{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

<gallery>
rutas1.png
</gallery>
== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Rutas1.jpg

2024-12-09T11:04:16Z

Andres.ruiz.sanz:

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T10:57:50Z

Andres.ruiz.sanz: /* Bibliografia */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

*https://oceanservice.noaa.gov/education/tutorial_currents/media/supp_cur04e.html 
*https://www.divulgameteo.es/fotos/meteoroteca/Din%C3%A1mica-espiral-Ekman.pdf 
*https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Ekman 
*https://espanol.libretexts.org/Geociencias/Sedimentolog%C3%ADa/Libro%3A_Introducci%C3%B3n_a_los_Movimientos_de_Fluidos_y_Transporte_de_Sedimentos_(Southard)/07%3A_Flujo_en_Entornos_Rotativos/7.04%3A_La_Espiral_de_Ekman 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T10:55:55Z

Andres.ruiz.sanz:

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

== Bibliografia==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T10:36:18Z

Andres.ruiz.sanz: /* Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-09T10:35:41Z

Andres.ruiz.sanz: /* Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula */

{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}
== Introducción ==
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio de la espiral de Ekman, que se trata de es un fenómeno físico que describe cómo la interacción entre el viento, la rotación terrestre (efecto Coriolis) y la fricción, que afecta al movimiento de los fluidos en el océano y la atmósfera. Este efecto, debe su nombre a su desarrollador, el oceanógrafo sueco Vagn Walfrid Ekman (1874-1954), quién explicó cómo una corriente superficial generada por un viento constante no fluye directamente en la dirección del viento, sino que se desvía gradualmente (hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur) produciendo una estructura en forma de espiral en la columna de agua, la espiral de Ekman.

Cada capa de agua en la columna se mueve en una dirección ligeramente distinta, con una velocidad que decrece exponencialmente con la profundidad debido a la fricción interna entre las capas. El resultado neto de este fenómeno es el transporte de Ekman, un desplazamiento total del agua en una dirección perpendicular al viento de superficie (90° a la derecha en el hemisferio norte y 90° a la izquierda en el hemisferio sur). Este proceso es fundamental en la circulación oceánica, ya que contribuye a la redistribución de calor y nutrientes, además de influir en fenómenos como la surgencia costera y la productividad marina.

La espiral de Ekman se describe matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la fuerza de Coriolis, la viscosidad turbulenta y la acción del viento superficial. Estas ecuaciones tienen soluciones que muestran una rotación y una disminución exponencial de la velocidad del agua conforme aumenta la profundidad. Este concepto tiene aplicaciones clave en la comprensión de los patrones de circulación oceánica, el clima global y los ecosistemas marinos.

== Parámetro de Coriolis f y el valor de ϕ en su fórmula ==
[[Archivo:coriolis_effect.png|300px|thumb|right|texto alternativo]]
El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. El parámetro de coriolis (f) se define como:

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>

Donde Ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra (7.2921*10^-5 rad/(sg)^2) , y <math>\color{white} ( \phi </math> es la latitud expresada en radianes.

Dada una latitud <math>\color{white} ( \phi </math> de 45 N, que en radianes serían de <math>\color{white} ( \phi = \pi/4 rad </math> sustituyendo en la ecuación anterior nos queda que:

<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } </math>

Dependiendo del valor de <math>\color{white} ( \phi </math>, es decir , la latitud , el valor de f será positivo , negativo o nulo según estemos en el hemisferio norte, el hemisferio sur o el ecuador.

*Para el hemisferio norte <math> (0^{\circ}< \phi < 90^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f>0 </math>
*Para el Ecuador <math> (\phi = 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f=0 </math>
*Para el hemisferio sur <math> (-90^{\circ}< \phi < 0^{\circ}) </math>, el parámetro <math> f<0 </math>

Tal y como muestra la anterior imagen en el hemisferio norte el efecto de coriolis va hacia la derecha del sentido de la dirección mientras que en el hemisferio sur el efecto se produce a la izquierda de dicho sentido.

== Valor de ϑ==
θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ Con respecto la dirección del viento.

<math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 4 ) = 1.031258 \cdot 10 ^ { - 4 } > 0 \rightarrow sgn(f) = 1 </math>

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

== Verificación de u(z) y v(z) como soluciones de la ecuaciones diferenciales de Ekman ==
Nos preguntamos, ¿son u(z) y v(z) soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman?

Partimos de los datos:

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math> ::::: <math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math>

Primero calculo las primeras derivadas:

<math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math>

Para ahora calcular las segundas derivadas,

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math>

Aparte tenemos que, <math> (1) : d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} \rightarrow \frac { 2 } { d _ { E } ^ { 2 } } = \frac { | f| } { v _ { e } } </math>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math>, y sustituimos <math> d_{E} </math> en la ecuación, quedándonos:

<math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math>
ahora se sustituye d_{E} confirmamos que se verifica <math>f = |f |</math>

En la otra derivada pasará lo mismo:

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { 2 } { d_{E}^2 } V_ { 0} e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) =\frac { f } { v _ { e } }u </math>,

verificandose asi que u(z) y v(z)son soluciones validas de las derivadas parciales de Ekman
<math> </math>
<math> </math>
<math> </math>

== Campo vectorial v en varios planos paralelos a la superficie del mar==
[[Archivo:campo_vectorial_en_planos_paralelos.gif|600px|thumb|right| Vista en perspectiva de los planos paralelos]]
[[Archivo:proyección_horizontal.gif|600px|thumb|right|Proyección horizontal del campo vectorial]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);
%Reinicio grafica
cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off

}}

== Representación del campo vectorial v evaluado en los puntos de coordenadas cartesianas (0, 0, z) ==
[[Archivo:Animm.png|600px|thumb|right|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 5 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 100; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end

}}

== Divergencia de v==
El campo está definido por:
<math>\overrightarrow { V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>
las componentes son:

<math> v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> u ( z ) =V _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

sustituyo u y v en la ecuación:

<math>{\overrightarrow{V}} =V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_{E} } } \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) {\overrightarrow {i}} + V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d_ {E} }} \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) {\overrightarrow{ j}}</math>.

ahora calculamos las derivadas, que al solo depender de la profundidad, la divergencia nos queda:

<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

<math></math>
<math></math>

Que la divergencia sea nula significa que el flujo horizontal de Ekman es incompresible y continuo.

== Rotacional de v==
El rotacional de la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área y es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas.En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y:

<math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>,

donde z es la profundidad, y la dirección y magnitud de varían exponencialmente con z.

El transporte neto de masa en la capa de Ekman se orienta perpendicular al viento en la superficie debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal ( <center><math>\vec u_z = 0</math></center> ) y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente v con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente u con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

[[Archivo:vistarotacional.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto en perspectiva]]
[[Archivo:vídeo_sin_título.gif|800px|thumb|right|Rotacional visto desde arriba]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 8
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

== Flujo neto de v a través de la pared==

== La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
la parametrizacion de la curva en cartesianas es <math>\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )</math>

Primero pasaremos esta parametrizacion en cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

ahora sustituimos, <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , de tal manera que

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

asi pues la parametrización en cilindricas queda como:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

[[Archivo:Ap9.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación espiral ekman]]
{{matlab|codigo=% Parámetros
V0=0.2;
visc=0.1;
phi=pi/4;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=-3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,34);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'r-','LineWidth',2);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;

}}

<math></math>
<math></math>

== Curvatura y la torsión de la espiral de Ekman==
La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto. La torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.
Matemáticamente la curvatura <math> (\kappa (z))</math> y la torsión<math> \tau (z)</math> se definen como:

<math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math> 
<math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math> 

[[Archivo:Cur_tor.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Representación de la curvatura y torsión]]
{{matlab|codigo=%% Apartado 10
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 2 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 15; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','r','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

== Triedro de Frenet a lo largo de la espiral==

El triédro de Frenet es un concepto utilizado en geometría diferencial para describir el movimiento de una curva en el espacio tridimensional. Se compone de tres vectores: el vector tangente, el vector normal y el vector binormal.
En el estudio de la espiral de Ekman, que describe el movimiento del agua en la capa superficial del océano debido a la acción del viento y la rotación de la Tierra, el triédro de Frenet puede ser útil para analizar la trayectoria de las partículas de agua.

1. Vector Tangente (T): Este vector indica la dirección de la curva en un punto dado. En la espiral de Ekman, el vector tangente representaría la dirección del flujo del agua en un punto específico de la espiral.

2. Vector Normal (N): Este vector es perpendicular al vector tangente y apunta hacia la dirección en la que la curva está "girando". En la espiral de Ekman, el vector normal podría ayudar a entender cómo cambia la dirección del flujo a medida que se avanza en la espiral.

3. Vector Binormal (B): Este vector es perpendicular tanto al vector tangente como al vector normal. En el caso de la espiral de Ekman, el vector binormal puede no tener un significado físico directo, pero es parte de la estructura del triédro de Frenet.

A continuación se adjunta un programa de Matlab que muestra dicho triedro a lo largo de la espiral:

{{matlab|codigo=%% Apartado 12
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 45; % Latitud en grados
V0 = 0.2; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.1; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 15 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 100; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0,z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z < 0)

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)
% Calcular las componentes de la velocidad
r = u_m.^2+v_m.^2; % Componente radial de la velocidad
theta = atan2(v_m,u_m); % Componente angular de la velocidad
% Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas para graficar
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);

% Graficar el campo vectorial en coordenadas cilíndricas
figure(1);
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
for i =1:size(z_vals,2)
%Vectores Frenet
%T: tangente
T = [cos(theta(i)),sin(theta(i)),0];
%N: Normal
N = [-sin(theta(i)), cos(theta(i)), 0]; %Perpendicular a T
%B: Binormal
B = [0, 0, 1]; % Binormal apunta hacia el eje z
% Punto espiral
plot3(x(i), y(i), -z_vals(i), 'ko', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Vectores del triedro
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), T(1), T(2), T(3),0.01 , 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Tangente
quiver3(x(i), y(i),-z_vals(i), N(1), N(2), N(3),0.01 , 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Normal
quiver3(x(i), y(i), -z_vals(i), B(1), B(2), B(3),0.01,'y', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Binormal
pause(0.1)
%Actualizar figura
cla
plot3(x,y,-z_vals,'LineWidth',1.5)

xlabel('r (m)');
ylabel('θ (radianes)');
zlabel('Profundidad (m)');
title('Campo Vectorial de Ekman en Coordenadas Cilíndricas con el triedro de Frenet');
set(gca,'XDir','reverse')
grid on
view(3)
hold on
%xlim([-0.5 0.5])
%ylim([-0.1 0.1])
zlim([-z_max 0])
end
}}

== Aplicaciones de esta curva en ingeniería==
El conocimiento de la espiral de Ekman, y en general de las curvas logarítmicas producidas por fenómenos naturales, han supuesto un gran avance, en el diseño y la optimización, en infinidad de proyectos ingeniería, de ámbitos muy diversos. Algunas de estas aplicaciones, las podemos ver en:

Ingeniería Oceánica y Marítima

-Rutas de navegación: Permite optimizar rutas marítimas considerando las corrientes
superficiales y subsuperficiales que afectan el movimiento de embarcaciones.
-Predicción de derivas: Ayuda a modelar el movimiento de derrames de petróleo,
plásticos y otros contaminantes en el océano.
-Turbinas eólicas y acuáticas: El diseño de las palas de turbinas se basa en perfiles
aerodinámicos que, en algunos casos, adoptan configuraciones espirales logarítmicas
para maximizar la eficiencia energética y reducir las turbulencias.
-Hélices marinas: En ingeniería naval, se utiliza la espiral logarítmica para diseñar
hélices optimizadas que reducen el consumo de energía y mejoran la eficiencia
propulsiva.

Ingeniería Hidráulica

-Diseño de obras costeras: Ayuda a prever cómo las corrientes afectan la
sedimentación y erosión en costas y estructuras como espigones o rompeolas.
-Gestión de puertos y canales: Permite evaluar el transporte de sedimentos y
cómo las corrientes influyen en la navegación en puertos y canales.
-Desvío de flujos: Las estructuras inspiradas en la espiral logarítmica se
implementan para desviar flujos de agua o aire, como en las entradas de aire de
motores a reacción o en los sistemas de ventilación eficientes.
-Diseño de canales y turbinas hidráulicas: En canales curvados y turbinas
hidráulicas, las geometrías espirales logarítmicas contribuyen a una distribución
uniforme del flujo y minimizan las pérdidas por fricción.

Arquitectura y estructuras

-En ingeniería civil y arquitectura, la espiral logarítmica se utiliza en el diseño de
rampas helicoidales, escaleras y estructuras en espiral, ya que ofrecen un
equilibrio entre estética, estabilidad y funcionalidad.
Ejemplo: Rampas en estacionamientos o accesos para personas con movilidad
reducida.
-Cúpulas y techos: Los patrones espirales se utilizan para mejorar la distribución de
cargas en estructuras como cúpulas o techos arquitectónicos.

Energía renovable: Generación en sistemas solares

-Diseño de paneles solares: La disposición en espiral logarítmica de paneles solares en
campos fotovoltaicos permite una captación eficiente de luz, maximizando la
exposición en diferentes momentos del día.
-Sistemas de concentración solar: Los espejos concentradores en espiral logarítmica
optimizan el enfoque de la luz solar hacia los receptores térmicos.

Aeroespacial y astrofísica

-Diseño de sistemas de transporte aéreo: Aunque originalmente la espiral de Ekman se
aplica a fluidos líquidos, conceptos similares son relevantes en la atmósfera para
entender patrones de vientos y turbulencias.
-Estudio de la dispersión atmosférica: Permite modelar cómo se dispersan
contaminantes en la atmósfera, apoyando en el diseño de sistemas de mitigación.
-Trayectorias orbitales y lanzamiento de cohetes: En ingeniería aeroespacial, las
trayectorias de ciertos cohetes o sondas pueden planificarse siguiendo curvas
logarítmicas para optimizar el consumo de combustible y minimizar tensiones
estructurales.
-Diseño de satélites: Algunas antenas de los satélites adoptan configuraciones en
espiral logarítmica para una mejor cobertura direccional.

Sistemas de evacuación y seguridad

-Diseño de túneles: Los túneles de evacuación o de transporte en espiral aseguran un
flujo controlado de personas o vehículos, evitando aglomeraciones y manteniendo la
eficiencia en emergencias.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-06T15:57:50Z

Andres.ruiz.sanz: /* Aplicaciones de esta curva en ingeniería */

La espiral de Ekman(Grupo35)

2024-12-06T15:56:11Z

Andres.ruiz.sanz: /* Aplicaciones de esta curva en ingeniería */

2024-11-25T10:55:35Z

Andres.ruiz.sanz: Página creada con «{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | Teoría de Campos|2024-25 | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jim...»

Usuario:Andres.ruiz.sanz

2024-11-25T10:52:34Z

Andres.ruiz.sanz: Página blanqueada

Usuario:Andres.ruiz.sanz

2024-11-25T10:51:34Z

Andres.ruiz.sanz:

Usuario:Andres.ruiz.sanz

2024-11-25T10:46:32Z

Andres.ruiz.sanz: Página creada con «<pre><nowiki>{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | Teoría de Campos|2024-25 | Andrés Ruiz, Miguel Alvare...»

<pre><nowiki>{{ TrabajoED |La espiral de Ekman. Grupo 35 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Andrés Ruiz, Miguel Alvarez, Javier Jimeno, Mario Pastor, Pablo Alcaide}}</nowiki></pre>

<pre><nowiki>[[Categoría:Teoría de Campos]]</nowiki></pre>
<pre><nowiki>[[Categoría:TC24/25]]</nowiki></pre>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:49:42Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa(x=0 y x=12), y su valor corresponde a 0, correspondiendose con los colores mas fríos de la figura. .
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Por lo que el tensor deformación es: <math> є(\vec{u}) = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Aplicando la fórmula del tensor de tensiones, <math>\sigma = \left(\begin{matrix} \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} \frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>

Sumando sale que <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math>:

<math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math>:

<math> \vec j · \sigma · \vec j = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math>:

<math> \vec k · \sigma · \vec k = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:48:52Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa(x=0 y x=12), y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura. .
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Por lo que el tensor deformación es: <math> є(\vec{u}) = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Aplicando la fórmula del tensor de tensiones, <math>\sigma = \left(\begin{matrix} \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} \frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>

Sumando sale que <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math>:
<math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math>:
<math> \vec j · \sigma · \vec j = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math>:
<math> \vec k · \sigma · \vec k = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:48:31Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa(x=0 y x=12=, y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura. .
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Por lo que el tensor deformación es: <math> є(\vec{u}) = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Aplicando la fórmula del tensor de tensiones, <math>\sigma = \left(\begin{matrix} \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} \frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>

Sumando sale que <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math>:
<math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec j</math>:
<math> \vec j · \sigma · \vec j = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec k</math>:
<math> \vec k · \sigma · \vec k = 1/3\sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:47:23Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura. .
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Por lo que el tensor deformación es: <math> є(\vec{u}) = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Aplicando la fórmula del tensor de tensiones, <math>\sigma = \left(\begin{matrix} \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ & \\0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\ & \\0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) + \left (\begin{matrix} \frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>

Sumando sale que <math>σ</math> = <math> \left (\begin{matrix} (sin(\frac{πy}{12}) & (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ (\frac{πx}{36})cos(\frac{πy}{12}) & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & (\frac{1}{3})sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right)
</math>

El módulo de la tensión normal según la dirección <math>\vec i</math>:
<math> \vec i · \sigma · \vec i = \sin (\frac{y·\pi}{12}) </math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:40:53Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura. Observando la figura, también podemos apreciar como el cambio de volumen es notable atendiendo a como va cambiando el color de la figura, cuanto mayor es la coordenada ''Y'' del punto, más cálido es su color asignada y por tanto mayor es su volumen.

Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>
<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:40:37Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura. Observando la figura, también podemos apreciar como el cambio de volumen es notable atendiendo a como va cambiando el color de la figura, cuanto mayor es la coordenada ''Y'' del punto, más cálido es su color asignada y por tanto mayor es su volumen.
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

El valor máximo del rotacional es 0.0873 y se alcanza en los puntos (-1, 12) y (1, 0)

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>
<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 42)

2023-12-15T22:34:36Z

Andres.ruiz.sanz: /* Estudio de la divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(42)| [[:Categoría: Teoría de Campos| Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés Ruiz, Jorge Martin, Nadir Ahnihan}}

= Introducción =
La redacción de este artículo tiene por objetivo el estudio del desplazamiento que adquiere un sólido al someterse a la acción de un campo de fuerzas externas. Para ello, se tienen dos cantidades físicas dependientes de las variables x e y:

La temperatura
<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

El campo de desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}·sin(\pi\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> .

Tomando las variable del campo de desplazamientos los siguiente valores:

<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>;

<math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math>;

<math>k=1</math>;

Emplearemos el software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave, que nos simplifica las operaciones complejas y además nos periten generar figuras en 2D y 3D que ilustran a la perfección las cálculos analíticos.

= Representación de la placa rectangular plana.=
La figura adjunta ilustra un mallado que representa los puntos interiores del sólido. Tomando como superficie del mallado el rectángulo (x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
%Se define el paso de muestreo para las variables x e y
h=2/10;
%Se definen los parámetros que representan la superficie de la placa
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Se crea el mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Dibujo de la malla, al ser mesh() un comando que requiere tres elementos
%de entrada, se toma una de las creadas y se multiplica por 0
mesh(X,Y,Y*0)
%Se definen los ejes, el título y el visualizado en dos dimensiones
axis([-5,5,0,14]);
title('Mallado de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2);
}}

= Representaciones asociadas la temperatura=
Asociada a la ecuación de la temperatura <center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>
empelada para este estudio, vamos a visualizar dos representaciones asociadas:
== Curva de nivel ==
A continuación, vamos a dibujar las curvas de nivel asociadas a la temperatura,

<center> <math> T(x,y)=3log(1+(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math> </center>

Distinguiendo con una escala de colores los diferentes valores que toma, siendo los más cálidos los puntos en los que mayor temperatura alcanza, y los más fríos donde es menor la temperatura.

El valor máximo de la temperatura es 9.0027 y se obtiene en el punto (-1,0).

[[Archivo:Figuraej2a.png|miniaturadeimagen|Figura 2: Campo de temperaturas y sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la función temperatura, T
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se representan las curvas de nivel de la temperatura
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,T)
colorbar
view(2)
shading flat
subplot(1,2,2)
contour(X,Y,T,30)
title('Curvas de nivel')
%Tmax, valor máximo de la temperatura
Tmax=max(max(T))
}}

== Gradiente ==
El gradiente es una campo vectorial, que aplicado a la temperatura de nuestro estudio indica la razón del cambio de la temperatura del por unidad de distancia. El gradiente en coordenadas cartesianas se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\nabla T(x,y,z) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy} + \frac{d∂}{dz}</math></center>

 Si lo aplicamos a nuestro estudio, obtenemos que:
<center> <math>\nabla T(x,y) =\frac{d∂}{dx} +\frac{d∂}{dy}=>3 \cdot \frac{2(x-1)}{1+(x-1)^2} \vec i + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2} \vec j </math> </center>
 
Observamos gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.

[[Archivo:Figura2Apartado2b.png|miniaturadeimagen|izquierda| Figura 3: Gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:Figura1ej2b.png|miniaturadeimagen|derecha| Figura 4: Gradiente de la temperatura aumentado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
%Se calcula el gradiente de la temperatura
[TX,TY]=gradient(T);
%Se representa el gradiente sobre las curvas de nivel de la temperatura
hold on
quiver(X,Y,TX,TY)
contour(X,Y,T,30)
title('Gradiente de la temperatura')
hold off
}}

= Ley de Fourier=
Jean-Baptiste Joseph Fourier, fue un matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula
<center> <math>\vec Q = -k *\nabla T</math> </center>
 <center> (siendo k una constante con valor 1) </center>
Hemos calculamos esta energía calorífica aplicada a los datos de nuestro estudio y la hemos representado como un campo vectorial.

[[Archivo:figuraej3.png|miniaturadeimagen|Figura 5: Campo vectorial de la energía calorífica]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2);
[TX,TY]=gradient(T);
%Se calcula la energía calorífica, Q, por la Ley de Fourier
k=-1;
QX=k*TX;
QY=k*TY;
%Se dibuja Q como campo vectorial
quiver(X,Y,QX,QY)
title('Campo vectorial de la energía calorífica')
}}

= Campo de vectores=
A continuación, dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, cuando el tiempo es nulo, es decir, en t = 0.

[[Archivo:figuraej4.png|miniaturadeimagen|Figura 6: Campo de vectores en t=0]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen la variable a y las constantes d y k
a=X/3;
d=1/12;
k=1;
%Se definen los desplazamientos, u, para t=0;
ui=X/3.*sin(k*(pi*d).*Y);
uj=0.*Y;
%Se dibuja el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido
hold on
axis([-5,5,0,14]);
title('Campo de vectores en los puntos del mallado, en t=0')
view(2);
mesh(X,Y,Y*0)
quiver(X,Y,ui,uj,'Linewidth',1.5)
hold off
}}

= Desplazamiento del sólido =
Para este apartado, hemos representado en primer lugar el sólido en su posición inicial, es decir, antes de que el campo de fuerzas externo actúa sobre él, y en segunda estancia el solido desplazado debido a la acción de las fuerzas, en t=0 amabas figuras.

[[Archivo:Figuraej5.png|miniaturadeimagen|Figura 7: Comparación del sólido antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ui=X/3.*sin((pi/12).*Y);
uj=0.*Y;
%El vector posición en el instante inical, r0, es igual a Xi+Yj
%Se define el vector posición después del desplazamiento, rd
Xd=X+ui;
Yd=Y+uj;
%Se dibuja el mallado antes del desplazamiento
subplot(1,2,1)
mesh(X,Y,Y*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Antes del desplazamiento')
%Se dibuja el mallado después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(Xd,Yd,Yd*0)
view(2);
axis([-5,5,0,14]);
title('Después del desplazamiento')
}}

= Estudio de la divergencia =
Para ver la divergencia, vamos a dibujar <math>\nabla\cdot\vec u</math> en t = 0. Pudiendo apreciar en la grafica como la divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, que adopta la forma de una parábola con vértice en Y=6, donde la divergencia es máxima, y en la figura se corresponde con la tonalidad mas cálida mientras que el mínimo punto de divergencia de <math> \vec u </math> esta situado en los extremos de la placa, y su valor corresponde a 0 y se corresponde con los colores mas fríos de la figura.
Para el desarrollo de este apartado hemos utilizado que:

la divergencia: <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{\partial}{\partial{x}}({\frac{x}{3} ({sen(\frac{πy}{12}})})</math>, es decir, <math>\nabla\cdot\vec u= \frac{1}{3} ({sen(\frac{πy}{12}}) </math>
 

[[Archivo:Figuraej6.png|miniaturadeimagen|Figura 8: Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la divergencia del vector u en t=0
div=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la divergencia
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,div)
shading flat
title('Divergencia')
%Se dibuja la divergencia en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,div)
view(2)
shading flat
colorbar
%Se calculan los valores máximos y mínimos y los puntos nulos de la divergencia
DivMax=max(max(div))
DivMin=min(min(div))
%La divergencia es nula en los puntos mínimos
}}

= Rotacional de <math> \vec u </math>=

El rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. Viene determinad por la siguiente expresión:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

Si aplicamos esto a nuestro campo vectorial <math> \vec u </math>, en t=0, obtenemos:

<center> <math> \nabla×\vec u(x,y) = -\frac{\Pi \cdot x}{36} \cdot cos(\frac{\Pi\cdot y}{12}) \vec k</math> </center>

[[Archivo:Figure7campos.jpg|miniaturadeimagen|Figura 9: Módulo del rotacional]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define el rotacional de u en t=0
rot=((pi/36)*X).*cos((pi/12)*Y);
%Se dibuja el rotacional
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,rot)
shading flat
%Se dibuja el rotacional en 2D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,rot)
shading flat
view(2)
colorbar
title('Rotacional')
%Se calcula el valor máximo del rotacional
Rotmax=max(max(rot))

}}

= Tensiones tangenciales=
Definamos <math> є(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de ū conocido como
tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones σij a través de la fórmula
<math>σ=λ·\nabla·\vec u I+2με</math>,
donde 1 es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio R
3 y λ, µ son los
conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.
A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir ū no tiene componente en la dirección de
k)las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal
al plano de la placa. Tomando λ = µ = 1, dibujar las tensiones normales en la dirección que
marca el eje <math> \vec i </math>, es decir <math> \vec i · \sigma · \vec i </math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec j </math>, es decir
<math> \vec j · \sigma · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math> \vec k </math> , es decir <math> \vec k · \sigma · \vec k </math> (dibujar las que no son nulas).

Se calcula el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

[[Archivo:figure81.jpg|miniaturadeimagen|Figura 10: tension normal en la dirección i]] [[Archivo:figure82.jpg|miniaturadeimagen|Figura 11: tension normal en la dirección j]] [[Archivo:figure83.jpg|miniaturadeimagen|Figura 12: tension normal en la dirección k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se definen las tensiones normales en la dirección que marcan los ejes i, j
%y k
Ti=sin((pi/12)*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12)*Y);
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje i
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección i')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Ti)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje j
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección j')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tj)
shading flat
colorbar
view(2)
%Se dibuja la tensión normal en la dirección que marca el eje k
figure
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
title('Tensiones normales dirección k')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tk)
shading flat
colorbar
view(2)
}}

= Representación de las tensiones normales =

En primer lugar calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en
t = 0. Después dibujamos sólo las que no son nulas.

<math> \left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i}) \vec{i} \right|=\left| \left (\begin{matrix} sin(\frac{πy}{12}) & \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}) & 0 \\&\\ 0 & 0 & \frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12})\end{matrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} - sen(\frac{\pi y}{12})\cdot \begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix} \right |= \frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}) </math>

[[Archivo:Figuraej9.png|miniaturadeimagen| Figura 13: tensiones tangenciales en la dirección i en t=0, no nulas]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i en t=0
Tti=(pi/36)*X.*cos((pi/12)*Y);
%Se dibujan las tensiones tangeciales no nulas
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Tti)
shading flat
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Tti)
view(2)
colorbar
shading flat
title('Tensión tangencial dirección i')
}}

= Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>,
donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).En la figura adjunta, se puede diferenciar la distribución de la Tensión de Von Mises tanto en 3D como en 2D, ambas figuras coloreadas cada parte con el color correspondiente asociado a la tensión en ese punto, siendo los colores mas cálidos los que indican una mayor tensión de Von Mises y los mas fríos una menor Tensión de Von Mises, como indica la barra de color adjunta.

Siendo <math>σ=\begin{pmatrix} \sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 & 0\\ 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) & 0 \\ 0 & 0 & 1/3\sin(\frac{\pi*y}{12}) \end{pmatrix}</math>

Esta tensión alcanza su máximo en el punto 0.666667.

[[Archivo:Figuraej10.png|miniaturadeimagen|Figura 14: Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
clc
clear all
close all
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Ti=sin((pi/12).*Y);
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*Y);
%Se crean matrices de unos y ceros
TVM=ones(size(y,2),size(x,2));
M=zeros(3);
%Se nombran los valores de cada componente de la tensión de Von Mises
for i=1:length(y)
for j=1:length(x)
u=Ti(i,j);
v=Tj(i,j);
w=Tk(i,j);
M=[u 0 0; 0 v 0; 0 0 w];
%Se obtienen los autovalores
[p,e]=eig(M);
a1=e(1,1);
a2=e(2,2);
a3=e(3,3);
%Se calcula la tensión de Von Mises
VonMises=sqrt( ((a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2) * 1/2 );
TVM(i,j)=VonMises;
end
end
%Se dibuja la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,TVM)
shading flat
view(2)
colorbar
%Se calcula la tensión de Von Mises máxima
TVMmax=max(max(TVM))
}}

= Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
En la placa, actúa un campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>, que se aproxima por la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia del tensor de tensores, <math>σ</math>.

Siendo el vector <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(π\cdot k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> y los desplazamientos:
<math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math> , <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>;
Sustituyendo en el vector <math>\vec u</math>:

<math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Como resultado, el tensor deformaciones es:

<center> <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{\frac{2}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

Por lo tanto el tensor de tensiones y su divergencia son:

<center> <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ = \;
\begin{pmatrix}
{sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{\frac{πx}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math> </center>

<center> <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18} \cdot cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math> </center>

A continuación se calcula la derivada de segundo grado del vector <math>\vec u</math> en función de t:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= \frac{-vx}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Se sustituyen los términos calculados en la ecuación de elasticidad lineal con la condición que <math>\vec F</math>=0;

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2x}{3} (sin(\frac{πy}{12}-vt))\vec{i}. - \begin{pmatrix} \ \frac{-xπ^2}{432}sin(\frac{πy}{12}-vt)\vec{i} & \frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} =0 </math>

<math>\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)\vec{j}.</math> =0

Sí y solo sí <math>cos(\frac{πy}{12}-vt) </math>= 0

Como resultado da que la velocidad de propagación es <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

Si tomamos la onda longitudinal en lugar de transversal, es decir, con <math>\vec{a}=1/3 \vec{j} </math>

El vector <math>\vec{u}</math> es igual a:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

Siendo, por lo tanto, sus derivadas de primer y segundo orden:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}=\frac{-v}{3}cos (\frac{π \cdot y}{12}-vt)\vec{j}.</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}=\frac{-v^2}{3}(sin(\frac{π \cdot y}{12}-vt))\vec{j}.</math>

Siendo el nuevo tensor deformación: <math> Ԑ = \; \begin{pmatrix}
{0} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{π}{18}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {0}\\
\end{pmatrix} </math>

Siendo, en este caso, el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math> <math> \mathbb = \;
\begin{pmatrix}
{\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)} & {0} & {0}\\
{0} & {\frac{5π}{36}cos(\frac{πy}{12}-vt)} & {0}\\
{0} & {0} & {\frac{π}{36}sin(\frac{πy}{12}-vt)}\\
\end{pmatrix} </math>

Y su divergencia: <math> ∇· σ= \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Por último al usar la ecuación de la elasticidad lineal de nuevo:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ = \frac{-v^2}{3}(sin(\frac{\pi \cdot y}{12}-vt))\vec{j}. - \begin{pmatrix} \ 0\vec{i} & \frac{-5π^2}{432}sen(\frac{π*y}{12}-vt)\vec{j} & 0\vec{k} \end{pmatrix} </math>

Se llega a que el resultado de la velocidad de propagación no varía: <math>V= \frac{π}{12}\vec{j}.</math>

= Desplazamiento transversal=
Fijado ahora el punto (1/2, 1), hemos calculado en primera estancia el módulo del desplazamiento transversal (en la dirección <math>\vec{i}</math>
) a lo largo del tiempo (correspondiente al intervalo <math>t∈[0, 10]</math> y hemos representado la función que a cada t le asocia dicho
desplazamiento.
Sustituyendo la velocidad de propagación el vector de desplazamientos en el punto (1/2,1) es :

<math>\vec{u}(x,y)=\frac{x}{3}sen(\frac{π}{12}y-πvt)·\vec{i}</math>
.
[[Archivo:FiguraApartado12.png|miniaturadeimagen|Figura 15: Gráfica tiempo-desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Se define t
t=[0:h:10];
%Se define el desplazamiento en función de t
d=1/6*sin((pi/12)-pi.*t*(pi/12));
%Se dibuja la gráfica Tiempo-Desplazamiento
plot(t,d);
title('Desplazamiento en función del tiempo');
xlabel('Tiempo');
ylabel('Desplazamiento');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]