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Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-10T16:43:05Z

Antoniopm: /* Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con las autofunciones tomadas, para el título de la gráfica.
Aut=sprintf('Autofunciones tomadas: %d',Q);
title(Aut);
}}

[[Archivo:Ap8_aut1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut5.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]][[Archivo:Ap8_aut10.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

[[Archivo:Ap8_aut20.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se aproxima más a la solución real del ejercicio dos, confirmándonos que es la correcta.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-10T14:47:58Z

Antoniopm: /* Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número dos mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio dos es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
Meshgrid(Mx,Mt,U)
}}

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se parece más a la resolución del ejercicio dos. Confirmándonos que es la correcta.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-10T14:37:41Z

Antoniopm: /* Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
Procedamos ahora a resolver el problema número 2 mediante el método de Fourier. La interpretación ya la hemos visto en el apartado dos. Lo que buscamos ahora es comprobar que realmente la solución hallada en el ejercicio 2 es la correcta mediante el uso de aproximaciones dadas por el método.
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
Meshgrid(Mx,Mt,U)
}}

Como se puede apreciar existen diferentes gráficas, cada una corresponde a un número diferente de autofunciones utilizadas; conforme aumenta el número de autofunciones usadas se comprueba que la solución se parece más a la resolución del ejercicio 2. Confirmándonos que es la correcta.

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-10T14:17:26Z

Antoniopm: /* Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
grid on
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:Ap6_onda1.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia2.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:Ap6_onda3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Ap6_onda4.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Ap6_Energia4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
{{matlab|codigo=
clear all
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar: ');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
Meshgrid(Mx,Mt,U)
}}

Archivo:Q20.jpg

2015-05-10T09:43:30Z

Antoniopm:

Archivo:Q10.jpg

2015-05-10T09:43:19Z

Antoniopm:

Archivo:Q5.jpg

2015-05-10T09:43:07Z

Antoniopm:

Archivo:Q3.jpg

2015-05-10T09:42:55Z

Antoniopm:

Archivo:Q1.jpg

2015-05-10T09:42:40Z

Antoniopm:

Ecuación de ondas. Grupo C2

2015-05-10T09:39:52Z

Antoniopm: /* Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Pérez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

== Introducción ==

Consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math> L = 10 m </math> sujeto por ambos extremos. Supondremos que el cable tiene una sección pequeña respecto a su longitud y que las vibraciones pueden modelizarse mediante la ecuación de ondas. Si denotamos su desplazamiento vertical por <math> u(x,t) </math>, podemos plantear el problema de su movimiento según el siguiente sistema de ecuaciones:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=f(x,t), \; x∈[0,10], \; t∈[0,T],\\
u(0,t)=g_{0}(t), \; u(L,t)=g_{1}(t),\\
u(x,0)=h_{0}(x), \; u_{t}(x,0)=h_{1}(x)\\
\end{cases}
</math>

== Vibración sin amortiguamiento. Condiciones Dirichlet. Resolución por el método de líneas ==

Vamos a tratar el problema de vibración de un cable de longitud <math> L=10 </math>, en la cual los dos extremos de la misma se encuentran fijos a lo largo del tiempo y con una desplazamiento nulo. Al inicio, en <math> t=0 </math>, sujetamos el cable desde el punto <math> x=L/3 </math>, y lo desplazamos 1 m en la dirección perpendicular a la recta que une sus extremos.

El problema viene modelizado por la siguente ecuación:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>
A continuación se resuelve el problema por el método de diferencias finitas, aplicando para la resolución de la ecuación matricial que aparece los métodos del trapecio, de Euler explícito y de Heun.

=== Método del trapecio ===

Aplicando el método de de diferencias finitas, o también llamado método de líneas, podemos obtener una solución aproximada del problema propuesto.
Como se ha visto en las clases de numérico, al aplicar este método obtenemos la siguiente ecuación matricial a resolver:

<math>
\begin{cases}
U''=-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> K </math> es la matriz de coeficientes que multiplica a cada <math> u(t) </math>, <math> F </math> es un vector que sirve para incluir las condiciones Dirichlet de los extremos, <math> u^{0} </math> la condición inicial de posición y <math> U </math> es el vector solución de los desplazamientos del cable. Al ser una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, para poder aplicar los métodos numéricos de resolución es necesario pasar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias equivalente. Es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

donde el nuevo vector <math> V </math> representa la velocidad de cada punto del cable. Aplicando el método del trapecio a cada ecuación del sistema por separado se obtiene:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = U_{n} + \frac{h}{2}(2V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1})) \\
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K) = V_{n} + \frac{h}{2}(-KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, pasamos a implementar el código MatLab/OctaveUPM que resuelve el problema.

[[Archivo:T3Apartado2_graf.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}
En el gráfico tridimensional podemos observar como varía el desplazamiento vertical en cada punto del cable a lo largo del tiempo. En la parte más cercana al observador podemos apreciar la posición inicial del cable, formando una especie de triángulo, estando el punto de <math> x=L/3 </math> 1m por encima de la posición horizontal. Cuando se suelta el cable con velocidad cero desde esa posición, el cable tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando una posición simétrica con respecto a esta misma horizontal, en la que el punto de <math> x=L/3 </math> tendrá una desplazamiento vertical negativo de 1m. De nuevo, la cuerda tiende a recuperar su posición horizontal, pasando por ella, y alcanzando otra vez la posición inicial. Al no existir ni amortiguamiento ni ninguna fuerza aplicada, este proceso de oscilación se repite indefinidamente a lo largo del tiempo. Por último, se puede apreciar que ambos extremos del cable tienen desplazamiento vertical nulo a lo largo del tiempo.

=== Método de Euler explícito ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Euler.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Euler (explícito).
U(:,i+1)=U(:,i)+k*V(:,i);
V(:,i+1)=V(:,i)+k*(-K*U(:,i)+F);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Método de Heun ===
[[Archivo:T3Apartado3_graf_Heun.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la posición de cada punto del cable.]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1.
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método de Heun
K1U=V(:,i);
K2U=V(:,i)+K1U*k;
K1V=-K*U(:,i)+F;
K2V=-K*(U(:,i)+K1V*k)+F;
U(:,i+1)=U(:,i)+(k/2)*(K1U+K2U);
V(:,i+1)=V(:,i)+(k/2)*(K1V+K2V);
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
}}

=== Cálculo de la energía ===

== Vibración con amortiguamiento. Cálculo de la energía ==
Vamos a estudiar el movimiento del mismo cable, pero esta vez sumergido en un medio viscoso, como sería el caso de un cable sumergido en el mar. El problema que modeliza este comportamiento es el siguiente:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0, \; x∈[0,L], \; t∈[0,40], \\
u(0,t)=0, \; u(L,t)=0, \\
u(x,0)=\begin{cases} \frac{3x}{L} \\ \frac{3}{2}-\frac{3x}{2L} \end{cases}, \; u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}
</math>

donde <math> a </math> es una constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. Se puede ver que <math> a </math> actúa sobre la velocidad del cable, lo que será importante para la interpretación posterior. Vamos a estudiar el comportamiento del cable para <math> a=0,1,4,10,100 </math>.

Al ser una ecuación diferente, cambia la ecuación matricial que se obtiene al plantear el método de líneas para el problema propuesto. La ecuación matricial diferencial ordinaria de segundo orden que se obtiene para el caso de amortiguamiento viscoso es:

<math>
\begin{cases}
U''=-aU'-KU+F\\
U(0)=u^{0}\\
U'(0)=0\\
\end{cases}
</math>

y pasando a un sistema de ecuaciones matriciales diferenciales ordinarias de primer orden:

<math>
\begin{cases}
U' = V \\
V' = -aV -KU + F \\
U(0) = u^{0} \\
V(0) = 0 \\
\end{cases}
</math>

Aplicamos ahora el método del trapecio a cada ecuación del sistema, obteniendo que:

<math>
\begin{cases}
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
V_{n+1} = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} -aV_{n+1} - KU_{n+1} + F_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

y despejando cada variable:

<math>
\begin{cases}
V_{n+1} (I + \frac{h^2}{4}K + \frac{h}{2}I) = V_{n} + \frac{h}{2}(-aV_{n} -KU_{n} + F_{n} + F_{n+1}) - \frac{h}{2}K(U_{n} + \frac{h}{2}V_{n}) \\
U_{n+1} = U_{n} + \frac{h}{2}(V_{n} + V_{n+1}) \\
\end{cases}
</math>

Una vez realizado este proceso analítico, se aplica la resolución numérica con MatLab/OctaveUPM.

[[Archivo:T3Apartado5_graf2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica de la energía para distintos amortiguamientos]]
{{matlab|codigo=
clear all, clf
%Coeficiente de amortiguamiento
am=[0,1,4,10,100];
%Hacemos un bucle donde calcular la energía para cada coeficiente.
for n=am
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ua=0;ub=0; %Condiciones de contorno.
U0=zeros(size(xx)); %Preasignación de U0.
%Recorremos mediante un bucle U0, y añadimos los valores que correspondan.
for j=1:length(xx);
if xx(j)<b/3
U0(j)=3*xx(j)/b;
else
U0(j)=1.5-1.5*xx(j)/b;
end
end
V0=zeros(size(xx)); %Preasignación de V0.
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1) -diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F=0*xx;
F(1)=F(1)+ua/h^2;
F(end)=F(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=40;
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM; %Discretización del vector de tiempos.
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
for i=1:M
%Sistema de ecuaciones por el método del trapecio
V(:,i+1)=((1+0.5*k*n)*eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-n*V(:,i)-K*U(:,i)+2*F)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
U(:,i+1)=U(:,i)+0.5*h*(V(:,i)+V(:,i+1));
end
%Incluimos condiciones Dirichlet.
UA=ua*ones(1,length(t));
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
%Como las condiciones Dirichlet son nulas, las velocidades de estos puntos
%también lo serán
V=[UA;V;UB];
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
hold on
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J)');
%Borramos todos los datos para realizar el bucle de nuevo.
clear all
end
legend('a=0','a=1','a=4','a=10','a=100','Location','Best');
hold off
}}

En el gráfico adjunto se puede observar una representación del valor de la energía para cada valor de <math> a </math>. Cuando <math> a=0 </math>, podemos ver que la energía se mantiene sensiblemente constante, tal y como ocurría en el apartado anterior. Sin embargo, cuando <math> a=1 </math> la energía decrece rápidamente. Este efecto disminuye según va aumentando el valor de <math> a </math>, como se puede observar por ejemplo para el caso de <math> a=100 </math>. ¿Por qué ocurre esto? De primera mano, tal vez podríamos pensar que cuanto mayor sea el valor de <math> a </math>, antes se disipara la energía. Sin embargo, esto no es así, ya que la energía es la suma de la energía cinética y de la energía potencial, tal y como se muestra en la ecuación del apartado anterior. El valor de <math> a </math> solo afecta a la energía cinética, no a la potencial. Es por ello que cuando el valor de <math> a </math> es bajo, el cable tiene mayor facilidad para moverse, transformándose la energía potencial inicial en cinética, adquiriendo por lo tanto una mayor velocidad, siendo esta velocidad la que produce esta energía cinética se disipe. Por otro lado, cuando el valor de <math> a </math> es elevado, al cable le cuesta más moverse, tranformándose menos energía potencial en cinética, y tardando por ello más en disiparse la energía total. En el caso extremo de que el valor de <math> a </math> tendiera a infinito, el cable no se movería, siendo toda su energía potencial, y manteniéndose constante a lo largo del tiempo.

== Cambio de condiciones en los extremos. Cálculo de la energía ==
Consideramos que nuestro cable está sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia F0 Herzios. Vamos a tomar la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> que será la que defina la posición del extremo izquierdo, que está sujeto a la estructura, en función del tiempo. Por tanto, nuestro problema queda:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0, \; x∈[0,10], \; t∈[0,60],\\
u(0,t)=\sin(2\pi*F0*t), \; u(10,t)=0,\\
u(x,0)=0, \; u_{t}(x,0)=0.\\
\end{cases}
</math>

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos en x
a=0; b=10; %Longitud del cable L=10.
h=0.1; %Paso.
x=a:h:b; %Discretización espacial del cable.
N=round((b-a)/h);
%Definimos las matrices de la ecuación
xx=x(2:N);
xx=xx';
ub=0; %condición de contorno en el extremo derecho.
%Preasignación de la posición y la velocidad incial.
U0=zeros(size(xx));
V0=U0;
%Matriz K
K=1/h^2*(2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1));
%Término F y valor inicial
F1=0*xx;
F2=F1;
F1(end)=F1(end)+ub/h^2;
F2(end)=F2(end)+ub/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones de EDO de orden 1
t0=0;tM=60; %Discretización del vector de tiempos.
k=h; %Paso en t.
t=t0:k:tM;
M=length(t)-1; %Número de subintervalos.
%Añadimos en la primera columna las condiciones iniciales.
U(:,1)=U0;
V(:,1)=V0;
%Pedimos por teclado al usuario los distintos valores de la frecuencia que
%le transmite la estructura al cable. Estas serán F0=1/L+0.01 Hz,
%F0=1/L-0.01 Hz y F0=1/L Hz, siendo L=b=10.
F0=input('Introduzca la frecuencia (Hz) transmitida al cable: ');
for i=1:M
F1(1)=sin(2*pi*F0*t(i))/h^2;
F2(1)=sin(2*pi*F0*t(i+1))/h^2;
%Resolución del sistema de ecuaciones por el método del trapecio.
U(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(U(:,i)+0.5*k*(2*V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)));
V(:,i+1)=(eye(size(K))+0.25*(k^2)*K)\(V(:,i)+0.5*k*(-K*U(:,i)+F1+F2)-0.5*k*K*(U(:,i)+0.5*k*V(:,i)));
end
%Incluimos las condiciones Dirichlet en nuestra solución.
UA=sin(2*pi*F0*t);
UB=ub*ones(1,length(t));
U=[UA;U;UB];
VB=zeros(1,length(t));
VA=2*pi*F0*cos(2*pi*F0*t);
V=[VA;V;VB];
%Dibujamos el gráfico.
[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
mesh(Mx,Mt,U)
xlabel('Longitud (m)'); ylabel('Tiempo (s)'); zlabel('Posición (m)');
%Cadena de texto con la frecuencia introducida, para el título de la gráfica.
Frec=sprintf('Frecuencia = %.2f Hz',F0);
title(Frec);
%Energía
E=zeros(size(t)); %Preasignación.
Ux=zeros(size(x));
for l=1:M+1
for m=2:N
Ux(m)=(U(m+1,l)-U(m-1,l))/(2*k); %Cálculo de la derivada Ux mediante la aproximación por diferencias finitas.
end
Ux(1)=U(2,l)/k;
Ux(end)=-U(end-1,l)/k;
Ux=Ux';
E(l)=trapz(x,V(:,l).^2)+trapz(x,Ux.^2); %Cálculo de la energía.
end
%Dibujamos la gráfica de la energía.
figure(2)
plot(t,E)
xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Energía (J/kg)');
}}
[[Archivo:T3Apartado6_graf_F01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Graf_F01_E.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.11 Hz.]]
[[Archivo:T3Apartado6_graf_F02.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Graf_F02_E.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.09 Hz.]]
[[Archivo:T3Apartado6_graf_F03.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda||Gráfica de la posición del cable en cada punto y en cada instante.]]
[[Archivo:Graf_F03_E.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable. F0=0.10 Hz.]]

Como se puede observar en las gráficas la energía del cable no es constante. Debido a que la estructura sufre unas vibraciones periódicas, esta fuerza se le transmite al cable en su extremo izquierdo en el primer instante. Como las vibraciones de dicha estructura varían a lo largo del tiempo (pues viene definida por la función <math>f(t)=\sin(2\pi*F0*t)</math> ) , la energía transmitida va cambiando, y por eso se pueden observar las oscilaciones en la gráfica. Además también se observa, para una frecuencia de 0.11 y 0.09 Hz, que la energía va aumentando durante aproximadamente los primeros 40 segundos. Esto es debido a que en la gráfica se está obteniendo la energía del cable entero y, a medida que pasa el tiempo, la energía del extremo izquierdo se va trasmitiendo a su vez a lo largo del cable. A partir de los 40 primeros segundos, se podría decir que la energía que había sido transmitida por la vibración de la estructura al extremo izquierdo del cable al principio ha "llegado" al final del cable. Esto se traduce gráficamente a que la curva de la energía no sigue ascendiendo, si no que habría alcanzado su tope y a partir de ahí oscilaría en esos intervalos de energía durante un período corto de tiempo y después, la contribución de la fuerza, en lugar de sumarse, se contrarresta por el efecto por la vibración de la onda. Lo podemos representar gráficamente aumentando el intervalo de tiempo.

[[Archivo:Apartado6_graf_E200.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro||Gráfica de la energía del cable en los primeros 200 segundos. F0=0.11 Hz.]]

== Cambio de condiciones en los extremos. Condición Neumann. Cálculo de la energía ==

== Vibración sin amortiguamiento. Método de Fourier ==
{{matlab|codigo=
clear all, clc
a=0;b=10; %espacio
h=0.1;%En x--------Paso espacial=h
x=a:h:b;
t=0:0.1:40;
[Mx,Mt]=meshgrid(x,t);
u0=zeros(size(x)); %primera función valor inicial
for i=1:length(x)
if x(i)<10/3
u0(i)=(3*x(i))/10;
else
u0(i)=1.5-1.5*x(i)/10;
end
end
u0t=0; %segunda función valor inicial
Q=input('Introduzca el número de autofunciones a tratar:');
U=0;
for j=1:Q
p=sin(j*pi/10*x);
aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
bj=1/(j*pi)*trapz(x,u0t.*p)/trapz(x,p.*p);
U=U+(aj.*cos(j*pi*Mt/10)+bj.*cos(j*pi*Mt/10)).*sin(j*pi*Mx/10);
end
surf(Mx,Mt,U)
}}

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T10:53:07Z

Antoniopm: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-03T10:38:19Z

Antoniopm: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Teniendo que x e y son las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y tomando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en la ley de la conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante).
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
Y derivando en ambas partes con respecto al tiempo:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de conservación de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de conservación de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-01T08:42:11Z

Antoniopm: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Teniendo que x e y son las concentraciones de las diferentes sustancias que intervienen en la reacción y la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en la ley de la conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante).
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
Y derivando en ambas partes obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de conservación de masas, que nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
Por tnato, de la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de conservación de masas nos da:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio.
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás.

\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]} \over h}\end{array}

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

===Método de Heun===

[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:57:42Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:56:53Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:55:32Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:54:36Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:54:03Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:53:03Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:52:42Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:52:11Z

Antoniopm: /* Primera reacción */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:49:44Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:47:38Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:43:34Z

Antoniopm: /* Introducción */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:43:18Z

Antoniopm: /* Introducción */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:42:23Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-02-26T10:40:23Z

Antoniopm: /* Interpretación */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-03T21:18:13Z

Antoniopm: /* Aplicación del desplazamiento al sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Javier Núñez Betancort, Antonio Pérez Mata, Enrique Pellico Martín, Javier Santander Gimeno, Javier Rodríguez Saíz, Javier Parras Martínez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C(1).jpg|500x220px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
axis equal
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-0.5,0.5,0,4])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5.C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
axis equal
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
axis equal %
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de área local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de área) y si es negativa será un sumidero (disminución del área).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de área del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de área).

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5.C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec i = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec j - (\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec j = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-03T21:17:17Z

Antoniopm: /* Aplicación del desplazamiento al sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Javier Núñez Betancort, Antonio Pérez Mata, Enrique Pellico Martín, Javier Santander Gimeno, Javier Rodríguez Saíz, Javier Parras Martínez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C(1).jpg|500x220px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
axis equal
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-0.5,0.5,0,4])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
axis equal
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
axis equal %
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de área local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de área) y si es negativa será un sumidero (disminución del área).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de área del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de área).

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5.C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec i = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> vienen definidas por la ecuación <math> |\sigma \cdot \vec j - (\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j| </math>. Como hemos comprobado <math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math> es nulo y <math> \sigma \cdot \vec j = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-02T11:50:20Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de área local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de área) y si es negativa será un sumidero (disminución del área).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de área del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de área).

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-02T11:43:05Z

Antoniopm: /* Aplicación del desplazamiento al sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen).*

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T12:06:35Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen).*

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T12:06:18Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado:*

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T12:03:21Z

Antoniopm: /* Aplicación del desplazamiento al sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
}}
Observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector. Claramente se aprecia el cambio en la forma de la placa.

[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}

=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:50:56Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2=\vec a (y)^2= \frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
Y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{\partial x}\vec i+\frac{\partial T}{\partial y}\vec j+\frac{\partial T}{\partial z}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>
Se observa graficamente:
[[Archivo:Apartado3C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente sobre la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%definimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TT=T(Mx,My);
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
Tx=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2).*(-2*(x + 1))','x','y');
Ty=inline('(-2*y + 2).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
TTx=Tx(Mx,My);
TTy=Ty(Mx,My);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(Mx,My,TTx,TTy)
%unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
hold on
%dibujamos las lineas de nivel
contour(Mx,My,TT,15)
axis equal
axis([-2,2,-1,5])
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

== Desplazamientos ==

Siendo el vector desplazamiento el vector <math>\vec u(x,y)</math> calculado anteriormente:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

El campo de vectores es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math> ]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%introducimos la función del campo
T=inline('(y.^2)/20','y');
TT=T(My);
%representamos el campo
quiver(Mx,My,Mx,TT)
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Aplicación del desplazamiento al sólido ===

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen).

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:21:25Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{dx}\vec i+\frac{\partial T}{dy}\vec j+\frac{\partial T}{dz}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u_1 }{\delta x} + \frac{\delta u_2 }{\delta y} + \frac{\delta u_3 }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:20:15Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{dx}\vec i+\frac{\partial T}{dy}\vec j+\frac{\partial T}{dz}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta u1 }{\delta x} + \frac{\delta u2 }{\delta y} + \frac{\delta u3 }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:19:35Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{dx}\vec i+\frac{\partial T}{dy}\vec j+\frac{\partial T}{dz}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j \\ =(8-y^2+2y)(-2x-2)e^{-(x+1)^2}\vec i + (-2y+2)e^{-(x+1)^2}\vec j
</math>

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \nabla * \vec u = \frac{\delta }{\delta x} + \frac{\delta }{\delta y} + \frac{\delta }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:17:49Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{dx}\vec i+\frac{\partial T}{dy}\vec j+\frac{\partial T}{dz}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j
</math>
== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \frac{\delta }{\delta x} , \frac{\delta }{\delta y} , \frac{\delta }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:17:20Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:
<math>
\nabla T=\frac{\partial T}{dx}\vec i+\frac{\partial T}{dy}\vec j+\frac{\partial T}{dz}\vec k=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}[-2(x+1)]\vec i+e^{-(x+1)^2}(-2y+2)\vec j
</math>
== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \frac{\delta }{\delta x} & \frac{\delta }{\delta y} & \frac{\delta }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:15:23Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \Nabla * \vec u = \frac{\delta }{\delta x} & \frac{\delta }{\delta y} & \frac{\delta }{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:14:37Z

Antoniopm:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \Nabla * vec u = \frac{\delta u1}{\delta x} & \frac{\delta u2}{\delta y} & \frac{\delta u3}{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:11:45Z

Antoniopm:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math> \frac{\delta u1}{\delta x} & \frac{\delta u2}{\delta y} & \frac{\delta u3}{\delta z} = 0
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:08:44Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

<math>
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T11:03:03Z

Antoniopm:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

Eje <math> \veci : \vec i*\sigma*\vec i
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T10:54:18Z

Antoniopm:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

Eje <math> vec i : vec i*sigma*vec i
</math>

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T10:31:37Z

Antoniopm: /* Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo vectorial u
U=(My.^2)/20;
V=0.*My;
%Divergencia
div=divergence(Mx,My,U,V);
subplot(1,1,1)
mesh(Mx,My,div)
view(2)
}}

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T10:30:03Z

Antoniopm: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial u⃗ en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). ((Como el campo vectorial solo depende de la componente i⃗ y de la coordenada y, al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es cero, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico es nulo, es decir, que solo sufre desplazamientos horizontales en el sentido de i⃗ , teniendo que todos los puntos poseen la misma divergencia, cuyo valor es cero (sin cambio de volumen). Demostrado: ))

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo vectorial u
U=(My.^2)/20;
V=0.*My;
%Divergencia
div=divergence(Mx,My,U,V);
subplot(1,1,1)
mesh(Mx,My,div)
view(2)
}}

=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T10:19:10Z

Antoniopm: /* Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

La primera imagen muestra la placa sin aplicarle el vector de desplazamiento mientras que en la segunda ya si que se le aplica dicho vector, apreciándose un claro cambio en la forma de la placa debido al vector desplazamiento.

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo vectorial u
U=(My.^2)/20;
V=0.*My;
%Divergencia
div=divergence(Mx,My,U,V);
subplot(1,1,1)
mesh(Mx,My,div)
view(2)
}}
=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1

2014-12-01T10:17:12Z

Antoniopm: /* Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo C1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Nuestros nombres }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== Introducción ==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos:
<math>
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>

donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo suponemos lo siguente:
<math>
\vec a = \frac{\vec i}{20}, \ \vec b = \vec j
</math>
Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento <math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

== Mallado ==

Nuestro mallado se basa en la representación de una placa rectangular que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4] </math> , tomando como paso de muestreo h=<math>1/10</math>.
[[Archivo:Apartado1C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Mallado de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}
== Temperaturas ==

La función que define la temperatura del sólido es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
La temperatura varía a lo largo de la placa según la función anterior. En la imagen están representadas las curvas de nivel que indican la variación de la temperatura en la placa. se puede observar en la imagen que las lineas rojas representan los valores máximos, y los azules los mínimos observando que es máxima en el punto <math>[-1/2,1]</math>,
[[Archivo:Apartado2C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de la temperatura en la placa]]
{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x + 1).^2)','x','y');
%aplicamos la función a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la función
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
}}

=== Gradiente de la temperatura ===

El gradiente de la temperatura representa la dirección en el que el crecimiento de esta es máximo.
La función temperatura es:
<math>
T(x,y,z)=(8-y^2+2y)e^{-(x+1)^2}
</math>
y su gradiente es:

== Desplazamientos ==

En el caso particular de este trabajo, el vector desplazamiento<math>\vec u(x,y)</math> será:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{y^2}{20}\vec i
</math>

(((La posición de nuestra placa rectangular sólida viene dada en cada punto por la ecuación que hemos hallado en la introducción:

Por lo tanto, para el caso particular de este trabajo el vector de desplazamiento )))

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
[m,n]=size(Mx);
z=zeros(m,n);
%Representación del sólido sin deformar
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,z)
view(2)
%Campo u
u=(My.^2)/20;
%Sólido después de la deformación
Mx2=Mx+u;
My2=My;
Mz2=0.*Mx2;
%Representación del sólido deformado
subplot(2,1,2)
mesh(Mx2,My2,Mz2)
view(2)
}}
=== Divergencia ===
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo vectorial u
U=(My.^2)/20;
V=0.*My;
%Divergencia
div=divergence(Mx,My,U,V);
subplot(1,1,1)
mesh(Mx,My,div)
view(2)
}}
=== Rotacional ===

[[Archivo:Apartado7C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del rotacional]]
El cálculo del rotacional se realiza analíticamente y en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación, para su posterior representación gráfica con Matlab o Octave UPM:
<math>
\nabla \times \vec u = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\delta}{\delta x} & \frac{\delta}{\delta y} & \frac{\delta}{\delta z} \\ \frac{y^2}{20} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{-y}{10} \vec k
</math>
siendo por lo tanto el módulo del rotacional:
<math>
\left | \nabla \times \vec u \right | = \frac{y}{10}
</math>
Una vez calculado el valor del rotacional, se escribe un código Matlab que permita su representación, para posteriormente dar una interpretación. Para su mejor comprensión, se añaden también las imágenes del sólido antes y después de la deformación.
[[Archivo:Apartado5C1.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha|Sólido antes y después de la deformación]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
rot=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,rot)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,rot)
}}
El rotacional se puede interpretar como la cantidad de giro que provoca un campo, en este caso el campo de desplazamientos, alrededor del vector normal a la superficie en cada punto, en este caso el vector <math> \vec k </math>. Es decir, está midiendo cuánto está girando cada cuadrado en los que hemos dividido el sólido, manteniendo siempre el área de cada uno. Tal y como se puede ver en los gráficos, el rotacional es función de <math> y </math>, y es mayor cuanto más aumenta la <math> y </math>. Por lo tanto, los puntos que tienen mayor rotacional son los puntos cuya <math> y </math> toma el valor 4.

== Tensiones ==

En los apartados siguientes se resolverán todos los enunciados propuestos que está relacionados con tensiones en el sólido sobre el que estamos trabajando.

=== Tensiones normales ===

Primeramente, se define la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> como:
<math> \epsilon (\vec u) = (\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t)/2 </math>
siendo:
<math> \nabla \vec u = \frac{\delta u_i}{\delta x^j} \vec e_i \otimes \vec e_j = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j </math>
y su transpuesto:
<math> \nabla \vec u^t = \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>
Por lo tanto:
<math> \epsilon (\vec u) = \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{20} \vec i \otimes \vec j </math>
Se define el tensor de tensiones a través de la fórmula:
<math> \sigma = \lambda \nabla \cdot \vec u \mathbb{1} + 2 \mu \epsilon </math>
la cual tomando los valores <math> \lambda = \mu \ = 1 </math> y particularizándola para el caso de nuestro problema es:
<math> \sigma = 2 \epsilon = \frac{y}{10} \vec i \otimes \vec j + \frac{y}{10} \vec j \otimes \vec i </math>

==== Normales a <math> \vec i</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec i </math> se definen como:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i </math>
Operando con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, no merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec i </math>.
Esta gráfica sería igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

==== Normales a <math> \vec j</math> ====

Las tensiones normales con respecto a <math> \vec j </math> se definen, al igual que en apartado interior, con el vector <math> \vec i </math> como:
<math> \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j </math>
Operando igualmente con el tensor <math> \sigma </math> definido anteriormente se llega al resultado de que:
<math> \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i = 0 </math>
Por lo tanto, al ser 0 para cualquier punto del sólido, tampoco merece la pena realizar una representación gráfica. Esto nos dice que ningún punto del sólido sufre tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>.
Esta gráfica sería, de nuevo, igual que la del módulo de la divergencia, que también toma el valor 0 para cualquier punto del sólido.

=== Tensiones tangenciales ===

==== Tangenciales a <math> \vec i</math> ====

[[Archivo:Apartado9C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec i\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec i) = \frac{y}{10} \vec j </math>. Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmai=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmai)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmai)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a i son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.

==== Tangenciales a <math> \vec j </math> ====

[[Archivo:Apartado10C1.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j]]
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \(\vec j\) </math> vienen definidas por la ecuación <math> \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) </math>. Como hemos comprobado <math> \(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) </math> es nulo y <math> \(\sigma \cdot \vec j) = \frac{y}{10} \vec i </math> . Escribimos el código en Octave UPM o Matlab para obtener su representación y dar una interpretación.
{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=[-1/2:0.1:1/2];
y=[0:0.1:4];
%Mallado y z=0
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definición del rotacional
sigmaj=My/10;
%Dibujo de los gráficos
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,sigmaj)
subplot(2,1,2)
surf(Mx,My,sigmaj)
%Las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a j son iguales al rotacional
}}
Como vemos, la gráfica de las tensiones tangenciales con respecto al plano ortogonal a <math> \vec j </math> es igual que la del rotacional. Recordamos que la divergencia era nula, y por tanto distinta de las tensiones tangenciales.
=== Tensión de Von Mises ===

== Masa ==