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La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-28T15:49:04Z

Alvaro de la Rosa: /* Densidad de superficie de la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T17:03:40Z

Alvaro de la Rosa: /* Vectores tangente y normal. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T17:02:47Z

Alvaro de la Rosa: /* Vectores tangente y normal. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T17:02:06Z

Alvaro de la Rosa: /* Vectores tangente y normal. */

Archivo:Toide.png

2025-11-25T16:38:26Z

Alvaro de la Rosa:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-25T16:38:07Z