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Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T22:09:02Z

Armando: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jiménez Eva Aragón Peña Armando de Tomás Fernández Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|850px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|488px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|462px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80]; %Definimos la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma); %Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +... %Calculamos la tension de Von Mises
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valor de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

[[Archivo:ElasticidadLineal.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% Calculo de integral
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Definición de variables
x = (-1:h:1); % Rango de x
y = (0:h:1); % Rango de y
[mx, my] = meshgrid(x, y); % Crear mallas de las coordenadas
% Deformación parabólica de la malla
yy = my .* (mx.^2 + 2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
% Inicialización de la matriz sigma como una estructura tridimensional
% Matriz 3D: [filas, columnas, filas_sigma, columnas_sigma]
sigma = zeros([size(mx), 3, 3]);
% Definición directa de los componentes de sigma
sigma(:, :, 1, 1) = (3 .* my - mx.^2) .* (1/10); % Elemento (1,1)
sigma(:, :, 1, 2) = (-2 .* my + 1) .* (1/10); % Elemento (1,2)
sigma(:, :, 1, 3) = 0; % Elemento (1,3)
sigma(:, :, 2, 1) = sigma(:, :, 1, 2); % Elemento (2,1)
sigma(:, :, 2, 2) = (my - 3 .* mx.^2) .* (1/10); % Elemento (2,2)
sigma(:, :, 2, 3) = 0; % Elemento (2,3)
sigma(:, :, 3, 1) = 0; % Elemento (3,1)
sigma(:, :, 3, 2) = 0; % Elemento (3,2)
sigma(:, :, 3, 3) = (my - mx.^2) .* (1/10); % Elemento (3,3)
% Visualización de la matriz sigma en el centro de la malla
disp('Matriz sigma en el centro de la malla:');
disp(sigma(round(end/2), round(end/2), :, :));
% Calcular derivadas parciales
[dsigma11_dx, dsigma11_dy] = gradient(sigma(:, :, 1, 1), h, h); % Derivadas de sigma11
[dsigma12_d]x, dsigma12_dy] = gradient(sigma(:, :, 1, 2), h, h); % Derivadas de sigma12
[dsigma21_dx, dsigma21_dy] = gradient(sigma(:, :, 2, 1), h, h); % Derivadas de sigma21
[dsigma22_dx, dsigma22_dy] = gradient(sigma(:, :, 2, 2), h, h); % Derivadas de sigma22
% Divergencia de cada componente (vector de divergencia)
div_sigma_x = dsigma11_dx + dsigma12_dy; % Componente x de div(sigma)
div_sigma_y = dsigma21_dx + dsigma22_dy; % Componente y de div(sigma)
% Multiplicar la divergencia por -1
Fx = -div_sigma_x;
Fy = -div_sigma_y;
% Graficar el resultado como un campo vectorial
hold on
quiver(mx, my, Fx, Fy, 'AutoScale', 'on');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Campo F');
grid on;
% Resultados
F = (cat(3, Fx, Fy));
% Visualización de la divergencia en un punto
disp('Divergencia de sigma en el centro de la malla:');
disp(squeeze(F(round(end/2), round(end/2), :)));
view(2);
}}

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Tras ejecutar el código, obtenemos que la masa total es 19,433.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T22:06:38Z

Armando: /* Elasticidad Lineal */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jiménez Eva Aragón Peña Armando de Tomás Fernández Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|850px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|488px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|462px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80]; %Definimos la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma); %Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +... %Calculamos la tension de Von Mises
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

{{matlab|codigo=
% Calculo de integral
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Definición de variables
x = (-1:h:1); % Rango de x
y = (0:h:1); % Rango de y
[mx, my] = meshgrid(x, y); % Crear mallas de las coordenadas
% Deformación parabólica de la malla
yy = my .* (mx.^2 + 2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
% Inicialización de la matriz sigma como una estructura tridimensional
% Matriz 3D: [filas, columnas, filas_sigma, columnas_sigma]
sigma = zeros([size(mx), 3, 3]);
% Definición directa de los componentes de sigma
sigma(:, :, 1, 1) = (3 .* my - mx.^2) .* (1/10); % Elemento (1,1)
sigma(:, :, 1, 2) = (-2 .* my + 1) .* (1/10); % Elemento (1,2)
sigma(:, :, 1, 3) = 0; % Elemento (1,3)
sigma(:, :, 2, 1) = sigma(:, :, 1, 2); % Elemento (2,1)
sigma(:, :, 2, 2) = (my - 3 .* mx.^2) .* (1/10); % Elemento (2,2)
sigma(:, :, 2, 3) = 0; % Elemento (2,3)
sigma(:, :, 3, 1) = 0; % Elemento (3,1)
sigma(:, :, 3, 2) = 0; % Elemento (3,2)
sigma(:, :, 3, 3) = (my - mx.^2) .* (1/10); % Elemento (3,3)
% Visualización de la matriz sigma en el centro de la malla
disp('Matriz sigma en el centro de la malla:');
disp(sigma(round(end/2), round(end/2), :, :));
% Calcular derivadas parciales
[dsigma11_dx, dsigma11_dy] = gradient(sigma(:, :, 1, 1), h, h); % Derivadas de sigma11
[dsigma12_d]x, dsigma12_dy] = gradient(sigma(:, :, 1, 2), h, h); % Derivadas de sigma12
[dsigma21_dx, dsigma21_dy] = gradient(sigma(:, :, 2, 1), h, h); % Derivadas de sigma21
[dsigma22_dx, dsigma22_dy] = gradient(sigma(:, :, 2, 2), h, h); % Derivadas de sigma22
% Divergencia de cada componente (vector de divergencia)
div_sigma_x = dsigma11_dx + dsigma12_dy; % Componente x de div(sigma)
div_sigma_y = dsigma21_dx + dsigma22_dy; % Componente y de div(sigma)
% Multiplicar la divergencia por -1
Fx = -div_sigma_x;
Fy = -div_sigma_y;
% Graficar el resultado como un campo vectorial
hold on
quiver(mx, my, Fx, Fy, 'AutoScale', 'on');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Campo F');
grid on;
% Resultados
F = (cat(3, Fx, Fy));
% Visualización de la divergencia en un punto
disp('Divergencia de sigma en el centro de la malla:');
disp(squeeze(F(round(end/2), round(end/2), :)));
view(2);
}}

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Tras ejecutar el código, obtenemos que la masa total es 19,433.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:49:08Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|1100px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|700px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80]; %Definimos la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma); %Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +... %Calculamos la tension de Von Mises
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Tras ejecutar el código, obtenemos que la masa total es 19,433.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:47:12Z

Armando: /* Masa a partir de la densidad */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|700px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80]; %Definimos la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma); %Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +... %Calculamos la tension de Von Mises
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Tras ejecutar el código, obtenemos que la masa total es 19,433.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:37:54Z

Armando: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|700px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80]; %Definimos la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma); %Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +... %Calculamos la tension de Von Mises
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:32:51Z

Armando: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:31:12Z

Armando: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:28:50Z

Armando: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la zona turquesa se mantiene prácticamente fija, la zona amarilla se eleva positivamente y la zona azul se curva hacia abajo.

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:23:16Z

Armando: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:22:12Z

Armando: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final va en la dirección del vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional será perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente porque <math>\vec{u} </math> solo tiene componentes <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math>.

A continuación, representamos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab:

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math>

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:18:39Z

Armando: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|470px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:18:18Z

Armando: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:17:54Z

Armando: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|500px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:14:21Z

Armando: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente.
* La divegencia es nula en el punto (0,0).
* La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
* La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:11:02Z

Armando: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a ⃗i, es decir |σ ·⃗i − (⃗i · σ ·⃗i)⃗i|.
Dibujar slo las que no son nulas.

Hallamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son los siguientes:
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:05:30Z

Armando: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇•\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:04:20Z

Armando: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A) )
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:04:08Z

Armando: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A))
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:03:45Z

Armando: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores (https://mat.caminos.upm.es/wiki/Temperatura_en_una_placa_semicircular_en_2-D_(Grupo_19A)
* Chat GPT
* Elemento de lista de viñetas
* Elemento de lista de viñetas

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T21:01:03Z

Armando: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en las siguientes aplicaciones, páginas web y documentos:
* Matlab - MathWorks
* Apuntes propios de clase
* Trabajos de años anteriores

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T20:57:58Z

Armando: /* Masa a partir de la densidad */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en:

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T20:57:34Z

Armando:

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

==Bibliografía==

Para realizar el trabajo nos hemos apoyado en:

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-09T20:56:01Z

Armando: /* Masa a partir de la densidad */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>.

Debido a la aplicación de fuerza sobre la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>.

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

A continuación podemos ver la representación del mallado que contiene a los puntos interiores del sólido realizado con MatLab.

Tomamos como ejes \((x,y) ∈ [−2,2] × [0,3]\) y un paso de muestreo, es decir, el intervalo entre punto y punto, <math>h=\frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|368px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, que depende únicamente de ''x'' e ''y''. Las curvas de nivel de este campo escalar vienen representadas en la gráfica en color azul marino.

El gradiente de la temperatura (<math>\nabla T</math>) se obtiene derivando parcialmente la expresión de T respecto de x e y, y posteriormente, sumándolas. Este se representa en la gráfica mediante flechas de color azul celeste y nos indica la dirección máxima de crecimiento. Como se puede observar en la imagen, las flechas de dicho campo vectorial son perpendiculares a las curvas de nivel de nuestra placa plana.

Tras ejecutar el programa para determinar el punto en el que la temperatura es máxima, se puede determinar que el valor máximo de T es 0,5000 en el punto <math>(x , y) = (0.000 , 0.000)</math>.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|512px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier concluye que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos, se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para la implementación de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es:
<math>\vec{Q}= −κ∇T</math>

Calculamos el valor de <math>\vec{Q}</math>, donde la conductividades térmica <math>κ</math> tendrá valor de 1.

A partir de Matlab dibujamos el campo vectorial.

Como en el apartado anterior, las flechas son perpendiculares a las curvas de nivel. Sin embargo, en este caso en dirección opuesta.

[[Archivo:LeyDEFourier.PNG|584px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Mallado
hold on
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

==Variación de Temperatura==

Para estudiar la variación del campo escalar <math>T</math>, haremos uso del gradiente <math>\nabla T</math> . Se puede observar, por la propia definición del <math>\nabla</math>, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo de <math>\vec\nabla</math> en cada punto va siendo mayor.

El punto de variación máxima de la temperatura se alcanza cuando el módulo del gradiente sea máximo. En nuestra placa plana, ese punto se encuentra en el (-1,1). La dirección de la variación de temperatura viene dada por la flecha roja representada sobre la placa.

El código Matlab es el siguiente:

[[Archivo:VariacionTemp.PNG|550px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}

==Campo de desplazamientos==

El campo vectorial de desplazamiento viene dado por <math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math>. Este campo se representa mediante las flechas rojas.

El único punto de la placa que no se ve afectado por dicho desplazamiento es el origen de coordenadas (0,0).

[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|440px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}

==Desplazamiento de los vectores==

La placa plana sufre el desplazamiento de los vectores, para poder contrastar el desplazamiento ocurrido, representaremos en dos gráficas para poder observar el cambio que sucede.

Los colores representan de más cálido a más frío el desplazamiento, siendo los puntos representados en colores fríos los que más desplazamiento sufren.

[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|center]]

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

FALTA PONER BONITO ESTE PÁRRAFO
Tanto el máximo como el mínimo se alcanzan donde el módulo de la divergencia de U sea máxima o mínima respectivamente. El punto donde el módulo de la divergencia de U es nula, será donde se anula la divergencia.

. La divegencia es nula en el punto (0,0).
. La divergencia es máxima en el punto (1,1) y con un valor de -1/10-
. La divergencia es mínima en el punto (-1,0) y con un valor de -1/5.

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:

# '''Colores positivos (amarillos/verde claro)''': Indican las regiones en las que la divergencia es '''positiva''', lo que implica que el volumen local está '''aumentando''' debido al desplazamiento.
# '''Colores negativos (azules)''': En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es '''negativa''', y por tanto el volumen está '''disminuyendo''' en consecuencia del desplazamiento.
# '''Zonas de transición (cerca de 0)''': Indican los puntos donde el cambio de volumen es '''mínimo o nulo''' debido al desplazamiento.

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|600px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==

El rotacional se utiliza para ver cómo afecta el campo de fuerzas a un objeto en su movimiento, pero, en especial, a su movimiento angular, es decir, el rotacional nos indica cómo girará un cuerpo en un determinado punto afectado por el campo de fuerzas.
Calcularemos el rotacional del campo como se expone abajo.

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = (\frac{y}{10} × \frac{-yx^2}{10}) \vec{k} - (\frac{xy}{10} × \frac{-2yx}{10}) \vec{k} = </math>

<math> = (\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}) \vec{k} = (\frac{-3x^2y^2}{100}) \vec{k} </math>

Se observa que el resultado final se encuentra en el vector <math>\vec{k} </math>, esto se debe a que el rotacional sera perpendicular tanto a la componente <math>\vec{i} </math> y <math>\vec{j} </math> respectivamente.

A continuación, representaremos el rotacional gráficamente, para ello hacemos uso del programa Matlab.

[[Archivo:RotAcional.PNG|469px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

Tras la ejecución del programa, podemos determinar que los puntos donde el rotacional es máximo son los siguientes:
<math> x = -1,00 ; y = 3,00</math> El resultado final es 0,82.

La deformación parabolica con el puto de mayor gradiente de temperatura, se observa el la siguiente imagen.
[[Archivo:DeforParaboli.PNG|600px||miniaturadeimagen|center]]

==Tension Deformación==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

Calculamos el gradiente de <math> ∇\vec{u}</math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

A partir de esto obtendremos también su traspuesta, que quedara de la siguiente manera
<math>∇\vec{u^t}= \begin{pmatrix}\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:

<math>σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

Todos estos cálculos están representados en la siguiente gráfica, realizada a partir del programa Matlab.

[[Archivo:TensionDefo.PNG|850px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

==Tensiones tangenciales==

La tension tangencial respecto al plano ortogonal <math> \vec{i} </math>. Los cálculos son.
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

[[Archivo:TenionTangencial.PNG|350px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Tension tangencial
G=(1/10).*(-2.*yy.*mx+mx);
surf(mx,yy,G);
}}

Los colores de la placa plana representan la ondulación de esta, la parte mas verde esta fija, la parte amarilla se eleva hacia arriba por el contrario de la zona azul que va hacia abajo, esto se puede observar mejor en la siguiente imagen representada tridimensionalmente.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos la matriz de tensiones
sigma = [100 20 30; 20 50 10; 30 10 80];
%Calculamos los autovalores de la matriz de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
%Calculamos la tension de Von Mises
vonMisesStress = sqrt(0.5*((eigenvalues(1)) - eigenvalues (2))^2 +...
%Mostramos la tension de Von Mises
disposición(['Tensiones de Von Mises:',
num2str(vonMisesStress)]);
%Dibujamos un grafico en 3D para representar la matriz de tensiones y señalar el máximo
figure;
scatter3(eigenvalues(1), eigenvalues(2), eigencalues(3), 'filled');
title('Puntos de autovalores de la matriz de tensiones');
xlabel('Autovalor 1');
ylable('Autovalor 2');
zlabel('Autovalor 3');
grid on;
%Identificamos y mostramos el punto de maxima tension de Von Mises
[maxValue, idx] = max([vonMisesStress]);
fprintf('El maximo valir de la tension de Von Mises se alcanza en el punto %d\n', idx);
}}
[[Archivo:Integraaal.PNG|650px||miniaturadeimagen|centro]]

==Elasticidad Lineal==

Realizamos los cálculos para determinar la eslasticidad lineal, para ello realizaremos la divergencia del campo vectorial de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math> σ </math>.

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>
La integral a calcular es:
<math>\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_0^{2 + x^2} (2 - |x|)(4 - y) dydx </math>
Para poder realizar los cálculos de la interfaz hemos usado el Programa Matlab

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Definimos los limites y la función f(x)
f=@(x)2 + x.^2;
%Definir la densidad d(x,y)
d=@(x,y)(2 - abs(x)).* (4-y);
%Calcular la masa total con integral
masa_total = integral2(@(x,y)d(x,y),-1,1,0,f);
%Mostrar el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n',masa_total);
}}

Finalmente, tras ejecutar el código obtenemos 19,433 como resultado de la integral.

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:55:05Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} </math>
=
2є=
<math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ usando la fórmula dada en el enunciado: <math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math>; siendo λ y µ igual a 1.

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto: <math>
σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:54:32Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} </math>
=
2є=
<math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ usando la fórmula dada en el enunciado: <math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math>; siendo λ y µ igual a 1.

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Por lo tanto:<math>
σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:54:02Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} </math>
=
2є=
<math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, hallamos el valor de σ usando la fórmula dada en el enunciado: <math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math>; siendo λ y µ igual a 1.

<math>
σ=\begin{pmatrix}
\frac{1}{10}(y-x^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{10}(y-x^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{10}(y-x^2)
\end{pmatrix}
</math>
+
<math>
\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & \frac{-2x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
Por lo tanto: σ=\begin{pmatrix}
(3y-x^2)\frac{1}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & (y-3x^2)\frac{1}{10} & 0 \\
0 & 0 & (y-x^2)\frac{1}{10}
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:26:13Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} </math>
=
2є=
<math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
є= \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}}{2} =
\begin{pmatrix}
\frac{y}{5} & (-y+0,5)\frac{x}{5} & 0 \\
(-y+0,5)\frac{x}{5} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

A continuación, usando la fórmula dada en el enunciado:

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:21:05Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} </math>
=
2є=
<math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10} & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:19:05Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & \frac{-x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
2є= <math>\begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10 & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:13:45Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

<math>
∇\vec{u} + ∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
2є= \begin{pmatrix}
\frac{2y}{10} & (-2y+1)\frac{x}{10} & 0 \\
(-2y+1)\frac{x}{10 & -2\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T18:05:45Z

Armando: /* Tension Deformación */

{{ TrabajoED | Placa plana. Grupo 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jorge Muñoz Jimenez Eva Aragon Peña Armando de Tomas Fernandez Antonio Gurría Casas Daniel Galarza Polo }}

Una placa rectangular plana en la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math> viene definida en dimension 2. La función <math>f(x)</math> es la siguiente: <math>f(x) = 2 + x^2 </math>
Supondremos que están definidas dos cantidades físicas.
* La Temperatura
* Los Desplazamientos

La temperatura <math>T(x, y)</math> viene dada por la ecuación:
<center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center>
Los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada.
Al definir el vector de posición de los puntos de la placa antes de que se produzca cualquier deformación <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> , la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación vendrá dada mediante la ecuación <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Debido a la aplicación de fuerza sobra la placa, esta sufre un desplazamiento de los puntos, este desplazamiento viene determinado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

Haciendo uso del programa Matlab podremos determinar las gráficas de las operaciones calculadas en los siguientes apartados.

==Mallado==

Visualizámos la placa rectangular dada, en la que dibujaremos los distintos tipos de campos. Para poder representar esta placa hacemos uso del programa Matlab, dibujaremos el mallado determinado por la región [-2;2] x [0;3]. 
Para poder representar el mallado utilizamos el siguiente código:

[[Archivo:MalladoPlacaPlana.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
% configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
% APARTADO 1- Malla
h=0.1; %paso de muestreo
%definicion de las variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%mallado
hold on
mesh(mx,yy,0.*mx);
}}

==Temperatura==

Calculamos el gradiente de la temperatura T (<math>\nabla T</math>), del campo escalar T, siendo este un campo vectorial, obteniendo como resultado un vector. 
La temperatura viene dada por la siguiente expresión <math> T = (1 - x^4) (\frac {1}{2}- y)</math>, este campo escalar dependerá de las variables ''x'' e ''y''. La representación del campo vectorial gradiente indica, que en cada punto del solido, la dirección en la cual la temperatura aumenta mas rápido, y su módulo indicara la rapidez con la que la temperatura aumenta en esa dirección.

[[Archivo:TemperaturayGradiente.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Apartado 1 - Malla
h=0.1; %Paso de muestreo
%Definición de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabólica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
hold on
%Apartado 2 - Temperatura y Gradiente
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T=(1-mx.^4).*(0.5-yy);
contour(mx,yy,T,50,´b´);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
quiver(mx,yy,gx,gy);
hold off
}}

FORMULAS ARMANDO <center><math> </math></center>

<center><math> ∇ · σ </math></center>

<center><math> \vec{Q} </math></center>

<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

<center><math> \vec{u} </math></center>

<center><math> ∇ · \vec{u} </math></center>

<center><math> |∇ × \vec{u}| </math></center>

<center><math> ϵ(\vec{u})=(∇\vec{u}+∇\vec{u}^t)/2 </math></center>

<center><math> σ=λ∇·\vec{u}1+2µϵ </math></center>

<center><math> \mathbb{R}^3 </math></center>

<center><math> \vec{i}·σ·\vec{i} </math></center>

<center><math> \vec{j}·σ·\vec{j} </math></center>

<center><math> \vec{k}·σ·\vec{k} </math></center>

<center><math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| </math></center>

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

<center><math> σ_{1} σ_{2} σ_{3} </math></center>

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>

==Ley de Fourier==

La Ley de Fourier determina que tras estudiar el flujo de calor entre dos cuerpos se determina que la diferencia de temperatura entre ambos es directamente proporcional, solo podrá ir del cuerpo mas caliente al cuerpo mas frio, lo que significa que ira en una sola dirección. Para el cumplimiento de esta ley se deben cumplir tres condiciones. 
* Sistema isotropo
* Gradiente de temperatura pequeño
* No hay transferencia de calor por convección ni radiación 

La fórmula de la Ley de Fourier es la siguiente:
<center><math>\vec{Q}= −κ∇T </math></center>

{{matlab|codigo=
%Dibujamos las curvas de nivel de la temperatura
T= (1-mx.^4).*(0.5-yy);
%Dibujamos el gradiente
[gx,gy]=gradient(T,h,h);
%Calculamos y representamos Q
k=-1;
qx=k.*gx;
qy=k.*gy;
quiver(mx,yy,qx,qy);
hold off
}}

[[Archivo:LeyDeFourier.PNG|450px||miniaturadeimagen|centro]]

FORMULAS ARMANDO
d(x,y)=(2-|x|)(4-y)

==Variación de Temperatura==

Para poder estuadiar el punto donde la temperatura es mayor, haremos uso del programa Matlab para la representación de este. El objetivo sera encontrar el punto dentro de el mallado de la placa plana donde la temperatura es mayor, esto se obtiene calculando el gradiente.

El código Matlab es el siguiente:
{{matlab|codigo=
%Hay que dibujarlo como un solido
mod=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
%Dibujamos la Malla
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Calculo del gradiente de la deformación
[gy,gx]=gradient(yy,h,h); %Gradiente en x,y (orden invertido)
%Calculo de la magnitud del gradiente
mod_grad=sqrt(gx.^2+gy.^2);
%Encontrar el indice dle punto de mayor magnitud del gradiente
[max_grad_value, idx] = max(mod_grad(:)); %Mayor valor del gradiente
[row,col] = inds2sub(size(mod_grad),idx); %Indices del punto
%Coordenadas del punto con mayor gradiente
x_max = mx(row, col);
y_max = my(row,col);
%Direccion del gradiente en el punto de mayor magnitud
gx_max = gx(row, col);
gy_max = gy(row, col);
%Normalizacion del vector de dirección
magnitude = sqrt(gx_max^2 + gy_max^2);
direction_vector = [gx_max / magnitude, gy_max / magnitude];
%Graficar la malla
hold on
mesh(mx, yy, zeros(size(mx))); %Malla
%Dibujar el punto rojo en el lugar donde la magnitud del gradiente es maxima
plot3(x_max, y_max, 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'Linewidth', 2);
}}
==Campo de desplazamientos==

Estudiaremos si alguno de los puntos del mallado del campo de desplazamientos se quedan fijos. Para poder comprobar esto, dibujamos un mallado que indique el movimiento de cada uno de los puntos que componen a este. El desplazamiento estará indicado por las flechas.

{{matlab|codigo=
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10);
quiver(mx,yy,Ux,Uy,'r');
}}
[[Archivo:CampoDeDesplazamiento.PNG|250px||miniaturadeimagen|centro]]

==Desplazamiento de los vectores==

{{matlab|codigo=
%Configuracion de los ejes
h=0.1; %paso de muestreo
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
%Campo de desplazamiento
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Placa pre-desplazamiento
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,0.*mx);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Original')
%Placa post-desplazamiento
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Desplazado')
%Comparacion
subplot(1,3,3);
hold on
surf(mx,yy,0.*mx);
surf(mx,yy,Ux,Uy);
axis equal
axis([-2,2,0,3])
view(2)
title('Comparativa')
hold off
}}
[[Archivo:DesplazaminetoDeVector.PNG|800px||miniaturadeimagen|centro]]

==Divergencia==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10} = (\frac{xy}{10} , \frac{-yx^2}{10}) => ∇\vec{u} = \frac{y-x^2}{10} </math>

Se representa la gráfica en un mapa de colores (barra de color a la derecha). En base a ello, interpretamos el cambio de volumen local debido al desplazamiento:
# Colores positivos (amarillos/verde claro): Indican las regiones en las que la divergencia es positiva, lo que implica que el volumen local está aumentando debido al desplazamiento.
# Colores negativos (azules): En estos colores se indican las regiones donde la divergencia es negativa, y por tanto el volumen está disminuyendo en consecuencia del desplazamiento.
# Zonas de transición (cerca de 0): Indican los puntos donde el cambio de volumen es mínimo o nulo debido al desplazamiento.

METER LOS CALCULOS DE LA PREGUNTA 7, ESTAN EN EL GRUPO FOTO DEL IPAD. EXPLICAR POR QUE SON ASI LOS COLORES Y QUE ES LO QUE SIGNIFICAN, FOTO DE TOÑO.
LAS EXPLICACIONES LAS HAGO ESTA NOCHE, SI ME FALTA ALGUNA TE LO DIGO

[[Archivo:Divergenciaa.PNG|450px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Definicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10);
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Divergencia de U
div=divergence(mx,yy,Ux,Uy);
maxdiv=max(max(div));
mindiv=min(min(div));
surf(mx,yy,div);
%Configuración de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

==Rotacional==
[[Archivo:RotAcional.PNG|400px||miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Rotacional de U
[rot,ang]=curl(mx,yy,Ux,Uy);
surf(mx,yy,rot);
maxrot=max(max(rot));
%Configuracion de los ejes
axis equal
axis([-2,2,0,3])
}}

<math> \vec u (x,y) = \frac{xy{\vec i} - yx^2{\vec j}}{10} = (\frac {xy}{10} , \frac{-yx^2}{10})</math>

<math>|∇ × \vec{u}| =
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
\vec{u_1} & \vec{u_2}
\end{bmatrix}
</math>
=> <math>
\begin{bmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
\frac{y}{10} & \frac{-2yx}{10} & 0 \\
\frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0
\end{bmatrix}</math> <math> = [\frac{y}{10} • \frac{-yx^2}{10}]\vec{k} - [\frac{xy}{10} • \frac{-2yx}{10}]\vec{k} = </math>
<math> [\frac{-x^2y^2}{100} - \frac{ 2x^2y^2}{100}]\vec{k} = [\frac{-3x^2y^2}{100}]\vec{k} </math>

<math> |∇ × \vec{u}| = |\begin{matrix} \vec i & \vec j \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ U {_1} & U {_2} |</math>
\frac{1}{\sqrt{ρ|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
u_1 & u_2 & u_3
\end{matrix}\right| =\frac{1}{ρ}[-\frac{\partial{\vec u_2·\vec g_ρ}}{\partial(z)}]=\frac{1}{ρ}[0+0+((-senθ)(1-\frac{1}{ρ^2})+(1-\frac{1}{ρ^2})\vec g_z)]=0
</math>

==Tension Deformación==

<math> \vec{u}(x,y) = \frac{xy\vec{i}-yx^2\vec{j}}{10} = ∇•\vec{u} (\frac{xy}{10},\frac{-yx^2}{10}) </math>

<math> ∇\vec{u} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & \frac{x}{10} & 0 \\
-2x\frac{y}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
<math>
∇\vec{u^t}=
\begin{pmatrix}
\frac{y}{10} & -2x\frac{y}{10} & 0 \\
\frac{x}{10} & -\frac{x^2}{10} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}

</math>

{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h=0.1;
%Defenicion de variables
x=(-1:h:1);
y=(0:h:1);
[mx,my]=meshgrid(x,y);
%Deformacion parabolica de la malla
yy=my.*(mx.^2+2);
mesh(mx,yy,0.*mx);
%Definimos variable U
Ux=(mx.*yy)./10;
Uy=(-yy.*mx.^2)/10;
%Trazado i*tension*i.
t1=(1/10).*(3.*yy-mx.^2);
subplot(1,3,1);
surf(mx,yy,t1);
title('I*tension*i);
%Trazado j*tension*j
t2=(1/10).*(yy-3.*mx.^2)
subplot(1,3,2);
surf(mx,yy,t2);
title('j*tension*j');
%Trazado k*tension*k
t3=(1/10).*(yy-mx.^2);
subplot(1,3,3);
surf(mx,yy,t3);
title('k*tension*k);
}}

[[Archivo:TensionDefo.PNG|900px||miniaturadeimagen|center]]

calculos:

==Tensiones tangenciales==
<math> |σ·\vec{i} - ( \vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|=

| \begin{pmatrix} \frac{1}{10}( 3y-x^2 ) & (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) & 0 \\ \frac{x}{10}- \frac{2xy}{10} & - \frac{1}{10} (y - 3x^2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (\frac {1}{10} (3y - x^2)) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} | =</math>

<math> |\begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{10}(3y - x^2) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 0 \\ (\frac{x}{10} - \frac{2xy}{10}) \\ 0 \end{pmatrix} | = (\frac {x}{10}) - (\frac{2xy}{10})</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es un campo escalar que se emplea para analizar cómo reacciona un material específico frente a un esfuerzo, permitiendo diferenciar entre un comportamiento plástico y elástico, así como identificar el origen de un posible fallo. Se calcula a partir de los autovalores de la matriz de tensiones:

<center><math> σ_{VM} = \sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2 + (σ_{2}-σ_{3})^2 + (σ_{3}-σ_{1})^2}{2}} </math></center>

Para calcularlo, primero tendremos que calcular los autovalores de dicha matriz y luego calcular los valores de Von Mises para cada punto:

==Elasticidad Lineal==

<center><math> \vec{F} = -∇·σ </math></center>

El desplazamiento es el siguiente: <math> \vec{u}(x,y) = (\frac{xy}{2} - yx^2) \vec{i} + (-\frac{y^2}{2})\vec{j}</math>

La matriz de tensiones es la siguiente: <math>σ (x,y) = \begin{pmatrix} σ{_x}{_x} & σ{_x}{_y}\\ σ{_y}{_x} & σ{_y}{_y}\end{pmatrix}</math>

<math>∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{dσ{_1}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_1}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_1}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_2}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_2}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_2}{_3}}{dz} \\\frac{dσ{_3}{_1}}{dx} & \frac{dσ{_3}{_2}}{dy} & \frac{dσ{_3}{_3}}{dz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2x}{10} + (\frac{-2x}{10}) + 0 \\ (\frac{1}{10}) - (\frac{2y}{10}) + (\frac{1}{10}) + 0 \\ 0 + 0 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4x}{10} \\ \frac{2}{10} - \frac{2y}{10} \\ 0 \end{pmatrix} </math>

El resultado final teniendo en cuenta los signos:

<math> \vec{F} = -∇·σ = \begin{pmatrix} \frac{4x}{10} \\ \frac{2}{10} (y - 1) \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Masa a partir de la densidad==

Para poder calcular la masa total, deberemos realizar la integral correspondiente. La densidad de la placa viene determinada por la función
<center><math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math></center>

==Densidad y masa total==
Una vez llegados a este punto, nos piden calcular la masa total aproximando la integral correspondiente numéricamente. Suponemos que la densidad viene dada de la siguiente forma: <math> d(x,y) = (2-|x|)(4-y) </math>
Comenzamos con la integral

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T17:50:52Z

Armando: /* Tension Deformación */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T17:07:21Z

Armando: /* Divergencia */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T17:04:58Z

Armando: /* Divergencia */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T16:27:55Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T16:27:00Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T16:25:34Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T16:19:33Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T16:15:34Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:58:58Z

Armando: /* Rotacional */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:51:19Z

Armando: /* Densidad y masa total */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:34:12Z

Armando: /* Elasticidad Lineal */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:30:59Z

Armando:

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:23:33Z

Armando: /* Divergencia */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-12-08T15:20:07Z

Armando: /* Divergencia */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-11-29T13:35:01Z

Armando: /* Temperatura */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-11-29T13:25:02Z

Armando: /* Temperatura */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-11-29T13:18:40Z

Armando: /* Temperatura */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-11-29T13:10:19Z

Armando: /* Temperatura */

Placa Plana (Grupo 26)

2024-11-29T13:03:32Z

Armando: /* Temperatura */