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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:40:59Z

Antonf arriola: /* Representación de las tensiones normales en las direcciones \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2. Es nula en x = 0

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

Los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos en los que y = 4

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
axis equal
axis([-3,3,0,5]);
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*Y; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*X/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
axis equal
axis([-3,3,0,5]);
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Foto9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:40:21Z

Antonf arriola: /* Representación de las tensiones normales en las direcciones \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2. Es nula en x = 0

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

Los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos en los que y = 4

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
axis equal
axis([-3,3,0,5]);
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
axis equal
axis([-3,3,0,5]);
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Foto9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Foto9.jpg

2016-12-05T22:39:03Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:36:28Z

Antonf arriola: /* Representación de las tensiones normales en las direcciones \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2. Es nula en x = 0

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

Los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos en los que y = 4

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:27:51Z

Antonf arriola: /* Cálculo y representación de \left | \nabla \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2. Es nula en x = 0

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

Los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos en los que y = 4

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:25:47Z

Antonf arriola: /* Representación de \nabla\cdot\vec{u} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2. Es nula en x = 0

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:20:08Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> pasa a <math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:15:40Z

Antonf arriola: /* Cálculo de tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} \right | = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:15:07Z

Antonf arriola: /* Cálculo de tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0)) = \begin{pmatrix} x/10 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = \begin{pmatrix} 0 \\ -y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

<math> \left | \sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i} = y/10 </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:11:14Z

Antonf arriola: /* Cálculo de tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0) = (x/10, 0, 0) </math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:10:34Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0) = (x/10, 0, 0)/math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix} </math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:09:50Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0) = (x/10, 0, 0)/math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix}/math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T22:07:13Z

Antonf arriola: /* Cálculo de tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Nos piden calcular <math> \left |\sigma\cdot\vec{i} - (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\vec{i}\right | </math>

<math> (\vec{i}\cdot\sigma\cdot\vec{i} )\cdot\vec{i} = (x/10\cdot (1,0,0) = (x/10, 0, 0)/math>

<math> \sigma\cdot\vec{i} = \begin{pmatrix} x/10 & y/10 & 0 \\ y/10 & 3x/10 & 0 \\ 0 & 0 & x/10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/10 \\ y/10 \\ 0 \end{pmatrix}/math>

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:52:32Z

Antonf arriola: /* Dibujar el campo de fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Foto12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Foto12.jpg

2016-12-05T21:51:51Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:49:57Z

Antonf arriola: /* Dibujar el campo de fuerzas \vec{F} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/10-Y/10;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:41:24Z

Antonf arriola: /* Representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Foto11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Foto11.jpg

2016-12-05T21:40:45Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:33:55Z

Antonf arriola: /* Representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio11.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:33:20Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio11.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:27:08Z

Antonf arriola: /* Representación de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:25:28Z

Antonf arriola: /* Representación de las tensiones normales en las direcciones \vec{i} \vec{j} \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} , \vec{j} , \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:22:43Z

Antonf arriola: /* Cálculo y representación de \left | \nabla \times \vec{u} \right | */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Región de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:22:18Z

Antonf arriola: /* Representación de \nabla\cdot\vec{u} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:20:40Z

Antonf arriola: /* Cálculo del campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> no sufre desplazamiento y por tanto, se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:19:13Z

Antonf arriola: /* Cálculo del campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la dirección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T21:16:58Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

==Masa total==

Para calcular la masa total de la placa calculamos la integral doble de la función de densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math> tomando como extremos los de la placa

{{Matlab|codigo=
x1=2;
x2=-2;
y1=4;
y2=0;
L1=x1-x2; %lado1 de la placa
L2=y1-y2; %lado2
AREA=L1*L2;
syms X Y; %funcion para nombrar las variables de la integral
D=inline( 1./(X.^2+Y.^2+2)); %funcion de densidad
f=int(int(D,X,x2,x1),Y,y2,y1); %Integral de la función de densidad
Masa=D*AREA
}}

La masa total es M = 1088

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:59:47Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:59:28Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio12.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Capturadibujoejercicio12.JPG

2016-12-05T17:58:54Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:58:40Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección y
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo de tensiones tangenciales==

==Representación de la tensión de Von Mises==

Nos dan la fórmula <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>

donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2);
y=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
sigma=[]; %Vector sigma vacío.
for i=1:length(x); %Bucle para crear sigmatotal
for j= 1: length(y);
sigma=[X(i,j)./10 Y(i,j)./10 0;Y(i,j)./10 (3.*X(i,j))./10 0;0 0 X(i,j)./10]; %Matriz sigma
EI=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((EI(1)-EI(2))^2+(EI(2)-EI(3))^2+(EI(3)-EI(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
Z(i,j)=sigmavm;
end

end
surf(X,Y,Z) %Dibujo de la tensión
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]

==Dibujar el campo de fuerzas <math> \vec{F} </math> ==
Dada la fórmula del enunciado <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>
que nos indica el campo de fuerzas que actúan sobre la placa y que provocan el desplazamiento:

{{Matlab|codigo=
x=(-2:0.1:2); %Region de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %Region y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
X1=-X/5;
Y1=X*0;
Z1=Z*0;
quiver3(X,Y,Z,X1,Y1,Z1)
}}

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:28:44Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección x
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Capturadibujoejercicio9.jpg

2016-12-05T17:28:07Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:27:08Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. En la dirección <math> \vec{k} </math> concluimos que no hay tensiones. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=
%Eje x
x=(-2:0.1:2);
v=(0:0.1:4);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Txx=X/10; %Tensiones en la dirección x
Tyx=Y*0;
subplot(1,2,1)
quiver(X,Y,Txx,Tyx)
title('Tensiones normales eje i')

%Eje y
Txy=0*X; %Tensiones en la dirección x
Tyy=3*Y/10;
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,Txy,Tyy)
title('Tensiones normales eje j')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:22:23Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math> ==

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math> calculamos la tensión en cada una de las direcciones analíticamente. A continuación, las escribimos directamente en Matlab:

{{Matlab|codigo=

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T17:02:18Z

Antonf arriola:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC16/17|2016-17]] | Antón Fernández Arriola, Bruno Campuzano, Antonio Manso}}

==Enunciado==
En este trabajo vamos a analizar y visualizar campos escalares y vectoriales en el espacio en relación a su elasticidad.

Consideraremos una placa rectangular plana en dos dimensiones que ocupa la región (x, y) ∈ [−2, 2]×[0, 4].

Vamos a definir en ella dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math> y los desplazamientos <math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math> producidos por la acción de una fuerza determinada. Dado que trabajaremos en coordenadas cartesianas hemos pasado la temperatura de coordenadas polares a cartesianas

<math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

<math> \rho = \sqrt{x^2+y^2} </math> ; <math> \sin\theta = \displaystyle\frac{y}{x^2+y^2} </math>

<math> T(x,y) = y\sqrt{x^2+y^2} </math>

Por otro lado, consideramos también la divergencia <math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>, la densidad <math> d(x,y) = \displaystyle\frac{1}{x^2+y^2+2} </math>
, que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la

dirección <math> \vec{j} </math>, la fórmula para hallar la tensión a partir del desplazamiento: <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u}1 + 2\mu\epsilon </math>

, la tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} = \sqrt{\displaystyle\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^2+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^2+(\sigma_{1}-\sigma_{1})^2}{2}} </math>
donde <math> \sigma_{1}, \sigma_{2} y \sigma_{3} </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>
y el campo de fuerzas <math> \vec{F} = -\nabla \cdot \sigma = -\displaystyle\frac{{\partial\sigma_{ji}}}{{\partial x_{j}}}\vec{e}_i </math>

==Representación del sólido==
En primer lugar dibujaremos un mallado representando todos los puntos del interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math> (x,y) \in -3≤x≤3;0≤y≤5 </math>, y utilizamos como paso de muestreo <math> h=1/10 </math> para las variables ''x'' e ''y''. El código es el siguiente:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio1.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Temperatura del sólido==
En este apartado representamos las curvas de nivel de la temperatura definidas por la función de la misma, anteriormente pasada de polares a cartesianas <math> T(\rho,\theta)= \rho^2\sin(\theta) </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('y.*sqrt(x.^2+y.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-3,3,0,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,3,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,3,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
subplot(1,3,3)
contour(X,Y,Z1)
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Podemos deducir a partir de los gráficos que la temperatura máxima se da en los extremos (-2,4) Y (2,4)

==Gradiente de temperatura==

Después de representar la temperatura, calcularemos su gradiente y lo representaremos como un campo vectorial

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=Y.*sqrt(X.^2+Y.^2); %Función de temperatura
[X,Y]= gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T,100) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y); %Representación de los vectores del campo gradiente
axis equal
hold off
}}

Colocamos los vectores encima de las curvas de nivel y comprobamos que son ortogonales

[[Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Cálculo del campo de desplazamientos==

Tomamos las condiciones que nos dan en el enunciado

<math>\vec{u}=xf(y)\vec{j} </math>

<math> \nabla\cdot\vec{u} = x/10 </math>

Y que los puntos situados en el eje y = 0 no sufren desplazamiento en la dirección <math> \vec{j} </math>

Sabemos que <math> \nabla\cdot\vec{u} = {\partial x_{1}}/{\partial x} + {\partial x_{2}}/{\partial y} + {\partial x_{3}}/{\partial z} </math>

Por tanto, la divergencia de vector <math> \vec{u} </math> será <math> \nabla\cdot\vec{u} = xf'(y) </math>

Igualando esta con la divergencia del encunciado <math> xf'(y) = \displaystyle\frac{x}{10} </math> deducimos que <math> f'(y) = \displaystyle\frac{1}{10} </math> y finalmente la integral da como resultado <math> f(y) = \displaystyle\frac{y}{10} + C </math> Tomando por último la condición según la cual en el eje <math> y = 0 </math> la driección <math> \vec{j} </math> se anula, nos quedará C = 0 y por tanto

<math> \vec{u} = xf(y) = x\displaystyle\frac{y}{10} </math>

==Representación del campo de vectores==
En este apartado se nos pide dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El código para ello es:

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Ux=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy=X.*Y./10;
quiver(X,Y,Ux,Uy); %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Sólido antes y después del desplazamiento==

Vamos a representar el cambio en el sólido una vez tiene lugar el desplazamiento debido al campo de vectores <math> \vec{u} </math>

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %Región de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
n=size(x,2);
m=size(y,2);
subplot(1,2,1);
Z= zeros(n,m); %Altura de los puntos del intervalo
mesh(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal; %Caracterización de los ejes
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Antes')
view(2)
subplot(1,2,2);
Ux2=zeros(size(X)); %solo se desplazan en el eje j
Uy2=X.*Y./10;
Rx = X+ Ux2;
Ry = Y + Uy2;
mesh(Rx,Ry,0*Rx) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
axis([-3,3,0,5]); %Limitamos una región en los ejes
title('Después')
view(2)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de <math> \nabla\cdot\vec{u} </math>==

{{Matlab|codigo=
x= (-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y= (0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Divergencia=X/10; %divergencia dada por el enunciado
surf(X,Y,Divergencia)
}}

[[Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]
Se observa en la imagen que los valores máximos de la divergencia se dan en los puntos donde x = 2 y los mínimos allí donde x = -2

==Cálculo y representación de <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | </math> ==
Siguiendo la fórmula del rotacional nos queda que <math> \nabla \times \vec{u} = \displaystyle\frac{y}{10}\vec{k} </math>
Como nos piden el módulo, <math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \sqrt{\displaystyle\frac{y^2}{100}} </math> y por tanto,

<math> \left | \nabla \times \vec{u} \right | = \displaystyle\frac{y}{10} </math>

El código queda

{{Matlab|codigo=

x=(-2:0.1:2); %RegiÃ³n de rango x entre los valores dados
y=(0:0.1:4); %RegiÃ³n de rango y
z=zeros(size(x));
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
x2=X.*0;
y2=Y.*0;
z2=Y./10;
quiver3(X,Y,Z,x2,y2,z2)
}}
[[Archivo:Capturadibujoejercicio8.JPG|800px|center|thumb|Mallado inicial]]

==Representación de las tensiones normales en las direcciones <math> \vec{i} \vec{j} \vec{k} </math>

Definido <math> \epsilon (\vec{u}) = (\nabla \vec{u} + \nabla \vec{u}^{t} )/2 </math> como la parte simétrica del tensor de deformaciones y conocido el tensor de tensiones <math> \sigma = \lambda\nabla\cdot\vec{u} 1 + 2\mu\epsilon </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC16/17]]

Archivo:Capturadibujoejercicio8.jpg

2016-12-05T16:44:22Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T16:41:54Z

Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

2016-12-05T16:27:27Z

Antonf arriola:

Archivo:Capturadibujoejercicio7.JPG

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Antonf arriola:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

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Archivo:Capturadibujoejercicio6.JPG

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Archivo:Capturadibujoejercicio5.JPG

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Archivo:Capturadibujoejercicio3.JPG

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Antonf arriola:

Archivo:Capturadibujoejercicio2.JPG

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5-A)

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Antonf arriola: