{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Laura León de Hoz 
Álvaro Olivares Molina }}
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>. producidos por la acción de una fuerza determinada. 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 

== Visualización de la placa ==
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido. 
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
[[Archivo:Apartado1grupo14.png|390px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado1representado.png|410px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]] 

== Distribución de temperaturas del sólido ==

La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 
<math>T(x,y)=log(y²+2)</math> 

[[Archivo:Apartado2regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado2representado.PNG|600px|miniaturadeimagen|centro|Distribución de la temperatura en la placa]] 
 

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
 

== Estudio del gradiente de temperaturas ==
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura: [[Archivo:Operacion3.PNG|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Apartado33.png|275px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado3representado.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de la temperatura]] 

== Campo de desplazamientos ==

Consideramos un campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> , teniendo en cuenta que:
* Los puntos situados en <math>\rho=1</math> no sufren desplazamiento
* |<math>∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
Obtenemos <math>f(\rho)</math> y representamos el campo de desplazamientos: 
[[Archivo:Calculos5y6.png|900px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Apartado5regaliza.png|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado5representado.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]] 
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen: 
[[Archivo:Apartado6regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]] 
[[Archivo:Apartado6representado.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

==Divergencia==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo y a continuación la representamos. 
[[Archivo:Calculosdivergencia.png|900px|sinmarco|izquierda]]
 
[[Archivo:Divergenciaregaliza.png|650px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado7divergencia.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de la placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Comparación ===
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa: 
[[Archivo:Apartado7representado.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Comparación de la placa antes y después de aplicar desplazamiento y divergencia]] 
A partir de la representación podemos observar que la zona expandida es la zona exterior del semianillo en la parte de los extremos, en cambio nuestra placa se comprime en la zona interior del semianillo. El cambio de volumen no es muy notable.

==Rotacional==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math>
* <math>∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
[[Archivo:Apartado8regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado8representado.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del campo]] 

=== Comparación ===
Para estudiar como afecta el rotacional a nuestra placa comparamos la distribución de los desplazamientos y la del rotacional en nuestra placa: 
[[Archivo:Apartado8comparacion.png|800px|sinmarco|centro]]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

== Tensiones ==

=== Tensiones normales ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como:
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> 
Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Tomamos λ = μ = 1 para el cálculo de tensiones.

ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> 
Procedemos a calcular en tensor de tensiones trabajando en la '''base física''': 
[[Archivo:Operacion1.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operacion2.png|600px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operaciones3.png|750px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Representamos estos resultados en nuestra placa:
[[Archivo:Calculosnormales.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Calculosnormales2.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Representadonormales.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== Tensiones tangenciales ===
Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de <math>\vec g_{\rho}</math> vienen dadas por <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>. 
[[Archivo:Operacionestangenciales.png|900px|sinmarco|izquierda]] 
Representamos estos resultados en nuestra placa: 
[[Archivo:Calculostangenciales.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Representadostangenciales.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales]]

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
[[Archivo:Apartado11regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado11representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Representación de la tensión de Von Mises sobre nuestra placa]] 
Como se puede observar el valor de la tensión de Von Mises es mayor en la parte exterior en los extremos de nuestra placa.

==Masa==
La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas por la siguiente función: <math>d(x,y)=1 + |x|y log(1+|x|+y²)</math> 
Procedemos a calcular la masa de nuestra placa a través de la siguiente integral:
[[Archivo:Calculosmasa.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos métodos numéricos (método del trapecio) para obtener el resultado, ya que se nos complica demasiado la integral.
[[Archivo:Apartado13regaliza.png|600px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
El programa nos devuelve un valor de la masa de m=9.3267

Archivo:Representadostangenciales.png

2020-12-04T15:00:32Z

Ana Regaliza Rodríguez:

Archivo:Calculostangenciales.png

2020-12-04T14:59:27Z

Ana Regaliza Rodríguez:

Archivo:Operacionestangenciales.png

2020-12-04T14:57:42Z

Ana Regaliza Rodríguez:

Trabajo 4. Año 20/21

2020-12-04T14:56:02Z

Ana Regaliza Rodríguez:

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Laura León de Hoz 
Álvaro Olivares Molina }}
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>. producidos por la acción de una fuerza determinada. 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 

== Visualización de la placa ==
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido. 
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
[[Archivo:Apartado1grupo14.png|390px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado1representado.png|410px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]] 

== Distribución de temperaturas del sólido ==

La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 
<math>T(x,y)=log(y²+2)</math> 

[[Archivo:Apartado2regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado2representado.PNG|600px|miniaturadeimagen|centro|Distribución de la temperatura en la placa]] 
 

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
 

== Estudio del gradiente de temperaturas ==
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura: [[Archivo:Operacion3.PNG|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Apartado33.png|275px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado3representado.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de la temperatura]] 

== Campo de desplazamientos ==

Consideramos un campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> , teniendo en cuenta que:
* Los puntos situados en <math>\rho=1</math> no sufren desplazamiento
* |<math>∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
Obtenemos <math>f(\rho)</math> y representamos el campo de desplazamientos: 
[[Archivo:Calculos5y6.png|900px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Apartado5regaliza.png|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado5representado.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]] 
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen: 
[[Archivo:Apartado6regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]] 
[[Archivo:Apartado6representado.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

==Divergencia==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo y a continuación la representamos. 
[[Archivo:Calculosdivergencia.png|900px|sinmarco|izquierda]]
 
[[Archivo:Divergenciaregaliza.png|650px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado7divergencia.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de la placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Comparación ===
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa: 
[[Archivo:Apartado7representado.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Comparación de la placa antes y después de aplicar desplazamiento y divergencia]] 
A partir de la representación podemos observar que la zona expandida es la zona exterior del semianillo en la parte de los extremos, en cambio nuestra placa se comprime en la zona interior del semianillo. El cambio de volumen no es muy notable.

==Rotacional==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math>
* <math>∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
[[Archivo:Apartado8regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado8representado.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del campo]] 

=== Comparación ===
Para estudiar como afecta el rotacional a nuestra placa comparamos la distribución de los desplazamientos y la del rotacional en nuestra placa: 
[[Archivo:Apartado8comparacion.png|800px|sinmarco|centro]]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

== Tensiones ==

=== Tensiones normales ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como:
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> 
Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Tomamos λ = μ = 1 para el cálculo de tensiones.

ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> 
Procedemos a calcular en tensor de tensiones trabajando en la '''base física''': 
[[Archivo:Operacion1.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operacion2.png|600px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operaciones3.png|750px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Representamos estos resultados en nuestra placa:
[[Archivo:Calculosnormales.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Calculosnormales2.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Representadonormales.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== Tensiones tangenciales ===
Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de <math>\vec g_{\rho}</math> vienen dadas por <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
[[Archivo:Apartado11regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado11representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Representación de la tensión de Von Mises sobre nuestra placa]] 
Como se puede observar el valor de la tensión de Von Mises es mayor en la parte exterior en los extremos de nuestra placa.

==Masa==
La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas por la siguiente función: <math>d(x,y)=1 + |x|y log(1+|x|+y²)</math> 
Procedemos a calcular la masa de nuestra placa a través de la siguiente integral:
[[Archivo:Calculosmasa.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos métodos numéricos (método del trapecio) para obtener el resultado, ya que se nos complica demasiado la integral.
[[Archivo:Apartado13regaliza.png|600px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
El programa nos devuelve un valor de la masa de m=9.3267

Trabajo 4. Año 20/21

2020-12-04T14:52:57Z

Ana Regaliza Rodríguez: /* Campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Laura León de Hoz 
Álvaro Olivares Molina }}
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>. producidos por la acción de una fuerza determinada. 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 

== Visualización de la placa ==
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido. 
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
[[Archivo:Apartado1grupo14.png|390px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado1representado.png|410px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]] 

== Distribución de temperaturas del sólido ==

La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 
<math>T(x,y)=log(y²+2)</math> 

[[Archivo:Apartado2regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado2representado.PNG|600px|miniaturadeimagen|centro|Distribución de la temperatura en la placa]] 
 

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
 

== Estudio del gradiente de temperaturas ==
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura: [[Archivo:Operacion3.PNG|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Apartado33.png|275px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado3representado.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de la temperatura]] 

== Campo de desplazamientos ==

Consideramos un campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> , teniendo en cuenta que:
* Los puntos situados en <math>\rho=1</math> no sufren desplazamiento
* |<math>∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
Obtenemos <math>f(\rho)</math> y representamos el campo de desplazamientos: 
[[Archivo:Calculos5y6.png|900px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Apartado5regaliza.png|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado5representado.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]] 
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen: 
[[Archivo:Apartado6regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]] 
[[Archivo:Apartado6representado.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido]]

==Divergencia==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo y a continuación la representamos. 
[[Archivo:Calculosdivergencia.png|900px|sinmarco|izquierda]]
 
[[Archivo:Divergenciaregaliza.png|650px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado7divergencia.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de la placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Comparación ===
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa: 
[[Archivo:Apartado7representado.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Comparación de la placa antes y después de aplicar desplazamiento y divergencia]] 
A partir de la representación podemos observar que la zona expandida es la zona exterior del semianillo en la parte de los extremos, en cambio nuestra placa se comprime en la zona interior del semianillo. El cambio de volumen no es muy notable.

==Rotacional==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math>
* <math>∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
[[Archivo:Apartado8regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado8representado.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del campo]] 

=== Comparación ===
Para estudiar como afecta el rotacional a nuestra placa comparamos la distribución de los desplazamientos y la del rotacional en nuestra placa: 
[[Archivo:Apartado8comparacion.png|800px|sinmarco|centro]]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

== Tensiones ==

=== Tensiones normales ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como:
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> 
Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Tomamos λ = μ = 1 para el cálculo de tensiones.

ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> 
Procedemos a calcular en tensor de tensiones trabajando en la '''base física''': 
[[Archivo:Operacion1.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operacion2.png|600px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operaciones3.png|750px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Representamos estos resultados en nuestra placa:
[[Archivo:Calculosnormales.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Calculosnormales2.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Representadonormales.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== Tensiones tangenciales ===
Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de <math>\vec g_{\rho}</math> vienen dadas por <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
[[Archivo:Apartado11regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado11representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Representación de la tensión de Von Mises sobre nuestra placa]] 
Como se puede observar el valor de la tensión de Von Mises es mayor en la parte exterior en los extremos de nuestra placa.

==Masa==
La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas por la siguiente función: <math>d(x,y)=1 + |x|y log(1+|x|+y²)</math> 
Procedemos a calcular la masa de nuestra placa a través de la siguiente integral:
[[Archivo:Calculosmasa.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos métodos numéricos (método del trapecio) para obtener el resultado, ya que se nos complica demasiado la integral.
[[Archivo:Apartado13regaliza.png|600px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
El programa nos devuelve un valor de la masa de m=9.3267

Trabajo 4. Año 20/21

2020-12-04T14:42:53Z

Ana Regaliza Rodríguez:

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Laura León de Hoz 
Álvaro Olivares Molina }}
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>. producidos por la acción de una fuerza determinada. 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 

== Visualización de la placa ==
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido. 
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
[[Archivo:Apartado1grupo14.png|390px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado1representado.png|410px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]] 

== Distribución de temperaturas del sólido ==

La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 
<math>T(x,y)=log(y²+2)</math> 

[[Archivo:Apartado2regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado2representado.PNG|600px|miniaturadeimagen|centro|Distribución de la temperatura en la placa]] 
 

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
 

== Estudio del gradiente de temperaturas ==
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura: [[Archivo:Operacion3.PNG|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Apartado33.png|275px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado3representado.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de la temperatura]] 

== Campo de desplazamientos ==

Consideramos un campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> , teniendo en cuenta que:
* Los puntos situados en <math>\rho=1</math> no sufren desplazamiento
* |<math>∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
Obtenemos <math>f(\rho)</math> y representamos el campo de desplazamientos: 
[[Archivo:Calculos5y6.png|900px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Apartado5regaliza.png|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado5representado.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]] 
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen: 
[[Archivo:Apartado6regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]] 
[[Archivo:Apartado6representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido]]

==Divergencia==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo y a continuación la representamos. 
[[Archivo:Calculosdivergencia.png|900px|sinmarco|izquierda]]
 
[[Archivo:Divergenciaregaliza.png|650px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado7divergencia.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de la placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Comparación ===
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa: 
[[Archivo:Apartado7representado.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Comparación de la placa antes y después de aplicar desplazamiento y divergencia]] 
A partir de la representación podemos observar que la zona expandida es la zona exterior del semianillo en la parte de los extremos, en cambio nuestra placa se comprime en la zona interior del semianillo. El cambio de volumen no es muy notable.

==Rotacional==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math>
* <math>∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
[[Archivo:Apartado8regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado8representado.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del campo]] 

=== Comparación ===
Para estudiar como afecta el rotacional a nuestra placa comparamos la distribución de los desplazamientos y la del rotacional en nuestra placa: 
[[Archivo:Apartado8comparacion.png|800px|sinmarco|centro]]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

== Tensiones ==

=== Tensiones normales ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como:
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math> 
Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Tomamos λ = μ = 1 para el cálculo de tensiones.

ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> 
Procedemos a calcular en tensor de tensiones trabajando en la '''base física''': 
[[Archivo:Operacion1.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operacion2.png|600px|sinmarco|izquierda]] 
[[Archivo:Operaciones3.png|750px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Representamos estos resultados en nuestra placa:
[[Archivo:Calculosnormales.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Calculosnormales2.png|500px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Representadonormales.png|800px|miniaturadeimagen|derecha|Tensiones normales]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
=== Tensiones tangenciales ===
Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de <math>\vec g_{\rho}</math> vienen dadas por <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
[[Archivo:Apartado11regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado11representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Representación de la tensión de Von Mises sobre nuestra placa]] 
Como se puede observar el valor de la tensión de Von Mises es mayor en la parte exterior en los extremos de nuestra placa.

==Masa==
La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas por la siguiente función: <math>d(x,y)=1 + |x|y log(1+|x|+y²)</math> 
Procedemos a calcular la masa de nuestra placa a través de la siguiente integral:
[[Archivo:Calculosmasa.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos métodos numéricos (método del trapecio) para obtener el resultado, ya que se nos complica demasiado la integral.
[[Archivo:Apartado13regaliza.png|600px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
El programa nos devuelve un valor de la masa de m=9.3267

Trabajo 4. Año 20/21

2020-12-04T14:36:03Z

2020-12-04T12:12:37Z

Ana Regaliza Rodríguez: /* Masa */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 14-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC20/21|2020-21]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Laura León de Hoz 
Álvaro Olivares Molina }}
Consideramos una placa plana que ocupa el semianillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y≥0. En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura T(x,y), que en nuestro caso solo depende de la variable espacial y. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>. producidos por la acción de una fuerza determinada. 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 

== Visualización de la placa ==
Comenzamos dibujando el mallado de la placa, definida como un semianillo, el cual representa los puntos interiores del sólido. 
Tomaremos h=1/10 como paso de muestreo y observamos que el mallado no completa el semianillo. Esto es debido al muestreo h que hemos tomado, éste será mayor que θ y, por ello, se omite y aparece ese pequeño desfase.
[[Archivo:Apartado1grupo14.png|390px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado1representado.png|410px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]] 

== Distribución de temperaturas del sólido ==

La '''distribución de temperaturas''' en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 
<math>T(x,y)=log(y²+2)</math> 

[[Archivo:Apartado2regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado2representado.PNG|600px|miniaturadeimagen|centro|Distribución de la temperatura en la placa]] 
 

Como podemos observar en la gráfica, la temperatura es máxima en el punto (0,1'9991)
 

== Estudio del gradiente de temperaturas ==
Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma ∇T
Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el ∇T es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.
Recordamos la fórmula general del cálculo de ∇T en coordenadas cartesianas 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura: [[Archivo:Operacion3.PNG|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Apartado33.png|275px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado3representado.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de la temperatura]] 

== Campo de desplazamientos ==

Consideramos un campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= sin(\theta)f(\rho) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> , teniendo en cuenta que:
* Los puntos situados en <math>\rho=1</math> no sufren desplazamiento
* |<math>∇ × \overrightarrow { u }|= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
Obtenemos <math>f(\rho)</math> y representamos el campo de desplazamientos: 
[[Archivo:Calculos5y6.png|900px|sinmarco|izquierda]]
[[Archivo:Apartado5regaliza.png|350px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado5representado.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de desplazamiento]] 
Este campo de desplazamientos va a producir una deformación en la placa debida a la vibración que ocasiona la fuerza aplicada. Como se aprecia en la siguiente imagen: 
[[Archivo:Apartado6regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]] 
[[Archivo:Apartado6representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa antes y después de aplicar el sólido]]

==Divergencia==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta)= ({\frac {\rho}{ 15} - \frac {1}{20} - \frac{1}{60\rho²}})sin(\theta) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> obtenido anteriormente.

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo y a continuación la representamos. 
[[Archivo:Calculosdivergencia.png|900px|sinmarco|izquierda]]
 
[[Archivo:Divergenciaregaliza.png|650px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado7divergencia.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Divergencia de la placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Comparación ===
Vamos a observar el efecto que ha producido el campo vectorial sobre la placa: 
[[Archivo:Apartado7representado.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Comparación de la placa antes y después de aplicar desplazamiento y divergencia]] 
A partir de la representación podemos observar que la zona expandida es la zona exterior del semianillo en la parte de los extremos, en cambio nuestra placa se comprime en la zona interior del semianillo. El cambio de volumen no es muy notable.

==Rotacional==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math>
* <math>∇ × \overrightarrow { u }= sin(\theta){\frac { (2\rho-1) }{ 10 }}</math> 
[[Archivo:Apartado8regaliza.png|500px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado8representado.png|450px|miniaturadeimagen|derecha|Rotacional del campo]] 

=== Comparación ===
Para estudiar como afecta el rotacional a nuestra placa comparamos la distribución de los desplazamientos y la del rotacional en nuestra placa: 
[[Archivo:Apartado8comparacion.png|800px|sinmarco|centro]]
Como podemos ver en la gráfica el rotacional es mayor en los puntos exteriores, ya que tiende a rotar en los puntos que han sufrido más desplazamiento.

== Tensiones ==

=== Tensiones normales ===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten definir el tensor de tensiones σij como:
<math>σ(x,y)=λ∇·\overrightarrow { u }1 + 2με</math>

Donde λ y μ son los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. Tomamos λ = μ = 1 para el cálculo de tensiones.

ε es la parte simétrica del vector gradiente <math>\overrightarrow {u}</math>, es decir, <math>\epsilon (\overrightarrow {u})=\frac {∇\overrightarrow {u} +{∇}\overrightarrow {u} ^{ t } }{ 2 } </math> 

=== Tensiones tangenciales ===
Las tensiones tangenciales al plano ortogonal respecto de <math>\vec g_{\rho}</math> vienen dadas por <math>|\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho|</math>.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
[[Archivo:Apartado11regaliza.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Código MATLAB]]
[[Archivo:Apartado11representado.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Representación de la tensión de Von Mises sobre nuestra placa]] 
Como se puede observar el valor de la tensión de Von Mises es mayor en la parte exterior en los extremos de nuestra placa.

==Masa==
La densidad de la placa viene dada en coordenadas cartesianas por la siguiente función: <math>d(x,y)=1 + |x|y log(1+|x|+y²)</math> 
Procedemos a calcular la masa de nuestra placa a través de la siguiente integral:
[[Archivo:Calculosmasa.png|700px|sinmarco|izquierda]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizaremos métodos numéricos (método del trapecio) para obtener el resultado, ya que se nos complica demasiado la integral.
[[Archivo:Apartado13regaliza.png|600px|miniaturadeimagen|izquierda|Código MATLAB]]
El programa nos devuelve un valor de la masa de m=9.3267

Trabajo 4. Año 20/21