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Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:25:16Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

[[Archivo:EDP_Trabajo_3-1(MAMBD).png|900px|thumb|left|Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD).]]

[[Categoría:EDP]]

[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:24:55Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

[[Archivo:EDP_Trabajo_3-1(MAMBD).png|900px|thumb|left|Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD).]]

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Archivo:EDP Trabajo 3-2(MAMBD).png

2025-04-28T08:24:14Z

Analía Olivero Betancor:

Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:23:58Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

[[Archivo:EDP_Trabajo_3-1(MAMBD).png|900px|thumb|left]]
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[[Categoría:EDP]]

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Archivo:EDP Trabajo 3-1(MAMBD).png

2025-04-28T08:23:07Z

Analía Olivero Betancor:

Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:18:46Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

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Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:17:20Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil García, Bárbara Jiménez Pérez y Daniel Marcos Viña }}

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Archivo:EDP Trabajo 3.png

2025-04-28T08:16:29Z

Analía Olivero Betancor:

Ecuación de Laplace y de Poisson (MAMBD)

2025-04-28T08:14:45Z

Analía Olivero Betancor: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo MAMBD | EDP|2024-25 | Matilde Rubio Arranz, Antonio Lozano Fernández, Marcos Gil Gar...»

Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:12:19Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED |
Ecuación de Laplace y de Poisson (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

[[Archivo:EDP_TRABAJO_3-2.png|900px|thumb|left|Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS).]]

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Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:12:01Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED |
Ecuación de Laplace y de Poisson (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

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Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:10:34Z

Analía Olivero Betancor:

Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:09:51Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

[[Archivo:EDP_TRABAJO_3-2.png]]

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[[Categoría:EDP24/25]]

Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:08:55Z

Analía Olivero Betancor:

{{ TrabajoEDP | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo CJMAS | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez

Javier Martínez

Marta de Miguel

Analía Olivero

Sofía de Benito}}

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[[Categoría:EDP]]
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Archivo:EDP TRABAJO 3-2.png

2025-04-28T08:08:29Z

Analía Olivero Betancor:

Ecuación de Laplace y de Poisson (CJMAS)

2025-04-28T08:06:14Z

Analía Olivero Betancor: Página creada con «{{ TrabajoEDP | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo CJMAS | EDP|2024-25 | Claudia Domínguez Javier Martínez Marta de M...»

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:39:34Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:39:23Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:39:05Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:38:31Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:38:16Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:36:39Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:36:05Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:35:28Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:35:07Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

\\

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

\\

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

\\

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:34:45Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:33:49Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:33:27Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Varianción de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|right|thumb|Varianción de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:26:21Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Al aumentar parámetros como <math>h</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:21:31Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gift|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:21:10Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Los coeficientes de Fourier quedan
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:evolucion_temperatura.gift|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:16:27Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

Al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:16:05Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|400px|center|thumb|Mapa de calor]]

Asimismo, al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas, variabilidad climática y otros fenómenos naturales, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:15:42Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|thumb|Mapa de calor]]

Asimismo, al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas, variabilidad climática y otros fenómenos naturales, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T13:15:11Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

Asimismo, al aumentar parámetros como <math>k</math> y <math>\alpha</math>, el calor se difunde más rápido, llegando antes a la solución estacionaria. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, mientras que un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor.

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas, variabilidad climática y otros fenómenos naturales, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:48:23Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en x=0, lo cual ocurre entre el ambiente y el medio. A mayor valor de h, el gradiente aumenta, ya que este parámetro modeliza la capacidad de transferir calor de un medio a otro. Por otro lado aumentar <math>k</math> reduce el gradiente ya que que reduce el gradiente necesario para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:45:53Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en x=0, lo cual ocurre entre el ambiente y el medio. A mayor valor de h, el gradiente aumenta, ya que este parámetro modeliza la capacidad de transferir calor de un medio a otro. Por otro lado aumentar <math>k</math> reduce el gradiente ya que que reduce el gradiente necesario para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:45:14Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en x=0, lo cual ocurre entre el ambiente y el medio. A mayor valor de h, el gradiente aumenta, ya que este parámetro modeliza la capacidad de transferir calor de un medio a otro. Por otro lado aumentar <math>k</math> reduce el gradiente ya que que reduce el gradiente necesario para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:42:05Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en x=0, lo cual ocurre entre el ambiente y el medio. A mayor valor de h, el gradiente aumenta, ya que este parámetro modeliza la capacidad de transferir calor de un medio a otro. Por otro lado aumentar <math>k</math> reduce el gradiente ya que que reduce el gradiente necesario para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:41:45Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en x=0, lo cual ocurre entre el ambiente y el medio. A mayor valor de h, el gradiente aumenta, ya que este parámetro modeliza la capacidad de transferir calor de un medio a otro. Por otro lado aumentar <math>k</math> reduce el gradiente ya que que reduce el gradiente necesario para la misma tasa de transferencia de calor.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <math> <center> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:40:45Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar
<math> 6 \cdot 10^7</math>

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7</math> </center>horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb| <math> <center> t_{max}= 6 \cdot 10^{10}</math></center> horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12}</math> </center> horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15}</math></center> horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:39:13Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar
<math> 6 \cdot 10^7</math>

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <math> t_{max}=6 \cdot 10^7</math> horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10}</math> horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12}</math> horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15}</math> horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:38:38Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar
<math> 6 \cdot 10^7</math>

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^7</math> horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{10}</math> horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{12}</math> horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{15}</math> horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:38:21Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar
<math> 6 \cdot 10^7</math>

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^7</math> horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{10}</math> horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{12}</math>} \] horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math> 6 \cdot 10^{15}</math> horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:37:01Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde tenemos que se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo \[t = 6 \cdot 10^7 \] horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo \[t = 6 \cdot 10^{10} \] horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo \[ t = 6 \cdot 10^{12} \] horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo \[t = 6 \cdot 10^{15}\] horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:35:44Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1000 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math>t = 6 \cdot 10^7 </math> horas]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math>t = 6 \cdot 10^{10} </math> horas]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Tiempo máximo <math>t = 6 \cdot 10^{12} </math> horas]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Tiempo máximo <math>t = 6 \cdot 10^{15}</math> horas]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:32:13Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1000 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha</math> y <math>k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k</math>, <math>h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:31:28Z

Analía Olivero Betancor: /* Códigos */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1000 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha y k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k,h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:30:53Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha y k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k,h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol2.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol6.png|400px|right|thumb|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T12:28:49Z

Analía Olivero Betancor: /* Conclusión */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica tenemos que la ecuación de transmisión del calor en el océano es la siguiente:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>) la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente luego la condición en de esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria está dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

La solución general del problema, resuelta mediante separación de variables, es
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

con <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, dónde <math>\beta_n</math> cumple que <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. En cuanto a los coeficientes de Fourier,
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

De este modo, la solución quedaría como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomando x=0 como el fondo y x=1 como la superficie, tenemos que en x=1 se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito, lo que lleva a que la temperatura de océano tome el mismo valor que la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria:

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
El mapa de calor proporciona otra perspectiva de cómo la temperatura converge en tiempo hacia la temperatura ambiente, es decir, la solución estacionaria de la EDP. La interpretación física de esto reside en el hecho de considerar la temperatura ambiente como una fuente de calor inalterable, de forma que la transferencia de calor ocurre del ambiente a nuestro medio, hasta llegar a la solución estacionaria, donde las derivadas parciales respecto a tiempo y posición son cero. Al cambiar los parámetros anteriormente detallados de la EDP, la forma de la solución cambia. Modificando <math>\alpha y k</math>, las cuales son dependientes entre ellas y reflejan la capacidad del medio de transmitir calor por sí mismo, podemos alterar el ritmo al cual el calor se transfiere por el medio. Por otro lado, en la condición frontera de la superficie vienen reflejadas <math>k,h</math>. Aumentar

[[Archivo:Evol1.png|400px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]