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Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T20:31:38Z

Cain: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math> - ∇ · σ</math> queda <math> - ∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{2x}{5} \\ \frac{y}{5} - \frac{1}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

Esta matriz de fuerzas nos dice que las fuerzas en la dirección de <math>\vec{i}</math> la fuerza es proporcional a x, en la dirección de <math>\vec{j}</math> la fuerza depende linealmente de y, y en la dirección de <math>\vec{k}</math> no hay fuerza.

[[Archivo:FuerzasDivSigma.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

El código de Matlab es:
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Fx = 2*X/5;
Fy = (Y-1)/5;
Fz = zeros(size(X));

figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy, 'AutoScale', 'on', 'AutoScaleFactor', 0.5);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Fuerzas sobre la placa plana');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

Si la calculamos con el ordenador nos sale 19.4333 u de masa.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T12:28:16Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math> - ∇ · σ</math> queda <math> - ∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{2x}{5} \\ \frac{y}{5} - \frac{1}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

Esta matriz de fuerzas nos dice que las fuerzas en la dirección de <math>\vec{i}</math> la fuerza es proporcional a x, en la dirección de <math>\vec{j}</math> la fuerza depende linealmente de y, y en la dirección de <math>\vec{k}</math> no hay fuerza.

[[Archivo:FuerzasDivSigma.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

El código de Matlab es:
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Fx = 2*X/5;
Fy = (Y-1)/5;
Fz = zeros(size(X));

figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy, 'AutoScale', 'on', 'AutoScaleFactor', 0.5);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Fuerzas sobre la placa plana');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:FuerzasDivSigma.png

2024-12-08T12:27:16Z

Cain:

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T12:26:28Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math> - ∇ · σ</math> queda <math> - ∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{2x}{5} \\ \frac{y}{5} - \frac{1}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

Esta matriz de fuerzas nos dice que las fuerzas en la dirección de <math>\vec{i}</math> la fuerza es proporcional a x, en la dirección de <math>\vec{j}</math> la fuerza depende linealmente de y, y en la dirección de <math>\vec{k}</math> no hay fuerza.

El código de Matlab es:
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Fx = 2*X/5;
Fy = (Y-1)/5;
Fz = zeros(size(X));

figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy, 'AutoScale', 'on', 'AutoScaleFactor', 0.5);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Fuerzas sobre la placa plana');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T12:13:11Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math> - ∇ · σ</math> queda <math> - ∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{2x}{5} \\ \frac{y}{5} - \frac{1}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T12:12:54Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando - <math>∇ · σ</math> queda <math> - ∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{2x}{5} \\ \frac{y}{5} - \frac{1}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T12:12:11Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \begin{pmatrix}\frac{-2x}{5} \\ \frac{1}{5} - \frac{y}{5} \\ 0\end{pmatrix} </math></center>

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T11:56:08Z

Cain: /* Campo de fuerzas que actúa sobre la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

<center>Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math></center>

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-08T09:38:00Z

Cain: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

% Definición de la región válida
for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T14:49:13Z

Cain: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T14:48:56Z

Cain: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El gradiente será: <center><math>\nabla T(x,y) = -4x^3*(0.5-y)\vec{i} + (1-x^4)\vec{j}</math></center> 

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T14:08:46Z

Cain: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>
Integrando esto nos queda:
<center><math>2 \left[12x-3x^2+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2}x^4-\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1} = 2\left[12-3+\frac{4}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\right] </math></center>
La masa total será <math> M=2*(9.55)=19.1</math> unidades de masa aproximadamente.
<center><math>\boxed {M = 19.1 u}</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:58:25Z

Cain: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>
Al ser el integrando simétrico al eje x=0, reescribimos la integral:
<center><math>2\int_{0}^{1} (x^4-4x^2-12)(x-2) \, \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{1} \left[12-6x+4x^2-2x^3-x^4-\frac{x^5}{2}\right] \, \mathrm{d}x</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T13:40:53Z

Cain: /* Masa total de la placa */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

==Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.==
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

==Curvas de nivel de la temperatura==

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

==Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Punto y dirección de la máxima variación de temperatura==
A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:4PlacaPlanaGrupo11.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
h = 1/50;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Definición de la región válida
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

% Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (0.5 - Y);

% Cálculo de derivadas parciales
ParcialX = X.^3 .* (4 .* Y - 2);
ParcialY = X.^4 - 1;

% Magnitud del gradiente
gradiente = hypot(ParcialX, ParcialY);

% Ubicación del máximo gradiente
[MaxGradiente, MaxIdx] = max(gradiente(:));
[MaxRow, MaxCol] = ind2sub(size(gradiente), MaxIdx);
PtoMaximo = [X(MaxRow, MaxCol), Y(MaxRow, MaxCol)];

% Submuestreo para graficar
step = 5;
X2 = X(1:step:end, 1:step:end);
Y2 = Y(1:step:end, 1:step:end);
ParcialX2 = ParcialX(1:step:end, 1:step:end);
ParcialY2 = ParcialY(1:step:end, 1:step:end);

% Graficación
figure;
hold on;

% Flechas del gradiente
quiver3(X2, Y2, zeros(size(X2)), ParcialX2, ParcialY2, zeros(size(ParcialX2)), 'black', 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);

% Punto de máximo gradiente con flecha de dirección
plot3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 1, 'LineWidth', 5);
text(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, sprintf(' Max Grad: %.2f', MaxGradiente), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', 'VerticalAlignment', 'bottom');
quiver3(PtoMaximo(1), PtoMaximo(2), 0, ParcialX(MaxRow, MaxCol)/40, ParcialY(MaxRow, MaxCol), 0, 'r' , 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1);

% Configuración de los ejes
axis equal;
axis([-1.5, 1.5, -0.5, 3.5, -1, 1]);
xlabel('Eje de abcisas');
ylabel('Eje de ordenadas');
zlabel('Eje de aplicadas');
title('Gradiente y Dirección del Máximo Incremento');
grid on;
hold off;
}}

==Representación gráfica del desplazamiento del sólido==
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

==Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>==
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

==Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>==
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

==Tensor de tensiones==
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

==Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>==
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

==Tensión de Von Mises==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

==Campo de fuerzas que actúa sobre la placa==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

==Masa total de la placa==

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>:
<center><math>\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2+x^2} (2-|x|)(4-y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x</math></center>
Primero resolvemos la integral interna que depende de y:
<center><math>\int_{0}^{2+x^2} (4-y) \, \mathrm{d}y \ = \left[4y - \frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2+x^2} = (4(2+x^2)-\frac{(2+x^2)^2}{2}) = 6+2x^2-\frac{x^4}{2}</math></center>
Ahora podemos calcular la integral externa que depende de x que es:
<center><math>\int_{-1}^{1} (2-|x|)(6+2x^2-\frac{x^4}{2}) \, \mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} (12-6|x|+4x^2-2|x|^3-x^4+\frac{|x|^5}{2}) \, \mathrm{d}x</math></center>

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:52:13Z

Cain: /* Módulo del desplazamiento transversal */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Masa total de la placa=

Para este último apartado se estudiará la masa total de la placa a partir de su función de densidad <math>d(x,y)=(2-|x|)(4-y)</math>.
Sólo tendremos que integrar la densidad entre la región en la que se encuentra nuestra placa <math>[-1,1] </math> x <math>[0,f(x)] </math> donde <math> f(x)=2+x^2</math>

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:40:45Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:Tenitg.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:Tenitg2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(X-2.*X.*Y)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión')
title('Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i')
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Tenitg2.png

2024-12-07T12:40:09Z

Cain:

Archivo:Tenitg.png

2024-12-07T12:39:51Z

Cain:

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:24:44Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Haciendo la operación queda por tanto: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:19:29Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:18:37Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}= \frac{3y-x^2}{10}</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:17:48Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:10:48Z

Cain: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>).
[[Archivo:VonM.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
X = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[x, y] = meshgrid(X, linspace(0, 1, length(X)));

% Generar la matriz y en función de X
for i = 1:length(X)
y(:, i) = linspace(0, f(X(i)), length(X));
end

Ux=(x.*y)/10;
Uy=(-y.*x.^2)/10;

[gradUxx, gradUxy]=gradient(Ux,h,h);
[gradUyx, gradUyy]=gradient(Uy,h,h);

% Tensor de deformaciones ε (simétrica)
exx=(gradUxx+gradUxx)/2;
eyy=(gradUyy+gradUyy)/2;
exy=(gradUxy+gradUyx)/2;

% La fórmula del tensor de tensiones σ = ∇·u + 2ε
divU=gradUxx+gradUyy; % Divergente de u
sigmaxx=divU+2*exx;
sigmayy=divU+2*eyy;
sigmaxy=divU+2*exy;

% Tensión de Von Mises para cada punto en la malla
sigmavm=sqrt(((sigmaxx-sigmayy).^2+(sigmayy-sigmaxy).^2+(sigmaxy-sigmaxx).^2)/2);

% Graficar la tensión de Von Mises
figure;
surf(x, y, sigmavm);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Tensión de Von Mises');
title('Distribución de la Tensión de Von Mises');
colorbar;

% Encontrar el punto con el valor máximo de la tensión de Von Mises
[maxval,idx]=max(sigmavm(:));
[maxx,maxy]=ind2sub(size(sigmavm),idx);

% Señalar el punto máximo en el gráfico
hold on;
plot3(x(maxx,maxy),y(maxx,maxy),maxval, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');

% Mostrar el valor máximo de la tensión de Von Mises
disp(['El valor máximo de la Tensión de Von Mises se alcanza en X = ',num2str(x(maxx,maxy)), ' y Y = ',num2str(y(maxx,maxy))]);
disp(['Valor máximo de Von Mises: ',num2str(maxval)]);}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:08:45Z

Cain: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

Código Matlab
{{matlab|codigo=clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Teni=(3*Y-X.^2)/10;
Tenj=(Y-3*X.^2)/10;
Tenk=(Y-X.^2)/10;
figure
surf(X,Y,Teni)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección i')
title('Tensiones normales eje i')

figure
surf(X,Y,Tenj)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección j')
title('Tensiones normales eje j')

figure
surf(X,Y,Tenk)
axis image
colorbar
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Tensión dirección k')
title('Tensiones normales eje k')}}

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:06:37Z

Cain: /* Tensiones tangenciales al plano ortogonal a \vec{i} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:05:43Z

Cain: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

[[Archivo:SigmaJ.png|400px|thumb|left||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaK.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]][[Archivo:SigmaI.png|400px|thumb|center||Resultado de ejecución]]

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:03:21Z

Cain: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T12:01:30Z

Cain: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x(1-2y)}{20} & 0\\\frac{x(1-2y)}{20} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=\frac{y-x^2}{10}</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:43:13Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl3.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:R0tacionAl3.png

2024-12-07T11:42:52Z

Cain:

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:42:09Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(2*Y+1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:41:51Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:33:29Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:33:01Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10}\vec{k} - \frac{x}{10} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:29:13Z

Cain:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en placa plana(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:28:40Z

Cain: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{xy}{10},\frac{-x^2y}{10}, 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0\\\frac{-2xy}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{-2xy}{10} & 0\\ \frac{x}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:28:27Z

Cain:

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones(Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:21:27Z

Cain: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:20:57Z

Cain: /* Rotacional \left | ∇ \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb|||Resultado de ejecución]][[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(-2y-1)}{10}</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:R0tacionAl2.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Rot=(X.*(-2*Y-1))/10;
surf(X,Y,Rot);
title('Rotacional');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Rotacional');
colorbar

}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:R0tacionAl2.png

2024-12-07T11:19:34Z

Cain:

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T11:02:27Z

Cain: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb|||Resultado de ejecución]][[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:59:38Z

Cain: /* Representación gráfica del desplazamiento del sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. Se puede observar que los puntos con x=0 e y=0 se mantienen fijos a lo largo de todo el desplazamiento. Se adjunta el código de Matlab a continuación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb||Resultado de ejecución]][[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:57:28Z

Cain: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb||Resultado de ejecución]][[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:53:34Z

Cain: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb||Resultado de ejecución]][[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:52:10Z

Cain: /* Divergencia ∇·\vec{u} */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{xy}{10}\vec{i} + \frac{-yx^2}{10}\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{y-x^2}{10}</math>

En la gráfica se puede observar el cambio de volumen debido al desplazamiento, que además va variando dependiendo del punto en el que lo estudiemos.
[[Archivo:diVt0.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]
[[Archivo:diVt02.png|400px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
Div=(Y-X.^2)/10;
surf(X,Y,Div);
title('Divergencia en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Divergencia')
colorbar
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:46:08Z

Cain: /* Representación gráfica del desplazamiento del sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10}</math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:42:49Z

Cain: /* Representación gráfica del desplazamiento del sólido */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. El movimiento viene impuesto por el vector de desplazamientos <math>u(x,y)=xy-yx^2. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación:
[[Archivo:AntesDespuésDef.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
U_x = (X .* Y) / 10;
U_y = (-Y .* X.^2) / 10;

figure;
subplot(2,2,1)
quiver(X, Y, U_x, U_y);
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Campo de desplazamientos en la placa');

subplot(2,2,2)
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
hold on
plot(x, y1, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot(x, y2, 'b-', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off

subplot(2,2,3)
Xf=X+U_x; Yf=Y+U_y;
mesh(X,Y,X.*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Xf,Yf,Xf.*0);
hold off
title('Antes y después del desplazamiento');
xlabel=('X');
ylabel=('Y');
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:25:13Z

Cain: /* Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es:

<center> <math> ∇T(x,y)=(-2x^3+4yx^3)\vec{i} + (x^4-1)\vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:

<center> <math> \vec{Q}= (2x^3-4yx^3)\vec{i} + (-x^4+1)\vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:F0UriEr.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h = 1/10;
x = -1:h:1;
f = @(x) 2 + x.^2;

[X, Y] = meshgrid(x, linspace(0, 1, length(x)));

for i = 1:length(x)
Y(:, i) = linspace(0, f(x(i)), length(x));
end
T = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
figure;
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
Qx=-Tx; Qy=-Ty;
contour3(X,Y,T,30);
hold on;
quiver3(X,Y,T,Qx,Qy,zeros(size(X)),'m');
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Energía Calorífica')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:15:56Z

Cain: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.1;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Campo de temperaturas y deformaciones en placa plana. (Grupo 11)

2024-12-07T10:14:57Z

Cain: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Campos de temperatura y deformaciones en una placa plana (Grupo 11) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Eduardo López Reyes
*Rodrigo Ladrón de Guevara Solera
*Ángel Martín Cruz}}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, f(x)]</math>. Donde <math> f(x)= 2+x^2 </math>.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y),</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y)=(xy\vec{i}-yx^2\vec{j})/10).</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

Esta gráfica muestra el mallado de la placa y el código utilizado en MatLab para obtenerlo.
Un breve resumen del funcionamiento del código seria:

*La primera línea del código utiliza algo básico en Matlab, que es el uso del clear y el clc para que se borren todas las variables anteriormente usadas y no causen confusión
*En las siguientes líneas de código discretizamos las variables x e y.
*y parametrizándola entre las curvas y=0 e <math> y=2+x^2 </math> mediante combinación lineal según la distancia a la que nos encontremos.
*Ya en las últimas líneas mostramos los resultados en forma de gráfica.

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x = -1:h:1;
y1 = 2 + x.^2;
y2 = zeros(size(x));
figure;
plot(x, y1, 'b', 'LineWidth', 1);
hold on;
plot(x, y2, 'b', 'LineWidth', 1);
plot([1,1],[0,3],'b','LineWidth', 1);plot([-1,-1],[0,3],'b','LineWidth', 1);
ncurvas = 10;
for k = 1:ncurvas
alpha = k / ncurvas;
yy = (1 - alpha) * y1 + alpha * y2;
plot(x, yy);
end
for i=1:length(x)
plot([x(i) x(i)],[0 y1(i)])
end
axis([-2 2 0 3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Mallado Placa Plana');
grid on;
hold off;}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:GradTEmP.png|500px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
[[Archivo:GradTEmP2.png|500px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

La siguiente gráfica representa las curvas de nivel de la temperatura. 
El gradiente de un campo vectorial es el siguiente: <center><math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}</math></center> 
siendo el campo de temperatura: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>

El código usado para la representación gráfica del gradiente y de la distribución de temperatura es:

{{matlab|codigo=
clc,clear,
h=1/10;
x=-1:h:1;
f=@(x) 2+x.^2;
[X,Y]=meshgrid(x,linspace(0,1,length(x)));
for i=1:length(x)
Y(:,1)=linspace(0,f(x(i)),length(x));
end
T=(1-X.^4).*(1/2-Y);
figure;
surf(X, Y, T);
hold on
contour3(X,Y,T);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Temperatura(x, y)');
title('Distribución de Temperatura y Gradiente');
colorbar;
view(2);
[Tx, Ty]=gradient(T,h,h);
quiver(X,Y,Tx, Ty,'m',LineWidth=1.2);
hold off
}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center><math>T(x, y) = (1-x^4)(1/2-y)</math></center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.1;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=1/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:3];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,3.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=1/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:3;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,3]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]