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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-12T22:35:22Z

Andrea: /* Tensiones */

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.

La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math> que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa.

Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Al calcular el rotacional del campo <math>|\nabla \times \vec u|</math> observamos que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

==Tensiones==
El campo vectorial de tensiones se reparte por la placa tal y como observamos en la siguiente figura, donde se muestra que ésta está concentrada en tres focos principales donde las tensiones son mayores.
[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro|Tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones]]

====Módulo de Tensiones====
Los valores que adoptan las tensiones en cada punto se pueden observar representando su módulo en una gráfica. De esta forma vemos claramente los tres focos principales en 'rojo' mientras que en el borde de la placa, donde esta toma unos colores 'azulados' las tensiones son casi nulas.
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones ]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones visto en planta]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:27:14Z

Andrea:

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.

La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math> que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa.

Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Al calcular el rotacional del campo <math>|\nabla \times \vec u|</math> observamos que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

==Tensiones==
El campo vectorial de tensiones se reparte por la placa tal y como observamos en la siguiente figura, donde se muestra que ésta está concentrada en tres focos principales donde las tensiones son mayores.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones]]

====Módulo de Tensiones====
Los valores que adoptan las tensiones en cada punto se pueden observar representando su módulo en una gráfica. De esta forma vemos claramente los tres focos principales en 'rojo' mientras que en el borde de la placa, donde esta toma unos colores 'azulados' las tensiones son casi nulas.
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones ]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones visto en planta]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:26:14Z

Andrea: /* =Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.

La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math> que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa.

Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Al calcular el rotacional del campo <math>|\nabla \times \vec u|</math> observamos que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

==Tensiones==
El campo vectorial de tensiones se reparte por la placa tal y como observamos en la siguiente figura, donde se muestra que ésta está concentrada en tres focos principales donde las tensiones son mayores.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones]]

====Módulo de Tensiones====
Los valores que adoptan las tensiones en cada punto se pueden observar representando su módulo en una gráfica. De esta forma vemos claramente los tres focos principales en 'rojo' mientras que en el borde de la placa, donde esta toma unos colores 'azulados' las tensiones son casi nulas.
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones ]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones visto en planta]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:20:52Z

Andrea: /* Campo de vibraciones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.

La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math> que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa.

Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Al calcular el rotacional del campo <math>|\nabla \times \vec u|</math> observamos que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:18:27Z

Andrea: /* Variación de temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.

La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:17:24Z

Andrea: /* Campo de Temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica su concentración en el origen, lo que hace que tome sus valores máximos en ρ=0.
La función esta expresada en polares y para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.
T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calculamos el gradiente de T para observar su variación y representamos también sus curvas de nivel, observando que estas son perpendiculares a los vectores que representan el campo vectorial de ∇T.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-10T13:12:22Z

Andrea: /* Placa de estudio */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa Circular]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:35:19Z

Andrea: /* Rotacional de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:34:35Z

Andrea: /* Placa de estudio */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|marco|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:34:18Z

Andrea: /* Campo de Temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|marco|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:33:47Z

Andrea: /* Variación de temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|marco|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:33:24Z

Andrea: /* Campo de vibraciones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|marco|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|marco|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:32:57Z

Andrea: /* =Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:32:26Z

Andrea: /* Rotacional de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|marco|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:29:27Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones=
En la primera imagen se observan las flechas del campo, donde podemos apreciar las diferentes intensidades de la tension (σ), la cual se reparte en tres focos principales.
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
Los mádulos de las tensiones nos permite observar los valores que éstas adoptan en cada punto del sólido, representando así la siguiente gráfica:
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
En esta última gráfica tenemos una visión en planta de la misma y se puede volver a observar las variación en el módulo de las tensiones, con sus tres focos destacados en 'rojo'.
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:10:22Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones Figure(1)]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones Figure(2)]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro|Módulo de tensiones 2D Figure(3)]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:09:15Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|marco|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|marco|centro|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:08:26Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|grandepx|marco|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|marco|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|grandepx|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:07:17Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|grandepx|marco|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|grandepx|miniaturadeimagen|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|grandepx|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:06:12Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|grandepx|marco]]
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|gigante|miniaturadeimagen|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:04:24Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|gigante|miniaturadeimagen|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:03:59Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|grande|miniaturadeimagen|centro|Módulo de las tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:03:17Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen|centro|grande]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:01:01Z

Andrea: /* Divergencia de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T19:00:22Z

Andrea: /* Divergencia de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{√g*}\frac{∂}{∂x^i}(√gu^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:55:36Z

Andrea:

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

==Tensiones==
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:44:32Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:44:07Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
[[Archivo:Ultimoapartado12.jpg|miniaturadeimagen]]
[[Archivo:Ultimoapartado11.jpg|miniaturadeimagen]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:42:39Z

Andrea: /* Rotacional de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:40:52Z

Andrea: /* Tensiones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)

Tensiones
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:39:38Z

Andrea: /* Rotacional de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)

==Tensiones==
[[Archivo:Ultimoapartado13.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo de tensiones]]
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Archivo:Ultimoapartado13.jpg

2013-12-09T18:36:59Z

Andrea:

Archivo:Ultimoapartado12.jpg

2013-12-09T18:36:16Z

Andrea:

Archivo:Ultimoapartado11.jpg

2013-12-09T18:35:53Z

Andrea:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:29:01Z

Andrea:

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));
figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])
M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));
figure(2)
surf(xx,yy,M)
figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T18:28:02Z

Andrea:

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:(2*pi+h);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
ww= -(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(cos(vv))-(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(sin(vv));
zz=-(1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2)).*(sin(vv))+(pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2)).*(cos(vv));

figure(1)
quiver(xx,yy,ww,zz)
axis([-3,3,-3,3])

M=sqrt(((1./(15*(uu.^2))).*(sin((pi*vv)/2))).^2+(((pi./(60*(uu))).*(cos((pi*vv)/2))).^2)./(uu.^2));

figure(2)
surf(xx,yy,M)

figure(3)
surf(xx,yy,M)
axis([-3,3,-3,3])

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:30:12Z

Andrea: /* Divergencia de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

====Rotacional de <math>\vec u</math> ====
Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:28:38Z

Andrea: /* Divergencia de \vec u */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia es nula. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero y además el cuerpo no sufre ningún cambio de volumen debido al desplazamiento.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:25:19Z

Andrea: /* Campo de vibraciones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

====Divergencia de <math>\vec u</math> ====
Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:22:22Z

Andrea: /* Campo de vibraciones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

Una vez este campo de fuerzas actúa sobre el sólido, éste sufre un desplazamiento tal y como observamos a continuación:

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:19:11Z

Andrea: /* Campo de vibraciones */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. que determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido cuando este actúa sobre la placa. Dibujamos a continuación el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:17:12Z

Andrea: /* Variación de temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

==Campo de vibraciones==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:16:11Z

Andrea: /* Introducción */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:15:13Z

Andrea: /* Variación de temperatura */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
<math>\nabla \cdot \vec u = \frac{1}{\frac{√g*∂}{∂x^i} }(√g*u^i)</math>

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:11:28Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Placa de estudio==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

==Campo de Temperatura==

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

====Variación de temperatura====

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
∇•u^→=1/√g*∂/(∂x^i )*(√g*u^i)

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

%% tensiones normales en la dirección de los ejes gro y gtheta/ro
sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);

sigmatheta = (1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2);
%% representación del mallado y de las tensiones en plano
figure(14)
subplot(2,2,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
view(14)
subplot(2,2,3);
mesh(xx,yy,sigmatheta);
view(14)
%% representación del mallado y de las tensiones en 3D
subplot(2,2,2);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(2,2,4);
mesh(xx,yy,sigmatheta);

sigmaro = (-1/(15.*uu.^2))*sin((pi.*vv)/2); %% tensión en dirección gro
subplot(1,3,1);
mesh(xx,yy,sigmaro);
subplot(1,3,2); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (3D)
tenstangencialplanoro=(((sin(pi.*vv))./40).*(uu.^(-1)+uu.^(-3)));
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro);
subplot(1,3,3); %% tensión tangencial respecto al plano ortogonal a gro (2D)
mesh(xx,yy,tenstangencialplanoro); colorbar
view(2);

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T12:05:27Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */

{{beta}}

==Introducción==
Este estudio consistirá en analizar el comportamiento de una placa circular frente a la acción de los diferentes campos que actúan sobre ella. Para ello los analizaremos y estudiaremos observando su variación mediante la representación gráfica de estos con la ayuda del programa informático MatLAB.

==Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
∇•u^→=1/√g*∂/(∂x^i )*(√g*u^i)

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T11:44:41Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */

{{beta}}

==Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.==

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1.
Dibujamos un mallado que representa los puntos interiores del sólido tomando como paso de muestreo h=1/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Placa 2D.jpeg|centrado|miniaturadeimagen|Placa]]

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

En ella tenemos definida la temperatura, que proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen y viene dada en función de ρ y θ como T(ρ,θ)=−log(ρ+0.1).
Observamos en la gráfica que al estar concentrada en el foco alcanza sus valores maximo para ρ=0. La función esta expresada en polares. Para trabajar en Matlab hay que pasarlo a coordenadas cartesianas.T(x,y)=-log⁡(√(x^2+y^2 )+0.1)

[[Archivo:Temperatura.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gráfica de la Temperatura]]

%Relación polares-cartesianas
r=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);
%Campo escalar T
figure(2)
T=-log(0.1+r);
surf(xx,yy,T)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)

Calcular ∇T y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que ∇T es ortogonal a dichas curvas.
La función T está expresada en polares.
Las curvas de nivel, junto con el gradiente, quedarían:

[[Archivo:Gyc.jpg|miniaturadeimagen|centrado|Gradiente y Curvas de Nivel]]

Tx=-1./(r.*(0.1+r)).*xx;
% derivada parcial en x
Ty=-1./(r.*(0.1+r)).*yy;
% derivada parcial en y
subplot(1,2,1),quiver(xx,yy,Tx,Ty)
axis([-3,3,-3,3])
% Región del gráfico
subplot(1,2,2),contour(xx,yy,T,10)
%dibujo curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
% representación campo vectorial u
figure(4)
% componente y de u
ux=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(xx./r);
% componente y de u
uy=sin(pi.*tt./2)./(30.*r).*(yy./r);
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campovectorial.jpg|miniaturadeimagen|centro|Campo Vectorial]]

figure(9)
m=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*xx','xx','yy');
n=inline('((sin((pi*atan(yy./xx)/2)))./(30*(xx.^2+yy.^2))).*yy','xx','yy');
M=m(xx,yy);
N=n(xx,yy);
quiver(xx,yy,M,N);
view(9);

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(ρ,θ,t), que depende de las dos coordenadas polares (ρ,θ) y el tiempo t, y los desplazamientos <math> \vec u (\rho,\theta,t) </math>. De esta forma, si definimos r0(ρ,θ) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto (ρ,θ) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por
<math> \vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t) </math>.
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un tiempo t0 dado vienen dados por <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta/2)}{30\rho}\vec g_{\rho}.
</math>
.

[[Archivo:Cincoo.jpg|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento de la malla]]

El programa utilizado ha sido:

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:2*pi+0.1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
subplot(1,2,1);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
subplot(1,2,2);
ux=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*cos(vv);
uy=((sin(pi*vv/2))./(30*uu)).*sin(vv);
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx);
axis([-3,3,-3,3]);

Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Para calcular la divergencia vamos a usar las coordenadas polares a través de la expresión:
∇•u^→=1/√g*∂/(∂x^i )*(√g*u^i)

La divergencia da como resultado cero. Por tanto podemos decir que el campo no es ni una fuente ni un sumidero.

Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:Rotacional.jpg|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del Campo u]]

El programa de Matlab utilizado ha sido:

figure(12);
%Función que resulta al multiplicar vectorialmente el operador Nabla y el campo u
r=inline('(pi*(cos(pi/2*atan(y./x))))./(60*sqrt(x.^2+y.^2))','x','y');
R=r(xx,yy);
surf(xx,yy,R);
axis([-3,3,-3,3]);
view(12);

En la imagen se observa que los puntos con mayor rotacional son aquellos en los que la malla ha sufrido el desplazamiento.

Apartado 8
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
%mallado de la gráfica
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
o=vv;
r=uu;
aa=(-cos(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*sin(o)*cos((pi*o/2));
bb=(-sin(o)/15*r^2)*sin((pi*o/2))-(pi/6*r)*cos(o)*cos((pi*o/2));
quiver(xx,yy,aa,bb)

[[Archivo:Det8.JPG|sinmarco|centro]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T11:42:11Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T11:41:11Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 21C

2013-12-09T11:40:47Z

Andrea: /* Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. */