MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T22:09:35Z

Angelasotelo: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> <math> \left\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \right\}_{n \in \mathbb{N}} </math>
es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo vemos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y luego visualizamos el que resulta de usar las sumas de Cesàro
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: imagen_error_sumas_cesaro_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.(x <= 1/4).(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1,1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.F(u).(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro y guardamos en una matriz su valor para
% cada n
SN = zeros(length(n), length(xx));
SNs = zeros(length(n), length(xx));
for j =1:length(n)
for i = 1:j
SNs(j,:) = SNs(j,:) + SF(i,:);
end
SN(j,:) = 1/(j+1) * SNs(j,:); % Suma de Cesàro
end

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

w1 = ones(length(xx),1);
w1(1) = 1/2;
w1(length(xx)) = 1/2; % Pesos del método del trapecio
h1=1/5000;
for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(f_ext(xx) - SN(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando =2.*((f_ext(xx) - SN(i,:)).^2);
error_L2(i) = sqrt(h1.*w1'*integrando');
end

% Graficamos los errores
figure
plot(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
plot(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Número de términos N')
ylabel('Error')
legend('Norma uniforme', 'Norma L^2')
title('Error de la Aproximación de Fourier')
grid on
}}
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T19:55:49Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo vemos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y luego visualizamos el que resulta de usar las sumas de Cesàro
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: imagen_error_sumas_cesaro_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.(x <= 1/4).(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1,1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.F(u).(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro y guardamos en una matriz su valor para
% cada n
SN = zeros(length(n), length(xx));
SNs = zeros(length(n), length(xx));
for j =1:length(n)
for i = 1:j
SNs(j,:) = SNs(j,:) + SF(i,:);
end
SN(j,:) = 1/(j+1) * SNs(j,:); % Suma de Cesàro
end

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

w1 = ones(length(xx),1);
w1(1) = 1/2;
w1(length(xx)) = 1/2; % Pesos del método del trapecio
h1=1/5000;
for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(f_ext(xx) - SN(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando =2.*((f_ext(xx) - SN(i,:)).^2);
error_L2(i) = sqrt(h1.*w1'*integrando');
end

% Graficamos los errores
figure
plot(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
plot(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Número de términos N')
ylabel('Error')
legend('Norma uniforme', 'Norma L^2')
title('Error de la Aproximación de Fourier')
grid on
}}
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T19:54:41Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo vemos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y luego visualizamos el que resulta de usar las sumas de Cesàro
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: imagen_error_sumas_cesaro_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.(x <= 1/4).(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1,1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.F(u).(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro y guardamos en una matriz su valor para
% cada n
SN = zeros(length(n), length(xx));
SNs = zeros(length(n), length(xx));
for j =1:length(n)
for i = 1:j
SNs(j,:) = SNs(j,:) + SF(i,:);
end
SN(j,:) = 1/(j+1) * SNs(j,:); % Suma de Cesàro
end

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

w1 = ones(length(xx),1);
w1(1) = 1/2;
w1(length(xx)) = 1/2; % Pesos del método del trapecio
h1=1/5000;
for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(f_ext(xx) - SN(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando =2.*((f_ext(xx) - SN(i,:)).^2);
error_L2(i) = sqrt(h1.*w1'*integrando');
end

% Graficamos los errores
figure
plot(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
plot(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Número de términos N')
ylabel('Error')
legend('Norma uniforme', 'Norma L^2')
title('Error de la Aproximación de Fourier')
grid on

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T19:49:42Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función discontinua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo haremos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y para la sumade Cèsaro.
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: imagen_error_sumas_cesaro_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1, 1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.*F(u).*(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro
SNs = zeros(1, length(xx));
for i = 1:length(n)
SNs = SNs + SF(i,:);
end
SN = 1/(length(n)+1) * SNs; % Suma de Cesàro

% Graficamos la aproximación final
plot(xx, SN)
hold off

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(F(xx) - SF(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando = (F(u) - SF(i, round(linspace(1, length(xx), length(u)))).^2);
error_L2(i) = sqrt(h * (w' * integrando'));
end

% Graficamos los errores
figure
semilogy(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
semilogy(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:Imagen error sumas cesaro ACIRV.jpeg

2025-02-19T19:48:40Z

Angelasotelo:

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T19:47:06Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_k \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo haremos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y para la sumade Cèsaro.
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: EJ3_ERROR_SUMAS_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1, 1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.*F(u).*(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro
SNs = zeros(1, length(xx));
for i = 1:length(n)
SNs = SNs + SF(i,:);
end
SN = 1/(length(n)+1) * SNs; % Suma de Cesàro

% Graficamos la aproximación final
plot(xx, SN)
hold off

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(F(xx) - SF(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando = (F(u) - SF(i, round(linspace(1, length(xx), length(u)))).^2);
error_L2(i) = sqrt(h * (w' * integrando'));
end

% Graficamos los errores
figure
semilogy(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
semilogy(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-19T19:46:15Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función continua */

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \sum_{k=1}^{n} c_n \sin(k\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo haremos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y para la sumade Cèsaro.
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: EJ3_ERROR_SUMAS_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1, 1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.*F(u).*(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro
SNs = zeros(1, length(xx));
for i = 1:length(n)
SNs = SNs + SF(i,:);
end
SN = 1/(length(n)+1) * SNs; % Suma de Cesàro

% Graficamos la aproximación final
plot(xx, SN)
hold off

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(F(xx) - SF(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando = (F(u) - SF(i, round(linspace(1, length(xx), length(u)))).^2);
error_L2(i) = sqrt(h * (w' * integrando'));
end

% Graficamos los errores
figure
semilogy(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
semilogy(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-15T15:49:17Z

Angelasotelo:

{{ TrabajoED | Series de Fourier (Grupo ACIRV). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.}}

=Introducción=

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función $ f(x) $ periódica con $ f\in L^2(-\pi,\pi) $ puede expresarse como:

<center> <math> f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] </math> </center>

donde los coeficientes $ d_n $ y $ c_n $ se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

=Base trigonométrica compleja=
La <b>base trigonométrica</b> es una base del espacio <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama <b>series de Fourier</b>.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración:

<center><math>d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . </math></center>

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

{{matlab|codigo=
% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);
n_max = 5; % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
% Definimos las funciones
f_cos = cos(n * pi * x);
f_sin = sin(n * pi * x);

plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));

plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside');
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;
}}

<div style="text-align: center; margin-top: 10px;">
<div style="display: inline-block; margin-right: 10px;">
[[Archivo:EJ1_SENO_ACIRV.png|400px|none|Seno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_COSENO_ACIRV.png|400px|none|Coseno]]
</div>
<div style="display: inline-block;">
[[Archivo:EJ1_1_2_ACIRV.jpeg|400px|none|Coseno]]
</div>
</div>

=Aproximación de una función continua=
Vamos a aproximar la función $ f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| $.

Primeramente, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico $[-1,1]$, obteniendo $ f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). $ Es decir,

<center><math>
f_{\text{ext}}(x) =
\begin{cases}
-(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\
1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1].
\end{cases}
</math></center>

La función es continua en $[-1,1]$, pues la extensión mantiene la continuidad en $x=0$ y es continua en $ [-1,0) \cup (0,1] $.

Ahora, calcularemos los coeficientes de Fourier con las fórmulas indicadas anteriormente numéricamente usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina $ (10^{-3}) $. Como nuestra función es impar, su serie de Fourier también lo es; es decir, será una combinación lineal de los elementos <math>\{ \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>. Verificamos que los coeficientes $ d_0 $ y $ d_n $ se anulan, pues son el resultado de integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico.

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). </math> </center>

Definimos $ f_n(x) $ como la suma de los primeros $ n $ términos de la serie de Fourier:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \sum_{n=1}^{n} c_n \sin(n\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} c_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . </math> </center>

A continuación, representamos gráficamente $ f(x) $ y $ f_n(x) $ para $ n=1,5,10 $.

[[Archivo:Untitled.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=[1 5 10];
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
for i=1:length(n)
SF=0
for k=1:n(i)
c_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
c_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx); %Vamos calculando la propia serie
end
plot(xx,SF) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original.

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de $ f_n(x) $ respecto a $ f(x) $ en función de $ n $ con normas $ L^2 $ y del supremo o uniforme.

[[Archivo:24_25_grupoACIRV_erroresej1.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))';
a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
end

% Cálculo de errores
g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}

=Aproximación de una función discontinua=

Ahora, vamos a aproximar la función $ f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) $.

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo $[-1,1]$, obteniendo:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} </math> </center>

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en $ x = -\frac{1}{4} $ y $ x = \frac{1}{4} $. Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de $ \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} $. Los coeficientes $ c_n $ se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

<center> <math> f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) </math> </center>

Al representar $ f(x) $ y $ f_{n}(x) $ para $ n=\{1,...,10 \}$, observamos que aparecen unas oscilaciones conocidas como el fenómeno de Gibbs.

[[Archivo:24 25 grupoACIRV fourierej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:10;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
plot(xx,SF(i,:)) %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off
}}

Para suavizar dichas oscilaciones utilizamos las sumas de Cesàro:

<center> <math> S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). </math> </center>

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:
[[Archivo:24 25 grupoACIRV cesaroej3.png|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
1.00 0.54 0.00
0.47 0.25 0.80
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio.
n=1:1:100;
N=1000; %Número de puntos
a=0; b=1; %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N; %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b; %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n)
for k=1:n(i)
d_n=zeros(1,n(i));
c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; %Función a integrar
d_n(k)=h*w'*c; %Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
end
end
SNs=zeros(1,length(xx)); %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN) %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off
}}

Vamos a comparar el error de aproximación respecto valores de N. Lo haremos inicialmente para la aproximación por serie de Fourier y para la sumade Cèsaro.
[[Archivo: EJ3_ERROR_FOURIER_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
a=0; b=1;
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

% Definir la función f(x)
f = @(x) 1.*(x<=1/4);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

d_0=0;d0=(2.*f(u_1).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
for n=1:300
f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
for k=1:n
g=(f(u_1).*cos(k*pi*u_1))';
d_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
f_n=f_n+d_k*cos(k*pi*u_1); %Suma de términos
end
f_n=f_n+d_0; %Función extendida

% Cálculo de errores
g1=abs(f_ext(u_1)-f_n).^2;
error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
error2(n)=max(abs(f_ext(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y
}}
[[Archivo: EJ3_ERROR_SUMAS_ACIRV.jpeg|450px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
clear all
close all

% Definimos la función F y su extensión impar g
F = @(x) 1.*(x <= 1/4);
g = @(x) F(-x);
f_ext = @(x) 1.*(x <= 1/4).*(x >= -1/4);

% Puntos para la evaluación
xx = linspace(-1, 1, 10000);

% Graficamos la función original
fplot(F, [0 1], 'b', 'linewidth', 1.5)
hold on
fplot(g, [-1 0], 'b', 'linewidth', 1.5)

% Modificamos los colores de las gráficas para mejorar la visibilidad
newcolors = [0.83 0.14 0.14;
1.00 0.54 0.00;
0.47 0.25 0.80;
0.25 0.80 0.54];
colororder(newcolors)

% Parámetros para la serie de Fourier
n = 1:1:300; % Número de términos considerados
N = 1000; % Número de puntos en la integración
a = 0; b = 1; % Extremos del intervalo
h = (b-a)/N; % Tamaño de los subintervalos
u = a:h:b; % Puntos de la partición
w = ones(N+1,1);
w(1) = 1/2;
w(N+1) = 1/2; % Pesos del método del trapecio

% Cálculo de los coeficientes de Fourier
d_0 = 0;
d0 = (2.*F(u).*(1/2))';
d_0 = h*w'*d0; % Coeficiente a_0
SF = zeros(length(n), length(xx)) + d_0;

for i = 1:length(n)
for k = 1:n(i)
c = (2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))'; % Función a integrar
d_n(k) = h*w'*c; % Coeficientes de la serie de Fourier
SF(i,:) = SF(i,:) + d_n(k) * cos(k*pi*xx);
end
end

% Aplicamos las sumas de Cesàro
SNs = zeros(1, length(xx));
for i = 1:length(n)
SNs = SNs + SF(i,:);
end
SN = 1/(length(n)+1) * SNs; % Suma de Cesàro

% Graficamos la aproximación final
plot(xx, SN)
hold off

% Cálculo del error con normas L^∞ y L^2
error_uniforme = zeros(1, length(n));
error_L2 = zeros(1, length(n));

for i = 1:length(n)
% Norma uniforme (máximo error absoluto)
error_uniforme(i) = max(abs(F(xx) - SF(i,:)));

% Norma L^2 usando la regla del trapecio
integrando = (F(u) - SF(i, round(linspace(1, length(xx), length(u)))).^2);
error_L2(i) = sqrt(h * (w' * integrando'));
end

% Graficamos los errores
figure
semilogy(n, error_uniforme, 'r', 'linewidth', 1.5)
hold on
semilogy(n, error_L2, 'b', 'linewidth', 1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
}}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP24/25]]

Archivo:EJ3 ERROR SUMAS ACIRV.jpeg

2025-02-15T15:45:21Z

Angelasotelo:

Archivo:EJ3 ERROR FOURIER ACIRV.jpeg

2025-02-15T15:44:55Z

Angelasotelo:

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-14T10:49:30Z

Angelasotelo: /* Aproximación de una función continua */

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-14T10:40:02Z

Angelasotelo: /* Base trigonométrica compleja */

Archivo:EJ1 TOTAL ACIRV.JPG

2025-02-14T10:35:00Z

Angelasotelo:

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-14T10:34:09Z

Angelasotelo: /* Base trigonométrica compleja */

Archivo:EJ1 1 2 ACIRV.jpeg

2025-02-14T10:19:49Z

Angelasotelo:

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-14T10:19:29Z

Angelasotelo: /* Base trigonométrica compleja */

Archivo:EJ2 ERRORES ACIRV.png

2025-02-14T09:52:16Z

Angelasotelo:

Archivo:EJ2 REPRE ACIRV.png

2025-02-14T09:52:01Z

Angelasotelo:

Archivo:EJ1 COSENO ACIRV.png

2025-02-14T09:51:45Z

Angelasotelo:

Archivo:EJ1 UNMEDIO ACIRV.png

2025-02-14T09:51:32Z

Angelasotelo:

Archivo:EJ1 SENO ACIRV.png

2025-02-14T09:51:19Z

Angelasotelo:

Series de Fourier (Grupo ACIRV)

2025-02-14T09:46:36Z

Angelasotelo: /* Base trigonométrica compleja */