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Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:22:26Z

Brian:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García Alejandro Molina González Brian Naranjo Pozo Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> 

Como podemos observar la temperatura máxima alcanzada es 64.4789 ºC , la cual se halla en el punto (10,0)

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_{MV} </math>=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:21:08Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> 

Como podemos observar la temperatura máxima alcanzada es 64.4789 ºC , la cual se halla en el punto (10,0)

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_{MV} </math>=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:19:32Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>. 

Como podemos observar la temperatura máxima alcanzada es 64.4789 ºC , la cual se halla en el punto (10,0)

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_{MV} </math>=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:17:39Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>. 

Como podemos observar la temperatura máxima alcanzada es 64.4789 ºC , la cual se halla en el punto (10,0)

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σ_{MV}=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:16:37Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>
Como podemos observar la temperatura máxima alcanzada es 64.4789 ºC , la cual se halla en el punto (10,0)

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σ_{MV}=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:12:37Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σ_{MV}=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Tensión de von mises.png

2021-12-08T17:09:24Z

Brian:

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:08:13Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
\sigma_{MV} \=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Tensión de von mises.jpg

2021-12-08T17:06:13Z

Brian:

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:03:43Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
\cdot \sigma_{MV} \cdot=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:02:11Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σ_{VM}=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T17:00:21Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σ_VM=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

[[Archivo:Tensión_de_von_mises.png|1120px|thumb|right|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T16:47:28Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T16:46:20Z

Brian: /* Cálculo del campo de fuerzas \vec F, representación e interpretación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-08T16:45:05Z

Brian: /* Cálculo del campo de fuerzas \vec F, representación e interpretación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%Representación de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Representación de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Comparación
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

Calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado del ejercio 9, de sigma <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>, y teniendo en cuenta el vector <math>\vec i</math>(1,0,0) en la base ortonormal [<math>\vec i</math>, <math>\vec j</math>, <math>\vec k</math>], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :
{{matlab|codigo=
%Variables y discretización.
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%MAtriz sigma
A=inline('x./40','x','y');
B=inline('y./20','x','y');
C=inline('3.*x./40','x','y');
sigma=[];
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
O=A(xx(i,j),yy(i,j));
P=B(xx(i,j),yy(i,j));
Q=B(xx(i,j),yy(i,j));
R=C(xx(i,j),yy(i,j));
S=A(xx(i,j),yy(i,j));
sigma=[O P 0; Q R 0; 0 0 S];
%Se sacan los autovalores con la función eig
lam=eig(sigma);
sigmaVM=sqrt(((lam(1)-lam(2))^2+(lam(2)-lam(3))^2+(lam(3)-lam(1))^2)/2);
SIGMA(i,j)=sigmaVM;
end
end
%Gráfica
figure
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,SIGMA)
title('Tensión de Von Mises')
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%sacamos el máximo
subplot(1,2,2)
hold on
M=SIGMA(1,1:length(SIGMA))
%dibujo en dos dimensiones de la superficie
plot(x,M,'g')
maxSIGMA=max(M)
%dibujamos el punto máximo
for k=1:length(M)
if M(k)==maxSIGMA
plot(x(k),maxSIGMA,'xb','markersize',12,'linewidth',1.5)
end
end
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('z')
legend('Proyección de la tensión en plano ZX','Punto máximo de la tensión')
hold off
fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)

}}

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:51:53Z

Brian: /* Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_y_gradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalaer de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:51:23Z

Brian: /* Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:Campo_ygradiente_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalaer de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Campo y gradiente de la temperatura.jpg

2021-12-07T13:50:38Z

Brian:

Archivo:Campo de la temperatura.jpg

2021-12-07T13:48:57Z

Brian:

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:48:01Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Campo_de_la_temperatura.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]

{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalaer de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:42:44Z

Brian: /* Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
[[Archivo:Funcion T de la temperatura del solido.|500px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
clear all
% Discretización de los parámetros de la superficie y creación del mallado
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Campo escalaer de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx
contour(Mx,My,T)
%Gráficas
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('Gradiente de temperatura')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
%Representación del gradiente
u=(2.*Mx.^2+My.^2)./sqrt(Mx.^2+My.^2)+(4.*My.^2)./((Mx.^2+My.^2).*sqrt(Mx.^2+My.^2)) -4;
v=(Mx.*My)./sqrt(Mx.^2+My.^2)-(4.*Mx.*My)./sqrt(((Mx.^2+My.^2).^(3/2)));
quiver(Mx,My,u,v)
view(2)
hold off
}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:32:35Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
[[Archivo:Funcion T de la temperatura del solido.|500px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:24:24Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
% Discretización de los parámetros de la superficie:
% Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
%Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
% Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T13:21:45Z

Brian: /* Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
1 % Discretización de los parámetros de la superficie:
2 % Siendo h=0.1 el "paso de muestreo"
h=0.1;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
3 %Creación del mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
4 %Campo escalar de la temperatura
T=Mx.*sqrt(Mx.^2+My.^2)+4*Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx;
5 % Gráficas
contour(Mx,My,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
title('FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA')
xlabel('EJE x')
ylabel('EJE y')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima alcanzada es : %1.4f ºC\n', Tmax)
}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T12:56:45Z

Brian: /* Cálculo y representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%paso del muestreo 0.1
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%se crea el mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%que se haga el dibujo
figure(1)
%campo escalar de la temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k')
plot(x,1+x-x,'k')
plot(0+y-y,y,'k')
plot(10+y-y,y,'k')
colorbar
%ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
σvm=<math>\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math>
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m)

primero determina los intervalos de vector x,y, obtención del mallado a través de meshgrid, y obtenemos los valores de la tensión a partir de los intervalores.

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T12:20:23Z

Brian: /* Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%paso del muestreo 0.1
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%se crea el mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%que se haga el dibujo
figure(1)
%campo escalar de la temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k')
plot(x,1+x-x,'k')
plot(0+y-y,y,'k')
plot(10+y-y,y,'k')
colorbar
%ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1120px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida anteriormente en el apartado anterior del ejercio 9, de sigma i·σ·i, y teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k], mediante la aplicación del producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo A2-Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.

2021-12-07T12:16:17Z

Brian: /* Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A2). | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Katherin Andrea Cueva García, Alejandro Molina González, Brian Naranjo Pozo, Emilio Villegas Maroto }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región (x, y) a <math> ∈ [0,10]\times [-1,1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(x, y), que viene dada por:
: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ)</math>,

y los desplazamientos <math> \vec u (x, y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x, y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x, y) de la placa después de la deformación viene dada por:
: <math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
: <math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>,

donde f(y) es una cierta función que no conocemos.

== Dibujo del sólido ==

Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes en el rectángulo \((x,y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]\) y como paso de muestreo <math> h = \frac{1}{10} </math> para las variables \((x,y)\).

[[Archivo:Fotodibujodelsólido.jpg|350px|thumb|right|Mallado del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% creacion del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
% dibujo
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
% ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}
== Dibujo de las curvas de nivel de la temperatura y temperatura maxima ==

La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> en grados centígrados.
Se pide dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima. 

En este caso realizamos un cambio de coordenadas de cilíndricas a cartesianas para facilitar la representación y las operaciones,
quedando la función <math> T(x, y) = x \sqrt{x^2 + y^2 }\ - 4x + \frac{4x}{\sqrt{x^2+y^2}}</math>

[[Archivo:Funcion_T_de_la_temperatura_del_solido.jpg|500px|thumb|right|Campo de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%paso del muestreo 0.1
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%se crea el mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%que se haga el dibujo
figure(1)
%campo escalar de la temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k')
plot(x,1+x-x,'k')
plot(0+y-y,y,'k')
plot(10+y-y,y,'k')
colorbar
%ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

== Cálculo y visualización del gradiente de Temperatura ==

Calcular el gradiente la temperatura (campo escalar) y dibujarlo como el campo vectorial. Observar gráficamente que el gradiente de la temperatura es ortogonal a dichas curvas.
utilizaremos la misma escala de los ejes que el apartado anterior par apreciar el ángulo que forman las curvas de nivel y el gradiente

:::<math>\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x_i} \vec e_i = \frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{4xy}{(x^2+y^2)^\frac{2}{3}}-4)\vec i + (\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{4x^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}) \vec j </math>

Como se puede observar en el dibujo el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel del campo \(T\) y por tanto el <math>\nabla T</math> es ortogonal a la superficie del campo \(T\) en todos los puntos de éste.

[[Archivo:VisualizacióndelgradientegrupoA2.jpg|500px|thumb|right|Gradiente de temperatura]]
{{matlab|codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
% mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% temperatura
T=xx.*sqrt(xx.^2+yy.^2)-4.*xx+(4.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2));
%dibujo
contour(xx,yy,T)
hold on
plot(x,-1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(x,1+x-x,'k','linewidth',1);
plot(y-y,y,'k','linewidth',1);
plot(10+y-y,y,'k','linewidth',1);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
colorbar
hold on
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
fx=(2.*xx.^2+yy.^2)./sqrt(xx.^2+yy.^2)-4-((4.*xx.*yy)./((xx.^2+yy.^2).^1.5));
fy=(xx.*yy)./(sqrt(xx.^2+yy.^2))+(4.*xx.^2)./((xx.^2+yy.^2).^1.5);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)

}}

==Campo de desplazamientos==

Calcular el campo de desplazamientos <math>\vec u </math>, sabinedo:
:* Los puntos situados en el eje x=0 no sufren desplazamientos en la dirección <math>\vec i </math>
:* <math>\nabla \times \vec u = 0 </math>

Siendo :<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j </math> , calcularemos su divergencia y posteriormente aplicaremos las condiciones dadas:

<math>\nabla \times \vec u = \frac{\partial x f(y)}{\partial x} - \frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial y} = f(y) -\frac{y}{40} = 0 </math>

Despejando f(y), obtenemos que f(y) = <math> \frac{y}{10} </math>
Sustituyendo en la función de desplazamientos, obtendríamos como resultado final: <math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math> 

==Campo de vectores==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido

[[Archivo:CampodevectoresgrupoA2.jpg|400px|thumb|right|Campo de vectores]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Componentes en la dirección de i y de j del campo de desplazamientos
ux=(yy.^2)/80;
uy=xx.*yy/40;
figure
%dibujo del mallado
mesh(xx,yy,0*xx)
hold on
%campo de desplazamientos
quiver(xx,yy,ux,uy,'k')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(0,90)
hold off
}}

==Representación del sólido antes y después del desplazamiento==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u </math>. Dibujar
ambos en la misma figura usando el comando subplot.
[[Archivo:Comparacionesgrupoa2.jpg|1200px|thumb|right|Representación del sólido antes y después del desplazamiento]]

{{ matlab | codigo=
%Discretización de los parámetros de la superficie:
% siendo 0.1 el "paso de muestreo"
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
%Creación del mallado
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%posicion final
rx=((yy.^2)/80)+xx;
ry=(xx.*yy/40)+yy;
%representacion de la superficie antes del desplazamiento
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,0*xx)
title('antes del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(2)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%representacion de la superficie después del desplazamiento
subplot(1,3,2)
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
title('después del desplazamiento')
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%comparacion
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,0*xx)
hold on
surf(rx,ry,0*rx)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('comparacion')
view(0,90)
hold off
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==

Dibujar ∇ · <math>\vec u </math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec u </math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

Primero calculamos la divergencia de <math>\vec u </math> :
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> Entonces: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:dibujo_divergencia_E7_A2.png|350px|thumb|right|Divergencia del sólido]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=xx./40;
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}
Con las gráficas podemos apreciar que la divergencia máxima es en 0.25 y la mínima es también la nula.

==Cálculo y representación del rotacional==
Calcular |∇ × <math>\vec u </math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor
rotacional?

Calculamos en primer lugar el rotacional de <math>\vec u </math>:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

Como el rotacional es nulo, su módulo también y lo es y por tanto, no se puede representar. Si el rotacional es nulo entonces, la placa no gira.

==Cálculo de tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==

Definamos <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u^t </math>)/2, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math> a través de la fórmula
σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades
elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec u </math> no tiene
componente en la dirección de <math>\vec k </math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber
tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las
tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i </math>, es decir <math>\vec i </math> · σ ·<math>\vec i </math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec j </math>, es decir <math>\vec j </math> · σ · <math>\vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k </math>, es decir <math>\vec k </math> · σ · <math>\vec k </math>.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math>

<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
<math> \nabla\vec u^ t </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Una vez tenemos estos datos, podemos sustituir fácilmente en la fórmula <math>\epsilon(\vec u) </math> = (∇<math>\vec u </math> + ∇<math>\vec u </math>t)/2, quedándonos la siguiente matriz del tensor de deformaciones:

<math>\epsilon(\vec u) </math>= \begin{pmatrix}
0 & \frac{y}{40} & 0\\
\frac{y}{40}& \frac{x}{40} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Calculamos ahora el tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>, para ello calcularemos la divergencia de <math>\vec u </math>, la cual es:
<math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}</math>

Considerando los coeficientes de Lamé igual a la unidad λ = µ = 1, sustituimos en la fórmula σ = λ∇ · <math>\vec u </math> 1 + 2µ<math>\epsilon </math> y nos queda la siguiente matriz del tensor de tensiones:

<math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i </math>===
Las calculamos con la siguiente expresión:

<math> \vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac {x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j </math>===

<math> \vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac {3x}{40} </math>

===Tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec k </math>===

<math> \vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac {x}{40} </math>
[[Archivo:Tensiones_direccionales_E9_A2.png|1050px|thumb|right|Tensiones direccionales]]

{{ matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados sobre el mallado
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación de las tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional i')

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional j')

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')
}}

==Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>, es decir |σ · <math> \vec{i} </math> − ( <math> \vec{i} </math> · σ · <math> \vec{i} </math>) <math> \vec{i} </math>|

calculamos directamente con la solución obtenida de sigma y i·σ·i, teniendo en cuenta el vector i(1,0,0) en la base ortonormal [i,j,k],mediante el producto matricial obtenemos el resultado.
::::<math>\left | \sigma \cdot \vec{i}-\left ( \vec{i}\cdot \sigma \cdot \vec{i} \right )\vec{i} \right |=\left | \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20}& \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}-(\frac{x}{40})\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \right |=\frac{y}{20}</math>

==Cálculo y representación de la tensión de Von Mises==

==Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math>, representación e interpretación==

El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

:<math> \vec{F} = - \nabla \cdot \sigma </math>

Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la grafíca.

===Cálculo del campo de fuerzas <math>\vec F</math> ===
Operaremos con la ecuación de la elasticidad; <math> - \nabla \cdot \sigma = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> ,

Siendo sigma la matriz tensor de tensiones <math> \sigma_{ij} </math>= \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular <math>\vec F</math> , utilizaremos la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec{F} = - \nabla \cdot \sigma_{ij} = - \frac {\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j} \cdot \vec e_i </math> , calculando las componentes del campo de fuerzas mediante el cálculo de la divergencia de los vectores fila que forman la matriz <math>\sigma_{ij}</math>.

Haciendo esto, obtenemos las siguientes componentes del campo. <math>\vec F</math> :

<math> \vec{F_1} = - \frac {\partial \sigma_{j1}}{\partial x} \cdot \vec i = - ( \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial x} + \frac{\partial \frac{y}{20} }{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec i = -{3}/{40}\vec i </math>

<math> \vec{F_2} = - \frac {\partial \sigma_{j2}}{\partial y} \cdot \vec j = - ( \frac {\partial \frac{y}{20}}{\partial x} + \frac {\partial \frac{3x}{40}}{\partial y} + \frac {\partial 0 }{\partial z} ) \cdot \vec j = 0 \vec j </math>

<math> \vec{F_3} = - \frac {\partial \sigma_{j3}}{\partial z} \cdot \vec k = - ( \frac {\partial 0}{\partial x} + \frac {\partial 0}{\partial y} + \frac {\partial \frac{x}{40} }{\partial z} ) \cdot \vec k = 0 \vec k </math>

Finalmente obtenemos que el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> es igual a la suma de sus componentes, es decir;
<math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math>

===Representación gráfica del campo de fuerzas===

Mediante el siguiente codigo de Matlab obtenemos;

[[Archivo:Campo_de_fuerzas_F_E12_A2.jpg|500px|thumb|right|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=

%Discretización de los parámetros de la superficie y mallado:
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%Introducimos las componentes del campo F
fx=-3/40+0*xx;
fy=0+0*yy;

%Representación del Campo de fuerzas F
figure(1)
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Campo de fuerzas F')
view(2)
}}

===Interpretación del campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> ===

Podemos observar que el campo de fuerzas <math>\vec{F} = -{3}/{40}\vec i </math> solo tiene componentes en la dirección <math>\vec i </math>
Por lo tanto el campo actuará solo en esta dirección y con sentido negativo (en el gráfico, hacia la izquierda), ya que la componente es negativa.

Este campo de fuerzas causa en la placa una transformación en su eje transversal, es decir,
que la deformación ocurre de manera que la placa no sufre deformación en el extremo izquierdo,
y va experimentando un ensanchamiento conforme avanzamos en sentido positivo de la dirección <math>\vec i </math>;
siendo el máximo ensanchamiento en el extremo derecho (<math> x= 10</math>).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]