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La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-11T17:35:37Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín}}

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos.
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

Podemos definir la clotoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>
 

=Dibujo de la curva=

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, con valores:
a=0;
b=5;
N=1000 (número de puntos). Por lo tanto, la curva se expresa con:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
 
 

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:
[[File:Dibujo_curva_1.png|650px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
% Definimos los extremos del intervalo de integración
s_prev = t(i-1);
s_curr = t(i);

% Calculamos las funciones en los extremos
f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);

% Aproximamos integrales con el método del trapecio
x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t)');
grid on;
axis equal;
}}

=Vectores velocidad y aceleración=
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
*El vector velocidad se define como:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
*El vector aceleración se define como:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
 
Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:
 
[[Archivo:vel_acel_1.png|500px|thumb|right|Figura 2: Velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

}}

=Longitud de la curva=
Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe. 
En nuestro caso, elegimos la parametrización: 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes: 
==Calculo de forma teorica==

<center><math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{5}1dt= 5-(0)= 5 </math></center>

==Calculo mediante métodos numéricos==
===Método del rectángulo===

{{matlab|codigo=
% Parámetros
L = 5;
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);
}}
===Método del trapecio===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización

% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y

% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);

% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));

% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);
}}

=Vectores tangentes y normal=
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos las siguientes fórmulas:
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:Curva,_Tangente_y_Normal.png|500px|thumb|right|Figura 3: Curva, Tangente y Normal]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos vector tagente y normal
% TANGENTE
tanx = cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
% NORMAL
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'r', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos vector tangente
quiver(x,y,tanx,tany, 'b');

% Dibujamos vector normal
quiver(x,y,nx,ny, 'g');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Tangente y Normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Curvatura=
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 5 segundos.
[[Archivo:Curvatura_clotoide.png|400px|thumb|right|Figura 4: Curvatura clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro t
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t

% Calculamos la curvatura
k = t;

% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (2)</math> , es decir <math>t=2s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(2)=\frac{1}{2}</math> </center> 
<center><math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=2s</math>, primero definimos la curva de 0 a 2 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:Circunferencia_osculatriz_y_clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t_osculatriz = 2; % Tiempo de la circunferencia osculatriz

% Punto de la clotoide para t_osculatriz (t=2)
% calcular posición de t = 2
O = 2/(5/N);

P = [x(O),y(O)]; % punto en el que t = 2

% Vector normal calculado antes para t_osculatriz (t=2)
n = [-sin(t_osculatriz.^2/2),cos(t_osculatriz.^2/2)];

% Aplicación t=2
k_osculatriz = t_osculatriz;
R = 1/2;

% FÓRMULA CENTRO
Q = P + R*n;

% Conversión a polares
tp = linspace(0,2*pi,100);

% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xp=R*cos(tp)+Q(1);

% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yp=R*sin(tp)+Q(2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'g', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos osculatriz
plot(P(1), P(2),'+','LineWidth',1.5);
plot(xp,yp,'--','Color','b','LineWidth',1.5);

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
legend('Curva', 'P(t = 2)', 'Osculatriz','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Información de interés=
La clotoide describe el fenómeno de transición suave en trayectorias curvas, es decir entre estados con diferentes radios de curvatura.

Diseño de Carreteras: 
En el diseño de vías terrestres, las clotoides se emplean como curvas de transición entre tramos rectos y curvos. Ayudan a: reducir el riesgo de accidentes al permitir un cambio progresivo en la dirección, minimizar el desgaste del pavimento, ya que la carga sobre el camino se distribuye mejor y mejorar la experiencia del conductor, al evitar cambios bruscos que podrían ser incómodos o peligrosos. 

Diseño de Vías Férreas: 
En los ferrocarriles, las clotoides permiten una transición suave en las curvas, evitando descarrilamientos y distribuyendo las fuerzas de manera uniforme sobre los rieles.

Aplicaciones en Puentes y Túneles: 
En la ingeniería de puentes y túneles, las clotoides garantizan transiciones suaves en las trayectorias de acceso.
Facilitan el mantenimiento y reducen la fatiga estructural debido a cargas dinámicas.

Diseño de curvas en canales de navegación: 
En vías navegables, como ríos y canales, las clotoides permiten una transición gradual entre secciones rectas y curvas. Esto es esencial para garantizar que las embarcaciones puedan maniobrar con seguridad, especialmente en canales estrechos. Ayudan a mantener un flujo de agua más estable, minimizando turbulencias en los cambios de dirección, lo que reduce la erosión en las paredes del canal y mejora la navegabilidad.

=Estructura civil=
[[Archivo:puente_confederacion_2.png|400px|thumb|left|La clotoide en puente confederación (Canadá)]]
[[Archivo:autovia_del_cantabrico.jpg|450px|thumb|center|La clotoide en autovía del cantábrico (España)]]
[[Archivo:puerto_róterdam.jpg|400px|thumb|left|La clotoide en puerto róterdam (Paises Bajos)]]
[[Archivo:aeropuerto_kansai.png|450px|thumb|center|La clotoide en aeropuerto kansai (Japón)]]
 
 

=Parametrización en cartesianas=

Ahora consideramos la curva parametrizada por: 

<center> <math> γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcost,tsint,t),\hspace{3cm}t∈(2π,6π) </math> </center>

Se define la superficie reglada asociada a dicha parametrización mediante segmentos de longitud 1 con vector director eρ como aquella parametrizada por : 

<center><math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v).\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>.</center> 

Para llegar a la parametrización deseada, pasamos el vector director eρ a coordenadas cartesianas con la matriz cambio de base:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx & -senx &0 \\ senx & cosx & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx\\ senx\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline cosx\overline{i}+senx\overline{j}</math>
</center>
 
Si finalmente aplicamos la definición antes descrita, nuestra hélice queda parametrizada como: 

<center><math>\phi (u,v)=cosv·(v+u)\overline{i}+senv·(v+u)\overline{j}+v\overline{k},\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>
 
</center>
y podemos representarla gráficamente con este código de matlab.
[[Archivo:superficiereglada33.jpg|300px|thumb|right|Figura 2: Superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
% Definir los rangos de u y v
v= (2.*pi:0.01:6.*pi) ;
u= (0:0.01:1);

% Crear una malla de valores para u y v
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Calcular las coordenadas
X = cos(V) .* (V + U);
Y = sin(V) .* (V + U);
Z = V;

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada');
axis equal; % Escala uniforme

}}

=Masa de la superficie reglada=
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=100-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+99</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+99)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 1870
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n=100;

% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n;
h2=(6*pi-2*pi)/n;

u=0:h1:1;
v=2*pi:h2:6*pi;

% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

%Cálculos
%area de cada subrectangulo
area=2*2/(n^2);

vol_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n

f=(-uu.^2-2.*uu+99).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));

%área
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(n1+1)=1/2;
area = f*w1;

%altura
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(n2+1)=1/2;
altura = h1*h2*w2';

%volumen del prisma y suma acumulada
vol_prisma=area*altura;
vol_acumulado=vol_acumulado+vol_prisma;

end
end
int=vol_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-11T17:31:19Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín}}

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos.
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

Podemos definir la clotoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>
 

=Dibujo de la curva=

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, con valores:
a=0;
b=5;
N=1000 (número de puntos). Por lo tanto, la curva se expresa con:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
 
 

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:
[[File:Dibujo_curva_1.png|650px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
% Definimos los extremos del intervalo de integración
s_prev = t(i-1);
s_curr = t(i);

% Calculamos las funciones en los extremos
f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);

% Aproximamos integrales con el método del trapecio
x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t)');
grid on;
axis equal;
}}

=Vectores velocidad y aceleración=
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
*El vector velocidad se define como:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
*El vector aceleración se define como:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
 
Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:
 
[[Archivo:vel_acel_1.png|500px|thumb|right|Figura 2: Velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

}}

=Longitud de la curva=
Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe. 
En nuestro caso, elegimos la parametrización: 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes: 
==Calculo de forma teorica==

<center><math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{5}1dt= 5-(0)= 5 </math></center>

==Calculo mediante métodos numéricos==
===Método del rectángulo===

{{matlab|codigo=
% Parámetros
L = 5;
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);
}}
===Método del trapecio===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización

% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y

% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);

% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));

% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);
}}

=Vectores tangentes y normal=
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos las siguientes fórmulas:
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:Curva,_Tangente_y_Normal.png|500px|thumb|right|Figura 3: Curva, Tangente y Normal]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos vector tagente y normal
% TANGENTE
tanx = cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
% NORMAL
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'r', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos vector tangente
quiver(x,y,tanx,tany, 'b');

% Dibujamos vector normal
quiver(x,y,nx,ny, 'g');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Tangente y Normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Curvatura=
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 5 segundos.
[[Archivo:Curvatura_clotoide.png|400px|thumb|right|Figura 4: Curvatura clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro t
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t

% Calculamos la curvatura
k = t;

% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (2)</math> , es decir <math>t=2s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(2)=\frac{1}{2}</math> </center> 
<center><math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=2s</math>, primero definimos la curva de 0 a 2 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:Circunferencia_osculatriz_y_clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t_osculatriz = 2; % Tiempo de la circunferencia osculatriz

% Punto de la clotoide para t_osculatriz (t=2)
% calcular posición de t = 2
O = 2/(5/N);

P = [x(O),y(O)]; % punto en el que t = 2

% Vector normal calculado antes para t_osculatriz (t=2)
n = [-sin(t_osculatriz.^2/2),cos(t_osculatriz.^2/2)];

% Aplicación t=2
k_osculatriz = t_osculatriz;
R = 1/2;

% FÓRMULA CENTRO
Q = P + R*n;

% Conversión a polares
tp = linspace(0,2*pi,100);

% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xp=R*cos(tp)+Q(1);

% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yp=R*sin(tp)+Q(2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'g', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos osculatriz
plot(P(1), P(2),'+','LineWidth',1.5);
plot(xp,yp,'--','Color','b','LineWidth',1.5);

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
legend('Curva', 'P(t = 2)', 'Osculatriz','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Información de interés=
La clotoide describe el fenómeno de transición suave en trayectorias curvas, es decir entre estados con diferentes radios de curvatura.

Diseño de Carreteras: 
En el diseño de vías terrestres, las clotoides se emplean como curvas de transición entre tramos rectos y curvos. Ayudan a: reducir el riesgo de accidentes al permitir un cambio progresivo en la dirección, minimizar el desgaste del pavimento, ya que la carga sobre el camino se distribuye mejor y mejorar la experiencia del conductor, al evitar cambios bruscos que podrían ser incómodos o peligrosos. 

Diseño de Vías Férreas: 
En los ferrocarriles, las clotoides permiten una transición suave en las curvas, evitando descarrilamientos y distribuyendo las fuerzas de manera uniforme sobre los rieles.

Aplicaciones en Puentes y Túneles: 
En la ingeniería de puentes y túneles, las clotoides garantizan transiciones suaves en las trayectorias de acceso.
Facilitan el mantenimiento y reducen la fatiga estructural debido a cargas dinámicas.

Diseño de curvas en canales de navegación: 
En vías navegables, como ríos y canales, las clotoides permiten una transición gradual entre secciones rectas y curvas. Esto es esencial para garantizar que las embarcaciones puedan maniobrar con seguridad, especialmente en canales estrechos. Ayudan a mantener un flujo de agua más estable, minimizando turbulencias en los cambios de dirección, lo que reduce la erosión en las paredes del canal y mejora la navegabilidad.

=Estructura civil=
[[Archivo:puente_confederacion_2.png|400px|thumb|left|La clotoide en puente confederación (Canadá)]]
[[Archivo:autovia_del_cantabrico.jpg|450px|thumb|center|La clotoide en autovía del cantábrico (España)]]
[[Archivo:puerto_róterdam.jpg|400px|thumb|left|La clotoide en puerto róterdam (Paises Bajos)]]
[[Archivo:aeropuerto_kansai.png|450px|thumb|center|La clotoide en aeropuerto kansai (Japón)]]
 
 

=Parametrización en cartesianas=

Ahora consideramos la curva parametrizada por: 

<center> <math> γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcost,tsint,t),\hspace{3cm}t∈(2π,6π) </math> </center>

Se define la superficie reglada asociada a dicha parametrización mediante segmentos de longitud 1 con vector director eρ como aquella parametrizada por : 

<center><math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v).\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>.</center> 

Para llegar a la parametrización deseada, pasamos el vector director eρ a coordenadas cartesianas con la matriz cambio de base:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx & -senx &0 \\ senx & cosx & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx\\ senx\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline cosx\overline{i}+senx\overline{j}</math>
</center>
 
Si finalmente aplicamos la definición antes descrita, nuestra hélice queda parametrizada como: 

<center><math>\phi (u,v)=cosv·(v+u)\overline{i}+senv·(v+u)\overline{j}+v\overline{k},\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>
 
</center>
y podemos representarla gráficamente con este código de matlab.
[[Archivo:superficiereglada33.jpg|300px|thumb|right|Figura 2: Superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
% Definir los rangos de u y v
v= (2.*pi:0.01:6.*pi) ;
u= (0:0.01:1);

% Crear una malla de valores para u y v
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Calcular las coordenadas
X = cos(V) .* (V + U);
Y = sin(V) .* (V + U);
Z = V;

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada');
axis equal; % Escala uniforme

}}
[[Archivo:escaleradebramante.jpg|400px|thumb|left|Scala Elicoidale Momo, Ciudad del Vaticano ]]

=Masa de la superficie reglada=
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=100-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+99</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+99)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 1870
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n=100;

% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n;
h2=(6*pi-2*pi)/n;

u=0:h1:1;
v=2*pi:h2:6*pi;

% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

%Cálculos
%area de cada subrectangulo
area=2*2/(n^2);

vol_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n

f=(-uu.^2-2.*uu+99).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));

%área
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(n1+1)=1/2;
area = f*w1;

%altura
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(n2+1)=1/2;
altura = h1*h2*w2';

%volumen del prisma y suma acumulada
vol_prisma=area*altura;
vol_acumulado=vol_acumulado+vol_prisma;

end
end
int=vol_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-11T17:28:38Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín}}

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos.
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

Podemos definir la clotoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>
 

=Dibujo de la curva=

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, con valores:
a=0;
b=5;
N=1000 (número de puntos). Por lo tanto, la curva se expresa con:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
 
 

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:
[[File:Dibujo_curva_1.png|650px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
% Definimos los extremos del intervalo de integración
s_prev = t(i-1);
s_curr = t(i);

% Calculamos las funciones en los extremos
f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);

% Aproximamos integrales con el método del trapecio
x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t)');
grid on;
axis equal;
}}

=Vectores velocidad y aceleración=
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
*El vector velocidad se define como:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
*El vector aceleración se define como:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
 
Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:
 
[[Archivo:vel_acel_1.png|500px|thumb|right|Figura 2: Velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

}}

=Longitud de la curva=
Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe. 
En nuestro caso, elegimos la parametrización: 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes: 
==Calculo de forma teorica==

<center><math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{5}1dt= 5-(0)= 5 </math></center>

==Calculo mediante métodos numéricos==
===Método del rectángulo===

{{matlab|codigo=
% Parámetros
L = 5;
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);
}}
===Método del trapecio===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización

% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y

% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);

% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));

% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);
}}

=Vectores tangentes y normal=
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos las siguientes fórmulas:
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:Curva,_Tangente_y_Normal.png|500px|thumb|right|Figura 3: Curva, Tangente y Normal]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos vector tagente y normal
% TANGENTE
tanx = cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
% NORMAL
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'r', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos vector tangente
quiver(x,y,tanx,tany, 'b');

% Dibujamos vector normal
quiver(x,y,nx,ny, 'g');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Tangente y Normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Curvatura=
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 5 segundos.
[[Archivo:Curvatura_clotoide.png|400px|thumb|right|Figura 4: Curvatura clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro t
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t

% Calculamos la curvatura
k = t;

% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (2)</math> , es decir <math>t=2s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(2)=\frac{1}{2}</math> </center> 
<center><math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=2s</math>, primero definimos la curva de 0 a 2 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:Circunferencia_osculatriz_y_clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t_osculatriz = 2; % Tiempo de la circunferencia osculatriz

% Punto de la clotoide para t_osculatriz (t=2)
% calcular posición de t = 2
O = 2/(5/N);

P = [x(O),y(O)]; % punto en el que t = 2

% Vector normal calculado antes para t_osculatriz (t=2)
n = [-sin(t_osculatriz.^2/2),cos(t_osculatriz.^2/2)];

% Aplicación t=2
k_osculatriz = t_osculatriz;
R = 1/2;

% FÓRMULA CENTRO
Q = P + R*n;

% Conversión a polares
tp = linspace(0,2*pi,100);

% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xp=R*cos(tp)+Q(1);

% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yp=R*sin(tp)+Q(2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'g', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos osculatriz
plot(P(1), P(2),'+','LineWidth',1.5);
plot(xp,yp,'--','Color','b','LineWidth',1.5);

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
legend('Curva', 'P(t = 2)', 'Osculatriz','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Información de interés=
La clotoide describe el fenómeno de transición suave en trayectorias curvas, es decir entre estados con diferentes radios de curvatura.

Diseño de Carreteras: 
En el diseño de vías terrestres, las clotoides se emplean como curvas de transición entre tramos rectos y curvos. Ayudan a: reducir el riesgo de accidentes al permitir un cambio progresivo en la dirección, minimizar el desgaste del pavimento, ya que la carga sobre el camino se distribuye mejor y mejorar la experiencia del conductor, al evitar cambios bruscos que podrían ser incómodos o peligrosos. 

Diseño de Vías Férreas: 
En los ferrocarriles, las clotoides permiten una transición suave en las curvas, evitando descarrilamientos y distribuyendo las fuerzas de manera uniforme sobre los rieles.

Aplicaciones en Puentes y Túneles: 
En la ingeniería de puentes y túneles, las clotoides garantizan transiciones suaves en las trayectorias de acceso.
Facilitan el mantenimiento y reducen la fatiga estructural debido a cargas dinámicas.

Diseño de curvas en canales de navegación: 
En vías navegables, como ríos y canales, las clotoides permiten una transición gradual entre secciones rectas y curvas. Esto es esencial para garantizar que las embarcaciones puedan maniobrar con seguridad, especialmente en canales estrechos. Ayudan a mantener un flujo de agua más estable, minimizando turbulencias en los cambios de dirección, lo que reduce la erosión en las paredes del canal y mejora la navegabilidad.

=Estructura civil=
[[Archivo:puente_confederacion_2.png|400px|thumb|left|La clotoide en puente confederación (Canadá)]]
[[Archivo:autovia_del_cantabrico.jpg|450px|thumb|center|La clotoide en autovía del cantábrico (España)]]
[[Archivo:puerto_róterdam.jpg|400px|thumb|left|La clotoide en puerto róterdam (Paises Bajos)]]
[[Archivo:aeropuerto_kansai.png|450px|thumb|center|La clotoide en aeropuerto kansai (Japón)]]
 
 

=Parametrización en cartesianas=

Ahora consideramos la curva parametrizada por: 

<center> <math> γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcost,tsint,t),\hspace{3cm}t∈(2π,6π) </math> </center>

Se define la superficie reglada asociada a dicha parametrización mediante segmentos de longitud 1 con vector director eρ como aquella parametrizada por : 

<center><math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v).\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>.</center> 

Para llegar a la parametrización deseada, pasamos el vector director eρ a coordenadas cartesianas con la matriz cambio de base:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx & -senx &0 \\ senx & cosx & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx\\ senx\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline cosx\overline{i}+senx\overline{j}</math>
</center>
 
Si finalmente aplicamos la definición antes descrita, nuestra hélice queda parametrizada como: 

<center><math>\phi (u,v)=cosv·(v+u)\overline{i}+senv·(v+u)\overline{j}+v\overline{k},\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>
 
</center>
y podemos representarla gráficamente con este código de matlab.
[[Archivo:superficiereglada33.jpg|300px|thumb|right|Figura 2: Superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
% Definir los rangos de u y v
v= (2.*pi:0.01:6.*pi) ;
u= (0:0.01:1);

% Crear una malla de valores para u y v
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Calcular las coordenadas
X = cos(V) .* (V + U);
Y = sin(V) .* (V + U);
Z = V;

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada');
axis equal; % Escala uniforme

}}
[[Archivo:escaleradebramante.jpg|400px|thumb|left|Scala Elicoidale Momo, Ciudad del Vaticano ]]
[[Archivo:engranaje.jpg|300px|thumb|right|Engranaje]]

=Masa de la superficie reglada=
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=100-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+99</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+99)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 1870
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n=100;

% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n;
h2=(6*pi-2*pi)/n;

u=0:h1:1;
v=2*pi:h2:6*pi;

% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

%Cálculos
%area de cada subrectangulo
area=2*2/(n^2);

vol_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n

f=(-uu.^2-2.*uu+99).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));

%área
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(n1+1)=1/2;
area = f*w1;

%altura
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(n2+1)=1/2;
altura = h1*h2*w2';

%volumen del prisma y suma acumulada
vol_prisma=area*altura;
vol_acumulado=vol_acumulado+vol_prisma;

end
end
int=vol_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Engranaje.jpg

2024-12-11T17:18:02Z

Ana.rua:

Archivo:Escaleradebramante.jpg

2024-12-11T17:14:16Z

Ana.rua:

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-08T12:15:29Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 10 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín}}

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos.
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

Podemos definir la clotoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>
 

=Dibujo de la curva=

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, con valores:
a=0;
b=5;
N=1000 (número de puntos). Por lo tanto, la curva se expresa con:
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
 
 

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:
[[File:Dibujo_curva_1.png|650px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
% Definimos los extremos del intervalo de integración
s_prev = t(i-1);
s_curr = t(i);

% Calculamos las funciones en los extremos
f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);

% Aproximamos integrales con el método del trapecio
x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t)');
grid on;
axis equal;
}}

=Vectores velocidad y aceleración=
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.
 
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) </math> </center>
 
*El vector velocidad se define como:
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
*El vector aceleración se define como:
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) </math>
 
 
Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:
 
[[Archivo:vel_acel_1.png|500px|thumb|right|Figura 2: Velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

}}

=Longitud de la curva=
Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe. 
En nuestro caso, elegimos la parametrización: 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,5) </math> </center>
Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes: 
==Calculo de forma teorica==

<center><math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{5}1dt= 5-(0)= 5 </math></center>

==Calculo mediante métodos numéricos==
===Método del rectángulo===

{{matlab|codigo=
% Parámetros
L = 5;
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);
}}
===Método del trapecio===
{{matlab|codigo=
% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización

% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y

% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);

% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));

% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);
}}

=Vectores tangentes y normal=
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos las siguientes fórmulas:
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:Curva,_Tangente_y_Normal.png|500px|thumb|right|Figura 3: Curva, Tangente y Normal]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos vector tagente y normal
% TANGENTE
tanx = cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
% NORMAL
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'r', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos vector tangente
quiver(x,y,tanx,tany, 'b');

% Dibujamos vector normal
quiver(x,y,nx,ny, 'g');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Tangente y Normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Curvatura=
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 5 segundos.
[[Archivo:Curvatura_clotoide.png|400px|thumb|right|Figura 4: Curvatura clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro t
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t

% Calculamos la curvatura
k = t;

% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

=Circunferencia osculatriz=
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (2)</math> , es decir <math>t=2s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(2)=\frac{1}{2}</math> </center> 
<center><math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=2s</math>, primero definimos la curva de 0 a 2 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:Circunferencia_osculatriz_y_clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros
t_osculatriz = 2; % Tiempo de la circunferencia osculatriz

% Punto de la clotoide para t_osculatriz (t=2)
% calcular posición de t = 2
O = 2/(5/N);

P = [x(O),y(O)]; % punto en el que t = 2

% Vector normal calculado antes para t_osculatriz (t=2)
n = [-sin(t_osculatriz.^2/2),cos(t_osculatriz.^2/2)];

% Aplicación t=2
k_osculatriz = t_osculatriz;
R = 1/2;

% FÓRMULA CENTRO
Q = P + R*n;

% Conversión a polares
tp = linspace(0,2*pi,100);

% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xp=R*cos(tp)+Q(1);

% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yp=R*sin(tp)+Q(2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'g', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos osculatriz
plot(P(1), P(2),'+','LineWidth',1.5);
plot(xp,yp,'--','Color','b','LineWidth',1.5);

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
legend('Curva', 'P(t = 2)', 'Osculatriz','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg
}}

=Información de interés=
Curvas de transición:

En carreteras, las clotoides conectan tramos rectos con curvas circulares, asegurando que la curvatura cambie progresivamente. Esto reduce los tirones bruscos y mejora la comodidad y la seguridad de los conductores.
Se emplean en autopistas, intersecciones y rampas para garantizar un flujo vehicular uniforme. 

Diseño geométrico: 

Las clotoides son fundamentales en los trazados planimétricos y altimétricos de carreteras, ajustándose a las normas de diseño vial para optimizar la seguridad y eficiencia del transporte. 

Diseño de curvas en canales de navegación: 

En vías navegables, como ríos y canales, las clotoides permiten una transición gradual entre secciones rectas y curvas. Esto es esencial para garantizar que las embarcaciones puedan maniobrar con seguridad, especialmente en canales estrechos.
Flujo uniforme: 

Ayudan a mantener un flujo de agua más estable, minimizando turbulencias en los cambios de dirección, lo que reduce la erosión en las paredes del canal y mejora la navegabilidad. 

Trazado de accesos marítimos:
 

En puertos, las clotoides se utilizan para diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones. Estas curvas permiten movimientos seguros y eficientes en áreas congestionadas, como dársenas o terminales portuarias. 

Rompeolas curvos:
 

Las clotoides pueden ser útiles en la construcción de rompeolas curvados, optimizando la interacción entre las estructuras y las olas para dispersar la energía de estas últimas de manera más eficiente.

=Estructura civil=
[[Archivo:puente_confederacion_2.png|400px|thumb|left|La clotoide en puente confederación (Canadá)]]
[[Archivo:autovia_del_cantabrico.jpg|450px|thumb|center|La clotoide en autovía del cantábrico (España)]]
[[Archivo:puerto_róterdam.jpg|400px|thumb|left|La clotoide en puerto róterdam (Paises Bajos)]]
[[Archivo:aeropuerto_kansai.png|450px|thumb|center|La clotoide en aeropuerto kansai (Japón)]]
 
 

=Parametrización en cartesianas=

Ahora consideramos la curva parametrizada por: 

<center> <math> γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcost,tsint,t),\hspace{3cm}t∈(2π,6π) </math> </center>

Se define la superficie reglada asociada a dicha parametrización mediante segmentos de longitud 1 con vector director eρ como aquella parametrizada por : 

<center><math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v).\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>.</center> 

Para llegar a la parametrización deseada, pasamos el vector director eρ a coordenadas cartesianas con la matriz cambio de base:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx & -senx &0 \\ senx & cosx & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cosx\\ senx\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline cosx\overline{i}+senx\overline{j}</math>
</center>
 
Si finalmente aplicamos la definición antes descrita, nuestra hélice queda parametrizada como: 

<center><math>\phi (u,v)=cosv·(v+u)\overline{i}+senv·(v+u)\overline{j}+v\overline{k},\hspace{3cm}u∈(0,1)\hspace{0.5cm} v∈(2π,6π)</math>
 
</center>
y podemos representarla gráficamente con este código de matlab.
[[Archivo:superficiereglada33.jpg|300px|thumb|right|Figura 2: Superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
% Definir los rangos de u y v
v= (2.*pi:0.01:6.*pi) ;
u= (0:0.01:1);

% Crear una malla de valores para u y v
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Calcular las coordenadas
X = cos(V) .* (V + U);
Y = sin(V) .* (V + U);
Z = V;

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada');
axis equal; % Escala uniforme

}}

=Densidad=
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=100-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+99</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+99)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 1870
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n1=100;
n2=100;

% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n1;
h2=(4*pi-0)/n2;

u=0:h1:1;
v=0:h2:4*pi;

% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Cálculos
f=(-uu.^2-2.*uu+99).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2;
w1(n1+1)=1/2;

w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2;
w2(n2+1)=1/2;

result=h1*h2*w2'*f*w1
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:59:46Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

Archivo:Superficiereglada33.jpg

2024-12-01T14:58:00Z

Ana.rua:

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:52:34Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:50:16Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:49:27Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide. GRUPO 26

2024-12-01T14:47:27Z

Ana.rua: /* Representación. */

{{ TrabajoED | La Clotoide. GRUPO 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Cristina Martín de Hijas, Iñigo Guitart Simal, Alba Sánchez Alberquilla }}

[[Categoría:TC23/24]]

==Introducción.==
Expresado de un modo matemático, las clotoides son curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.
 
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.
 
En los últimos apartados, se estudiará una hélice circular, como su superficie reglada, para su mismo análisis en la ingeniería.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se obtiene mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:clotoidefinal.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definición parámetros
N=200;
h=(4-0)/N;
t=linspace(0,4,N);
% Almacenamiento resultados
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
% Funciones
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
% Integración método trapecio
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Gráfica
figure;
plot(x,y);
axis equal
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Dibujo clotoide');
shg
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para los cálculos, hacemos uso de las definiciones de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
 
[[Archivo:veloacelfinal.jpg|350px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores velocidad y aceleración
Vx = cos(t.^2/2);
Vy = sin(t.^2/2);
Ax = -t.*sin(t.^2/2);
Ay = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x,y)
quiver(x,y,Vx,Vy);
quiver(x,y,Ax,Ay);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('VELOCIDAD Y ACELERACIÓN');
axis equal;
hold off
shg
}}

==Longitud de la curva.==
 
La longitud de una curva se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<center><math> ℓ(γ) = \int_{0}^{t}|γ′(t)|dt </math></center>
 
En nuestro caso <math>\vec{{\gamma }'}</math> calculado en el apartado previo es:
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
Su módulo por tanto es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
De lo que deducimos que la longitud de la curva es:
 
<center><math>
ℓ(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos teóricamente las siguientes definiciones
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:ap4final.jpg|420px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores tangente y normal
tanx= cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
% Gráfica junto a la clotoide
figure;
plot(x,y);
hold on
quiver(x,y,tanx,tany)
quiver(x,y,nx,ny)
hold off
axis equal;
title('Vectores tangente y normal');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
shg
}}
==Curvatura.==
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este sencillo programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 4 segundos.
[[Archivo:ap5perf.jpg|380px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definicón de parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definicón de la función
k=t;
% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

==Circunferencia osculatriz.==
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (1)</math> , es decir <math>t=1s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(1)=1</math> </center> 
<center><math>Q(1) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1)=\int_{0}^{1}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(1)=\int_{0}^{1}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=1s</math>, primero definimos la curva de 0 a 1 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:grafica6buena.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Circunferencia osculatriz en el instante t=1s junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Curva de 0 a 1 segundos
t0=0;
tN=1;
N=100;
h=(tN-t0)/N;
t=linspace(t0,tN,N);
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Punto de la clotoide para t=1
P=[x(100),y(100)];
% Vector normal calculado antes
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Aplicación de la fórmula para t=1
k=1;
R=1;
% Fórmula centro
Q=P+R*n;
% Conversión a polares
tt=linspace(0,2*pi,40);
% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xx=R*cos(tt)+Q(1);
% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yy=R*sin(tt)+Q(2);
% Gráfica osculatriz junto a la clotoide
figure;
hold on
plot(X,Y);
plot(P(1), P(2));
plot(xx,yy);
axis equal;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
hold off
shg
}}

==Propiedades para la ingeniería.==

En el ámbito de la ingeniería civil, en particular en el diseño de carreteras y ferrocarriles, las curvas de transición se usan para proporcionar giros suaves entre las secciones rectas y curvas, mejorando la seguridad y comodidad para conductores y pasajeros, así como minimizar el estrés en la infraestructura como rieles o pavimento y por supuesto en los propios vehículos.
 
 
Estas curvas ayudan a reducir las fuerzas laterales que experimentan los vehículos y trenes cuando cambian de dirección, lo que facilita su implementación, cálculo, y optimiza los costos de construcción y mantenimiento, al reducir la necesidad de realizar cambios bruscos en la dirección de una vía. Esto combinado con el peralte propicia un escenario muy favorable para evitar accidentes de descarrilamiento.
 
 
Otro uso muy común de la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Antiguamente se hacían de forma circular erróneamente por lo que se ha modificado su trayectoria para así evitar daños a los usuarios debido a la aceleración o fuerzas <math>g</math> resultantes.

==Ejemplos en la ingeniería civil.==
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Pregunta10.2campos.jpg|'''Puente de Øresund, entre Dinamarca y Suecia'''
File:Pregunta10.3campos.jpg|'''Túnel de Laerdal, Noruega'''
File:Pregunta10.1campos.jpg|'''Carretera de Iroha-zaka, Japón'''
File:Canaldesuez112.jpg|'''Canal de Suez, Egipto'''
</gallery>

==Superficie reglada==
Consideramos la hélice en <math>R^3</math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
 
<center>
<math>
γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cost,sint,t),t∈(0,4π)
</math>
</center>
 
Definimos la superficie reglada asociada a <math>\gamma</math> mediante segmentos de longitud <math>d</math> con vector director <math>\overline{w}(t)</math> como aquella parametrizada por
<center>
(1)
<math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v) </math>
 
<math>v\in (a,b)</math>
 
<math>u\in (c,d)</math>
</center>
===Representación.===
Se pide dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud <math> 1</math> y vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math>.
 
Parametrizando la curva según <math>v</math>, queda la siguiente función
<center>
<math>
γ(v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(cosv,senv,v),v∈(0,4π)
</math>
</center>
 
A partir de la cual se conoce el vector posición <math>\vec{r}(v)=cosv\vec{i}+ senv\vec{j}+v\vec{k},v∈(0,4π)</math>. 
Se utiliza la siguiente Matriz de Cambio de Base para pasar el vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math> de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline{w}(v)=cosv\overline{i}+senv\overline{j}</math>
</center>
 
Si aplicamos la definición (1) la parametrización de la hélice queda
<center>
<math>\phi (u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\overline{i}+(senv+u\cdot senv)\overline{j}+v\overline{k},</math> <math> v∈(0,4π), u∈(0,1)</math>
 
</center>
 
Para representarla hemos utilizado el siguiente programa en Matlab
[[Archivo:superficiereg.jpg|400px|thumb|dcha|Figura 11: Superficie Reglada]]
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros
v=(0:0.01:4.*pi);
u=(0:0.01:1);
%Matrices de superficie
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
%Función de la superficie reglada
x=cos(MV)+MU.*cos(MV);
y=sin(MV)+MU.*sin(MV);
z=MV;
%Dibujo superficie
surf(x,y,z);
title('Superficie reglada');
shading flat;
shg
}}

===Aplicaciones en la Ingeniería civil.===
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Bernabeuhelic.jpg|'''Rampa petaonal, estadio Santiago Bernabeu'''
File:parkingcris.jpg|'''Rampa parking'''
File:escaleracaracol.jpg|'''Escalera de caracol'''
File:pilotehel.png|'''Pilotes helicoidales'''
</gallery>
==Masa de la superficie reglada.==
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=10-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
(2)<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=10-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+9)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 145,84
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n1=100; n2=100;
% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n1; h2=(4*pi-0)/n2;
u=0:h1:1; v=0:h2:4*pi;
% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
% Cálculos
f=(-uu.^2-2.*uu+9).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(n1+1)=1/2;
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(n2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Superficiereg.jpg

2024-12-01T14:44:50Z

Ana.rua:

La Clotoide. GRUPO 26

2024-12-01T14:42:12Z

Ana.rua: /* Representación. */

{{ TrabajoED | La Clotoide. GRUPO 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Cristina Martín de Hijas, Iñigo Guitart Simal, Alba Sánchez Alberquilla }}

[[Categoría:TC23/24]]

==Introducción.==
Expresado de un modo matemático, las clotoides son curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.
 
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.
 
En los últimos apartados, se estudiará una hélice circular, como su superficie reglada, para su mismo análisis en la ingeniería.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se obtiene mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:clotoidefinal.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definición parámetros
N=200;
h=(4-0)/N;
t=linspace(0,4,N);
% Almacenamiento resultados
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
% Funciones
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
% Integración método trapecio
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Gráfica
figure;
plot(x,y);
axis equal
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Dibujo clotoide');
shg
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para los cálculos, hacemos uso de las definiciones de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
 
[[Archivo:veloacelfinal.jpg|350px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores velocidad y aceleración
Vx = cos(t.^2/2);
Vy = sin(t.^2/2);
Ax = -t.*sin(t.^2/2);
Ay = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x,y)
quiver(x,y,Vx,Vy);
quiver(x,y,Ax,Ay);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('VELOCIDAD Y ACELERACIÓN');
axis equal;
hold off
shg
}}

==Longitud de la curva.==
 
La longitud de una curva se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<center><math> ℓ(γ) = \int_{0}^{t}|γ′(t)|dt </math></center>
 
En nuestro caso <math>\vec{{\gamma }'}</math> calculado en el apartado previo es:
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
Su módulo por tanto es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
De lo que deducimos que la longitud de la curva es:
 
<center><math>
ℓ(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos teóricamente las siguientes definiciones
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:ap4final.jpg|420px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores tangente y normal
tanx= cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
% Gráfica junto a la clotoide
figure;
plot(x,y);
hold on
quiver(x,y,tanx,tany)
quiver(x,y,nx,ny)
hold off
axis equal;
title('Vectores tangente y normal');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
shg
}}
==Curvatura.==
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este sencillo programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 4 segundos.
[[Archivo:ap5perf.jpg|380px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definicón de parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definicón de la función
k=t;
% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

==Circunferencia osculatriz.==
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (1)</math> , es decir <math>t=1s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(1)=1</math> </center> 
<center><math>Q(1) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1)=\int_{0}^{1}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(1)=\int_{0}^{1}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=1s</math>, primero definimos la curva de 0 a 1 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:grafica6buena.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Circunferencia osculatriz en el instante t=1s junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Curva de 0 a 1 segundos
t0=0;
tN=1;
N=100;
h=(tN-t0)/N;
t=linspace(t0,tN,N);
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Punto de la clotoide para t=1
P=[x(100),y(100)];
% Vector normal calculado antes
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Aplicación de la fórmula para t=1
k=1;
R=1;
% Fórmula centro
Q=P+R*n;
% Conversión a polares
tt=linspace(0,2*pi,40);
% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xx=R*cos(tt)+Q(1);
% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yy=R*sin(tt)+Q(2);
% Gráfica osculatriz junto a la clotoide
figure;
hold on
plot(X,Y);
plot(P(1), P(2));
plot(xx,yy);
axis equal;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
hold off
shg
}}

==Propiedades para la ingeniería.==

En el ámbito de la ingeniería civil, en particular en el diseño de carreteras y ferrocarriles, las curvas de transición se usan para proporcionar giros suaves entre las secciones rectas y curvas, mejorando la seguridad y comodidad para conductores y pasajeros, así como minimizar el estrés en la infraestructura como rieles o pavimento y por supuesto en los propios vehículos.
 
 
Estas curvas ayudan a reducir las fuerzas laterales que experimentan los vehículos y trenes cuando cambian de dirección, lo que facilita su implementación, cálculo, y optimiza los costos de construcción y mantenimiento, al reducir la necesidad de realizar cambios bruscos en la dirección de una vía. Esto combinado con el peralte propicia un escenario muy favorable para evitar accidentes de descarrilamiento.
 
 
Otro uso muy común de la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Antiguamente se hacían de forma circular erróneamente por lo que se ha modificado su trayectoria para así evitar daños a los usuarios debido a la aceleración o fuerzas <math>g</math> resultantes.

==Ejemplos en la ingeniería civil.==
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Pregunta10.2campos.jpg|'''Puente de Øresund, entre Dinamarca y Suecia'''
File:Pregunta10.3campos.jpg|'''Túnel de Laerdal, Noruega'''
File:Pregunta10.1campos.jpg|'''Carretera de Iroha-zaka, Japón'''
File:Canaldesuez112.jpg|'''Canal de Suez, Egipto'''
</gallery>

==Superficie reglada==
Consideramos la hélice en <math>R^3</math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
 
<center>
<math>
γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cost,sint,t),t∈(0,4π)
</math>
</center>
 
Definimos la superficie reglada asociada a <math>\gamma</math> mediante segmentos de longitud <math>d</math> con vector director <math>\overline{w}(t)</math> como aquella parametrizada por
<center>
(1)
<math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v) </math>
 
<math>v\in (a,b)</math>
 
<math>u\in (c,d)</math>
</center>
===Representación.===
Se pide dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud <math> 1</math> y vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math>.
 
Parametrizando la curva según <math>v</math>, queda la siguiente función
<center>
<math>
γ(v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(cosv,senv,v),v∈(0,4π)
</math>
</center>
 
A partir de la cual se conoce el vector posición <math>\vec{r}(v)=cosv\vec{i}+ senv\vec{j}+v\vec{k},v∈(0,4π)</math>. 
Se utiliza la siguiente Matriz de Cambio de Base para pasar el vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math> de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline{w}(v)=cosv\overline{i}+senv\overline{j}</math>
</center>
 
Si aplicamos la definición (1) la parametrización de la hélice queda
<center>
<math>\phi (u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\overline{i}+(senv+u\cdot senv)\overline{j}+v\overline{k},</math> <math> v∈(0,4π), u∈(0,1)</math>
 
</center>
 
Para representarla hemos utilizado el siguiente programa en Matlab
[[Archivo:.jpg|300px|thumb|dcha|Figura 11: Superficie Reglada]]
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros
v=(0:0.01:4.*pi);
u=(0:0.01:1);
%Matrices de superficie
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
%Función de la superficie reglada
x=cos(MV)+MU.*cos(MV);
y=sin(MV)+MU.*sin(MV);
z=MV;
%Dibujo superficie
surf(x,y,z);
title('Superficie reglada');
shading flat;
shg
}}

===Aplicaciones en la Ingeniería civil.===
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Bernabeuhelic.jpg|'''Rampa petaonal, estadio Santiago Bernabeu'''
File:parkingcris.jpg|'''Rampa parking'''
File:escaleracaracol.jpg|'''Escalera de caracol'''
File:pilotehel.png|'''Pilotes helicoidales'''
</gallery>
==Masa de la superficie reglada.==
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=10-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
(2)<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=10-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+9)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 145,84
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n1=100; n2=100;
% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n1; h2=(4*pi-0)/n2;
u=0:h1:1; v=0:h2:4*pi;
% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
% Cálculos
f=(-uu.^2-2.*uu+9).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(n1+1)=1/2;
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(n2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La Clotoide. GRUPO 26

2024-12-01T14:37:23Z

Ana.rua: /* Representación. */

{{ TrabajoED | La Clotoide. GRUPO 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Cristina Martín de Hijas, Iñigo Guitart Simal, Alba Sánchez Alberquilla }}

[[Categoría:TC23/24]]

==Introducción.==
Expresado de un modo matemático, las clotoides son curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.
 
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.
 
En los últimos apartados, se estudiará una hélice circular, como su superficie reglada, para su mismo análisis en la ingeniería.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se obtiene mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:clotoidefinal.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definición parámetros
N=200;
h=(4-0)/N;
t=linspace(0,4,N);
% Almacenamiento resultados
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
% Funciones
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
% Integración método trapecio
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Gráfica
figure;
plot(x,y);
axis equal
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Dibujo clotoide');
shg
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para los cálculos, hacemos uso de las definiciones de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
 
[[Archivo:veloacelfinal.jpg|350px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores velocidad y aceleración
Vx = cos(t.^2/2);
Vy = sin(t.^2/2);
Ax = -t.*sin(t.^2/2);
Ay = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x,y)
quiver(x,y,Vx,Vy);
quiver(x,y,Ax,Ay);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('VELOCIDAD Y ACELERACIÓN');
axis equal;
hold off
shg
}}

==Longitud de la curva.==
 
La longitud de una curva se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<center><math> ℓ(γ) = \int_{0}^{t}|γ′(t)|dt </math></center>
 
En nuestro caso <math>\vec{{\gamma }'}</math> calculado en el apartado previo es:
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
Su módulo por tanto es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
De lo que deducimos que la longitud de la curva es:
 
<center><math>
ℓ(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos teóricamente las siguientes definiciones
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:ap4final.jpg|420px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores tangente y normal
tanx= cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
% Gráfica junto a la clotoide
figure;
plot(x,y);
hold on
quiver(x,y,tanx,tany)
quiver(x,y,nx,ny)
hold off
axis equal;
title('Vectores tangente y normal');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
shg
}}
==Curvatura.==
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este sencillo programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 4 segundos.
[[Archivo:ap5perf.jpg|380px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definicón de parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definicón de la función
k=t;
% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

==Circunferencia osculatriz.==
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (1)</math> , es decir <math>t=1s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(1)=1</math> </center> 
<center><math>Q(1) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1)=\int_{0}^{1}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(1)=\int_{0}^{1}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=1s</math>, primero definimos la curva de 0 a 1 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:grafica6buena.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Circunferencia osculatriz en el instante t=1s junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Curva de 0 a 1 segundos
t0=0;
tN=1;
N=100;
h=(tN-t0)/N;
t=linspace(t0,tN,N);
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Punto de la clotoide para t=1
P=[x(100),y(100)];
% Vector normal calculado antes
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Aplicación de la fórmula para t=1
k=1;
R=1;
% Fórmula centro
Q=P+R*n;
% Conversión a polares
tt=linspace(0,2*pi,40);
% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xx=R*cos(tt)+Q(1);
% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yy=R*sin(tt)+Q(2);
% Gráfica osculatriz junto a la clotoide
figure;
hold on
plot(X,Y);
plot(P(1), P(2));
plot(xx,yy);
axis equal;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
hold off
shg
}}

==Propiedades para la ingeniería.==

En el ámbito de la ingeniería civil, en particular en el diseño de carreteras y ferrocarriles, las curvas de transición se usan para proporcionar giros suaves entre las secciones rectas y curvas, mejorando la seguridad y comodidad para conductores y pasajeros, así como minimizar el estrés en la infraestructura como rieles o pavimento y por supuesto en los propios vehículos.
 
 
Estas curvas ayudan a reducir las fuerzas laterales que experimentan los vehículos y trenes cuando cambian de dirección, lo que facilita su implementación, cálculo, y optimiza los costos de construcción y mantenimiento, al reducir la necesidad de realizar cambios bruscos en la dirección de una vía. Esto combinado con el peralte propicia un escenario muy favorable para evitar accidentes de descarrilamiento.
 
 
Otro uso muy común de la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Antiguamente se hacían de forma circular erróneamente por lo que se ha modificado su trayectoria para así evitar daños a los usuarios debido a la aceleración o fuerzas <math>g</math> resultantes.

==Ejemplos en la ingeniería civil.==
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Pregunta10.2campos.jpg|'''Puente de Øresund, entre Dinamarca y Suecia'''
File:Pregunta10.3campos.jpg|'''Túnel de Laerdal, Noruega'''
File:Pregunta10.1campos.jpg|'''Carretera de Iroha-zaka, Japón'''
File:Canaldesuez112.jpg|'''Canal de Suez, Egipto'''
</gallery>

==Superficie reglada==
Consideramos la hélice en <math>R^3</math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
 
<center>
<math>
γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cost,sint,t),t∈(0,4π)
</math>
</center>
 
Definimos la superficie reglada asociada a <math>\gamma</math> mediante segmentos de longitud <math>d</math> con vector director <math>\overline{w}(t)</math> como aquella parametrizada por
<center>
(1)
<math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v) </math>
 
<math>v\in (a,b)</math>
 
<math>u\in (c,d)</math>
</center>
===Representación.===
Se pide dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud <math> 1</math> y vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math>.
 
Parametrizando la curva según <math>v</math>, queda la siguiente función
<center>
<math>
γ(v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(cosv,senv,v),v∈(0,4π)
</math>
</center>
 
A partir de la cual se conoce el vector posición <math>\vec{r}(v)=cosv\vec{i}+ senv\vec{j}+v\vec{k},v∈(0,4π)</math>. 
Se utiliza la siguiente Matriz de Cambio de Base para pasar el vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math> de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline{w}(v)=cosv\overline{i}+senv\overline{j}</math>
</center>
 
Si aplicamos la definición (1) la parametrización de la hélice queda
<center>
<math>\phi (u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\overline{i}+(senv+u\cdot senv)\overline{j}+v\overline{k},</math> <math> v∈(0,4π), u∈(0,1)</math>
 
</center>
 
Para representarla hemos utilizado el siguiente programa en Matlab
[[Archivo:Superficiereglada1.jpg|300px|thumb|dcha|Figura 11: Superficie Reglada]]
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros
v=(0:0.01:4.*pi);
u=(0:0.01:1);
%Matrices de superficie
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
%Función de la superficie reglada
x=cos(MV)+MU.*cos(MV);
y=sin(MV)+MU.*sin(MV);
z=MV;
%Dibujo superficie
surf(x,y,z);
title('Superficie reglada');
shading flat;
shg
}}

===Aplicaciones en la Ingeniería civil.===
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Bernabeuhelic.jpg|'''Rampa petaonal, estadio Santiago Bernabeu'''
File:parkingcris.jpg|'''Rampa parking'''
File:escaleracaracol.jpg|'''Escalera de caracol'''
File:pilotehel.png|'''Pilotes helicoidales'''
</gallery>
==Masa de la superficie reglada.==
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=10-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
(2)<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=10-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+9)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 145,84
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n1=100; n2=100;
% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n1; h2=(4*pi-0)/n2;
u=0:h1:1; v=0:h2:4*pi;
% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
% Cálculos
f=(-uu.^2-2.*uu+9).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(n1+1)=1/2;
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(n2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

Archivo:Superficiereglada1.jpg

2024-12-01T14:35:55Z

Ana.rua:

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:27:38Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:25:38Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:09:32Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T14:01:45Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T13:55:55Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T13:38:33Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T13:10:16Z

Ana.rua: /* Parametrización en cartesianas */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T13:06:08Z

Ana.rua: /* Información de interés */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T12:54:22Z

Ana.rua: /* Estructura civil */

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T12:46:45Z

Ana.rua: /* Estructura civil */

Archivo:Clotoidecarret.jpeg

2024-12-01T12:44:47Z

Ana.rua:

La Clotoide (Grupo 10)

2024-12-01T12:30:00Z