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Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:47:04Z

Barbara.jimenez: /* Mensaje secreto en la ecuación del calor */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor (interpretando teóricamente dicha barra como una recta, ya que estamos en dimensión 1). Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementando en Python la solución para diferentes tiempos obtenemos la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para <math>t>0</math>. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje <math>x</math>) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:34:24Z

Barbara.jimenez: /* Mensaje secreto en la ecuación del calor */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementando en Python la solución para diferentes tiempos obtenemos la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para <math>t>0</math>. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje <math>x</math>) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:32:58Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para <math>t>0</math>. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje <math>x</math>) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:32:37Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para <math>t>0</math>. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje <math>x</math>) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>.

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:32:04Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para <math>t>0<math>. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje <math>x<math>) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>.

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:31:24Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para $t>0$. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje $x$) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>.

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:30:24Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para t>0. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje x) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>.

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:28:51Z

Barbara.jimenez:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por <math>u_t-u_{xx}=0.</math>. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para t>0. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje x) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo.

Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es <math>u_t-u_{xx}-u_{yy}=0</math>. La temperatura inicial se define ahora como:
<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{si $(x,y)$ está dentro de una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>.

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. Esto mismo ocurre con la dispersión. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:19:47Z

Barbara.jimenez: /* Regularidad y dimensiones */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
Analicemos qué ocurre al extender la ecuación del calor a dimensiones superiores, y v

Actualmente, hemos estado trabajando en dimensión 1, donde la ecuación del calor viene dada por
[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:08:14Z

Barbara.jimenez: /* Mensaje secreto en la ecuación del calor */

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=
La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

<center><math>u_t-u_{xx}=0.</math></center>

donde <math>u(x,t)</math> representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

<center><math>G(x,t)=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}},</math></center>

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

=Mensaje secreto en la ecuación del calor=

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

<center><math>u_0(x)=\left\{\begin{array}{ll}
5, & \text{$x$ está en una de las letras}\\
0, & \text{en otro caso}
\end{array}\right. ,</math></center>

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje <math>x</math> con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación <math>u_t-u_{xx}=0</math>. Su solución viene dada por la convolución:

<center><math>u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)u_0(y) dy=\frac{1}{4\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}.</math></center>

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0 # Longitud de la barra
T = 0.1 # Tiempo final
nx = 100 # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
# Definir las regiones de las letras
if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
return 5
else:
return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
un = u.copy()
for i in range(1, nx-1):
u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

# Visualización en tiempos específicos
if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()
</syntaxhighlight>

[[Archivo:BarraMetalEC.png|400px|thumb|right|Difusión del mensaje en la barra de metal]]

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

=Cambio en las condiciones iniciales=

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos <math>u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}</math>. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

=Regularidad y dimensiones=
[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:06:38Z

Barbara.jimenez: /* Mensaje secreto en la ecuación del calor */

Archivo:BarraMetalEC.png

2025-03-16T11:05:10Z

Barbara.jimenez:

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:04:05Z

Barbara.jimenez: /* Mensaje secreto en la ecuación del calor */

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T11:01:41Z

Barbara.jimenez:

Ecuación del calor (Grupo MAMBD))

2025-03-16T10:39:03Z

Barbara.jimenez: /*Mensaje secreto en la ecuación del calor */

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:20:03Z

Barbara.jimenez:

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
</syntaxhighlight>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:19:22Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
<syntaxhighlight lang="python">
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
</syntaxhighlight lang>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:18:10Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
<pre>
<code>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
</code>
</pre>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:17:23Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
<pre>
<code>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
</pre>
</code>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:14:43Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourier.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
{{python|
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
}}

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:14:15Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
[[Archivo:ErroresFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]
{{python|
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
x = np.arange(0, 1, dx)
a_k = []
for k in range(1, n_max + 1):
integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x)) # Integral numérica por trapecios
return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
f_n = np.zeros_like(x)
for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
a_k = compute_coefficients(n)
f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
}}

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:ErroresFourier.jpeg

2025-02-12T20:13:23Z

Barbara.jimenez:

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:12:36Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:11:57Z

Barbara.jimenez: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''
[[Archivo:ComparacionFourierMAMBD|400px|thumb|right|Comparación de la extensión impar con la aproximación de Fourier]]

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:ComparacionFourierMAMBD.jpeg

2025-02-12T20:09:34Z

Barbara.jimenez:

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T20:06:19Z

Barbara.jimenez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[-T,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

Una vez hecho el análisis anterior, nos disponemos a ver gráficamente los resultados, para ello, hemos usado el lenguaje de programación de Python. Primero, hemos definido la función del enunciado y su extensión impar. A continuación de eso, hemos creado dos funciones, las cuales crean los coeficientes de Fourier y la serie de Fourier, respectivamente. Además, se ha creado una última función para los errores. Usando matplotlib.pyplot, deja las siguientes gráficas:
'''Insetar fotos (no se hacerlo)'''

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

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Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T17:36:54Z

Barbara.jimenez: /* Cambio de intervalo de aproximación */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[0,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

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Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T17:32:38Z

Barbara.jimenez: /* Cambio de intervalo de aproximación */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[0,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Evidentemente, los <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son integrales complicadas y las calcularemos en Python mediante métodos numéricos, permitiendo así obtener finalmente la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para unos valores de <math>n</math> determinados que es el objetivo principal del ejercicio.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T17:23:54Z

Barbara.jimenez: /* Cambio de intervalo de aproximación */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[0,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, lo que haremos será calcular la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Evidentemente, los <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son integrales complicadas y las calcularemos en Python mediante métodos numéricos, permitiendo así obtener finalmente la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para unos valores de <math>n</math> determinados que es el objetivo principal del ejercicio.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T17:18:46Z

Barbara.jimenez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[0,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>
\begin{aligned}
&\bullet \quad d_0 = \langle f, \frac{1}{\sqrt{2T}} \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} \,dx \\
&\bullet \quad d_n = \langle f, \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx \\
&\bullet \quad c_n = \langle f, \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \,dx.
\end{aligned}
</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, lo que haremos será calcular la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos $f(x)$ con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Evidentemente, los <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son integrales complicadas y las calcularemos en Python mediante métodos numéricos, permitiendo así obtener finalmente la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para unos valores de <math>n</math> determinados que es el objetivo principal del ejercicio.

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (MAMBD)

2025-02-12T17:16:03Z

Barbara.jimenez: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

=Introducción=

El interés de las series de Fourier radica en su capacidad para aproximar, a partir de una base de funciones trigonométricas, ampliando así el alcance de los desarrollos de Taylor. Sea <math>f</math> una función integrable y periódica en <math>[0,T]</math>, dada la base <math>B=\left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}} \right\} \cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}
\cup
\left\{ \frac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin \left( \frac{n\pi x}{T} \right) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.</math>, su serie de Fourier viene dada por la expresión:

<math>\begin{equation*}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x + b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \right)
\end{equation*}</math>

cuyos coeficientes son:

<math>\begin{align*}
a_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt]
b_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 1,2,3, \dots
\end{align*}</math>

=Aproximación de una función continua=

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función <math>f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|</math> en el intervalo <math>[0,1]</math>. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & x\in[0,1] \\
-f(-x), & x\in[-1,0)
\end{array}\right..</math>

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por
<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\
2x, & -\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2} \\
2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1
\end{array}\right.,</math> que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>.

Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base <math>(\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\})</math> resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier
<center><math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math></center>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función $ f(x) = x e^x $ en el intervalo $[-2, 3]$ mediante su serie de Fourier. En primer lugar, lo que haremos será calcular la base trigonométrica asociada al espacio $ L^2([-2, 3]) $. Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos $f(x)$ con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:

<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>

En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es

<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>

que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:

<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>

donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:

<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>

'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>

'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.

'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math> una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.

Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:

<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>

Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:

<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>

Evidentemente, los <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son integrales complicadas y las calcularemos en Python mediante métodos numéricos, permitiendo así obtener finalmente la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para unos valores de <math>n</math> determinados que es el objetivo principal del ejercicio.

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