(z)</math> y la '''torsión''' <math>\tau(z)</math> de esta curva a partir de las expresiones generales

<math>
\kappa(z) = \dfrac{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert}
{\lVert \gamma'(z) \rVert^3}, \qquad
\tau(z) = \dfrac{\bigl[\gamma'(z),\gamma''(z),\gamma'''(z)\bigr]}
{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert^2}.
</math>

A partir de estos invariantes definimos el '''triedro de Frenet'''
<math>\{\mathbf T(z),\mathbf N(z),\mathbf B(z)\}</math> asociado a la espiral:

* El '''vector tangente unitario'''

<math>
\mathbf T(z) = \dfrac{\gamma'(z)}{\lVert \gamma'(z)\rVert},
</math>

* el '''vector normal principal'''

<math>
\mathbf N(z) = \dfrac{\mathbf T'(z)}{\lVert \mathbf T'(z)\rVert},
</math>

* y el '''vector binormal'''

<math>
\mathbf B(z) = \mathbf T(z) \times \mathbf N(z).
</math>

En la práctica, las derivadas se calculan de forma numérica a partir de las coordenadas discretas de la espiral. A continuación se detalla una implementación en MATLAB que permite obtener <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math>, <math>\mathbf B</math>, así como la curvatura <math>\kappa</math> y la torsión <math>\tau</math> de la curva.

=== 12.1. Función ''frenet'' (cálculo numérico del triedro) ===

La función siguiente recibe las coordenadas <math>(x_i,y_i,z_i)</math> de una curva en forma de vectores y devuelve los vectores del triedro de Frenet en cada punto:

<syntaxhighlight lang="matlab">
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z)
% FRENET Triedro de Frenet de una curva dada por (x,y,z)

if nargin == 2
z = zeros(size(x));
end

% Convertir a vectores columna
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% Primera derivada (velocidad de la curva)
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

% Segunda derivada
ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% Vector tangente unitario
T = dr ./ mag(dr,3);

% Derivada del tangente
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));
dT = [dTx dTy dTz];

% Vector normal unitario
N = dT ./ mag(dT,3);

% Binormal
B = cross(T,N);

% Curvatura (fórmula general)
k = mag(cross(dr,ddr),1) ./ (mag(dr,1).^3);

% Torsión (aproximada)
t = dot(-B,N,2);

end

function N = mag(T,n)
% MAG Magnitud de un vector (Nx3)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
end
</syntaxhighlight>

=== 12.2. Representación del triedro en 5–6 puntos de la espiral ===

Para representar gráficamente el triedro de Frenet en la espiral de Ekman, utilizamos los mismos parámetros físicos fijados en los enunciados (1) y (2):

* velocidad superficial inducida <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math>,
* viscosidad turbulenta <math>\nu_e = 0{,}05\ \text{m}^2/\text{s}</math>,
* parámetro de Coriolis local <math>f</math>, de donde se obtiene la profundidad de Ekman <math>d_E = \sqrt{2\nu_e/|f|}</math>,
* fase inicial <math>\vartheta</math> (ángulo de desviación superficial), calculada previamente.

Para mantener la coherencia con el enunciado, trabajamos con una variable de profundidad negativa
<math>z \in [0,-3d_E]</math>, donde <math>z=0</math> corresponde a la superficie y <math>z<0</math> a niveles más profundos.

La espiral de Ekman se describe entonces mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr),
</math>

con

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}
\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\quad
v(z) = V_0 e^{z/d_E}
\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\qquad z \le 0.
</math>

El siguiente código de MATLAB construye la espiral, calcula el triedro de Frenet y lo representa en 5–6 puntos. En la gráfica el eje vertical muestra explícitamente profundidades negativas, desde <math>z=0</math> (superficie) hasta <math>z=-3d_E</math>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Parámetros físicos (de los enunciados (1) y (2))
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud de la zona de estudio
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral en coordenadas (x,y,z)
Npts = 200; % puntos para describir bien la curva
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa (0 = superficie)

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Selección de 5–6 puntos
idx = round(linspace(10, Npts-10, 6));

%% Representación 3D
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Longitud gráfica de los vectores del triedro
L = dE/5;

for j = 1:length(idx)
i = idx(j);
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

quiver3(xb, yb, zb, TT(1), TT(2), TT(3), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, NN(1), NN(2), NN(3), 'g', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, BB(1), BB(2), BB(3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Triedro de Frenet en varios puntos de la espiral de Ekman');

grid on;
view(35,25); % Vista tridimensional
% Aquí NO se invierte el eje Z: se muestran las profundidades negativas tal cual

hold off;
</syntaxhighlight>

En la figura resultante se observan 5–6 sistemas de vectores ortogonales <math>\{\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\}</math> distribuidos a lo largo de la espiral, con el eje vertical indicando explícitamente los valores negativos de profundidad.

=== 12.3. Animación del triedro de Frenet ===

Podemos completar el estudio construyendo una animación en la que el triedro recorra la espiral de Ekman. La idea es la misma que en el apartado anterior, pero actualizando en cada fotograma los vectores <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math> y <math>\mathbf B</math> en un único punto que se desplaza a lo largo de la curva.

El siguiente script de MATLAB genera la animación.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman

% Parámetros físicos (los mismos del trabajo)
Omega = 7.2921e-5; % [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud Canarias
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral (x,y,z) con z negativa
Npts = 200; % puntos de la espiral
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de toda la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Preparar la figura para la animación
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Vector del viento (opcional, solo decorativo)
quiver3(escala*0.15, 0, 0, -escala*0.3, 0, 0, ...
'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);

% Inicializar los manejadores de T, N, B
hT = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hN = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hB = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman');

grid on;
axis vis3d;
view(35,25); % z se muestra negativo, coherente con el modelo

hold off;

%% Parámetros de la animación
L = dE/5; % longitud de los vectores del triedro
nombre_gif = 'Ekman_triedro_Frenet.gif'; % nombre del GIF (opcional)

% Si se quiere empezar un GIF nuevo, se borra el anterior
if exist(nombre_gif,'file')
delete(nombre_gif);
end

%% Bucle de animación
for i = 1:Npts
% Punto actual en la espiral
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

% Vectores del triedro escalados
TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

% Actualizar T, N, B en el punto actual
set(hT, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', TT(1), 'VData', TT(2), 'WData', TT(3));
set(hN, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', NN(1), 'VData', NN(2), 'WData', NN(3));
set(hB, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', BB(1), 'VData', BB(2), 'WData', BB(3));

drawnow;
pause(0.02); % velocidad de la animación

% Guardar cada frame en un GIF (opcional)
frame = getframe(gcf);
im = frame2im(frame);
[A,map] = rgb2ind(im,256);
if i == 1
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',0.02);
else
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.02);
end
end
</syntaxhighlight>

En la animación se observa cómo el triedro de Frenet se desplaza a lo largo de la espiral de Ekman.

== Longitud de arco de la espiral de Ekman ==

La longitud de arco desde <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es
<center>
<math>
L(Z)=\int_{-Z}^{0}\sqrt{\left(\frac{du}{dz}\right)^2+\left(\frac{dv}{dz}\right)^2}\,dz
</math>
</center>

Vamos calculando la integral para distintos valores de z :

* Para \(Z=d_E\):

<math>
\;\;\; L(d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-1}\big)\approx 0.89395346735\,V_0.
</math>

* Para \(Z=2d_E\):

<math>
\;\;\; L(2d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-2}\big)\approx 1.22282056935\,V_0.
</math>

* Para \(Z=3d_E\):

<math>
\;\;\;L(3d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-3}\big)\approx 1.34380401506\,V_0.
</math>

Se observa que al aumentar <math>Z</math> la longitud se acerca a un valor límite y se aproxima a <math> \sqrt{2} V_0 </math>

Entonces la longitud de arco de la espiral de Ekman entre <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es finita para cualquier <math>Z</math>.

De lo anterior se deduce que la longitud total, cuando <math> Z \longrightarrow \infty </math>, converge a un valor finito, no diverge. Esto se debe a que la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad, de modo que la contribución a la longitud de arco de capas muy profundas es cada vez menor y la integral total converge.

== Espiral logarítmica de Ekman ==

La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal (𝑥, 𝑦) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = (u(z), v(z)),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral logarítrmica es ....

===Representación de la espiral en el plano XY===
Se tiene:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) \, V_0 \, e^{z/d_E} \, \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \\
v(z) &= V_0 \, e^{z/d_E} \, \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
\end{aligned}</math>
</div>

<p>con <math>z \in (-\infty, 0]</math>.</p>

Podemos escribir:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E}</math>
</div>

El ángulo polar θ satisface:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \theta = \frac{v}{u} = \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}.</math>
</div>

<p>Sea <math>f > 0</math> (hemisferio norte), <math>\operatorname{sgn}(f) = +1</math>, entonces:</p>

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \frac{z}{d_E} + \vartheta</math>
</div>

En coordenadas cartesianas:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
x(\theta) &= \rho(\theta) \cos \theta = V_0 e^{z/d_E} \cos \frac{z}{d_E} + \vartheta
\\
y(\theta) &= \rho(\theta) \sin \theta = V_0 e^{z/d_E} \sin \frac{z}{d_E} + \vartheta
\end{aligned}</math>
</div>

'''Representación paramétrica en ''XY'' '''

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = \left( V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \; V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right), \quad z \leq 0</math>
</div>

=== Verificación en coordenadas polares:<math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> ===

Tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\rho &= V_0 e^{z/d_E}, \\
\theta &= \frac{z}{d_E} + \vartheta.
\end{aligned}</math>
</div>

Despejamos <math>z/d_E</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{z}{d_E} = \theta - \vartheta.</math>
</div>

Sustituimos en <math>\rho</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho = V_0 e^{\theta - \vartheta} = \underbrace{(V_0 e^{-\vartheta})}_{\rho_0} e^{\theta}.</math>
</div>

Esto es de la forma <math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> con <math>b = 1</math>.

Por lo tanto la espiral logarítmica cumple

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta},\quad b = 1,\quad \rho_0 = V_0 e^{-\vartheta}</math>
</div>

Nota: Si <math>f < 0</math>, <math>\operatorname{sgn}(f) = -1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= -V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right).
\end{aligned}</math>
</div>

=== Ángulo entre vector posición y vector tangente ===

Trabajemos con la forma polar <math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta}</math> y parametizamos la curva en θ. El vector posición es

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r}(\theta) = \rho(\theta) \mathbf{e}_r</math>
</div>

La '''derivada''' respecto θ de (proporcional al vector tangente) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho'(\theta) \mathbf{e}_r + \rho(\theta) \mathbf{e}_\theta</math>
</div>

Como <math>\rho'(\theta) = b\rho(\theta)</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho(\theta) \left( b \mathbf{e}_r + \mathbf{e}_\theta\right).</math>
</div>

'''Producto escalar'''

Como <math>\mathbf{r} = \rho \mathbf{e}_r</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}
&= (\rho \mathbf{e}_r) \cdot (b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta) \\
&= \rho \cdot b\rho (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r) + \rho^2 (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta).
\end{aligned}</math>
</div>

Pero <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r = 1</math>, <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0</math>, luego:

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = b\rho^2.</math>
</div>

'''Módulos'''

<div style="text-align: center;">
<math>|\mathbf{r}| = \rho,</math>

<math>\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right| = |b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta| = \rho \sqrt{b^2 + 1}.</math>
</div>

'''Ángulo <math>\alpha</math> entre <math>\mathbf{r}</math> y <math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}</math>'''

<div style="text-align: center;">
<math>\cos \alpha = \frac{\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{|\mathbf{r}| \, \left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \frac{b\rho^2}{\rho \cdot \rho \sqrt{b^2 + 1}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}.</math>
</div>

Dado que esto no depende de θ se verifica la propiedad característica de la espiral logarítmica que dice que el ángulo es constante.

De <math>\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}</math> tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = \frac{b}{1} = b.</math>
</div>

Para la espiral de Ekman (caso <math>f > 0</math>) en (b) obtuvimos <math>b = 1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}.</math>
</div>

Por tanto el ángulo que forman el vector posición y el vector tangente es <math>\frac{\pi}{4}.</math>

=== Aplicaciones de la espiral logarítmica en ingeniería ===

====¿Por qué esta curva aparece tan frecuentemente en la naturaleza?====

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-04T11:49:29Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial V */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-04T11:21:18Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 55 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Carlos De Hita Sánchez, Hicham Ouald Omar Alouat, Naoual Roubio Darkaoui, Khadija Mrauti El Hachadi, David Gómez Matarranz }}
[[Categoría:TC25/26]]
'''INTRODUCCION'''

El efecto de Ekman constituye uno de los mecanismos fundamentales para comprender cómo el viento y la rotación terrestre influyen en la circulación oceánica. Descubierto a comienzos del siglo XX por Vagn Walfrid Ekman, este fenómeno describe cómo la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis genera una desviación progresiva en la dirección de las corrientes marinas. El resultado es la formación de la espiral de Ekman, una estructura tridimensional en la que cada capa de agua se mueve en un ángulo distinto respecto a la anterior, con una intensidad que disminuye con la profundidad.

Este proceso no solo explica la orientación del flujo superficial respecto al viento, sino que también determina el transporte de Ekman, un movimiento neto de agua perpendicular al viento que desempeña un papel crucial en la dinámica oceánica. Dicho transporte es responsable de fenómenos como la surgencia costera, el enriquecimiento de nutrientes y la regulación térmica en numerosos sistemas marinos. Comprender estos mecanismos resulta esencial para analizar la circulación en regiones como el archipiélago canario, donde las condiciones atmosféricas y oceánicas favorecen la manifestación clara del efecto de Ekman.
== Parámetro de Coriolis ''f'' ==

El parámetro de Coriolis es una medida de la intensidad de la fuerza de Coriolis sobre un objeto en movimiento debido a la rotación de la Tierra:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math>
</div>

donde:

<p>
*<math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \ \text{rad/s}</math> (velocidad angular terrestre)<br>

*<math>\phi</math> es la latitud
</p>

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>\phi : 30^\circ\;10' \;24.2''\; \mathrm{N}</math>

<math>10' = \frac{10}{60} = 0.1667^\circ</math>

<math>24.2'' = \frac{24.2}{3600} \approx 0.00672^\circ</math>

<math>\phi = 30 + 0.1667 + 0.00672 = 30.17342^\circ\ \mathrm{N}</math>

<math>f = 2\Omega \sin \phi</math>
<math>f = 2 \times (7.2921 \times 10^{-5}) \times \sin(30.17342^\circ) \approx 7.33 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}^{-1}</math>
</div>

=== Lugares en la tierra donde ''f'' es positivo, negativo o nulo ===
Depende de la latitud:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi</math>, donde:
<math>
\begin{aligned}
\phi > 0 &\Rightarrow f > 0 \quad \text{(Hemisferio norte)} \\
\phi = 0 &\Rightarrow f = 0 \quad \text{(Ecuador)} \\
\phi < 0 &\Rightarrow f < 0 \quad \text{(Hemisferio sur)}
\end{aligned}
</math>
</div>

=== Profundidad de Ekman \(d_E\) ===

La '''profundidad de Ekman''' es el espesor de la capa superficial de océano donde el efecto de la fuerza de Coriolis y la fricción por el viento influyen significativamente en el movimiento del agua:

<div style="text-align: center;">
<math>d_E = \sqrt{\frac{2v_e}{f}}</math>
</div>

donde:
*\(v_e\) es la viscosidad turbulenta
*''f'' es el parámetro de Coriolis

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>
d_E = \sqrt{\frac{2 \times 0.05 \ \text{m}^2/\text{s}}{7.33 \times 10^{-5} \ \text{s}^{-1}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.0000733}} = \sqrt{1364.26} \approx 36.94 \ \text{m}
</math>
</div>

=== Implicaciones para la Espiral de Ekman en diferentes latitudes ===

'''Hemisferio norte''': la dirección del flujo de Ekman se desvía a la derecha de la dirección del viento con la profundidad (visto desde arriba). En superficie, la corriente forma 45º a la derecha del viento en el caso teórico clásico con \(v_e\) cte.

'''Hemisferio sur''': la desviación es hacia a la izquierda del viento.

'''Cerca del ecuador''': la profundidad de Ekman \(d_E\)→<math>\infty</math> según la fórmula, lo cual significa que la capa de Ekman se hace muy gruesa y la variación vertical es más lenta. El transporte de Ekman aún existe si se usa teoría más general (''f'' variable), pero la espiral clásica (''f'' constante) deja de aplicarse, y la fuerza de Coriolis es débil.
Además:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan(\theta) = \frac{\text{componente transversal}}{\text{componente longitudinal}} = 1, \quad \text{para } \theta = 45^\circ</math>
</div>

en el modelo clásico. Esto es independiente de ''f'' en magnitud, pero el sentido de giro con la profundidad sí depende del signo de ''f''.

== Resolucion de <math>\vartheta</math>==

El valor de <math>\vartheta</math> es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas ''30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W'', asumiendo una viscosidad turbulenta de ''0.05 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''12 m/s'' que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente ''0.15 m/s'' y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:
* <math>z = 0</math>.
* <math>\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) </math>.
* <math>f > 0</math> ya que estamos en el norte, y por lo tanto <math>sgn(f) = 1</math>.

Resolviendo nos queda:

<math>
\frac{v(z)}{u(z)} =
\frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \sin(\vartheta)}
{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \cos(\vartheta)}
= \tan(\vartheta) = 1
\Rightarrow
</math>

<math>
\Rightarrow
\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>

Como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es:

<center>
<math>\frac{3\pi}{4}</math>
</center>

== Verificación de las soluciones de Ekman ==
Con el fin de confirmar que las expresiones analíticas propuestas para las componentes horizontales de la velocidad <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> constituyen efectivamente una solución del sistema de Ekman en régimen estacionario, se procede a derivar cada función dos veces con respecto a la coordenada vertical <math>𝑧</math> y a comprobar que satisfacen las ecuaciones diferenciales.

Para la componente <math>u(z)</math> :
<center>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Finalmente se obtiene :
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2}= -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>
</center>

Lo que confirma que <math>u(z)</math> cumple su ecuación correspondiente.

Un procedimiento análogo aplicado a <math>v(z)</math>
<center>
<math>v(z)=V_0 \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

</center><br/>
conduce a

<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>

</center>

En consecuencia, la pareja <math> (u(z), v(z))</math> constituye una solución válida del problema de Ekman y reproduce el acoplamiento dinámico entre ambas componentes horizontales impuesto por la fuerza de Coriolis y la fricción turbulenta vertical.

== Campo vectorial V ==
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-01 160143.png|520px|thumb|]]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial V evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧)(a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

{{matlab|codigo=%% Apartado 4

clc;close all;clear;
omega = 7.2921*(10)^-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Visualización tridimensional de la espiral de Ekman==
[[Archivo:Espiral_Ekman_3D.png.png|miniaturadeimagen|Representación tridimensional de los vectores <math>\vec V(z)</math> evaluados en <math>(0,0,z)</math> para <math>z \in [0,3d_E]</math>. La curva roja une las puntas de los vectores y forma la espiral de Ekman.]]
'''5.1. Vectores de velocidad a lo largo del eje vertical'''

El campo de velocidad horizontal del agua viene dado por

<math>\vec V(z) = u(z)\,\vec i + v(z)\,\vec j,</math>

donde las soluciones de las ecuaciones de Ekman (obtenidas en el apartado 3) son

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0\, e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
\qquad
v(z) = V_0\, e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
</math>

siendo:

* <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math> la velocidad superficial inducida por el viento (dato del modelo);
* <math>d_E</math> la profundidad de Ekman calculada en el apartado (1);
* <math>\vartheta</math> la fase inicial encontrada en el apartado (2);
* <math>\operatorname{sgn}(f)=1</math> porque <math>f>0</math> en el hemisferio norte.

Para visualizar la espiral tridimensional seguimos exactamente lo que indica el enunciado. Consideramos puntos del eje vertical <math>(0,0,z)</math> con

<math>z \in [0,-3d_E].</math>

Tomamos entre 30 y 40 puntos igualmente espaciados (por ejemplo, <math>N=40</math>). En cada profundidad <math>z</math> calculamos <math>\vec V(z)</math> y dibujamos un vector con origen en <math>(0,0,z)</math> y punta en <math>(u(z),v(z),z)</math>. Las puntas de todos esos vectores describen una curva en el espacio tridimensional: la espiral de Ekman.

'''5.2. Código de MATLAB para la visualización 3D
'''

El siguiente script de MATLAB implementa la construcción descrita anteriormente, utilizando los valores de <math>f</math>, <math>d_E</math> y <math>\vartheta</math> calculados en los apartados (1) y (2). Se generan entre 30 y 40 vectores de velocidad a lo largo de la columna de agua y se representa la espiral de Ekman en tres dimensiones.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos conocidos de los apartados (1) y (2)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida [m/s]
f = 7.3e-5; % Parámetro de Coriolis [1/s] (valor hallado en (1))
nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman (calculada en (1))
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ (hallada en (2))

%% Discretización de la profundidad física: prof ∈ [0, 3 dE]
N = 40; % 30–40 puntos
prof = linspace(0, 3*dE, N); % prof ≥ 0, 0 = superficie

%% z del MODELO (negativo), tal como se definió en el enunciado
z_model = -prof; % z ≤ 0

%% Cálculo de u(z) y v(z) usando z_model
sgnf = sign(f); % = 1 en nuestro caso (hemisferio norte)

u = sgnf * V0 .* exp(z_model/dE) .* cos(z_model/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z_model/dE) .* sin(z_model/dE + theta0);

%% Representación 3D de los vectores V(z)
figure;

% Vectores con origen en (0,0,prof) y punta en (u,v,prof)
h = quiver3( zeros(size(prof)), zeros(size(prof)), prof, ...
u, v, zeros(size(prof)), ...
'LineWidth', 1.5 );
set(h,'AutoScale','on','AutoScaleFactor',5); % Agranda las flechas para verlas bien

hold on;

% Curva que une las puntas de los vectores: la espiral de Ekman
plot3(u, v, prof, '--k', 'LineWidth', 1);

xlabel('Componente este u(z) [m/s]');
ylabel('Componente norte v(z) [m/s]');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Espiral de Ekman en 3D (vectores V evaluados en (0,0,z))');

grid on;
set(gca, 'ZDir','reverse'); % Profundidad positiva hacia abajo
view(45, 25); % Vista tridimensional agradable
% No usamos axis equal para que las flechas no queden aplastadas

hold off;
</syntaxhighlight>

'''5.3. Interpretación del resultado numérico
'''

La figura obtenida con el código anterior muestra la espiral de Ekman correspondiente a los parámetros del modelo. En la superficie (<math>z = 0</math>) el vector de velocidad tiene módulo <math>V_0 = 0{,}15\,\text{m/s}</math> y dirección fijada por la fase <math>\vartheta</math>, desviada aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento, tal como se dedujo en el apartado (2).

A medida que aumenta la profundidad (valores crecientes de la variable <math>\text{prof}</math>):

* la **dirección** de los vectores va rotando debido al efecto de Coriolis, describiendo una espiral;
* la **magnitud** de la velocidad decrece exponencialmente con el término <math>e^{z/d_E}</math>, por lo que los vectores se hacen cada vez más cortos.

La curva que une las puntas de los vectores <math>(u(z),v(z),z)</math> representa así la estructura tridimensional de la espiral de Ekman, y muestra cómo la influencia directa del viento se concentra en la capa superior de espesor del orden de la profundidad de Ekman <math>d_E</math>, desapareciendo progresivamente a mayor profundidad.

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante señalar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La justificación matemática es sencilla, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math>, y todos sus vectores se orientan de forma paralela al plano generado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto implica que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, ya que la componente <math>\vec{v}_z</math> es, de por sí, nula.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la causa de esta divergencia cero. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis.
En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

== El transporte de Ekman ==

El transporte de Ekman se define formalmente como la integral vertical de las velocidades de Ekman a lo largo de toda la columna de agua afectada por el viento, desde la superficie hasta una profundidad donde el efecto del viento se vuelve despreciable. Esta definición de integral representa el flujo neto de masa de agua que resulta de la espiral de Ekman, y es fundamental para comprender la circulación oceánica a gran escala.

El transporte de Ekman se obtiene integrando verticalmente la velocidad inducida por el viento (debido al efecto Coriolis y viscosidad) desde la superficie hasta donde el movimiento se vuelve despreciable. La expresión más común es:
<center>
<math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>
</center>

===Validez de la condición de contorno [math] z=−∞ [/math]===
La elección de <math> z=−∞ </math> como límite inferior de integración es válida en el modelo de Ekman porque representa un océano de profundidad infinita. Esta suposición es válida por las siguientes razones:

'''*Decaimiento exponencial de las velocidades''':

Las soluciones de Ekman para las componentes de velocidad tienen la forma: <math>
\vec{u(z)} \sim e^{z/d_E}\,.\bigl(\text{funciones trigonométricas}\bigr)
</math>

Dado que <math>z<0 </math> bajo la superficie, cuando <math> z<< -d </math> (profundidades mucho mayores que la capa de Ekman), el término exponencial <math> e^{z/d_E} \;\longrightarrow\; 0 </math>

'''* Condición física:'''

En profundidades suficientemente grandes, el efecto del viento superficial se desvanece completamente. La fricción entre capas de agua disminuye progresivamente con la profundidad, y eventualmente el movimiento inducido por el viento cesa. Por tanto, establecer <math> z=−∞ </math> asegura que <math>\lim_{z\to -\infty} \vec{u}_E(z) = \vec{0}</math> lo cual es físicamente consistente con un fondo marino "infinitamente profundo".

=== Cálculo analítico de la integral===

Para calcular <math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>, partimos de las ecuaciones de Ekman en estado estacionario:
<center>
<math>
-f\,v = \nu_e \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
\qquad
f\,u = \nu_e \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
</math>
</center>

Integrando la primera ecuación desde <math> z=-∞ </math> hasta <math> z=0</math> :
<center>
<math>
-f \int_{-\infty}^{0} v \, dz
= \nu_e \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_{z=-\infty}^{z=0}
</math>
</center>
Dado que <math> u \longrightarrow 0 </math> cuando <math> z \longrightarrow - ∞ </math> ,su derivada también se anula en el infinito.

En la superficie (z = 0), el esfuerzo del viento se relaciona con la derivada de la velocidad mediante:
<center>
<math>
\tau_x = \rho\,\nu_e \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{z=0}
</math>
</center>
Por lo tanto:
<center>
<math>
-f \, \frac{M_{Ey}}{\rho} = \frac{\tau_x}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ey} = -\,\frac{\tau_x}{f}
</math>
</center>
Análogamente, integrando la segunda ecuación:
<center>
<math>
f \, \frac{M_{Ex}}{\rho} = \frac{\tau_y}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ex} = \frac{\tau_y}{f}
</math>
</center>
El transporte de Ekman resulta ser:
<center>
<math>
\vec{M}_E =
\left(
\frac{\tau_y}{f},\;
-\frac{\tau_x}{f}
\right)
</math>
</center>

===Demostración de perpendicularidad===

Para verificar que <math>\vec{M}_E</math> es perpendicular al viento, calculamos el producto escalar:

<center>
<math>
\vec{\tau} \cdot \vec{M}_E
= \tau_x \cdot \frac{\tau_y}{f}
+ \tau_y \cdot \left( -\,\frac{\tau_x}{f} \right)
= \frac{\tau_x \tau_y - \tau_y \tau_x}{f}
= 0
</math>
</center>

Esto demuestra matemáticamente que el transporte neto de Ekman es siempre perpendicular a la dirección del viento.
En el Hemisferio Norte (<math>f>0</math>), el transporte es <math>90^{\circ}</math> a la derecha del viento.
En el Hemisferio Sur (<math>f<0</math>), es <math> 90^{\circ}</math> a la izquierda.

==Flujo Neto==
El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico <math> \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>,donde <math> \alpha \in [0,2\pi) </math> es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura <math>L = 10\ \text{m}</math> y la profundidad será infinita <math> z \in [0,-\infty)</math>.
Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial <math>\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}</math>,y un vector perpendicular a la superficie <math>\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>:
<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL</math>

El resultado del producto vectorial<math>(\vec{v} \cdot \vec{n})</math>es:

<math>\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
+ \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right]</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).</math>

Ahora la integral doble sería:

<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0}
V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL</math>

<math>\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0}
e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.</math>

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math>dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes:
<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos: <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral:

<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Como la ultima integral es igual a la primera:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I </math>

Esta la sustituimos en <math>\Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Entonces <math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)</math>

Solo nos queda evaluar la integral entre <math> z=0 </math> y <math> z=-\infty</math>

<math> z =0:</math>

<math>e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha),
\quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty </math> todos los <math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta=\frac{3\pi}{4}</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el oeste. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento, siendo su sentido dependiente precisamente del parámetro de Coriolis y del hemisferio en el que nos encontremos.

== Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas ==

La espiral de Ekman en el espacio 3D esta parametrizada por:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma(z) = (u(z), v(z), z),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral de Ekamn en el océano describe cómo varía la velocidad horizontal ''(u(z), v(z))'' con la profundidad ''z'' (con z=0 en la superficie y z<0 hacia el fondo).

Una forma típica es:

<div style="text-align: center;">
<math>u(z) = \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>

<math>v(z) = V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

donde:

*<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math> es el parámetro de Coriolis

*\(V_0\) es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento.

*\(d_E\) es la profundidad de Ekman.

*sgn es la función signo: <math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0
\end{cases}
</math>, que determina un signo diferente según el hemisferio.

*ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Para pasarlo a coordenadas cilíndricas (r,θ,z):

<div style="text-align: center;">
<math>x = u(z),\quad y = v(z),\quad z = z</math>
</div>

Calculamos:

'''Para el radio:'''

<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E} \sqrt{\operatorname{sgn}(f)^2 \cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta)}</math>
</div>
<p>donde <math>\theta_z = z/d_E</math>.</p>
<p>Pero <math>\operatorname{sgn}(f)^2 = 1</math> (es <math>\pm 1</math>), así que dentro de la raíz solo queda:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>\cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta) = 1.</math>
</div>
<p>Por lo tanto:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = V_0 e^{z/d_E}.</math>
</div>

'''Para 0 (ángulo en el plano u,v):'''

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\theta(z) &= \arctan\!\left( \frac{v(z)}{u(z)} \right) \\
&= \arctan\!\left( \frac{V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right)
\end{aligned}</math>
</div>

* V_0 e^{z/d_E} se cancelan

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \arctan\!\left( \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right) = \arctan\!\left( \frac{1}{\operatorname{sgn}(f)} \tan\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right)</math>
</div>

<p>El factor <math>1/\operatorname{sgn}(f)</math> es:</p>
<ul>
<li><math>+1</math> si <math>f > 0</math> (hemisferio norte),</li>
<li><math>-1</math> si <math>f < 0</math> (hemisferio sur).</li>
</ul>

Podemos absorber este signo dentro del argumento, porque:

<div style="text-align: center;">
<math>\arctan(-\tan A) = -A \ (\text{mod } \pi)</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

'''Para la altura:'''

<div style="text-align: center;">
<math>z = z</math>
</div>

Por tanto, la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas es:

<div style="text-align: center;">
<math>(r(z), \theta(z), z) = \left( V_0 e^{z/d_E},\; \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),\; z \right)</math>
</div>

=== Representación en MATLAB ===

[[Archivo:espiralek.png|miniaturadeimagen|Representación de la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas de <math>z = -4d_E</math> con su superficie de referencia ]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
dE = 1; % Profundidad de Ekman
V0 = 1; % Velocidad superficial
f_sign = 1; % 1 para hemisferio norte, -1 para sur
theta0 = pi/4; % Fase inicial

% Rango de z: de 0 a -4*dE
z = linspace(0, -4*dE, 500);

% Coordenadas cilíndricas DIRECTAS (sin pasar por u, v)
r = V0 * exp(z/dE); % Radio
theta = atan(tan(z/dE + theta0) / f_sign); % Ángulo (simplificado)

% Mejor usar atan2 para manejar cuadrantes correctamente:
% Reconstruimos u, v temporalmente solo para calcular theta correctamente:
u_temp = f_sign * V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v_temp = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);
theta = atan2(v_temp, u_temp);

% Convertir cilíndricas a cartesianas para graficar en 3D
x_cil = r .* cos(theta); % x = r*cos(θ)
y_cil = r .* sin(theta); % y = r*sin(θ)
z_cil = z; % z se mantiene igual

% Representación 3D EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
figure('Position', [100 100 1000 700]);

% 1. Curva 3D en espacio cilíndrico transformado
subplot(2,3,[1 4]);
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x_cil(1), y_cil(1), z_cil(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot3(x_cil(end), y_cil(end), z_cil(end), 'ks', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'k');
grid on;
xlabel('x = r cos(θ)');
ylabel('y = r sin(θ)');
zlabel('Profundidad z');
title('Espiral de Ekman en 3D (de coord. cilíndricas)');
view(40, 25);
axis equal;

% 2. Vista superior - diagrama polar
subplot(2,3,2);
polarplot(theta, r, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Diagrama polar (r,θ)');
rlim([0 V0*1.1]);

% Figura adicional: Superficie cilíndrica de referencia
figure;
% Crear malla para superficie cilíndrica
[Z, TH] = meshgrid(linspace(-4*dE, 0, 20), linspace(min(theta), max(theta), 30));
R_surf = V0 * exp(Z/dE);
[X_surf, Y_surf] = pol2cart(TH, R_surf);

% Graficar superficie cilíndrica
surf(X_surf, Y_surf, Z, 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeAlpha', 0.3);
hold on;

% Graficar curva
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 3);

% Configurar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Espiral sobre superficie cilíndrica de referencia');
axis equal;
grid on;
view(40, 25);
</syntaxhighlight>

==Curvatura y torsión para la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

[[Archivo:imagencurvatura.png|miniaturadeimagen|Representación de la curvatura y la torsión]]

'''Torsión:'''

<math>\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}</math>

'''Curvatura:'''

<math>\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}</math>

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

<math>\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),</math>

donde

<math>u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),</math>

<math>d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.</math>

Derivadas de la curva:

Definimos <math>\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.</math>

Entonces:

<math>\vec{r}'(z) = \left( \frac{\text{sgn}(f) \, A}{d_E} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad \frac{A}{d_E} (\sin \varphi + \cos \varphi),\quad 1 \right),</math>

<math>\vec{r}''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^2} \sin \varphi, \quad \frac{2A}{d_E^2} \cos \varphi,\quad 0 \right),</math>

<math>\vec{r}'''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^3} (\sin \varphi + \cos \varphi), \quad \frac{2A}{d_E^3} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad 0 \right)</math>

<math>
\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)=\Big(-\dfrac{2A}{d_E^2}\cos\varphi,\; \dfrac{2A}{d_E^2}\operatorname{sgn}(f)\sin\varphi,\; \dfrac{2A^2\operatorname{sgn}(f)}{d_E^3}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert^{2}=\dfrac{4A^{2}}{d_E^{4}}\Big(1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{2}=1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}
</math>

<math>
\kappa(z)=\dfrac{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert}{\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{3}}
=\dfrac{\dfrac{2A}{d_E^{2}}\displaystyle\sqrt{1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}}}
{\bigl(1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}\bigr)^{3/2}}
</math>

<math>
\tau(z)=\dfrac{\det\bigl[\mathbf r'(z),\mathbf r''(z),\mathbf r'''(z)\bigr]}{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert^{2}}
=-\,\dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,d_E}{\,d_E^{2}+A^{2}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\, }.
</math>

Conclusión:

* El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
* Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:
<math>\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.</math>
* Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.

==Triedro de Frenet==

En el enunciado (10) se parametrizó la espiral de Ekman en 3D mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), \qquad z \le 0,
</math>

y en el enunciado (11) se calcularon la '''curvatura''' <math>\kappa(z)</math> y la '''torsión''' <math>\tau(z)</math> de esta curva a partir de las expresiones generales

<math>
\kappa(z) = \dfrac{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert}
{\lVert \gamma'(z) \rVert^3}, \qquad
\tau(z) = \dfrac{\bigl[\gamma'(z),\gamma''(z),\gamma'''(z)\bigr]}
{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert^2}.
</math>

A partir de estos invariantes definimos el '''triedro de Frenet'''
<math>\{\mathbf T(z),\mathbf N(z),\mathbf B(z)\}</math> asociado a la espiral:

* El '''vector tangente unitario'''

<math>
\mathbf T(z) = \dfrac{\gamma'(z)}{\lVert \gamma'(z)\rVert},
</math>

* el '''vector normal principal'''

<math>
\mathbf N(z) = \dfrac{\mathbf T'(z)}{\lVert \mathbf T'(z)\rVert},
</math>

* y el '''vector binormal'''

<math>
\mathbf B(z) = \mathbf T(z) \times \mathbf N(z).
</math>

En la práctica, las derivadas se calculan de forma numérica a partir de las coordenadas discretas de la espiral. A continuación se detalla una implementación en MATLAB que permite obtener <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math>, <math>\mathbf B</math>, así como la curvatura <math>\kappa</math> y la torsión <math>\tau</math> de la curva.

=== 12.1. Función ''frenet'' (cálculo numérico del triedro) ===

La función siguiente recibe las coordenadas <math>(x_i,y_i,z_i)</math> de una curva en forma de vectores y devuelve los vectores del triedro de Frenet en cada punto:

<syntaxhighlight lang="matlab">
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z)
% FRENET Triedro de Frenet de una curva dada por (x,y,z)

if nargin == 2
z = zeros(size(x));
end

% Convertir a vectores columna
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% Primera derivada (velocidad de la curva)
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

% Segunda derivada
ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% Vector tangente unitario
T = dr ./ mag(dr,3);

% Derivada del tangente
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));
dT = [dTx dTy dTz];

% Vector normal unitario
N = dT ./ mag(dT,3);

% Binormal
B = cross(T,N);

% Curvatura (fórmula general)
k = mag(cross(dr,ddr),1) ./ (mag(dr,1).^3);

% Torsión (aproximada)
t = dot(-B,N,2);

end

function N = mag(T,n)
% MAG Magnitud de un vector (Nx3)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
end
</syntaxhighlight>

=== 12.2. Representación del triedro en 5–6 puntos de la espiral ===

Para representar gráficamente el triedro de Frenet en la espiral de Ekman, utilizamos los mismos parámetros físicos fijados en los enunciados (1) y (2):

* velocidad superficial inducida <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math>,
* viscosidad turbulenta <math>\nu_e = 0{,}05\ \text{m}^2/\text{s}</math>,
* parámetro de Coriolis local <math>f</math>, de donde se obtiene la profundidad de Ekman <math>d_E = \sqrt{2\nu_e/|f|}</math>,
* fase inicial <math>\vartheta</math> (ángulo de desviación superficial), calculada previamente.

Para mantener la coherencia con el enunciado, trabajamos con una variable de profundidad negativa
<math>z \in [0,-3d_E]</math>, donde <math>z=0</math> corresponde a la superficie y <math>z<0</math> a niveles más profundos.

La espiral de Ekman se describe entonces mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr),
</math>

con

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}
\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\quad
v(z) = V_0 e^{z/d_E}
\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\qquad z \le 0.
</math>

El siguiente código de MATLAB construye la espiral, calcula el triedro de Frenet y lo representa en 5–6 puntos. En la gráfica el eje vertical muestra explícitamente profundidades negativas, desde <math>z=0</math> (superficie) hasta <math>z=-3d_E</math>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Parámetros físicos (de los enunciados (1) y (2))
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud de la zona de estudio
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral en coordenadas (x,y,z)
Npts = 200; % puntos para describir bien la curva
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa (0 = superficie)

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Selección de 5–6 puntos
idx = round(linspace(10, Npts-10, 6));

%% Representación 3D
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Longitud gráfica de los vectores del triedro
L = dE/5;

for j = 1:length(idx)
i = idx(j);
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

quiver3(xb, yb, zb, TT(1), TT(2), TT(3), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, NN(1), NN(2), NN(3), 'g', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, BB(1), BB(2), BB(3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Triedro de Frenet en varios puntos de la espiral de Ekman');

grid on;
view(35,25); % Vista tridimensional
% Aquí NO se invierte el eje Z: se muestran las profundidades negativas tal cual

hold off;
</syntaxhighlight>

En la figura resultante se observan 5–6 sistemas de vectores ortogonales <math>\{\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\}</math> distribuidos a lo largo de la espiral, con el eje vertical indicando explícitamente los valores negativos de profundidad.

=== 12.3. Animación del triedro de Frenet ===

Podemos completar el estudio construyendo una animación en la que el triedro recorra la espiral de Ekman. La idea es la misma que en el apartado anterior, pero actualizando en cada fotograma los vectores <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math> y <math>\mathbf B</math> en un único punto que se desplaza a lo largo de la curva.

El siguiente script de MATLAB genera la animación.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman

% Parámetros físicos (los mismos del trabajo)
Omega = 7.2921e-5; % [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud Canarias
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral (x,y,z) con z negativa
Npts = 200; % puntos de la espiral
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de toda la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Preparar la figura para la animación
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Vector del viento (opcional, solo decorativo)
quiver3(escala*0.15, 0, 0, -escala*0.3, 0, 0, ...
'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);

% Inicializar los manejadores de T, N, B
hT = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hN = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hB = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman');

grid on;
axis vis3d;
view(35,25); % z se muestra negativo, coherente con el modelo

hold off;

%% Parámetros de la animación
L = dE/5; % longitud de los vectores del triedro
nombre_gif = 'Ekman_triedro_Frenet.gif'; % nombre del GIF (opcional)

% Si se quiere empezar un GIF nuevo, se borra el anterior
if exist(nombre_gif,'file')
delete(nombre_gif);
end

%% Bucle de animación
for i = 1:Npts
% Punto actual en la espiral
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

% Vectores del triedro escalados
TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

% Actualizar T, N, B en el punto actual
set(hT, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', TT(1), 'VData', TT(2), 'WData', TT(3));
set(hN, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', NN(1), 'VData', NN(2), 'WData', NN(3));
set(hB, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', BB(1), 'VData', BB(2), 'WData', BB(3));

drawnow;
pause(0.02); % velocidad de la animación

% Guardar cada frame en un GIF (opcional)
frame = getframe(gcf);
im = frame2im(frame);
[A,map] = rgb2ind(im,256);
if i == 1
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',0.02);
else
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.02);
end
end
</syntaxhighlight>

En la animación se observa cómo el triedro de Frenet se desplaza a lo largo de la espiral de Ekman.

== Longitud de arco de la espiral de Ekman ==

La longitud de arco desde <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es
<center>
<math>
L(Z)=\int_{-Z}^{0}\sqrt{\left(\frac{du}{dz}\right)^2+\left(\frac{dv}{dz}\right)^2}\,dz
</math>
</center>

Vamos calculando la integral para distintos valores de z :

* Para \(Z=d_E\):

<math>
\;\;\; L(d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-1}\big)\approx 0.89395346735\,V_0.
</math>

* Para \(Z=2d_E\):

<math>
\;\;\; L(2d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-2}\big)\approx 1.22282056935\,V_0.
</math>

* Para \(Z=3d_E\):

<math>
\;\;\;L(3d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-3}\big)\approx 1.34380401506\,V_0.
</math>

Se observa que al aumentar <math>Z</math> la longitud se acerca a un valor límite y se aproxima a <math> \sqrt{2} V_0 </math>

Entonces la longitud de arco de la espiral de Ekman entre <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es finita para cualquier <math>Z</math>.

De lo anterior se deduce que la longitud total, cuando <math> Z \longrightarrow \infty </math>, converge a un valor finito, no diverge. Esto se debe a que la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad, de modo que la contribución a la longitud de arco de capas muy profundas es cada vez menor y la integral total converge.

== Espiral logarítmica de Ekman ==

La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal (𝑥, 𝑦) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = (u(z), v(z)),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral logarítrmica es ....

===Representación de la espiral en el plano XY===
Se tiene:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) \, V_0 \, e^{z/d_E} \, \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \\
v(z) &= V_0 \, e^{z/d_E} \, \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
\end{aligned}</math>
</div>

<p>con <math>z \in (-\infty, 0]</math>.</p>

Podemos escribir:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E}</math>
</div>

El ángulo polar θ satisface:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \theta = \frac{v}{u} = \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}.</math>
</div>

<p>Sea <math>f > 0</math> (hemisferio norte), <math>\operatorname{sgn}(f) = +1</math>, entonces:</p>

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \frac{z}{d_E} + \vartheta</math>
</div>

En coordenadas cartesianas:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
x(\theta) &= \rho(\theta) \cos \theta = V_0 e^{z/d_E} \cos \frac{z}{d_E} + \vartheta
\\
y(\theta) &= \rho(\theta) \sin \theta = V_0 e^{z/d_E} \sin \frac{z}{d_E} + \vartheta
\end{aligned}</math>
</div>

'''Representación paramétrica en ''XY'' '''

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = \left( V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \; V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right), \quad z \leq 0</math>
</div>

=== Verificación en coordenadas polares:<math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> ===

Tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\rho &= V_0 e^{z/d_E}, \\
\theta &= \frac{z}{d_E} + \vartheta.
\end{aligned}</math>
</div>

Despejamos <math>z/d_E</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{z}{d_E} = \theta - \vartheta.</math>
</div>

Sustituimos en <math>\rho</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho = V_0 e^{\theta - \vartheta} = \underbrace{(V_0 e^{-\vartheta})}_{\rho_0} e^{\theta}.</math>
</div>

Esto es de la forma <math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> con <math>b = 1</math>.

Por lo tanto la espiral logarítmica cumple

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta},\quad b = 1,\quad \rho_0 = V_0 e^{-\vartheta}</math>
</div>

Nota: Si <math>f < 0</math>, <math>\operatorname{sgn}(f) = -1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= -V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right).
\end{aligned}</math>
</div>

=== Ángulo entre vector posición y vector tangente ===

Trabajemos con la forma polar <math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta}</math> y parametizamos la curva en θ. El vector posición es

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r}(\theta) = \rho(\theta) \mathbf{e}_r</math>
</div>

La '''derivada''' respecto θ de (proporcional al vector tangente) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho'(\theta) \mathbf{e}_r + \rho(\theta) \mathbf{e}_\theta</math>
</div>

Como <math>\rho'(\theta) = b\rho(\theta)</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho(\theta) \left( b \mathbf{e}_r + \mathbf{e}_\theta\right).</math>
</div>

'''Producto escalar'''

Como <math>\mathbf{r} = \rho \mathbf{e}_r</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}
&= (\rho \mathbf{e}_r) \cdot (b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta) \\
&= \rho \cdot b\rho (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r) + \rho^2 (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta).
\end{aligned}</math>
</div>

Pero <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r = 1</math>, <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0</math>, luego:

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = b\rho^2.</math>
</div>

'''Módulos'''

<div style="text-align: center;">
<math>|\mathbf{r}| = \rho,</math>

<math>\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right| = |b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta| = \rho \sqrt{b^2 + 1}.</math>
</div>

'''Ángulo <math>\alpha</math> entre <math>\mathbf{r}</math> y <math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}</math>'''

<div style="text-align: center;">
<math>\cos \alpha = \frac{\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{|\mathbf{r}| \, \left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \frac{b\rho^2}{\rho \cdot \rho \sqrt{b^2 + 1}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}.</math>
</div>

Dado que esto no depende de θ se verifica la propiedad característica de la espiral logarítmica que dice que el ángulo es constante.

De <math>\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}</math> tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = \frac{b}{1} = b.</math>
</div>

Para la espiral de Ekman (caso <math>f > 0</math>) en (b) obtuvimos <math>b = 1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}.</math>
</div>

Por tanto el ángulo que forman el vector posición y el vector tangente es <math>\frac{\pi}{4}.</math>

=== Aplicaciones de la espiral logarítmica en ingeniería ===

====¿Por qué esta curva aparece tan frecuentemente en la naturaleza?====

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-04T11:02:20Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Rotacional de \vec{v} */

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 55 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Carlos De Hita Sánchez, Hicham Ouald Omar Alouat, Naoual Roubio Darkaoui, Khadija Mrauti El Hachadi, David Gómez Matarranz }}
[[Categoría:TC25/26]]
'''INTRODUCCION'''

El efecto de Ekman constituye uno de los mecanismos fundamentales para comprender cómo el viento y la rotación terrestre influyen en la circulación oceánica. Descubierto a comienzos del siglo XX por Vagn Walfrid Ekman, este fenómeno describe cómo la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis genera una desviación progresiva en la dirección de las corrientes marinas. El resultado es la formación de la espiral de Ekman, una estructura tridimensional en la que cada capa de agua se mueve en un ángulo distinto respecto a la anterior, con una intensidad que disminuye con la profundidad.

Este proceso no solo explica la orientación del flujo superficial respecto al viento, sino que también determina el transporte de Ekman, un movimiento neto de agua perpendicular al viento que desempeña un papel crucial en la dinámica oceánica. Dicho transporte es responsable de fenómenos como la surgencia costera, el enriquecimiento de nutrientes y la regulación térmica en numerosos sistemas marinos. Comprender estos mecanismos resulta esencial para analizar la circulación en regiones como el archipiélago canario, donde las condiciones atmosféricas y oceánicas favorecen la manifestación clara del efecto de Ekman.
== Parámetro de Coriolis ''f'' ==

El parámetro de Coriolis es una medida de la intensidad de la fuerza de Coriolis sobre un objeto en movimiento debido a la rotación de la Tierra:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math>
</div>

donde:

<p>
*<math>\Omega = 7.2921 \times 10^{-5} \ \text{rad/s}</math> (velocidad angular terrestre)<br>

*<math>\phi</math> es la latitud
</p>

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>\phi : 30^\circ\;10' \;24.2''\; \mathrm{N}</math>

<math>10' = \frac{10}{60} = 0.1667^\circ</math>

<math>24.2'' = \frac{24.2}{3600} \approx 0.00672^\circ</math>

<math>\phi = 30 + 0.1667 + 0.00672 = 30.17342^\circ\ \mathrm{N}</math>

<math>f = 2\Omega \sin \phi</math>
<math>f = 2 \times (7.2921 \times 10^{-5}) \times \sin(30.17342^\circ) \approx 7.33 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}^{-1}</math>
</div>

=== Lugares en la tierra donde ''f'' es positivo, negativo o nulo ===
Depende de la latitud:

<div style="text-align: center;">
<math>f = 2\Omega \sin\phi</math>, donde:
<math>
\begin{aligned}
\phi > 0 &\Rightarrow f > 0 \quad \text{(Hemisferio norte)} \\
\phi = 0 &\Rightarrow f = 0 \quad \text{(Ecuador)} \\
\phi < 0 &\Rightarrow f < 0 \quad \text{(Hemisferio sur)}
\end{aligned}
</math>
</div>

=== Profundidad de Ekman \(d_E\) ===

La '''profundidad de Ekman''' es el espesor de la capa superficial de océano donde el efecto de la fuerza de Coriolis y la fricción por el viento influyen significativamente en el movimiento del agua:

<div style="text-align: center;">
<math>d_E = \sqrt{\frac{2v_e}{f}}</math>
</div>

donde:
*\(v_e\) es la viscosidad turbulenta
*''f'' es el parámetro de Coriolis

Para la localidad dada:

<div style="text-align: center;">
<math>
d_E = \sqrt{\frac{2 \times 0.05 \ \text{m}^2/\text{s}}{7.33 \times 10^{-5} \ \text{s}^{-1}}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.0000733}} = \sqrt{1364.26} \approx 36.94 \ \text{m}
</math>
</div>

=== Implicaciones para la Espiral de Ekman en diferentes latitudes ===

'''Hemisferio norte''': la dirección del flujo de Ekman se desvía a la derecha de la dirección del viento con la profundidad (visto desde arriba). En superficie, la corriente forma 45º a la derecha del viento en el caso teórico clásico con \(v_e\) cte.

'''Hemisferio sur''': la desviación es hacia a la izquierda del viento.

'''Cerca del ecuador''': la profundidad de Ekman \(d_E\)→<math>\infty</math> según la fórmula, lo cual significa que la capa de Ekman se hace muy gruesa y la variación vertical es más lenta. El transporte de Ekman aún existe si se usa teoría más general (''f'' variable), pero la espiral clásica (''f'' constante) deja de aplicarse, y la fuerza de Coriolis es débil.
Además:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan(\theta) = \frac{\text{componente transversal}}{\text{componente longitudinal}} = 1, \quad \text{para } \theta = 45^\circ</math>
</div>

en el modelo clásico. Esto es independiente de ''f'' en magnitud, pero el sentido de giro con la profundidad sí depende del signo de ''f''.

== Resolucion de <math>\vartheta</math>==

El valor de <math>\vartheta</math> es importante para la definición de la espiral de Ekman, ya que determina la fase inicial fijada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Considerando una localidad de las Islas Canarias, con coordenadas aproximadas ''30º10′24.2″N, 15º30′26.5″W'', asumiendo una viscosidad turbulenta de ''0.05 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''12 m/s'' que sopla de Norte a Sur, una velocidad superficial inducida de aproximadamente ''0.15 m/s'' y un desvío aproximado de 45º (hacia la derecha respecto a la dirección del viento) del flujo supercial. Usamos los siguientes valores:
* <math>z = 0</math>.
* <math>\frac{v(z)}{u(z)} = 1 = \tan(45º) </math>.
* <math>f > 0</math> ya que estamos en el norte, y por lo tanto <math>sgn(f) = 1</math>.

Resolviendo nos queda:

<math>
\frac{v(z)}{u(z)} =
\frac{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \sin(\vartheta)}
{V_0 e^{\frac{0}{d_E}} \cos(\vartheta)}
= \tan(\vartheta) = 1
\Rightarrow
</math>

<math>
\Rightarrow
\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>

Como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es:

<center>
<math>\frac{3\pi}{4}</math>
</center>

== Verificación de las soluciones de Ekman ==
Con el fin de confirmar que las expresiones analíticas propuestas para las componentes horizontales de la velocidad <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> constituyen efectivamente una solución del sistema de Ekman en régimen estacionario, se procede a derivar cada función dos veces con respecto a la coordenada vertical <math>𝑧</math> y a comprobar que satisfacen las ecuaciones diferenciales.

Para la componente <math>u(z)</math> :
<center>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Finalmente se obtiene :
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2}= -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>
</center>

Lo que confirma que <math>u(z)</math> cumple su ecuación correspondiente.

Un procedimiento análogo aplicado a <math>v(z)</math>
<center>
<math>v(z)=V_0 \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>

</center><br/>
conduce a

<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>

</center>

En consecuencia, la pareja <math> (u(z), v(z))</math> constituye una solución válida del problema de Ekman y reproduce el acoplamiento dinámico entre ambas componentes horizontales impuesto por la fuerza de Coriolis y la fricción turbulenta vertical.

== Campo vectorial v ==
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-01 160143.png|520px|thumb|]]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial V evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧)(a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

{{matlab|codigo=%% Apartado 4

clc;close all;clear;
omega = 7.2921*(10)^-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Visualización tridimensional de la espiral de Ekman==
[[Archivo:Espiral_Ekman_3D.png.png|miniaturadeimagen|Representación tridimensional de los vectores <math>\vec V(z)</math> evaluados en <math>(0,0,z)</math> para <math>z \in [0,3d_E]</math>. La curva roja une las puntas de los vectores y forma la espiral de Ekman.]]
'''5.1. Vectores de velocidad a lo largo del eje vertical'''

El campo de velocidad horizontal del agua viene dado por

<math>\vec V(z) = u(z)\,\vec i + v(z)\,\vec j,</math>

donde las soluciones de las ecuaciones de Ekman (obtenidas en el apartado 3) son

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0\, e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
\qquad
v(z) = V_0\, e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),
</math>

siendo:

* <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math> la velocidad superficial inducida por el viento (dato del modelo);
* <math>d_E</math> la profundidad de Ekman calculada en el apartado (1);
* <math>\vartheta</math> la fase inicial encontrada en el apartado (2);
* <math>\operatorname{sgn}(f)=1</math> porque <math>f>0</math> en el hemisferio norte.

Para visualizar la espiral tridimensional seguimos exactamente lo que indica el enunciado. Consideramos puntos del eje vertical <math>(0,0,z)</math> con

<math>z \in [0,-3d_E].</math>

Tomamos entre 30 y 40 puntos igualmente espaciados (por ejemplo, <math>N=40</math>). En cada profundidad <math>z</math> calculamos <math>\vec V(z)</math> y dibujamos un vector con origen en <math>(0,0,z)</math> y punta en <math>(u(z),v(z),z)</math>. Las puntas de todos esos vectores describen una curva en el espacio tridimensional: la espiral de Ekman.

'''5.2. Código de MATLAB para la visualización 3D
'''

El siguiente script de MATLAB implementa la construcción descrita anteriormente, utilizando los valores de <math>f</math>, <math>d_E</math> y <math>\vartheta</math> calculados en los apartados (1) y (2). Se generan entre 30 y 40 vectores de velocidad a lo largo de la columna de agua y se representa la espiral de Ekman en tres dimensiones.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Datos conocidos de los apartados (1) y (2)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida [m/s]
f = 7.3e-5; % Parámetro de Coriolis [1/s] (valor hallado en (1))
nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman (calculada en (1))
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ (hallada en (2))

%% Discretización de la profundidad física: prof ∈ [0, 3 dE]
N = 40; % 30–40 puntos
prof = linspace(0, 3*dE, N); % prof ≥ 0, 0 = superficie

%% z del MODELO (negativo), tal como se definió en el enunciado
z_model = -prof; % z ≤ 0

%% Cálculo de u(z) y v(z) usando z_model
sgnf = sign(f); % = 1 en nuestro caso (hemisferio norte)

u = sgnf * V0 .* exp(z_model/dE) .* cos(z_model/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z_model/dE) .* sin(z_model/dE + theta0);

%% Representación 3D de los vectores V(z)
figure;

% Vectores con origen en (0,0,prof) y punta en (u,v,prof)
h = quiver3( zeros(size(prof)), zeros(size(prof)), prof, ...
u, v, zeros(size(prof)), ...
'LineWidth', 1.5 );
set(h,'AutoScale','on','AutoScaleFactor',5); % Agranda las flechas para verlas bien

hold on;

% Curva que une las puntas de los vectores: la espiral de Ekman
plot3(u, v, prof, '--k', 'LineWidth', 1);

xlabel('Componente este u(z) [m/s]');
ylabel('Componente norte v(z) [m/s]');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Espiral de Ekman en 3D (vectores V evaluados en (0,0,z))');

grid on;
set(gca, 'ZDir','reverse'); % Profundidad positiva hacia abajo
view(45, 25); % Vista tridimensional agradable
% No usamos axis equal para que las flechas no queden aplastadas

hold off;
</syntaxhighlight>

'''5.3. Interpretación del resultado numérico
'''

La figura obtenida con el código anterior muestra la espiral de Ekman correspondiente a los parámetros del modelo. En la superficie (<math>z = 0</math>) el vector de velocidad tiene módulo <math>V_0 = 0{,}15\,\text{m/s}</math> y dirección fijada por la fase <math>\vartheta</math>, desviada aproximadamente <math>45^\circ</math> a la derecha del viento, tal como se dedujo en el apartado (2).

A medida que aumenta la profundidad (valores crecientes de la variable <math>\text{prof}</math>):

* la **dirección** de los vectores va rotando debido al efecto de Coriolis, describiendo una espiral;
* la **magnitud** de la velocidad decrece exponencialmente con el término <math>e^{z/d_E}</math>, por lo que los vectores se hacen cada vez más cortos.

La curva que une las puntas de los vectores <math>(u(z),v(z),z)</math> representa así la estructura tridimensional de la espiral de Ekman, y muestra cómo la influencia directa del viento se concentra en la capa superior de espesor del orden de la profundidad de Ekman <math>d_E</math>, desapareciendo progresivamente a mayor profundidad.

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante señalar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La justificación matemática es sencilla, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math>, y todos sus vectores se orientan de forma paralela al plano generado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto implica que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, ya que la componente <math>\vec{v}_z</math> es, de por sí, nula.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la causa de esta divergencia cero. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis.
En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

== El transporte de Ekman ==

El transporte de Ekman se define formalmente como la integral vertical de las velocidades de Ekman a lo largo de toda la columna de agua afectada por el viento, desde la superficie hasta una profundidad donde el efecto del viento se vuelve despreciable. Esta definición de integral representa el flujo neto de masa de agua que resulta de la espiral de Ekman, y es fundamental para comprender la circulación oceánica a gran escala.

El transporte de Ekman se obtiene integrando verticalmente la velocidad inducida por el viento (debido al efecto Coriolis y viscosidad) desde la superficie hasta donde el movimiento se vuelve despreciable. La expresión más común es:
<center>
<math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>
</center>

===Validez de la condición de contorno [math] z=−∞ [/math]===
La elección de <math> z=−∞ </math> como límite inferior de integración es válida en el modelo de Ekman porque representa un océano de profundidad infinita. Esta suposición es válida por las siguientes razones:

'''*Decaimiento exponencial de las velocidades''':

Las soluciones de Ekman para las componentes de velocidad tienen la forma: <math>
\vec{u(z)} \sim e^{z/d_E}\,.\bigl(\text{funciones trigonométricas}\bigr)
</math>

Dado que <math>z<0 </math> bajo la superficie, cuando <math> z<< -d </math> (profundidades mucho mayores que la capa de Ekman), el término exponencial <math> e^{z/d_E} \;\longrightarrow\; 0 </math>

'''* Condición física:'''

En profundidades suficientemente grandes, el efecto del viento superficial se desvanece completamente. La fricción entre capas de agua disminuye progresivamente con la profundidad, y eventualmente el movimiento inducido por el viento cesa. Por tanto, establecer <math> z=−∞ </math> asegura que <math>\lim_{z\to -\infty} \vec{u}_E(z) = \vec{0}</math> lo cual es físicamente consistente con un fondo marino "infinitamente profundo".

=== Cálculo analítico de la integral===

Para calcular <math> \vec{M}_E = \int_{-\infty}^{0} \vec{w(z)}\, dz </math>, partimos de las ecuaciones de Ekman en estado estacionario:
<center>
<math>
-f\,v = \nu_e \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
\qquad
f\,u = \nu_e \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}
</math>
</center>

Integrando la primera ecuación desde <math> z=-∞ </math> hasta <math> z=0</math> :
<center>
<math>
-f \int_{-\infty}^{0} v \, dz
= \nu_e \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_{z=-\infty}^{z=0}
</math>
</center>
Dado que <math> u \longrightarrow 0 </math> cuando <math> z \longrightarrow - ∞ </math> ,su derivada también se anula en el infinito.

En la superficie (z = 0), el esfuerzo del viento se relaciona con la derivada de la velocidad mediante:
<center>
<math>
\tau_x = \rho\,\nu_e \left. \frac{\partial u}{\partial z} \right|_{z=0}
</math>
</center>
Por lo tanto:
<center>
<math>
-f \, \frac{M_{Ey}}{\rho} = \frac{\tau_x}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ey} = -\,\frac{\tau_x}{f}
</math>
</center>
Análogamente, integrando la segunda ecuación:
<center>
<math>
f \, \frac{M_{Ex}}{\rho} = \frac{\tau_y}{\rho}
\;\;\Rightarrow\;\;
M_{Ex} = \frac{\tau_y}{f}
</math>
</center>
El transporte de Ekman resulta ser:
<center>
<math>
\vec{M}_E =
\left(
\frac{\tau_y}{f},\;
-\frac{\tau_x}{f}
\right)
</math>
</center>

===Demostración de perpendicularidad===

Para verificar que <math>\vec{M}_E</math> es perpendicular al viento, calculamos el producto escalar:

<center>
<math>
\vec{\tau} \cdot \vec{M}_E
= \tau_x \cdot \frac{\tau_y}{f}
+ \tau_y \cdot \left( -\,\frac{\tau_x}{f} \right)
= \frac{\tau_x \tau_y - \tau_y \tau_x}{f}
= 0
</math>
</center>

Esto demuestra matemáticamente que el transporte neto de Ekman es siempre perpendicular a la dirección del viento.
En el Hemisferio Norte (<math>f>0</math>), el transporte es <math>90^{\circ}</math> a la derecha del viento.
En el Hemisferio Sur (<math>f<0</math>), es <math> 90^{\circ}</math> a la izquierda.

==Flujo Neto==
El objetivo de este apartado es determinar el flujo neto de agua que atraviesa una pared vertical y demostrar que dicho flujo se orienta hacia el oeste, perpendicular al viento predominante. Para ello, consideramos una pared de agua cuya normal está dada por el vector genérico <math> \vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>,donde <math> \alpha \in [0,2\pi) </math> es un ángulo fijo. La pared tendrá una anchura <math>L = 10\ \text{m}</math> y la profundidad será infinita <math> z \in [0,-\infty)</math>.
Para hallar el flujo usaremos la fórmula del flujo conociendo el campo vectorial <math>\vec{v} = u(z)\,\vec{i} + v(z)\,\vec{j}</math>,y un vector perpendicular a la superficie <math>\vec{n} = \cos(\alpha)\,\vec{i} + \sin(\alpha)\,\vec{j}</math>:
<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0} (\vec{v} \cdot \vec{n}) \, dz \, dL</math>

El resultado del producto vectorial<math>(\vec{v} \cdot \vec{n})</math>es:

<math>\vec{v}\cdot\vec{n} = u(z)\cos(\alpha) + v(z)\sin(\alpha)</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos(\alpha)\cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
+ \sin(\alpha)\sin\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right]</math>

<math>\vec{v}\cdot\vec{n}
= V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right).</math>

Ahora la integral doble sería:

<math>\Phi = \int_0^{L} \int_{-\infty}^{0}
V_0 e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz \, dL</math>

<math>\Phi = L V_0 \int_{-\infty}^{0}
e^{z/d_E} \cos\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right) \, dz.</math>

Para resolver lo que queda de integral usaremos la integración por partes:

<math> \int u \, dv = uv - \int v \, du </math>

<math> u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

<math>dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} </math>

Aplicamos la integración por partes:
<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] </math>

Si simplificamos: <math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] </math>

Ahora nos queda otra integral:

<math> I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Utilizando integral por partes otra vez
<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz</math>

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Como la ultima integral es igual a la primera:

<math> I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)-I </math>

Esta la sustituimos en <math>\Phi </math>

<math> \Phi = L V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] </math>

Como <math> \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz </math>

Entonces <math> 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)</math>

Solo nos queda evaluar la integral entre <math> z=0 </math> y <math> z=-\infty</math>

<math> z =0:</math>

<math>e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha),
\quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) </math>

Y para <math> z =-\infty </math> todos los <math> e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 </math> entonces se anulan

Entonces el flujo nos quedaría:

<math> \Phi = L V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] </math>

<math> \Phi = \frac{L V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right]
</math>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta=\frac{3\pi}{4}</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha=\frac{\pi}{2}</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el oeste. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento, siendo su sentido dependiente precisamente del parámetro de Coriolis y del hemisferio en el que nos encontremos.

== Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas ==

La espiral de Ekman en el espacio 3D esta parametrizada por:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma(z) = (u(z), v(z), z),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral de Ekamn en el océano describe cómo varía la velocidad horizontal ''(u(z), v(z))'' con la profundidad ''z'' (con z=0 en la superficie y z<0 hacia el fondo).

Una forma típica es:

<div style="text-align: center;">
<math>u(z) = \operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>

<math>v(z) = V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

donde:

*<math>f = 2\Omega \sin\phi \quad [\text{s}^{-1}]</math> es el parámetro de Coriolis

*\(V_0\) es la intensidad de la corriente superficial inducida por el viento.

*\(d_E\) es la profundidad de Ekman.

*sgn es la función signo: <math>\operatorname{sgn}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{si } x > 0, \\
0 & \text{si } x = 0, \\
-1 & \text{si } x < 0
\end{cases}
</math>, que determina un signo diferente según el hemisferio.

*ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

Para pasarlo a coordenadas cilíndricas (r,θ,z):

<div style="text-align: center;">
<math>x = u(z),\quad y = v(z),\quad z = z</math>
</div>

Calculamos:

'''Para el radio:'''

<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E} \sqrt{\operatorname{sgn}(f)^2 \cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta)}</math>
</div>
<p>donde <math>\theta_z = z/d_E</math>.</p>
<p>Pero <math>\operatorname{sgn}(f)^2 = 1</math> (es <math>\pm 1</math>), así que dentro de la raíz solo queda:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>\cos^2(\theta_z + \vartheta) + \sin^2(\theta_z + \vartheta) = 1.</math>
</div>
<p>Por lo tanto:</p>
<div style="text-align: center;">
<math>r(z) = V_0 e^{z/d_E}.</math>
</div>

'''Para 0 (ángulo en el plano u,v):'''

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\theta(z) &= \arctan\!\left( \frac{v(z)}{u(z)} \right) \\
&= \arctan\!\left( \frac{V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right)
\end{aligned}</math>
</div>

* V_0 e^{z/d_E} se cancelan

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \arctan\!\left( \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)} \right) = \arctan\!\left( \frac{1}{\operatorname{sgn}(f)} \tan\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right)</math>
</div>

<p>El factor <math>1/\operatorname{sgn}(f)</math> es:</p>
<ul>
<li><math>+1</math> si <math>f > 0</math> (hemisferio norte),</li>
<li><math>-1</math> si <math>f < 0</math> (hemisferio sur).</li>
</ul>

Podemos absorber este signo dentro del argumento, porque:

<div style="text-align: center;">
<math>\arctan(-\tan A) = -A \ (\text{mod } \pi)</math>
</div>

Por tanto:

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)</math>
</div>

'''Para la altura:'''

<div style="text-align: center;">
<math>z = z</math>
</div>

Por tanto, la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas es:

<div style="text-align: center;">
<math>(r(z), \theta(z), z) = \left( V_0 e^{z/d_E},\; \operatorname{sgn}(f)\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right),\; z \right)</math>
</div>

=== Representación en MATLAB ===

[[Archivo:espiralek.png|miniaturadeimagen|Representación de la Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas de <math>z = -4d_E</math> con su superficie de referencia ]]

<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros
dE = 1; % Profundidad de Ekman
V0 = 1; % Velocidad superficial
f_sign = 1; % 1 para hemisferio norte, -1 para sur
theta0 = pi/4; % Fase inicial

% Rango de z: de 0 a -4*dE
z = linspace(0, -4*dE, 500);

% Coordenadas cilíndricas DIRECTAS (sin pasar por u, v)
r = V0 * exp(z/dE); % Radio
theta = atan(tan(z/dE + theta0) / f_sign); % Ángulo (simplificado)

% Mejor usar atan2 para manejar cuadrantes correctamente:
% Reconstruimos u, v temporalmente solo para calcular theta correctamente:
u_temp = f_sign * V0 * exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v_temp = V0 * exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);
theta = atan2(v_temp, u_temp);

% Convertir cilíndricas a cartesianas para graficar en 3D
x_cil = r .* cos(theta); % x = r*cos(θ)
y_cil = r .* sin(theta); % y = r*sin(θ)
z_cil = z; % z se mantiene igual

% Representación 3D EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
figure('Position', [100 100 1000 700]);

% 1. Curva 3D en espacio cilíndrico transformado
subplot(2,3,[1 4]);
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot3(x_cil(1), y_cil(1), z_cil(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
plot3(x_cil(end), y_cil(end), z_cil(end), 'ks', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'k');
grid on;
xlabel('x = r cos(θ)');
ylabel('y = r sin(θ)');
zlabel('Profundidad z');
title('Espiral de Ekman en 3D (de coord. cilíndricas)');
view(40, 25);
axis equal;

% 2. Vista superior - diagrama polar
subplot(2,3,2);
polarplot(theta, r, 'b-', 'LineWidth', 1.5);
title('Diagrama polar (r,θ)');
rlim([0 V0*1.1]);

% Figura adicional: Superficie cilíndrica de referencia
figure;
% Crear malla para superficie cilíndrica
[Z, TH] = meshgrid(linspace(-4*dE, 0, 20), linspace(min(theta), max(theta), 30));
R_surf = V0 * exp(Z/dE);
[X_surf, Y_surf] = pol2cart(TH, R_surf);

% Graficar superficie cilíndrica
surf(X_surf, Y_surf, Z, 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeAlpha', 0.3);
hold on;

% Graficar curva
plot3(x_cil, y_cil, z_cil, 'b-', 'LineWidth', 3);

% Configurar
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Espiral sobre superficie cilíndrica de referencia');
axis equal;
grid on;
view(40, 25);
</syntaxhighlight>

==Curvatura y torsión para la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son elementos de una curva que son muy útiles para entender como se comporta. La curvatura expresa cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo de la curva. Matemáticamente se expresan de la siguiente manera:

[[Archivo:imagencurvatura.png|miniaturadeimagen|Representación de la curvatura y la torsión]]

'''Torsión:'''

<math>\tau(z) = \frac{[\vec{v}(z),\, \vec{a}(z),\, \vec{a}'(z)]}{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|^{2}}</math>

'''Curvatura:'''

<math>\kappa(z) = \frac{|\vec{v}(z) \times \vec{a}(z)|}{|\vec{v}(z)|^{3}}</math>

Consideramos la curva de Ekman parametrizada por la profundidad:

<math>\vec r(z)=\big(u(z),\,v(z),\,z\big),</math>

donde

<math>u(z)=\operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),v(z)=V_0 e^{z/d_E}\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\theta\right),</math>

<math>d_E=\sqrt{\frac{2\nu_e}{|f|}},A(z)=V_0 e^{z/d_E}.</math>

Derivadas de la curva:

Definimos <math>\varphi(z)=\frac{z}{d_E}+\theta.</math>

Entonces:

<math>\vec{r}'(z) = \left( \frac{\text{sgn}(f) \, A}{d_E} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad \frac{A}{d_E} (\sin \varphi + \cos \varphi),\quad 1 \right),</math>

<math>\vec{r}''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^2} \sin \varphi, \quad \frac{2A}{d_E^2} \cos \varphi,\quad 0 \right),</math>

<math>\vec{r}'''(z) = \left( \frac{2 \, \text{sgn}(f) \, A}{d_E^3} (\sin \varphi + \cos \varphi), \quad \frac{2A}{d_E^3} (\cos \varphi - \sin \varphi), \quad 0 \right)</math>

<math>
\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)=\Big(-\dfrac{2A}{d_E^2}\cos\varphi,\; \dfrac{2A}{d_E^2}\operatorname{sgn}(f)\sin\varphi,\; \dfrac{2A^2\operatorname{sgn}(f)}{d_E^3}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'\times\mathbf r''\rVert^{2}=\dfrac{4A^{2}}{d_E^{4}}\Big(1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\Big)
</math>

<math>
\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{2}=1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}
</math>

<math>
\kappa(z)=\dfrac{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert}{\lVert\mathbf r'(z)\rVert^{3}}
=\dfrac{\dfrac{2A}{d_E^{2}}\displaystyle\sqrt{1+\dfrac{A^{2}}{d_E^{2}}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}}}
{\bigl(1+\dfrac{2A^{2}}{d_E^{2}}\bigr)^{3/2}}
</math>

<math>
\tau(z)=\dfrac{\det\bigl[\mathbf r'(z),\mathbf r''(z),\mathbf r'''(z)\bigr]}{\lVert\mathbf r'(z)\times\mathbf r''(z)\rVert^{2}}
=-\,\dfrac{\operatorname{sgn}(f)\,d_E}{\,d_E^{2}+A^{2}(\cos2\varphi-\sin2\varphi)^{2}\, }.
</math>

Conclusión:

* El signo de la torsión depende del hemisferio (\(\operatorname{sgn}(f)\)).
* Hacia gran profundidad \(A(z)\to 0\), por lo que:
<math>\kappa(z)\to 0,\qquad\tau(z)\to \operatorname{sgn}(f)\frac{1}{d_E}.</math>
* Cerca de la superficie las funciones crecen porque la velocidad inducida por el viento es mayor.

==Triedro de Frenet==

En el enunciado (10) se parametrizó la espiral de Ekman en 3D mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr), \qquad z \le 0,
</math>

y en el enunciado (11) se calcularon la '''curvatura''' <math>\kappa(z)</math> y la '''torsión''' <math>\tau(z)</math> de esta curva a partir de las expresiones generales

<math>
\kappa(z) = \dfrac{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert}
{\lVert \gamma'(z) \rVert^3}, \qquad
\tau(z) = \dfrac{\bigl[\gamma'(z),\gamma''(z),\gamma'''(z)\bigr]}
{\lVert \gamma'(z) \times \gamma''(z) \rVert^2}.
</math>

A partir de estos invariantes definimos el '''triedro de Frenet'''
<math>\{\mathbf T(z),\mathbf N(z),\mathbf B(z)\}</math> asociado a la espiral:

* El '''vector tangente unitario'''

<math>
\mathbf T(z) = \dfrac{\gamma'(z)}{\lVert \gamma'(z)\rVert},
</math>

* el '''vector normal principal'''

<math>
\mathbf N(z) = \dfrac{\mathbf T'(z)}{\lVert \mathbf T'(z)\rVert},
</math>

* y el '''vector binormal'''

<math>
\mathbf B(z) = \mathbf T(z) \times \mathbf N(z).
</math>

En la práctica, las derivadas se calculan de forma numérica a partir de las coordenadas discretas de la espiral. A continuación se detalla una implementación en MATLAB que permite obtener <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math>, <math>\mathbf B</math>, así como la curvatura <math>\kappa</math> y la torsión <math>\tau</math> de la curva.

=== 12.1. Función ''frenet'' (cálculo numérico del triedro) ===

La función siguiente recibe las coordenadas <math>(x_i,y_i,z_i)</math> de una curva en forma de vectores y devuelve los vectores del triedro de Frenet en cada punto:

<syntaxhighlight lang="matlab">
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z)
% FRENET Triedro de Frenet de una curva dada por (x,y,z)

if nargin == 2
z = zeros(size(x));
end

% Convertir a vectores columna
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% Primera derivada (velocidad de la curva)
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

% Segunda derivada
ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% Vector tangente unitario
T = dr ./ mag(dr,3);

% Derivada del tangente
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));
dT = [dTx dTy dTz];

% Vector normal unitario
N = dT ./ mag(dT,3);

% Binormal
B = cross(T,N);

% Curvatura (fórmula general)
k = mag(cross(dr,ddr),1) ./ (mag(dr,1).^3);

% Torsión (aproximada)
t = dot(-B,N,2);

end

function N = mag(T,n)
% MAG Magnitud de un vector (Nx3)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
end
</syntaxhighlight>

=== 12.2. Representación del triedro en 5–6 puntos de la espiral ===

Para representar gráficamente el triedro de Frenet en la espiral de Ekman, utilizamos los mismos parámetros físicos fijados en los enunciados (1) y (2):

* velocidad superficial inducida <math>V_0 = 0{,}15\ \text{m/s}</math>,
* viscosidad turbulenta <math>\nu_e = 0{,}05\ \text{m}^2/\text{s}</math>,
* parámetro de Coriolis local <math>f</math>, de donde se obtiene la profundidad de Ekman <math>d_E = \sqrt{2\nu_e/|f|}</math>,
* fase inicial <math>\vartheta</math> (ángulo de desviación superficial), calculada previamente.

Para mantener la coherencia con el enunciado, trabajamos con una variable de profundidad negativa
<math>z \in [0,-3d_E]</math>, donde <math>z=0</math> corresponde a la superficie y <math>z<0</math> a niveles más profundos.

La espiral de Ekman se describe entonces mediante

<math>
\gamma(z) = \bigl(u(z), v(z), z\bigr),
</math>

con

<math>
u(z) = \operatorname{sgn}(f)\,V_0 e^{z/d_E}
\cos\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\quad
v(z) = V_0 e^{z/d_E}
\sin\!\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right),\qquad z \le 0.
</math>

El siguiente código de MATLAB construye la espiral, calcula el triedro de Frenet y lo representa en 5–6 puntos. En la gráfica el eje vertical muestra explícitamente profundidades negativas, desde <math>z=0</math> (superficie) hasta <math>z=-3d_E</math>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Parámetros físicos (de los enunciados (1) y (2))
Omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud de la zona de estudio
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral en coordenadas (x,y,z)
Npts = 200; % puntos para describir bien la curva
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa (0 = superficie)

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Selección de 5–6 puntos
idx = round(linspace(10, Npts-10, 6));

%% Representación 3D
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Longitud gráfica de los vectores del triedro
L = dE/5;

for j = 1:length(idx)
i = idx(j);
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

quiver3(xb, yb, zb, TT(1), TT(2), TT(3), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, NN(1), NN(2), NN(3), 'g', 'LineWidth', 1.5);
quiver3(xb, yb, zb, BB(1), BB(2), BB(3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Triedro de Frenet en varios puntos de la espiral de Ekman');

grid on;
view(35,25); % Vista tridimensional
% Aquí NO se invierte el eje Z: se muestran las profundidades negativas tal cual

hold off;
</syntaxhighlight>

En la figura resultante se observan 5–6 sistemas de vectores ortogonales <math>\{\mathbf T,\mathbf N,\mathbf B\}</math> distribuidos a lo largo de la espiral, con el eje vertical indicando explícitamente los valores negativos de profundidad.

=== 12.3. Animación del triedro de Frenet ===

Podemos completar el estudio construyendo una animación en la que el triedro recorra la espiral de Ekman. La idea es la misma que en el apartado anterior, pero actualizando en cada fotograma los vectores <math>\mathbf T</math>, <math>\mathbf N</math> y <math>\mathbf B</math> en un único punto que se desplaza a lo largo de la curva.

El siguiente script de MATLAB genera la animación.

<syntaxhighlight lang="matlab">
%% Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman

% Parámetros físicos (los mismos del trabajo)
Omega = 7.2921e-5; % [rad/s]
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600); % Latitud Canarias
f = 2*Omega*sin(phi); % Parámetro de Coriolis [1/s]

nu_e = 0.05; % Viscosidad turbulenta [m^2/s]
V0 = 0.15; % Velocidad superficial [m/s]
dE = sqrt(2*nu_e/abs(f)); % Profundidad de Ekman
theta0 = 3*pi/4; % Fase inicial ϑ

%% Curva de la espiral (x,y,z) con z negativa
Npts = 200; % puntos de la espiral
z = linspace(0, -3*dE, Npts); % profundidad negativa

u = V0 .* exp(z/dE) .* cos(z/dE + theta0);
v = V0 .* exp(z/dE) .* sin(z/dE + theta0);

% Escala horizontal para mejorar la visualización
escala = 80;
x = escala * u;
y = escala * v;

%% Triedro de Frenet a lo largo de toda la curva
[T,N,B,kappa,tau] = frenet(x,y,z);

%% Preparar la figura para la animación
figure;
hold on;

% Curva de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Vector del viento (opcional, solo decorativo)
quiver3(escala*0.15, 0, 0, -escala*0.3, 0, 0, ...
'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);

% Inicializar los manejadores de T, N, B
hT = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hN = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);
hB = quiver3(0,0,0, 0,0,0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5);

xlabel('Componente este u(z) (escalada)');
ylabel('Componente norte v(z) (escalada)');
zlabel('Profundidad z [m]');
title('Animación del triedro de Frenet en la espiral de Ekman');

grid on;
axis vis3d;
view(35,25); % z se muestra negativo, coherente con el modelo

hold off;

%% Parámetros de la animación
L = dE/5; % longitud de los vectores del triedro
nombre_gif = 'Ekman_triedro_Frenet.gif'; % nombre del GIF (opcional)

% Si se quiere empezar un GIF nuevo, se borra el anterior
if exist(nombre_gif,'file')
delete(nombre_gif);
end

%% Bucle de animación
for i = 1:Npts
% Punto actual en la espiral
xb = x(i); yb = y(i); zb = z(i);

% Vectores del triedro escalados
TT = L * T(i,:);
NN = L * N(i,:);
BB = L * B(i,:);

% Actualizar T, N, B en el punto actual
set(hT, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', TT(1), 'VData', TT(2), 'WData', TT(3));
set(hN, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', NN(1), 'VData', NN(2), 'WData', NN(3));
set(hB, 'XData', xb, 'YData', yb, 'ZData', zb, ...
'UData', BB(1), 'VData', BB(2), 'WData', BB(3));

drawnow;
pause(0.02); % velocidad de la animación

% Guardar cada frame en un GIF (opcional)
frame = getframe(gcf);
im = frame2im(frame);
[A,map] = rgb2ind(im,256);
if i == 1
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',0.02);
else
imwrite(A,map,nombre_gif,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.02);
end
end
</syntaxhighlight>

En la animación se observa cómo el triedro de Frenet se desplaza a lo largo de la espiral de Ekman.

== Longitud de arco de la espiral de Ekman ==

La longitud de arco desde <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es
<center>
<math>
L(Z)=\int_{-Z}^{0}\sqrt{\left(\frac{du}{dz}\right)^2+\left(\frac{dv}{dz}\right)^2}\,dz
</math>
</center>

Vamos calculando la integral para distintos valores de z :

* Para \(Z=d_E\):

<math>
\;\;\; L(d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-1}\big)\approx 0.89395346735\,V_0.
</math>

* Para \(Z=2d_E\):

<math>
\;\;\; L(2d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-2}\big)\approx 1.22282056935\,V_0.
</math>

* Para \(Z=3d_E\):

<math>
\;\;\;L(3d_E)=\sqrt{2}\,V_0\big(1-e^{-3}\big)\approx 1.34380401506\,V_0.
</math>

Se observa que al aumentar <math>Z</math> la longitud se acerca a un valor límite y se aproxima a <math> \sqrt{2} V_0 </math>

Entonces la longitud de arco de la espiral de Ekman entre <math> z=0</math> hasta <math> z=-Z</math> es finita para cualquier <math>Z</math>.

De lo anterior se deduce que la longitud total, cuando <math> Z \longrightarrow \infty </math>, converge a un valor finito, no diverge. Esto se debe a que la velocidad decrece exponencialmente con la profundidad, de modo que la contribución a la longitud de arco de capas muy profundas es cada vez menor y la integral total converge.

== Espiral logarítmica de Ekman ==

La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal (𝑥, 𝑦) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = (u(z), v(z)),\quad z \in (-\infty, 0]</math>
</div>

La espiral logarítrmica es ....

===Representación de la espiral en el plano XY===
Se tiene:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= \operatorname{sgn}(f) \, V_0 \, e^{z/d_E} \, \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \\
v(z) &= V_0 \, e^{z/d_E} \, \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)
\end{aligned}</math>
</div>

<p>con <math>z \in (-\infty, 0]</math>.</p>

Podemos escribir:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(z) = \sqrt{u(z)^2 + v(z)^2} = V_0 e^{z/d_E}</math>
</div>

El ángulo polar θ satisface:

<div style="text-align: center;">
<math>\tan \theta = \frac{v}{u} = \frac{\sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}{\operatorname{sgn}(f) \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right)}.</math>
</div>

<p>Sea <math>f > 0</math> (hemisferio norte), <math>\operatorname{sgn}(f) = +1</math>, entonces:</p>

<div style="text-align: center;">
<math>\theta(z) = \frac{z}{d_E} + \vartheta</math>
</div>

En coordenadas cartesianas:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
x(\theta) &= \rho(\theta) \cos \theta = V_0 e^{z/d_E} \cos \frac{z}{d_E} + \vartheta
\\
y(\theta) &= \rho(\theta) \sin \theta = V_0 e^{z/d_E} \sin \frac{z}{d_E} + \vartheta
\end{aligned}</math>
</div>

'''Representación paramétrica en ''XY'' '''

<div style="text-align: center;">
<math>\gamma_{xy}(z) = \left( V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \; V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right) \right), \quad z \leq 0</math>
</div>

=== Verificación en coordenadas polares:<math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> ===

Tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\rho &= V_0 e^{z/d_E}, \\
\theta &= \frac{z}{d_E} + \vartheta.
\end{aligned}</math>
</div>

Despejamos <math>z/d_E</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{z}{d_E} = \theta - \vartheta.</math>
</div>

Sustituimos en <math>\rho</math>:

<div style="text-align: center;">
<math>\rho = V_0 e^{\theta - \vartheta} = \underbrace{(V_0 e^{-\vartheta})}_{\rho_0} e^{\theta}.</math>
</div>

Esto es de la forma <math>\rho = \rho_0 e^{b\theta}</math> con <math>b = 1</math>.

Por lo tanto la espiral logarítmica cumple

<div style="text-align: center;">
<math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta},\quad b = 1,\quad \rho_0 = V_0 e^{-\vartheta}</math>
</div>

Nota: Si <math>f < 0</math>, <math>\operatorname{sgn}(f) = -1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
u(z) &= -V_0 e^{z/d_E} \cos\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right), \\
v(z) &= V_0 e^{z/d_E} \sin\!\left( \frac{z}{d_E} + \vartheta \right).
\end{aligned}</math>
</div>

=== Ángulo entre vector posición y vector tangente ===

Trabajemos con la forma polar <math>\rho(\theta) = \rho_0 e^{b\theta}</math> y parametizamos la curva en θ. El vector posición es

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r}(\theta) = \rho(\theta) \mathbf{e}_r</math>
</div>

La '''derivada''' respecto θ de (proporcional al vector tangente) es:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho'(\theta) \mathbf{e}_r + \rho(\theta) \mathbf{e}_\theta</math>
</div>

Como <math>\rho'(\theta) = b\rho(\theta)</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \rho(\theta) \left( b \mathbf{e}_r + \mathbf{e}_\theta\right).</math>
</div>

'''Producto escalar'''

Como <math>\mathbf{r} = \rho \mathbf{e}_r</math>, tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\begin{aligned}
\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}
&= (\rho \mathbf{e}_r) \cdot (b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta) \\
&= \rho \cdot b\rho (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r) + \rho^2 (\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta).
\end{aligned}</math>
</div>

Pero <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_r = 1</math>, <math>\mathbf{e}_r \cdot \mathbf{e}_\theta = 0</math>, luego:

<div style="text-align: center;">
<math>\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = b\rho^2.</math>
</div>

'''Módulos'''

<div style="text-align: center;">
<math>|\mathbf{r}| = \rho,</math>

<math>\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right| = |b\rho \mathbf{e}_r + \rho \mathbf{e}_\theta| = \rho \sqrt{b^2 + 1}.</math>
</div>

'''Ángulo <math>\alpha</math> entre <math>\mathbf{r}</math> y <math>\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}</math>'''

<div style="text-align: center;">
<math>\cos \alpha = \frac{\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{|\mathbf{r}| \, \left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \frac{b\rho^2}{\rho \cdot \rho \sqrt{b^2 + 1}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}.</math>
</div>

Dado que esto no depende de θ se verifica la propiedad característica de la espiral logarítmica que dice que el ángulo es constante.

De <math>\cos \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + 1}}</math> tenemos:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = \frac{b}{1} = b.</math>
</div>

Para la espiral de Ekman (caso <math>f > 0</math>) en (b) obtuvimos <math>b = 1</math>, entonces:

<div style="text-align: center;">
<math>\cot \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}.</math>
</div>

Por tanto el ángulo que forman el vector posición y el vector tangente es <math>\frac{\pi}{4}.</math>

=== Aplicaciones de la espiral logarítmica en ingeniería ===

====¿Por qué esta curva aparece tan frecuentemente en la naturaleza?====

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-03T16:58:51Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Rotacional de \vec{v} */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-03T16:58:11Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (grupo 20, Retiro)

2025-12-03T16:49:11Z

Carlos De Hita Sánchez:

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 20. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Aitor Amunarriz López <br/> Daniel García Martínez <br/> Federico Flores Rohde <br/> Jesús Rivero López}}
[[Archivo:Ekman4AitorAResized_v2.gif|miniaturadeimagen|300px|1. Pequeña animación mostrando el campo vectorial <math>\vec{v}</math> (flecha de color) respecto a profundidades descendentes, siguiendo la '''espiral de Ekman''' (curva negra) y '''hasta la profundidad de Ekman''' <math>d_E</math>. El viento es representado por la flecha negra (de norte a sur) y el color de <math>\vec{v}</math> varía respecto a la profundidad]]

[[Archivo:Ekman5FedericoFlores.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|2. Representación tridimensional de la '''Espiral de Ekman''' a partir de las velocidades. Las flechas indican el campo vectorial <math>\vec{v}</math> según la profundidad, cambiando de color acordemente, hasta la profundidad <math>d_E</math>.]]
<div style="margin: 30px;">

La '''espiral de Ekman''' es el resultado del [https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad perfil de velocidades] respecto a la profundidad de una columna de [https://es.wikipedia.org/wiki/Agua agua] gracias al efecto Ekman. Este es causado por un viento constante que sopla sobre la superficie del océano, induciendo una corriente que, debido a la [https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis '''fuerza de Coriolis'''], se desvía gradualmente. La alta viscosidad del agua provoca una discordancia entre la dirección de la velocidad entre una capa y otra.<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02277927 The Ekman Spirals], artículo de Th. Hesselberg. ''En inglés''</ref>

El flujo neto se conoce como [https://es.wikipedia.org/wiki/Transporte_de_Ekman '''transporte de Ekman'''].

El fenómeno fue por primera vez descrito por el explorador noruego [https://es.wikipedia.org/wiki/Fridtjof_Nansen Fridtjof Nansen] en una de sus misiones por el océano Ártico. Notó que los icebergs y distintos témpanos de [https://es.wikipedia.org/wiki/Hielo hielo] no seguían necesariamente la dirección del viento. El concepto fue formalizado por su estudiante, [https://es.wikipedia.org/wiki/Vagn_Walfrid_Ekman Vagn Walfrid Ekman], en 1905, aportando el planteamiento matemático necesario.<ref>[https://jscholarship.library.jhu.edu/items/6026d396-a902-488f-a737-f822ac36f674 On the influence of the earth's rotation on ocean-currents.], de Vagn Walfrid Ekman. (1905) ''En inglés''</ref>

Con el objetivo de describir el perfil de velocidad <math>\vec{v} = u\vec{i} + v\vec{j}</math>, Ekman trabajó con la ecuaciones que nacen del equilibrio entre la fuerza Coriolis, la [https://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad viscosidad] del agua de mar y la velocidad inducida del viento, de manera que:
<center><br/>
<math>\frac{d^2 u}{d z^2} = - \frac{f}{\upsilon_e}v</math>,<math>\ \ \frac{d^2 v}{d z^2} = \frac{f}{\upsilon_e}u</math>,
</center><br/>

con <math>f</math> el parámetro de Coriolis definido como <math>f=2\Omega \sin(\phi)</math>, siendo <math>\Omega</math> la velocidad angular de la Tierra (unos ''7.2921·10<sup>-5</sup>'' rad/s) y <math>\phi</math> la latitud, y <math>\upsilon_e</math> la viscosidad turbulenta del agua.

La solución ofrecida por Ekman a estas [https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial ecuaciones diferenciales] tomaban la siguiente forma en función de la profundidad <math>z</math>, conocidas además la fase inicial <math>\vartheta</math> y la velocidad superficial inducida por el viento <math>V_0</math>:

<center><br/>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>, <br/><br/>
<math>v(z)=V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \sin\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta \right)</math>
</center><br/>

El término <math> d_E </math>, conocido como '''profundidad de Ekman''', es la profundidad máxima a la que se considera la influencia del viento y la fuerza Coriolis sobre el movimiento del agua. Se define como:

<center><br/>
<math>d_E=\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>
</center><br/>

<br/>

== Influencia del parámetro de Coriolis <math>f</math> ==
Como se puede notar en la solución de <math>u</math>, se ha de tener en cuenta el signo del parámetro de Coriolis para poder conocer verdaderamente el desplazamiento de la velocidad. Dentro de la definición del parámetro <math>f</math> (<math>f=2\Omega \sin(\phi)</math>), el seno de <math>\phi</math> toma valores entre -1 y 1 dependiendo de la '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Latitud latitud]'''. Esta se define a su vez entre ''-90º'' y ''90º'' (''90ºS'' y ''90ºN'', que, en radianes, <math>-\frac{\pi}{2}</math> y <math>\frac{\pi}{2}</math>). Los valores entre <math>\frac{\pi}{2}</math> y ''0'' corresponden a latitudes entre el polo norte y el [https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuador_terrestre ecuador] , es decir, al '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio_norte hemisferio norte]''', y, por tanto, a valores positivos de <math>f</math>. En cambio, en el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio_sur hemisferio sur]''' se darán valores negativos de este. El parámetro es nulo exclusivamente en el '''ecuador'''. <ref>[https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Oceanografía/Introducción_a_la_Oceanografía_(Webb)/09%3A_Circulación_Oceánica/9.03%3A_La_espiral_de_Ekman_y_el_flujo_geostrófico La espiral de Ekman y el flujo geostrófico], artículo de Paul Webb, Roger Williams University. </ref>

El signo de <math>f</math> se aplica en la solución de la ecuación mediante la función signo (<math>sgn(f)</math>).

Para ejemplificar, en una latitud de 45ºN, <math>f=7.2921·10^{-5} \ rad·s^{-1}·\sin(\frac{\pi}{4})\approx 10^{-4} \ rad·s^{-1}</math>, que sería un valor estándar.

== Importancia del valor de <math>\vartheta</math>==
[[Archivo:DiagramaPacíficoNorteFaseInicialGrupo20_2.png|250px|miniaturadeimagen|derecha|Diagrama de las condiciones explicadas. El viento corre de norte a sur representado por la flecha negra. La velocidad superficial (verde) se desvía 45º a la derecha. ]]
El valor de <math>\vartheta</math> es también de suma importancia para la definición de la espiral de Ekman. Se trata de una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuera de Coriolis.

Si, por ejemplo, nos encontramos a la [https://es.wikipedia.org/wiki/Latitud latitud] del ejemplo anterior, asumiendo una viscosidad turbulenta de unos ''0.1 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''10 m/s'' soplando de Norte a Sur, induciendo en la superficie una velocidad aproximada de ''0.2 m/s'' y un desvío aproximado de 45º hacia la derecha respecto a la dirección del viento, se intuye que: <br/>
* El valor <math>z=0</math>.
* El cociente <math>\frac{v(z)}{u(z)} = \tan(45º) = 1. </math>
* Se da que <math>f > 0 </math> de manera que <math>sgn(f) = 1</math>

Resolvemos:
<center><br/>
<math>\frac{v(z)}{u(z)} = \frac{V_0·e^{\frac{0}{d_E}}\ \sin\left(\vartheta\right)}{V_0·e^{\frac{0}{d_E}}\ \cos\left(\vartheta\right)} = \tan(\vartheta) = 1 \Rightarrow</math>
<math>\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>
</center><br/>

Atendiendo al diagrama, como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es <math>\frac{3\pi}{4}</math>.

== Solución a las ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Para comprobar que Ekman, efectivamente, no se equivocaba con su planteamiento, es un buen ejercicio verificar que <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> son auténticamente la solución a las ecuaciones diferenciales planteadas. Es cuestión de derivar dos veces cada solución respecto de <math>z</math> cada ecuación.

Por su parte, <math>u(z)</math>:

<center>
<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Ordenamos un poco, eliminando el valor absoluto de <math>f</math> a la vez que la función signo, ahora inútil: <br/>
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right) = -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>

</center>

Que es nuestro planteamiento inicial.

Haciendo lo propio con <math>v(z)</math>:
<center>
<math>
\frac{dv}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)+sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = 2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>
Igual aplicación de la definición de <math>d_E</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>
</center>

Demostrando así que las soluciones son correctas.

== Representación del campo vectorial <math>\vec{v}</math> ==

Existen diversas e interesantes maneras de analizar el fenómeno descrito por Ekman, cada una de las cuales ofrece perspectivas valiosas y complementarias para su comprensión. La espiral, concebida como una '''estructura en tres dimensiones''', resulta particularmente interesante al ser estudiada también desde una vista en planta, ya que esta proyección bidimensional permite observar patrones que pueden pasar desapercibidos en su representación tridimensional.

Con el objetivo de brindar una comprensión más completa, a continuación, se presentan los códigos correspondientes a ambas formas en las que se ha intentado ilustrar y explicar la curva mostrada en las figuras anteriores.

* El código para la '''animación observada desde el cenit''', de manera que <math>\vec{v}</math> varía con la profundidad y es representada mediante una flecha de color cambiante (siguiendo los parámetros ejemplificativos anteriormente descritos): (1.)
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Definición de dE
z = linspace(0, dE, 50);
% Definición de la curva
x = 0.2*exp(z / dE).*cos(z/dE+3/4*pi);
y = 0.2*exp(z / dE).*sin(z/dE+3/4*pi);

plot(x,y, 'k', 'LineWidth', 1)

u = 0.2*exp(0/dE)*cos(0/dE+3/4*pi);
v = 0.2*exp(0/dE)*sin(0/dE+3/4*pi);

hold on
h = quiver(0,0,u,v, 0, 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.2);
quiver(0, 0.15, 0, -0.05, 'k', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.7)

% Contador para la profundidad
n=1;
z_text = text(-0.5, 0.16, sprintf('z = %.2f m', z(n)), 'FontSize', 12, 'Color', 'k', ...
'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'top');

set(gca, 'XAxisLocation', 'origin', 'YAxisLocation', 'origin', 'XColor', 'none', 'YColor', 'none')
axis([-0.6 0.1 -0.2 0.2])

% Variación de color de la flecha
cmap = jet(length(z));

for n = 1:length(z)

%Vectores
u = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*cos(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi);
v = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*sin(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi);
h.UData = u; h.VData = v;

% Color de vector
color = cmap(n, :);
h.Color = color;

% Actualizar z
z_text.String = sprintf('z = %.2f m', z(n));
pause(0.1);

exportgraphics(gca,"EkmanA4AitorA.gif", "Append",true)

end }}
</div>

* En cambio, el ofrecido para una '''vista tridimensional isométrica''' de la curva: (2.)
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Variables
k = 20 * sqrt(5);
cz = linspace(-k, 0, 10);
x = zeros(1, 30);
y = x;

% Coordenadas de la espiral
for i = 1:length(cz)
z = cz(i);
cx(i) = 0.2 * exp(z / k) * cos((z / k) + 3 * pi / 4);
cy(i) = 0.2 * exp(z / k) * sin((z / k) + 3 * pi / 4);
end

cmap = flipud(jet(length(cz)));

% Graficar
figure;
hold on;
for i = 1:length(cz)

color = cmap(i, :);
quiver3(0, 0, cz(i), cx(i), cy(i), 0, 'Color', color, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5);
plot3(cx(i), cy(i), cz(i), 'o', 'MarkerFaceColor', color, 'MarkerEdgeColor', 'k');
end

xlabel('Velocidad i [m/s]')
ylabel('Velocidad j [m/s]')
zlabel('Profundidad [m]')
view(3)
grid on
colormap(flipud(jet))
hold off
}}</div>

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante marcar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La demostración es trivial, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math> mientras que todos los vectores resultantes son paralelos al plano marcado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto resulta que en que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, pues <math>\vec{v}_z</math> es en sí ya nulo.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la razón de esta nulidad de la divergencia. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==
[[Archivo:Ekman7JesusRivResized v2.gif|miniaturadeimagen|derecha|Animación de la '''espiral de Ekman''' (curva roja) vista desde el cenit y definida a partir del vector velocidad <math>\vec{v}</math> (flecha de color cambiante) con su '''rotacional''' <math>\nabla\times\vec{v}</math> (flecha rosa).]]

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

== Flujo resultante ==
Gran parte de la problemática y motivación de Ekman era establecer el '''flujo de agua resultante''' de todo el fenómeno a partir de una columna de agua. Para calcularlo, conviene imaginarse un plano genérico <math>S</math> definido por el vector <math>\vec{n}_S=\cos\alpha\vec{i}+\sin\alpha\vec{j}</math>, para un ángulo fijo <math>\alpha \in [0, 2\pi)</math>. Este plano sobre el que mediremos el flujo tendría una profundidad infinita (<math>z \rightarrow \infty </math>), aunque solo tendríamos que considerarlo hasta la profundidad <math>d_E</math>, pues es hasta donde el efecto tiene sentido estudiarlo.

Asimismo, diremos por conveniencia que el plano tiene una anchura <math>L</math>, de dimensión muy inferior a la profundidad total del océano.

Para hallar el flujo se hace uso del cálculo integral ateniendo a las definiciones pertinentes: <br/> <br/>

<center><math>
\Phi = \int_S \vec{v}·d\vec{S} = \int_S (\vec{v}·\vec{n}_S)\ dS = \iint_D (\vec{v}·\vec{n})\,dl\,dz
</math></center>

Definimos el dominio <math>D</math> de integración a partir de las dimensiones en las que existe el plano (lado <math>l</math> y profundidad <math>z</math>). La profundidad vamos a considerarla entre <math>-\infty</math> y ''0'' por fines educativos, mientras que el lado simplemente entre ''0'' y <math>L</math>.

Asimismo, el resultado del producto vectorial <math>\vec{v}·\vec{n}_S </math> es: <br /> <br />
<center><math>\vec{v}·\vec{n}_S= \cos \alpha \cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)+\sin \alpha \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) </math></center><br /> <br />

Convenientemente, a partir de la ''fórmula de la suma de ángulos para el coseno'', intuimos que esto es igual a: <br /> <br />

<center><math>\vec{v}·\vec{n}_S=\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta - \alpha\right)</math></center>
Integramos cual integral doble: <br/> <br/>

<center><math>
\Phi = \int_{0}^{L} V_0 ·\left(\int_{-\infty}^{0} e^{\frac{z}{d_E}}
·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta - \alpha\right) dz \right) dl
</math></center> <br /> <br />

La integral interior se resuelve por partes, resultando: <br /> <br />

<center><math>
\Phi = \int_{0}^{L}\frac{V_0 \cdot d_E \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \left(\cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha\right) + \sin\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha\right)\right)}{2} \, dl = </math><br /> <br /><math>
= \int_{0}^{L} \frac{V_0}{2}· d_E \cdot \left(\sin\left(\vartheta - \alpha\right) + \cos\left(\vartheta - \alpha\right)\right) \, dl = </math><br /> <br /><math>
= L \cdot \frac{V_0}{2} \cdot d_E \cdot \left(\sin\left(\vartheta - \alpha\right) + \cos\left(\vartheta - \alpha\right)\right)
</math></center><br/> <br/>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta = 3\pi/4</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha = 3\pi/4</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el '''oeste'''. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el '''flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento''', siendo su sentido dependiente precisamente el parámetro de Coriolis y el hemisferio en el que nos encontremos.<ref>[https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Dinámica-espiral-Ekman.pdf Aspectos de la dinámica
de la espiral de Ekman], artículo de José Antonio López de la Asociación Meteorológica de España </ref>
<br/> <br/>

== Expresión en distintas coordenadas ==
[[Archivo:CilinEkmanDanielGa.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Espiral de Ekman graficada en '''coordenadas cilíndricas''' para valores comprendidos entre la superficie y <math>d_E</math>. Naturalmente, la representación es idéntica a cualquier otro sistema de coordenadas.]]

La espiral de Ekman, tal y como convenientemente su nombre indica, se trata de una espiral y por tanto tiene cierto carácter curvo. Para este tipo de construcciones, siempre es interesante conocer cómo se pueden observar en otro tipo de coordenadas. Es de particular interés para esta curva el planteamiento en [https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cilíndricas '''coordenadas cilíndricas'''].

Tal y como hemos descrito la curva anteriormente, la espiral de Ekman definida por el campo de velocidades respecto a la profundidad queda como: <br/> <br/>
<center><math>
\vec{v}(t) = (u(z), v(z), z) = V_0 · e^{\frac{z}{d_E}} \ \left(sgn(f)·\cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right), \ \sin\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta \right), z\right)
</math></center><br/> <br/>

Para poder efectuar el cambio, partimos de las '''definiciones de las coordenadas cilíndricas''': <br/> <br/>
<center><math>
\begin{cases}
\rho(z)=\sqrt{u(z)^2 +v(z)^2} \\
\theta(z)=\arctan\left(\frac{v(z)}{u(z)}\right)\\
z(z)=z
\end{cases}\
</math></center>
<br/> <br/>
Una vez aplicado todo, obtenemos: <br/> <br/>
<center>
\begin{cases}
\rho(z)=V_0·e^{\frac{z}{d_E}} \\
\theta(z)=\frac{z}{d_E}+\vartheta\\
z(z)=z
\end{cases}
</center><br/> <br/>

Destacar que, puesto que <math>\rho</math> queda definido para valores positivos de la recta real, la '''función''' <math>sgn(f)</math> '''es irrelevante'''. Ídem para <math>\theta</math>.

Para expresar todo en la base física cilíndrica podemos usar la '''matriz de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas''' <math>M_{C\ \rightarrow \ \mathcal{C}}</math>. Sencillamente: <br/> <br/>
<center><math>
[\vec{v}]_\mathcal{C} = M_{C\ \rightarrow \ \mathcal{C}} · [\vec{v}]_C = \rho ·

\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} ·
\begin{pmatrix}
sgn(f)·\cos\theta\\
\sin\theta\\
z
\end{pmatrix} \Rightarrow
</math><br/> <br/>

<math>
\Rightarrow
\vec{v}(\rho, \theta, z) = \rho\left( \cdot \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right)\vec{e_\rho}
+ \rho\left(-\sin \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta\right)\vec{e_\theta}
+ z\vec{e_z} = \rho\vec{e_\rho} + z\vec{e_z}</math>,
</center><br/> <br/>

Lo cual era de esperar atendiendo a la definición del '''vector posición''' en coordenadas cilíndricas <math>\vec{r}=\rho\vec{e_\rho} + z\vec{e_z} \quad </math>.

En [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], se trabaja exclusivamente con coordenadas cartesianas, de manera que para poder representar la curva en coordenadas cilíndricas, habría que deshacer todos los cambios hechos. Se trata de un paso trivial que ya queda definido en el siguiente código:
* Código para la representación tridimensional de la espiral de Ekman a partir de su definición en coordenadas cilíndricas:

<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.2;

% Definición de la curva
%Valores de rho, theta y z
rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;
%Paso a cilíndricas para graficar en MATLAB
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;

figure;
hold on;
%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z

view(3);
plot3(X, Y, Z, 'r', 'LineWidth', 1);
}}
</div>

== Curvatura y torsión de la espiral de Ekman ==
[[Archivo:CurvTorEkmanDanielGa.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Curvatura <math>k(t)</math> y torsión <math>\tau (t)</math> graficadas para profundidades entre ''0'' y <math>d_E</math>.]]

En este tipo de curvas, conocer cuál es su torsión y
curvatura resulta más que relevante, puesto que nos proporcionan importante información acerca de esta, su forma y su comportamiento. Para hallar cada una:
* '''Curvatura''' <math>k(t)</math>: expresa cuánto se parece la curva en un punto a su
'''circunferencia osculatriz''' de radio <math>1/k(t)</math>, es decir, cuánto comparte la curva con la circunferencia. Para una curva <math>\gamma (t)</math> se define de la siguiente manera: <br /> <br />
<center><math>
k(t) = \frac{|\dot{\gamma}(t) \times \ddot{\gamma}(t)|}{|\dot{\gamma}(t)|^3}
</math></center><br /> <br />

* '''Torsión''' <math>\tau (t)</math>: expresa cuánto se separa la curva del '''plano osculador''', es decir, de aquel dado por la circunferencia osculatriz o, lo que es lo mismo, dado por el vector tangente y normal en un punto. Igualmente, se define a partir de: <br /> <br />
<center><math>
\tau (t) = \frac{[\dot{\gamma}(t), \ddot{\gamma}(t), \dddot{\gamma}(t)]}{|\dot{\gamma}(t) \times \ddot{\gamma}(t)|^2}
</math></center> <br /> <br />

Concretamente, graficarlas resulta muy útil.
=== Análisis mediante el triedro de Frenet ===

[[Archivo:Ekman11AitorAResized.gif|miniaturadeimagen|El '''triedro de Frenet''' moviéndose a lo largo de la '''espiral de Ekman''' en tres dimensiones. La flecha negra superior indica la dirección del viento, mientras que los tres vectores de colores representan el vector '''tangente''', el '''normal''' y el '''binormal'''. Se aprecia la rotación de estos, muy vinculados a lo desrito anteriormente|derecha]]

Una curiosa forma en la que podemos observar la verdadera naturaleza curva de la espiral de Ekman es mediante la visualización animada del [https://es.wikipedia.org/wiki/Fórmulas_de_Frenet-Serret triedro de Frenet]. Gastar líneas en calcular el triedro es irrelevante, pero el código empleado para mostrar la animación mostrada a partir de la función <code> frenet()</code> es el siguiente:

* La función <code> frenet()</code>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z),

if nargin == 2,
z = zeros(size(x));
end

% CONVERT TO COLUMN VECTOR
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% SPEED OF CURVE
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% TANGENT
T = dr./mag(dr,3);

% DERIVIATIVE OF TANGENT
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));

dT = [dTx dTy dTz];

% NORMAL
N = dT./mag(dT,3);
% BINORMAL
B = cross(T,N);
% CURVATURE
% k = mag(dT,1);
k = mag(cross(dr,ddr),1)./((mag(dr,1)).^3);
% TORSION
t = dot(-B,N,2);

function N = mag(T,n),
% MAGNATUDE OF A VECTOR (Nx3)
% M = mag(U)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
}}
</div>

* El programa de animación:
<div style="width=width: 75%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(-dE, 0, 100); % Valores de z de 0 a 250 m

% Definición de la curva
x = 0.2 * exp(z / dE) .* cos(z / dE + 3/4 * pi)*100;
y = 0.2 * exp(z / dE) .* sin(z / dE + 3/4 * pi)*100;

% Cálculo del triedro de Frenet usando tu función
[T, N, B, k, t] = frenet(x, y, z); % Asume que la función frenet.m está en el mismo directorio
T = 10*T; N=10*N; B=10*B;
% Crear la animación
figure;
hold on;
zlabel('Profundidad');
axis equal;
axis([-0.3*100 0.1*100 -0.1*100 0.25*100 -50 0]);
view(3);

% Plot de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1); % La curva
quiver3(10, 0, -1, -12, 0, 0, 'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize',0.751) % Vector del viento
hT = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector T
hN = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector N
hB = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector B

% Animación
for i =1:length(z)
% Actualizar los vectores del triedro
set(hT, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', T(length(z)+1-i, 1), 'VData', T(length(z)+1-i, 2), 'WData', T(length(z)+1-i, 3));
set(hN, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', N(length(z)+1-i, 1), 'VData', N(length(z)+1-i, 2), 'WData', N(length(z)+1-i, 3));
set(hB, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', B(length(z)+1-i, 1), 'VData', B(length(z)+1-i, 2), 'WData', B(length(z)+1-i, 3));
exportgraphics(gca,"Ekman11Frenet.gif", "Append",true)
% Pausa para animación
pause(0.02);
end
}}
</div>

== Similitudes con la espiral logarítmica ==
[[Archivo:FibonacciconEkman.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Comparativa entre la '''espiral logarítmica''' resultante de la '''sucesión de Fibonacci''' (arriba) y la '''espiral de Ekman''' vista cenitalmente (abajo) para profundidades entre 0 y la ''profundidad de Ekman'' (<math>d_E</math>). Para mayor número de datos, habría una semejanza mayor.]]

Resulta particularmente interesante marcar que la espiral de Ekman, cuando vista desde arriba, sigue una forma exacta a la famosa [https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logarítmica '''espiral logarítmica''']<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02277927 The Ekman Spirals], artículo de Th. Hesselberg.</ref> . Esto se debe a que la parametrización de esta sigue precisamente la forma: <br/> <br/>
<center><math> \gamma(t)=C·e^{kt}\ (\cos t, \sin t), \quad t\in\mathbb{R}</math>,</center> <br/> <br/>
que es idéntica a la espiral de Ekman, siendo <math>k</math> equivalente a <math>1/d_E</math> y <math>C</math> a <math>V_0</math>. Para la espiral logarítmica se tratan análogamente de constantes pertenecientes a <math>\mathbb{R}</math>. <br/> <br/>

La espiral logarítmica aparece en multitud de fenómenos naturales. Galaxias, huracanes, ciclones, conchas de mar, disposición de semilas... son todos ejemplos de la espiral logarítmica apareciendo en la naturaleza. Establece asimismo una estrecha relación con la [https://es.wikipedia.org/wiki/Número_áureo '''proporción áurea'''] y la [https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Fibonacci '''sucesión de Fibonacci'''] en las secuencias de rectángulos.

=== Otras aplicaciones de la espiral logarítmica===
Las espirales logarítmicas han demostrado ser ampliamente usadas en los campos de estudio a causa de su alta repetición en procesos naturales.
====Ingeniería====
La espiral logarítmica encuentra aplicaciones prácticas en el diseño de estructuras y dispositivos tecnológicos debido a su capacidad para modelar el crecimiento continuo y la optimización del espacio. En ingeniería, se utiliza para diseñar sistemas mecánicos donde se requiere un cambio gradual en la forma, como [https://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje '''engranajes''' '''espirales'''], '''muelles''' y '''bombas centrífugas'''. En el diseño de [https://es.wikipedia.org/wiki/Turbina '''turbinas'''] y [https://es.wikipedia.org/wiki/Hélice_(dispositivo) '''hélices'''], la espiral logarítmica asegura un flujo uniforme y eficiente, mejorando el rendimiento aerodinámico e hidráulico.

Asimismo, su aplicación se extiende a '''antenas de comunicaciones''', que emplean este diseño para maximizar la recepción de frecuencias en el mayor rango posible.

En [https://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniería_civil ingeniería civil] y marítima, existen estudios que procuran '''modelizar el cambio de costas''' mediante espirales logarítmicas. <ref>[https://www.researchgate.net/publication/28253055_Modelizacion_matematica_de_lineas_de_costa_espirales_logaritmicas Modelización matemática de líneas de costa: espirales logarítmicas], de M.A. de Pablo, Universidad de Alcalá, y A. Pacifici, IRSPS</ref>

====Estética====
Es una figura recurrente en el arte y la '''arquitectura''', especialmente en obras influenciadas por la proporción áurea. Esta curva aparece en composiciones de artistas como Leonardo da Vinci, quien buscaba integrar principios matemáticos en el diseño visual para lograr equilibrio y armonía. También es común en la arquitectura renacentista y barroca, donde se empleó para estructurar elementos como '''escaleras''', arcos y cúpulas. En las artes visuales contemporáneas, la espiral logarítmica sirve como base para patrones geométricos. Su relación con el crecimiento orgánico y el diseño armónico la convierte en un símbolo recurrente de belleza estructural, tanto en la naturaleza como en las obras humanas.
====Física====
La espiral logarítmica desempeña un papel clave en fenómenos físicos que involucran movimientos [https://es.wikipedia.org/wiki/Hélice_(geometría) helicoidales] o rotacionales. En '''dinámica de fluidos''', como se observa por el fenómeno descrito por Ekman, describe los patrones de flujo en sistemas turbulentos. También aparece en procesos '''cosmológicos''', como los discos de gas formados y polvo que rodean estrellas jóvenes o [https://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro agujeros negros], donde el material sigue trayectorias espirales hacia el centro debido a la combinación de fuerzas gravitatorias y centrífugas. En el estudio de ondas, esta curva describe patrones en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Onda '''propagación de ondas acústicas''' y electromagnéticas'''] bajo ciertas condiciones, especialmente en medios no homogéneos. <br/> <br/>

<gallery mode="packed" style="text-aligned:left">
Archivo:EscaleraLogaritmicaAitorA.png | Escalera en el '''Vaticano''' siguiendo la forma de una espiral logarítmica.
Archivo:AntenaLogaritmicaAitorA.png | '''Antena''' de doble polarización en forma de espiral logarítmica.
Archivo:BorrascaLogaritmicaAitorA.png | Las '''borrascas''' son fenómenos naturales en forma de espiral.
Archivo:GalaxiaLogaritmicaAitorA.png | Las las ''' galaxias''' también siguen la forma de una espiral logarítmica por naturaleza.
</gallery>

== Véase también ==
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica Espiral logarítmica]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis Efecto Coriolis]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa Trigonometría]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral Cálculo integral]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo Flujo]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab]

== Referencias ==
<references />

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Espiral de Ekman (grupo 20, Retiro)

2025-12-03T16:47:42Z

Carlos De Hita Sánchez:

{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 20. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Aitor Amunarriz López <br/> Daniel García Martínez <br/> Federico Flores Rohde <br/> Jesús Rivero López}}
[[Archivo:Ekman4AitorAResized_v2.gif|miniaturadeimagen|300px|1. Pequeña animación mostrando el campo vectorial <math>\vec{v}</math> (flecha de color) respecto a profundidades descendentes, siguiendo la '''espiral de Ekman''' (curva negra) y '''hasta la profundidad de Ekman''' <math>d_E</math>. El viento es representado por la flecha negra (de norte a sur) y el color de <math>\vec{v}</math> varía respecto a la profundidad]]

[[Archivo:Ekman5FedericoFlores.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|2. Representación tridimensional de la '''Espiral de Ekman''' a partir de las velocidades. Las flechas indican el campo vectorial <math>\vec{v}</math> según la profundidad, cambiando de color acordemente, hasta la profundidad <math>d_E</math>.]]
<div style="margin: 30px;">

La '''espiral de Ekman''' es el resultado del [https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad perfil de velocidades] respecto a la profundidad de una columna de [https://es.wikipedia.org/wiki/Agua agua] gracias al efecto Ekman. Este es causado por un viento constante que sopla sobre la superficie del océano, induciendo una corriente que, debido a la [https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis '''fuerza de Coriolis'''], se desvía gradualmente. La alta viscosidad del agua provoca una discordancia entre la dirección de la velocidad entre una capa y otra.<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02277927 The Ekman Spirals], artículo de Th. Hesselberg. ''En inglés''</ref>

El flujo neto se conoce como [https://es.wikipedia.org/wiki/Transporte_de_Ekman '''transporte de Ekman'''].

El fenómeno fue por primera vez descrito por el explorador noruego [https://es.wikipedia.org/wiki/Fridtjof_Nansen Fridtjof Nansen] en una de sus misiones por el océano Ártico. Notó que los icebergs y distintos témpanos de [https://es.wikipedia.org/wiki/Hielo hielo] no seguían necesariamente la dirección del viento. El concepto fue formalizado por su estudiante, [https://es.wikipedia.org/wiki/Vagn_Walfrid_Ekman Vagn Walfrid Ekman], en 1905, aportando el planteamiento matemático necesario.<ref>[https://jscholarship.library.jhu.edu/items/6026d396-a902-488f-a737-f822ac36f674 On the influence of the earth's rotation on ocean-currents.], de Vagn Walfrid Ekman. (1905) ''En inglés''</ref>

Con el objetivo de describir el perfil de velocidad <math>\vec{v} = u\vec{i} + v\vec{j}</math>, Ekman trabajó con la ecuaciones que nacen del equilibrio entre la fuerza Coriolis, la [https://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidad viscosidad] del agua de mar y la velocidad inducida del viento, de manera que:
<center><br/>
<math>\frac{d^2 u}{d z^2} = - \frac{f}{\upsilon_e}v</math>,<math>\ \ \frac{d^2 v}{d z^2} = \frac{f}{\upsilon_e}u</math>,
</center><br/>

con <math>f</math> el parámetro de Coriolis definido como <math>f=2\Omega \sin(\phi)</math>, siendo <math>\Omega</math> la velocidad angular de la Tierra (unos ''7.2921·10<sup>-5</sup>'' rad/s) y <math>\phi</math> la latitud, y <math>\upsilon_e</math> la viscosidad turbulenta del agua.

La solución ofrecida por Ekman a estas [https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial ecuaciones diferenciales] tomaban la siguiente forma en función de la profundidad <math>z</math>, conocidas además la fase inicial <math>\vartheta</math> y la velocidad superficial inducida por el viento <math>V_0</math>:

<center><br/>
<math>u(z)=sgn(f)·V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right)</math>, <br/><br/>
<math>v(z)=V_0 · e^{\frac{z}{d_E}}\ \sin\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta \right)</math>
</center><br/>

El término <math> d_E </math>, conocido como '''profundidad de Ekman''', es la profundidad máxima a la que se considera la influencia del viento y la fuerza Coriolis sobre el movimiento del agua. Se define como:

<center><br/>
<math>d_E=\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>
</center><br/>

<br/>

== Influencia del parámetro de Coriolis <math>f</math> ==
Como se puede notar en la solución de <math>u</math>, se ha de tener en cuenta el signo del parámetro de Coriolis para poder conocer verdaderamente el desplazamiento de la velocidad. Dentro de la definición del parámetro <math>f</math> (<math>f=2\Omega \sin(\phi)</math>), el seno de <math>\phi</math> toma valores entre -1 y 1 dependiendo de la '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Latitud latitud]'''. Esta se define a su vez entre ''-90º'' y ''90º'' (''90ºS'' y ''90ºN'', que, en radianes, <math>-\frac{\pi}{2}</math> y <math>\frac{\pi}{2}</math>). Los valores entre <math>\frac{\pi}{2}</math> y ''0'' corresponden a latitudes entre el polo norte y el [https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuador_terrestre ecuador] , es decir, al '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio_norte hemisferio norte]''', y, por tanto, a valores positivos de <math>f</math>. En cambio, en el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Hemisferio_sur hemisferio sur]''' se darán valores negativos de este. El parámetro es nulo exclusivamente en el '''ecuador'''. <ref>[https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Oceanografía/Introducción_a_la_Oceanografía_(Webb)/09%3A_Circulación_Oceánica/9.03%3A_La_espiral_de_Ekman_y_el_flujo_geostrófico La espiral de Ekman y el flujo geostrófico], artículo de Paul Webb, Roger Williams University. </ref>

El signo de <math>f</math> se aplica en la solución de la ecuación mediante la función signo (<math>sgn(f)</math>).

Para ejemplificar, en una latitud de 45ºN, <math>f=7.2921·10^{-5} \ rad·s^{-1}·\sin(\frac{\pi}{4})\approx 10^{-4} \ rad·s^{-1}</math>, que sería un valor estándar.

== Importancia del valor de <math>\vartheta</math>==
[[Archivo:DiagramaPacíficoNorteFaseInicialGrupo20_2.png|250px|miniaturadeimagen|derecha|Diagrama de las condiciones explicadas. El viento corre de norte a sur representado por la flecha negra. La velocidad superficial (verde) se desvía 45º a la derecha. ]]
El valor de <math>\vartheta</math> es también de suma importancia para la definición de la espiral de Ekman. Se trata de una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuera de Coriolis.

Si, por ejemplo, nos encontramos a la [https://es.wikipedia.org/wiki/Latitud latitud] del ejemplo anterior, asumiendo una viscosidad turbulenta de unos ''0.1 m<sup>2</sup>/s'', una velocidad del viento de ''10 m/s'' soplando de Norte a Sur, induciendo en la superficie una velocidad aproximada de ''0.2 m/s'' y un desvío aproximado de 45º hacia la derecha respecto a la dirección del viento, se intuye que: <br/>
* El valor <math>z=0</math>.
* El cociente <math>\frac{v(z)}{u(z)} = \tan(45º) = 1. </math>
* Se da que <math>f > 0 </math> de manera que <math>sgn(f) = 1</math>

Resolvemos:
<center><br/>
<math>\frac{v(z)}{u(z)} = \frac{V_0·e^{\frac{0}{d_E}}\ \sin\left(\vartheta\right)}{V_0·e^{\frac{0}{d_E}}\ \cos\left(\vartheta\right)} = \tan(\vartheta) = 1 \Rightarrow</math>
<math>\vartheta =
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\pi}{4}\\
\frac{3\pi}{4}
\end{aligned}
\right.
</math>
</center><br/>

Atendiendo al diagrama, como tanto <math>u(z)</math> como <math>v(z)</math> son negativos, la solución correcta para <math>\vartheta</math> es <math>\frac{3\pi}{4}</math>.

== Solución a las ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Para comprobar que Ekman, efectivamente, no se equivocaba con su planteamiento, es un buen ejercicio verificar que <math>u(z)</math> y <math>v(z)</math> son auténticamente la solución a las ecuaciones diferenciales planteadas. Es cuestión de derivar dos veces cada solución respecto de <math>z</math> cada ecuación.

Por su parte, <math>u(z)</math>:

<center>
<math>
\frac{du}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)-sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>

</center>

Como <math>d_E = \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -2 sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{1}{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>

Ordenamos un poco, eliminando el valor absoluto de <math>f</math> a la vez que la función signo, ahora inútil: <br/>
<center>
<math>
\frac{d^2u}{dz^2} = -V_0e^{\frac{z}{\sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\sin\left(\frac{z}{ \sqrt{\frac{2\upsilon_e}{|f|}}}+\vartheta\right) = -\frac{f}{\upsilon_e}·v
</math><br/>

</center>

Que es nuestro planteamiento inicial.

Haciendo lo propio con <math>v(z)</math>:
<center>
<math>
\frac{dv}{dz}=sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)+sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/><br/>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = 2sgn(f)·V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{1}{d_E^2}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)
</math><br/>
</center>
Igual aplicación de la definición de <math>d_E</math>:
<center>
<math>
\frac{d^2v}{dz^2} = V_0e^{\frac{z}{d_E}}·\frac{f}{\upsilon_e}·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) = \frac{f}{\upsilon_e}·u
</math><br/>
</center>

Demostrando así que las soluciones son correctas.

== Representación del campo vectorial <math>\vec{v}</math> ==

Existen diversas e interesantes maneras de analizar el fenómeno descrito por Ekman, cada una de las cuales ofrece perspectivas valiosas y complementarias para su comprensión. La espiral, concebida como una '''estructura en tres dimensiones''', resulta particularmente interesante al ser estudiada también desde una vista en planta, ya que esta proyección bidimensional permite observar patrones que pueden pasar desapercibidos en su representación tridimensional.

Con el objetivo de brindar una comprensión más completa, a continuación, se presentan los códigos correspondientes a ambas formas en las que se ha intentado ilustrar y explicar la curva mostrada en las figuras anteriores.

* El código para la '''animación observada desde el cenit''', de manera que <math>\vec{v}</math> varía con la profundidad y es representada mediante una flecha de color cambiante (siguiendo los parámetros ejemplificativos anteriormente descritos): (1.)
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Definición de dE
z = linspace(0, dE, 50);
% Definición de la curva
x = 0.2*exp(z / dE).*cos(z/dE+3/4*pi);
y = 0.2*exp(z / dE).*sin(z/dE+3/4*pi);

plot(x,y, 'k', 'LineWidth', 1)

u = 0.2*exp(0/dE)*cos(0/dE+3/4*pi);
v = 0.2*exp(0/dE)*sin(0/dE+3/4*pi);

hold on
h = quiver(0,0,u,v, 0, 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.2);
quiver(0, 0.15, 0, -0.05, 'k', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 0.7)

% Contador para la profundidad
n=1;
z_text = text(-0.5, 0.16, sprintf('z = %.2f m', z(n)), 'FontSize', 12, 'Color', 'k', ...
'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'top');

set(gca, 'XAxisLocation', 'origin', 'YAxisLocation', 'origin', 'XColor', 'none', 'YColor', 'none')
axis([-0.6 0.1 -0.2 0.2])

% Variación de color de la flecha
cmap = jet(length(z));

for n = 1:length(z)

%Vectores
u = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*cos(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi);
v = 0.2*exp(z(length(z)+1-n)/dE)*sin(z(length(z)+1-n)/dE+3/4*pi);
h.UData = u; h.VData = v;

% Color de vector
color = cmap(n, :);
h.Color = color;

% Actualizar z
z_text.String = sprintf('z = %.2f m', z(n));
pause(0.1);

exportgraphics(gca,"EkmanA4AitorA.gif", "Append",true)

end }}
</div>

* En cambio, el ofrecido para una '''vista tridimensional isométrica''' de la curva: (2.)
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Variables
k = 20 * sqrt(5);
cz = linspace(-k, 0, 10);
x = zeros(1, 30);
y = x;

% Coordenadas de la espiral
for i = 1:length(cz)
z = cz(i);
cx(i) = 0.2 * exp(z / k) * cos((z / k) + 3 * pi / 4);
cy(i) = 0.2 * exp(z / k) * sin((z / k) + 3 * pi / 4);
end

cmap = flipud(jet(length(cz)));

% Graficar
figure;
hold on;
for i = 1:length(cz)

color = cmap(i, :);
quiver3(0, 0, cz(i), cx(i), cy(i), 0, 'Color', color, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5);
plot3(cx(i), cy(i), cz(i), 'o', 'MarkerFaceColor', color, 'MarkerEdgeColor', 'k');
end

xlabel('Velocidad i [m/s]')
ylabel('Velocidad j [m/s]')
zlabel('Profundidad [m]')
view(3)
grid on
colormap(flipud(jet))
hold off
}}</div>

== Divergencia de <math>\vec{v}</math> ==
Es importante marcar que la divergencia del campo vectorial <math>\vec{v}</math> es '''en todo caso nula'''. La demostración es trivial, pues el campo depende exclusivamente de la variable <math>z</math> mientras que todos los vectores resultantes son paralelos al plano marcado por <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>. En otras palabras, esto resulta que en que la derivada <math>\frac{\partial}{\partial z}\vec{v}_z = 0</math>, pues <math>\vec{v}_z</math> es en sí ya nulo.

En el contexto en el que nos encontramos, no está de más preguntarse la razón de esta nulidad de la divergencia. Si entendemos la divergencia como un fenómeno físico, es correspondiente al '''cambio de volumen inducido por un campo'''. Siendo el agua el fluido incompresible que es, la velocidad de sus moléculas adquirida gracias al efecto del viento es totalmente independiente del volumen. Para todo campo velocidad de un '''fluido incompresible''', sería por tanto de esperar que <math>\nabla · \vec{v} = 0 </math>. Se trata de una consecuencia directa del [https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergencia '''Teorema de la divergencia de Gauss'''].

== Rotacional de <math>\vec{v}</math> ==
[[Archivo:Ekman7JesusRivResized v2.gif|miniaturadeimagen|derecha|Animación de la '''espiral de Ekman''' (curva roja) vista desde el cenit y definida a partir del vector velocidad <math>\vec{v}</math> (flecha de color cambiante) con su '''rotacional''' <math>\nabla\times\vec{v}</math> (flecha rosa).]]

En línea con el análisis de curvas, el rotacional de la espiral de Ekman, sirve para comprender la condición de espiral de la que goza. A partir del campo de velocidades <math>\vec{v}= u \vec{i} + v \vec{j}</math>, se da que:
<br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec v_x & \vec v_y & \vec v_z
\end{vmatrix}}
</math></center><br/> <br/>

Siendo <math>\vec v_x</math>, <math>\vec v_y</math> y <math>\vec v_z</math> <math>u</math>, <math>v</math> y ''0'' respectivamente. Resolviendo el determinante, el proceso queda simplificado a: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = -\frac{\partial v}{\partial z}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{j}
</math></center><br/> <br/>
Por simplicidad, llamamos <math>\varphi</math> a la fase angular dentro de las funciones trigonométricas (<math>z/d_E + \vartheta</math>). Sustituyendo: <br/> <br/>
<center><math>
\nabla\times\vec{v}(z) = \frac{V_0}{d_E}·e^{\frac{z}{d_E}}·\left[-\left(\sin\varphi +\cos\varphi\right)\vec{i} + \left(\cos\varphi - \sin\varphi\right)\vec{j}\right]
</math></center><br/> <br/>

La vorticidad en la espiral de Ekman aparece por el corte vertical de la velocidad debido a la fricción, y la forma de esa rotación está controlada por el parámetro de Coriolis (f).
En resumen: la fricción genera vorticidad y el parámetro de Coriolis determina cómo esa vorticidad se organiza en la espiral de Ekman.

== Flujo resultante ==
Gran parte de la problemática y motivación de Ekman era establecer el '''flujo de agua resultante''' de todo el fenómeno a partir de una columna de agua. Para calcularlo, conviene imaginarse un plano genérico <math>S</math> definido por el vector <math>\vec{n}_S=\cos\alpha\vec{i}+\sin\alpha\vec{j}</math>, para un ángulo fijo <math>\alpha \in [0, 2\pi)</math>. Este plano sobre el que mediremos el flujo tendría una profundidad infinita (<math>z \rightarrow \infty </math>), aunque solo tendríamos que considerarlo hasta la profundidad <math>d_E</math>, pues es hasta donde el efecto tiene sentido estudiarlo.

Asimismo, diremos por conveniencia que el plano tiene una anchura <math>L</math>, de dimensión muy inferior a la profundidad total del océano.

Para hallar el flujo se hace uso del cálculo integral ateniendo a las definiciones pertinentes: <br/> <br/>

<center><math>
\Phi = \int_S \vec{v}·d\vec{S} = \int_S (\vec{v}·\vec{n}_S)\ dS = \iint_D (\vec{v}·\vec{n})\,dl\,dz
</math></center>

Definimos el dominio <math>D</math> de integración a partir de las dimensiones en las que existe el plano (lado <math>l</math> y profundidad <math>z</math>). La profundidad vamos a considerarla entre <math>-\infty</math> y ''0'' por fines educativos, mientras que el lado simplemente entre ''0'' y <math>L</math>.

Asimismo, el resultado del producto vectorial <math>\vec{v}·\vec{n}_S </math> es: <br /> <br />
<center><math>\vec{v}·\vec{n}_S= \cos \alpha \cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right)+\sin \alpha \sin\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta\right) </math></center><br /> <br />

Convenientemente, a partir de la ''fórmula de la suma de ángulos para el coseno'', intuimos que esto es igual a: <br /> <br />

<center><math>\vec{v}·\vec{n}_S=\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta - \alpha\right)</math></center>
Integramos cual integral doble: <br/> <br/>

<center><math>
\Phi = \int_{0}^{L} V_0 ·\left(\int_{-\infty}^{0} e^{\frac{z}{d_E}}
·\cos\left(\frac{z}{d_E}+\vartheta - \alpha\right) dz \right) dl
</math></center> <br /> <br />

La integral interior se resuelve por partes, resultando: <br /> <br />

<center><math>
\Phi = \int_{0}^{L}\frac{V_0 \cdot d_E \cdot e^{\frac{z}{d_E}} \left(\cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha\right) + \sin\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha\right)\right)}{2} \, dl = </math><br /> <br /><math>
= \int_{0}^{L} \frac{V_0}{2}· d_E \cdot \left(\sin\left(\vartheta - \alpha\right) + \cos\left(\vartheta - \alpha\right)\right) \, dl = </math><br /> <br /><math>
= L \cdot \frac{V_0}{2} \cdot d_E \cdot \left(\sin\left(\vartheta - \alpha\right) + \cos\left(\vartheta - \alpha\right)\right)
</math></center><br/> <br/>

Para hallar el flujo resultante, es cuestión de maximizar la expresión arriba descrita según el ángulo <math>\alpha</math>. Atendiendo a procesos de optimización, para <math>\vartheta = 3\pi/4</math>, resulta que el flujo es máximo para un plano con el ángulo <math>\alpha = 3\pi/4</math>. Esto significa, tal y como hemos definido el plano, que el flujo resultante es hacia el '''oeste'''. Generalizado, se demuestra así que, con el fenómeno de Ekman, el '''flujo resultante es siempre perpendicular a la dirección del viento''', siendo su sentido dependiente precisamente el parámetro de Coriolis y el hemisferio en el que nos encontremos.<ref>[https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Dinámica-espiral-Ekman.pdf Aspectos de la dinámica
de la espiral de Ekman], artículo de José Antonio López de la Asociación Meteorológica de España </ref>
<br/> <br/>

== Expresión en distintas coordenadas ==
[[Archivo:CilinEkmanDanielGa.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Espiral de Ekman graficada en '''coordenadas cilíndricas''' para valores comprendidos entre la superficie y <math>d_E</math>. Naturalmente, la representación es idéntica a cualquier otro sistema de coordenadas.]]

La espiral de Ekman, tal y como convenientemente su nombre indica, se trata de una espiral y por tanto tiene cierto carácter curvo. Para este tipo de construcciones, siempre es interesante conocer cómo se pueden observar en otro tipo de coordenadas. Es de particular interés para esta curva el planteamiento en [https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cilíndricas '''coordenadas cilíndricas'''].

Tal y como hemos descrito la curva anteriormente, la espiral de Ekman definida por el campo de velocidades respecto a la profundidad queda como: <br/> <br/>
<center><math>
\vec{v}(t) = (u(z), v(z), z) = V_0 · e^{\frac{z}{d_E}} \ \left(sgn(f)·\cos\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta\right), \ \sin\left( \frac{z}{d_E}+\vartheta \right), z\right)
</math></center><br/> <br/>

Para poder efectuar el cambio, partimos de las '''definiciones de las coordenadas cilíndricas''': <br/> <br/>
<center><math>
\begin{cases}
\rho(z)=\sqrt{u(z)^2 +v(z)^2} \\
\theta(z)=\arctan\left(\frac{v(z)}{u(z)}\right)\\
z(z)=z
\end{cases}\
</math></center>
<br/> <br/>
Una vez aplicado todo, obtenemos: <br/> <br/>
<center>
\begin{cases}
\rho(z)=V_0·e^{\frac{z}{d_E}} \\
\theta(z)=\frac{z}{d_E}+\vartheta\\
z(z)=z
\end{cases}
</center><br/> <br/>

Destacar que, puesto que <math>\rho</math> queda definido para valores positivos de la recta real, la '''función''' <math>sgn(f)</math> '''es irrelevante'''. Ídem para <math>\theta</math>.

Para expresar todo en la base física cilíndrica podemos usar la '''matriz de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas''' <math>M_{C\ \rightarrow \ \mathcal{C}}</math>. Sencillamente: <br/> <br/>
<center><math>
[\vec{v}]_\mathcal{C} = M_{C\ \rightarrow \ \mathcal{C}} · [\vec{v}]_C = \rho ·

\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0\\
-\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} ·
\begin{pmatrix}
sgn(f)·\cos\theta\\
\sin\theta\\
z
\end{pmatrix} \Rightarrow
</math><br/> <br/>

<math>
\Rightarrow
\vec{v}(\rho, \theta, z) = \rho\left( \cdot \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right)\vec{e_\rho}
+ \rho\left(-\sin \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta \cdot \sin \theta\right)\vec{e_\theta}
+ z\vec{e_z} = \rho\vec{e_\rho} + z\vec{e_z}</math>,
</center><br/> <br/>

Lo cual era de esperar atendiendo a la definición del '''vector posición''' en coordenadas cilíndricas <math>\vec{r}=\rho\vec{e_\rho} + z\vec{e_z} \quad </math>.

En [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], se trabaja exclusivamente con coordenadas cartesianas, de manera que para poder representar la curva en coordenadas cilíndricas, habría que deshacer todos los cambios hechos. Se trata de un paso trivial que ya queda definido en el siguiente código:
* Código para la representación tridimensional de la espiral de Ekman a partir de su definición en coordenadas cilíndricas:

<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.2;

% Definición de la curva
%Valores de rho, theta y z
rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;
%Paso a cilíndricas para graficar en MATLAB
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;

figure;
hold on;
%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z

view(3);
plot3(X, Y, Z, 'r', 'LineWidth', 1);
}}
</div>

== Curvatura y torsión de la espiral de Ekman ==
[[Archivo:CurvTorEkmanDanielGa.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Curvatura <math>k(t)</math> y torsión <math>\tau (t)</math> graficadas para profundidades entre ''0'' y <math>d_E</math>.]]

En este tipo de curvas, conocer cuál es su torsión y
curvatura resulta más que relevante, puesto que nos proporcionan importante información acerca de esta, su forma y su comportamiento. Para hallar cada una:
* '''Curvatura''' <math>k(t)</math>: expresa cuánto se parece la curva en un punto a su
'''circunferencia osculatriz''' de radio <math>1/k(t)</math>, es decir, cuánto comparte la curva con la circunferencia. Para una curva <math>\gamma (t)</math> se define de la siguiente manera: <br /> <br />
<center><math>
k(t) = \frac{|\dot{\gamma}(t) \times \ddot{\gamma}(t)|}{|\dot{\gamma}(t)|^3}
</math></center><br /> <br />

* '''Torsión''' <math>\tau (t)</math>: expresa cuánto se separa la curva del '''plano osculador''', es decir, de aquel dado por la circunferencia osculatriz o, lo que es lo mismo, dado por el vector tangente y normal en un punto. Igualmente, se define a partir de: <br /> <br />
<center><math>
\tau (t) = \frac{[\dot{\gamma}(t), \ddot{\gamma}(t), \dddot{\gamma}(t)]}{|\dot{\gamma}(t) \times \ddot{\gamma}(t)|^2}
</math></center> <br /> <br />

Concretamente, graficarlas resulta muy útil.
=== Análisis mediante el triedro de Frenet ===

[[Archivo:Ekman11AitorAResized.gif|miniaturadeimagen|El '''triedro de Frenet''' moviéndose a lo largo de la '''espiral de Ekman''' en tres dimensiones. La flecha negra superior indica la dirección del viento, mientras que los tres vectores de colores representan el vector '''tangente''', el '''normal''' y el '''binormal'''. Se aprecia la rotación de estos, muy vinculados a lo desrito anteriormente|derecha]]

Una curiosa forma en la que podemos observar la verdadera naturaleza curva de la espiral de Ekman es mediante la visualización animada del [https://es.wikipedia.org/wiki/Fórmulas_de_Frenet-Serret triedro de Frenet]. Gastar líneas en calcular el triedro es irrelevante, pero el código empleado para mostrar la animación mostrada a partir de la función <code> frenet()</code> es el siguiente:

* La función <code> frenet()</code>
<div style="width: 50%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
function [T,N,B,k,t] = frenet(x,y,z),

if nargin == 2,
z = zeros(size(x));
end

% CONVERT TO COLUMN VECTOR
x = x(:);
y = y(:);
z = z(:);

% SPEED OF CURVE
dx = gradient(x);
dy = gradient(y);
dz = gradient(z);
dr = [dx dy dz];

ddx = gradient(dx);
ddy = gradient(dy);
ddz = gradient(dz);
ddr = [ddx ddy ddz];

% TANGENT
T = dr./mag(dr,3);

% DERIVIATIVE OF TANGENT
dTx = gradient(T(:,1));
dTy = gradient(T(:,2));
dTz = gradient(T(:,3));

dT = [dTx dTy dTz];

% NORMAL
N = dT./mag(dT,3);
% BINORMAL
B = cross(T,N);
% CURVATURE
% k = mag(dT,1);
k = mag(cross(dr,ddr),1)./((mag(dr,1)).^3);
% TORSION
t = dot(-B,N,2);

function N = mag(T,n),
% MAGNATUDE OF A VECTOR (Nx3)
% M = mag(U)
N = sum(abs(T).^2,2).^(1/2);
d = find(N==0);
N(d) = eps*ones(size(d));
N = N(:,ones(n,1));
}}
</div>

* El programa de animación:
<div style="width=width: 75%; margin: 20px;">
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
dE = sqrt(2 * 0.1 / 10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(-dE, 0, 100); % Valores de z de 0 a 250 m

% Definición de la curva
x = 0.2 * exp(z / dE) .* cos(z / dE + 3/4 * pi)*100;
y = 0.2 * exp(z / dE) .* sin(z / dE + 3/4 * pi)*100;

% Cálculo del triedro de Frenet usando tu función
[T, N, B, k, t] = frenet(x, y, z); % Asume que la función frenet.m está en el mismo directorio
T = 10*T; N=10*N; B=10*B;
% Crear la animación
figure;
hold on;
zlabel('Profundidad');
axis equal;
axis([-0.3*100 0.1*100 -0.1*100 0.25*100 -50 0]);
view(3);

% Plot de la espiral
plot3(x, y, z, 'k', 'LineWidth', 1); % La curva
quiver3(10, 0, -1, -12, 0, 0, 'k', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize',0.751) % Vector del viento
hT = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector T
hN = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector N
hB = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector B

% Animación
for i =1:length(z)
% Actualizar los vectores del triedro
set(hT, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', T(length(z)+1-i, 1), 'VData', T(length(z)+1-i, 2), 'WData', T(length(z)+1-i, 3));
set(hN, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', N(length(z)+1-i, 1), 'VData', N(length(z)+1-i, 2), 'WData', N(length(z)+1-i, 3));
set(hB, 'XData', x(length(z)+1-i), 'YData', y(length(z)+1-i), 'ZData', z(length(z)+1-i), ...
'UData', B(length(z)+1-i, 1), 'VData', B(length(z)+1-i, 2), 'WData', B(length(z)+1-i, 3));
exportgraphics(gca,"Ekman11Frenet.gif", "Append",true)
% Pausa para animación
pause(0.02);
end
}}
</div>

== Similitudes con la espiral logarítmica ==
[[Archivo:FibonacciconEkman.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|Comparativa entre la '''espiral logarítmica''' resultante de la '''sucesión de Fibonacci''' (arriba) y la '''espiral de Ekman''' vista cenitalmente (abajo) para profundidades entre 0 y la ''profundidad de Ekman'' (<math>d_E</math>). Para mayor número de datos, habría una semejanza mayor.]]

Resulta particularmente interesante marcar que la espiral de Ekman, cuando vista desde arriba, sigue una forma exacta a la famosa [https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logarítmica '''espiral logarítmica''']<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02277927 The Ekman Spirals], artículo de Th. Hesselberg.</ref> . Esto se debe a que la parametrización de esta sigue precisamente la forma: <br/> <br/>
<center><math> \gamma(t)=C·e^{kt}\ (\cos t, \sin t), \quad t\in\mathbb{R}</math>,</center> <br/> <br/>
que es idéntica a la espiral de Ekman, siendo <math>k</math> equivalente a <math>1/d_E</math> y <math>C</math> a <math>V_0</math>. Para la espiral logarítmica se tratan análogamente de constantes pertenecientes a <math>\mathbb{R}</math>. <br/> <br/>

La espiral logarítmica aparece en multitud de fenómenos naturales. Galaxias, huracanes, ciclones, conchas de mar, disposición de semilas... son todos ejemplos de la espiral logarítmica apareciendo en la naturaleza. Establece asimismo una estrecha relación con la [https://es.wikipedia.org/wiki/Número_áureo '''proporción áurea'''] y la [https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Fibonacci '''sucesión de Fibonacci'''] en las secuencias de rectángulos.

=== Otras aplicaciones de la espiral logarítmica===
Las espirales logarítmicas han demostrado ser ampliamente usadas en los campos de estudio a causa de su alta repetición en procesos naturales.
====Ingeniería====
La espiral logarítmica encuentra aplicaciones prácticas en el diseño de estructuras y dispositivos tecnológicos debido a su capacidad para modelar el crecimiento continuo y la optimización del espacio. En ingeniería, se utiliza para diseñar sistemas mecánicos donde se requiere un cambio gradual en la forma, como [https://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje '''engranajes''' '''espirales'''], '''muelles''' y '''bombas centrífugas'''. En el diseño de [https://es.wikipedia.org/wiki/Turbina '''turbinas'''] y [https://es.wikipedia.org/wiki/Hélice_(dispositivo) '''hélices'''], la espiral logarítmica asegura un flujo uniforme y eficiente, mejorando el rendimiento aerodinámico e hidráulico.

Asimismo, su aplicación se extiende a '''antenas de comunicaciones''', que emplean este diseño para maximizar la recepción de frecuencias en el mayor rango posible.

En [https://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniería_civil ingeniería civil] y marítima, existen estudios que procuran '''modelizar el cambio de costas''' mediante espirales logarítmicas. <ref>[https://www.researchgate.net/publication/28253055_Modelizacion_matematica_de_lineas_de_costa_espirales_logaritmicas Modelización matemática de líneas de costa: espirales logarítmicas], de M.A. de Pablo, Universidad de Alcalá, y A. Pacifici, IRSPS</ref>

====Estética====
Es una figura recurrente en el arte y la '''arquitectura''', especialmente en obras influenciadas por la proporción áurea. Esta curva aparece en composiciones de artistas como Leonardo da Vinci, quien buscaba integrar principios matemáticos en el diseño visual para lograr equilibrio y armonía. También es común en la arquitectura renacentista y barroca, donde se empleó para estructurar elementos como '''escaleras''', arcos y cúpulas. En las artes visuales contemporáneas, la espiral logarítmica sirve como base para patrones geométricos. Su relación con el crecimiento orgánico y el diseño armónico la convierte en un símbolo recurrente de belleza estructural, tanto en la naturaleza como en las obras humanas.
====Física====
La espiral logarítmica desempeña un papel clave en fenómenos físicos que involucran movimientos [https://es.wikipedia.org/wiki/Hélice_(geometría) helicoidales] o rotacionales. En '''dinámica de fluidos''', como se observa por el fenómeno descrito por Ekman, describe los patrones de flujo en sistemas turbulentos. También aparece en procesos '''cosmológicos''', como los discos de gas formados y polvo que rodean estrellas jóvenes o [https://es.wikipedia.org/wiki/Agujero_negro agujeros negros], donde el material sigue trayectorias espirales hacia el centro debido a la combinación de fuerzas gravitatorias y centrífugas. En el estudio de ondas, esta curva describe patrones en la [https://es.wikipedia.org/wiki/Onda '''propagación de ondas acústicas''' y electromagnéticas'''] bajo ciertas condiciones, especialmente en medios no homogéneos. <br/> <br/>

<gallery mode="packed" style="text-aligned:left">
Archivo:EscaleraLogaritmicaAitorA.png | Escalera en el '''Vaticano''' siguiendo la forma de una espiral logarítmica.
Archivo:AntenaLogaritmicaAitorA.png | '''Antena''' de doble polarización en forma de espiral logarítmica.
Archivo:BorrascaLogaritmicaAitorA.png | Las '''borrascas''' son fenómenos naturales en forma de espiral.
Archivo:GalaxiaLogaritmicaAitorA.png | Las las ''' galaxias''' también siguen la forma de una espiral logarítmica por naturaleza.
</gallery>

== Véase también ==
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica Espiral logarítmica]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis Efecto Coriolis]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa Trigonometría]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_integral Cálculo integral]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo Flujo]
*[https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB Matlab]

== Referencias ==
<references />

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:50:35Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Divergencia de \vec{v} */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:48:56Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:48:11Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:47:41Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:45:28Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:45:02Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:44:27Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:44:01Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:42:04Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:41:02Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:40:38Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:37:11Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:34:20Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T19:33:49Z

Carlos De Hita Sánchez:

Archivo:Captura de pantalla 2025-12-01 160143.png

2025-12-01T15:07:16Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T15:03:31Z

Carlos De Hita Sánchez: /* Campo vectorial v */

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T14:30:31Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T14:29:54Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T14:27:03Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T11:32:33Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-12-01T11:27:58Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-11-24T14:23:04Z

Carlos De Hita Sánchez:

Espiral de Ekman (Grupo 55, Retiro)

2025-11-24T14:21:33Z

Carlos De Hita Sánchez: Página creada con «{{ TrabajoED | Espiral de Ekman. Grupo 55 | Teoría de Campos|2025-26 | Carlos De Hita Sánchez, Hicham Ouald Omar...»