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Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-09T15:17:33Z

Alicia.vilalta.duce:

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 907.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.3]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T14:54:21Z

Alicia.vilalta.duce:

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.3]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T14:06:21Z

Alicia.vilalta.duce: /* Resolución numérica del PVI por el método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.3]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T12:48:17Z

Alicia.vilalta.duce: /* Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 */

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones, ya que se reduce la velocidad de reacción <math>y'(t)</math>.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.3]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T12:46:35Z

Alicia.vilalta.duce: /* Reacción consecutiva */

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones, ya que se reduce la velocidad de reacción <math>y'(t)</math>.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T10:50:19Z

Alicia.vilalta.duce:

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>s>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones, ya que se reduce la velocidad de reacción <math>y'(t)</math>.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D. Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y'_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-03-06T01:18:58Z

Alicia.vilalta.duce:

{{ TrabajoED | Reacciones complejas. Grupo 3-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Victoria Manget Sánchez Sacristán, Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, Ventura Rubí Zaldívar, Iván Díez Berjano, Marta Ruiz Martínez, Alicia Vilalta Duce }}
Trabajo realizado por:
* María Victoria Manget Sánchez Sacristán, 1021.
* Álvaro Ramírez Fernández de la Puente, 904.
* Ventura Rubí Zaldívar, 1218.
* Iván Díez Berjano 1111.
* Marta Ruiz Martínez, 1219.
* Alicia Vilalta Duce, 876.

== Enunciado==

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
<big>'''A + B → C'''</big>
Supondremos también que se satisface la '''ley de acción de masas''' que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>,

para algunas constantes <math>a_{0}</math>, <math>b_{0}</math> y <math>k_{1}</math>. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de
valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo <math>a_{0}</math> = 3 mol/l, <math>b_{0}</math> = 1 mol/l y <math>k_{1}</math> = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma
<big>'''A + B →<math>k_{1}</math> C →<math>k_{2}</math> D'''</big>

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si <math>k_{2}</math> = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si <math>k_{2}</math> = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

== Planteamiento de nuestro problema y PVI asociado ==
En química, una reacción compleja (o reacción compuesta) es aquella que se produce, a nivel molecular, a través de varias etapas o reacciones elementales. Una reacción compleja se describe y explica a través de un mecanismo de reacción (la secuencia de etapas elementales por la que los reactivos pasan a productos). Por ejemplo, una reacción con al menos un intermedio y como mínimo dos etapas (o reacciones) elementales es una reacción compleja.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t.
Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química:
«La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.»
Denotamos por:
* <math>y(t)</math>=‘Cantidad de C en el instante t’.
* <math>a_{0}</math>=‘Cantidad inicial de A’.
* <math>αy(t)</math>=‘Cantidad de A usada en el instante t’.
* <math>b_{0}</math>=‘Cantidad inicial de B’.
* <math>βy(t)</math>=‘Cantidad de B usada en el instante t’.
* <math>k_{1}</math>=‘Constante de proporcionalidad’.
Siendo <math>α, β=1</math> ya que la reacción es bimolecular. Lo que quiere decir que se necesitan una molécula de A y una molécula de B para formar una molécula de C. En el caso de que nos diesen otra relación entre las variables, para formar <math>y(t)</math> gramos del compuesto C se necesitarían M partes de la sustancia A y N partes de la sustancia B, esto es <math>\frac{M}{M+N}y(t)</math> de A y <math>\frac{N}{M+N}y(t)</math> de B; donde <math>\frac{M}{M+N}</math> lo hemos definido como <math>α</math> y <math>\frac{N}{M+N}</math> como <math>β</math>.

‘‘La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante <math>t</math> coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B’’.
Formulando la ley anterior para <math>y(t)</math> encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas <math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>), <math>t > 0</math>, con condición inicial <math>y(0)=0</math> (pues en el instante <math>t=0</math> no se ha formado aún sustancia C).

[[Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg]]

En nuestro caso el problema de Cauchy o valor inicial sería::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Vemos ahora si nuestro problema tiene o no solución única y si ésta existe a partir del Teorema de Existencia y Unicidad:

La función <math>f (t,y)= k_{1}</math>(<math>a_{0}</math>−<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math>−<math>y(t)</math>) es continua en el intervalo <math> I=(0,∞)∩B((0,0),r>0)</math>, por lo que ya aseguramos la existencia de al menos una solución. Por otro lado, vemos como <math>\textstyle\frac{df}{dy}(t,y)</math>=2<math>k_{1}</math><math>y</math>−<math>k_{1}</math><math>a_{0}</math> −<math>k_{1}</math><math>b_{0}</math>, también es continua en todo <math>{ℝ}^2</math> por ser polinómica y lo es entonces en (<math>t_{0}</math>,<math>y_{0}</math>), es decir, en <math>(0,0)</math>, y más concretamente en cualquier bola con <math>r>0</math>.

Por lo que diremos que el problema de valor inicial posee una única solución.

== Reacción reversible ==
Se llama reacción reversible a la reacción química en la cual los productos de la reacción vuelven a combinarse para generar los reactivos. Este tipo de reacción se representa con una doble flecha, donde la flecha indica el sentido de la reacción. Esta ecuación representa una reacción directa (hacia la derecha) que ocurre simultáneamente con una reacción inversa (hacia la izquierda):

[[Archivo:Reacción reversible.jpg]]

El sistema muestra que A y B desaparecen por la reacción directa, pero se crean en la reacción inversa. Por lo tanto

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=(−<math>k_{1}[A]−k_{1}[B])+k_{-1}</math>[C]

<math>\textstyle\frac{d[A]}{dt}+\textstyle\frac{d[B]}{dt}</math>=-<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>

<math>\textstyle\frac{dy}{dt}</math>=(<math>k_{1}[A]+k_{1}[B])-k_{-1}</math>[C]

<math>[A]</math>=<math>a_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[B]</math>=<math>b_{0}</math>−<math>y</math>; <math>[C]</math>=<math>c_{0}</math>+<math>y</math>; donde <math>y</math> se define como el grado de avance en que se forma C.

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>c_{0}</math> +<math>y(t)</math>)

Como la condición inicial que hemos definido en el instante <math>y(0)=0</math>, ya que consideramos que no hay cantidad de C al principio de la reacción, <math>c_{0}=0</math>. Por lo tanto nuestra ecuación diferencial quedaría

<math>y'(t)=k_{1}</math>(<math>a_{0}</math> −<math>y(t)</math>)(<math>b_{0}</math> −<math>y(t)</math>)−<math>k_{-1}</math>(<math>y(t)</math>)

Planteamos entonces nuestro problema de valor inicial::

<math>\left.
y'(t)=k_{1}(a_{0}−y(t))(b_{0}−y(t))−k_{-1}(y(t)), t > 0 \atop
y(0)=0
\right\}</math>

Siendo <math>k_{-1}</math> la constante de proporcionalidad en el proceso inverso. Para que la reacción sea reversible, <math>k_{-1}</math> tiene que ser mayor que 0 pero al mismo tiempo inferior que 1, ya que si no se estaría descomponiendo más compuesto C del que realmente se habría formado y eso no podría ser.

Procedemos a obtener una solución numérica mediante el método de Euler dándole un valor a <math>k_{-1}=0.1</math>:
[[Archivo:Euler_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler]]
[[Archivo:Gráfica_comparativa_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa]]
[[Archivo:Gráfica_error_apartado2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0;;
tN=input('introducir el valor de t final:');%El problema se resuelve para tN=2 pero usaremos tN=6
%para observar cómo se estabilizan las concentraciones
y0=0; k1=1;
k2=0.1; %Sería lo que hemos definido teóricamente como k(-1)
a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*((3-y(i))*(1-y(i))-0.1*y(i));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Solución Exacta
ye=(30.*(41+sqrt(481)).*(exp((sqrt(481)/10).*t)-1))./(((1081+(41*sqrt(481))).*(exp((sqrt(481)/10).*t)))-600)

%Concentración de los reactivos
ya=3-ye; %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=1-ye; %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(30*(41+sqrt(481))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))-1))/(((1081+(41*sqrt(481)))*(exp((sqrt(481)/10)*t(i))))-600)
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido que es: 0.0652

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ye,'r')
legend('Euler','Real','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
hold on
figure(4)
plot(t,error_euler)
legend('Error cometido','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off

%Cálculo de los límites de las funciones de las concentraciones
limye=0.95 %Para el cálculo del límite de nuestra función y(t) nos apoyaremos en otro programa
ya=a0-limye; disp(ya) %Nos dará que la concentración A se estabiliza cuando alcanza el valor 2.05
yb=b0-limye; disp(yb) %Nos dará que la concentración B se estabiliza cuando alcanza el valor 0.05
}}
Esta reacción alcanza eventualmente una situación de equilibrio en la que las velocidades de las reacciones directa e inversa se igualan y, por lo tanto, las concentraciones de ambos componentes permanecen estables. El cociente <math>k_{1}</math>/<math>k_{-1}</math> proporciona entonces el valor de la constante de equilibrio
<math>K_{c}</math>=<math>[C]_{eq}</math>/<math>[A]_{eq}[B]_{eq}</math>.

== Resolución numérica del PVI por el método de Euler ==
[[Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg]]

Lo resolveremos también para h=0.01 para ver cómo influye el valor del paso en la aproximación utilizando el método de Euler.
[[Archivo:Euler_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Método de Euler con h=0.1]]
[[Archivo:Exacta_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.1]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica comparativa con h=0.1]]
[[Archivo:Error_apartado3.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.01
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,N+1); %También valido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:N
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,y,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Comparación con la solución real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));
figure(2)
hold on
plot(t,ye,'linewidth',2)
plot(t,ya,'r','linewidth',2)
plot(t,yb,'g','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Solución real');
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler=abs(y-ye) %Devuelve el error cometido en cada punto
error=max(error_euler) %Devuelve el error maximo cometido que es: 0.065104

%Comparación de la solución real y el error cometido por Euler
figure(3)
hold on
plot(t,y,'o-')
plot(t,ye,'ro-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Euler','Real','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica comparativa');
hold off

%Gráfica del error
figure(4)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error cometido','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica del error');
hold off
}}

Como podemos ver en la imagen la concentración de los reactivos y productos se vuelve asintótica tendiendo la de A a 2 mol/l, la de B a 0 mol/l y la de C a 1 mol/l. Lo que por la estequiometría de la reacción es lógico, ya que el producto C dejará de formarse cuando se agote uno de los dos reactivos que lo forman; en nuestro caso disminuye progresivamente la concentración de B, al que se denomina reactivo limitante, y a la vez se estabilizan las concentraciones, ya que se reduce la velocidad de reacción <math>y'(t)</math>.

Para un valor de paso h=0.01 quedaría:
[[Archivo:Euler_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Método de Euler con h=0.01]]
[[Archivo:Exacta_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución real con h=0.01]]
[[Archivo:Comparacion_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Gráfica comparativa con h=0.01]]
[[Archivo:Error_apartado3_h=0.01.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica del error con h=0.01]]

Podemos comprobar que a medida que el paso, h, disminuye, el método de Euler se hace cada vez más preciso.

== Resolución numérica para t → ∞ ==
Vamos a calcular ahora cuánta cantidad de C se ha formado trancurrido un tiempo largo (t=∞):
[[Archivo:Cálculos realizados.jpg]]

Lo que quiere decir que transcurrido dicho tiempo, la concentración de B se agotará mientras que la de A será 2. Utilizaremos a continuación Matlab para realizar dichos cálculos mediante el uso de un programa y obtendremos dos gráficas en las que veremos los resultados con mayor claridad.
[[Archivo:Cálculodelvalordeltiempo_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Cálculo del valor del tiempo]]
[[Archivo:Gráficadelasconcentraciones_apartado4.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Aproximación del PVI para t->inf]]
{{matlab|codigo=
%Primero calculamos el valor más aproximado del tiempo en el que las funciones de nuestro problema
%de valor inicial darán un valor lo más aproximado posible al que resulta de calcular el límite:

%NO SABEMOS EL TIEMPO FINAL. HAY QUE CALCULARLO
clear all;clf;clc;

%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; h=0.1; a0=3; b0=1;

t(1)=t0;
y(1)=y0;
i=1;

%El límite de y(t) es 1, el objetivo es alcanzar un punto que diste de 1/1000000 (una parte por
%millón) del límite, luego si estamos a una distancia de 1 menor que 1*(1/1000000) hemos logrado
%el objetivo.

lim=1;

while abs(lim-y(i))>1/1000000*lim
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end

%Tabla de Resultados
[t',y']

disp('Tiempo final:')
disp(t(end)) %Obtenemos un t=6

hold on
figure(1)
plot(t,y)
title('Cálculo del valor del tiempo')

%Ahora sabemos que para cualquier t>6 (en realidad el mínimo valor que tomaría t es: 5.90030501871171741990900999periodo) nuestra
%aproximación al valor que resulta de calcular el límite es muy precisa; entonces procedemos a resolver el PVI:

%PVI por el método de Euler
%Datos del problema
t0=0; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;
tN=t(end); %Calculado anteriormente, pues ahora el intervalo es [0,6]

%Discretización temporal
h=0.01; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución
y=zeros(1,length(t)); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización
for i=1:(length(t)-1)
y(i+1) =y(i)+h*(k1*((a0-y(i))*(b0-y(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',y']

%Definimos
ya=zeros(1,N+1);
yb=zeros(1,N+1);

%Concentración de los reactivos
ya=(-6*exp(2*t))./(1-(3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: ya=3-y(t); y(t)=ye
yb=(-2./(1-3*exp(2*t))); %Resultado obtenido de hacer: yb=1-y(t); y(t)=ye

%Solución de la gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,y)
plot(t,ya,'r')
plot(t,yb,'g')
legend('Concentración de C','Concentración de A','Concentración de B','location','best');
title('Aproximación del PVI para t->inf');
hold off
}}
Como ya hemos mencionado en los apartados anteriores, es lógico lo que se observa.

== Métodos del Trapecio y de Runge-Kutta ==
Al igual que el método de Euler, el método de Runge-Kutta se compone de un sistema explícito, por lo que no hay que hacer ninguna manipulación al esquema numérico. En el caso del método del Trapecio, el esquema numérico mediante el cual calculamos es implícito, por lo que habremos de realizar los siguientes cálculos:

[[Archivo:Calculos trapecio.jpg]]

Introduciendo el siguiente código Matlab implementamos el método:
[[Archivo:apartado5_grafica_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los tres métodos de aproximación]]
[[Archivo:apartado5_grafica_del_error_de_los_tres_metodos.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica de los errores]]
{{matlab|codigo=
%PVI por el método de Euler
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=2; y0=0; k1=1; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h; %N intervalos, N+1 valores

%Preparación vector solución para trapecio
y=zeros(1,N+1); %También válido y=zeros(1,length(t))
y(1)=y0; %Inicialización

%Preparación vector solución para RK4
z=zeros(1,N+1);
z(1)=y0;

%Preparación vector solución para Euler
r=zeros(1,N+1);
r(1)=y0;

for i=1:N
%Trapecio
y(i+1)=(-h)\((-2*h-1)+sqrt((((2*h)+1)^2)-2*h*(y(i)+(h/2)*(6-(4*y(i))+(y(i)^2)))));
%RK4
K1=(3-z(i))*(1-z(i));
K2=(3-(z(i)+1/2*K1*h))*(1-(z(i)+1/2*K1*h));
K3=(3-(z(i)+1/2*K2*h))*(1-(z(i)+1/2*K2*h));
K4=(3-(z(i)+K3*h))*(1-(z(i)+K3*h));
z(i+1)=z(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Extra Euler
r(i+1) =r(i)+h*(k1*((a0-r(i))*(b0-r(i))));
end

%Mostrar tabla de resultados
[t',r',y',z']

%Solución Real
ye=(3-3*exp(2.*t))./(1-3*exp(2.*t));

%Gráfica del ejercicio
figure(1)
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,z,'g')
plot(t,r)
plot(t,ye,'k')
legend('trapecio','Runge Kutta','Euler','Solucion Real','Location','best')
title('Gráfica de los tres métodos de aproximación')
hold off

%Error cometido
ye=zeros(1,length(t));
for i=1:N+1
ye(i)=(3 - 3*exp(2.*t(i)))./(1 - 3*exp(2.*t(i)));
end

error_euler= abs(r-ye);
error_trapecio= abs(y-ye);
error_RK4= abs(z-ye);

%Tabla de Errores cometidos en cada punto por cada método
[t',error_euler',error_trapecio',error_RK4']

error1=max(error_euler) %Devuelve el error máximo cometido por Euler que es: 0.065104
error2=max(error_trapecio)%Devuelve el error máximo cometido por Trapecio que es: 0.0042206
error3=max(error_RK4)%Devuelve el error máximo cometido por RK4 que es: 2.4027e-005

%Gráfica del error
figure(2)
hold on
plot(t,error_euler,'o-')
plot(t,error_trapecio,'ro-')
plot(t,error_RK4,'go-')
plot(t,0*t,'k*-')
legend('Error Euler','Error Trapecio','Error Runge Kutta-4','Aprox.puntos','location','best');
title('Gráfica de los errores');
hold off
}}
Añadimos además la resolución de nuestra ecuación por el método de Euler para comparar los tres métodos en una sola gráfica. Podemos observar que mientras el error cometido por el método de Euler se dispara, el error cometido por el método del Trapecio disminuye considerablemente. En cambio, el método de Runge-Kutta aproxima con mucha exactitud, cometiendo un error muy pequeño (nulo en comparación con los otros dos).

== Reacción consecutiva ==
[[Archivo:Reaccion consecutiva.jpg]]

Una reacción consecutiva o sucesiva es aquella donde el producto de una primera reacción es el reactivo de la siguiente.
Nos regiremos de nuevo por la ley de acción de masas para determinar el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el comportamiento de esta reacción química. La velocidad de reacción de este nuevo proceso químico consecutivo al anterior también será proporcional a la concentración de su reactivo, en este caso de C, y la velocidad de reacción del proceso anterior se verá reducida por la velocidad de formación del nuevo compuesto D, siendo esta negativa cuando se vaya anulando progresivamente la cantidad de uno de los dos reactivos iniciales, A o B.
Así podríamos modelizar el comportamiento de la reacción anteriormente descrita con el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales::

<math>
\left .
\begin{matrix}
y'_1(t)={k_{1}}({a_{0}}-y_1(t))({b_{0}}-y_1(t))\\
y'_2(t)={k_{2}}(y_1(t)-y_2(t))\\
y_1(0)=0\\y_2(0)=0
\end{matrix}
\right \}
</math>

Donde:
* <math>y'_{1}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma C a través del tiempo’.
* <math>y'_{2}(t)</math>=‘Velocidad con la que se forma D a través del tiempo’.
* <math>k_1</math>=‘Constante de proporcionalidad de la primera reacción’.
* <math>k_2</math>=‘Constante de proporcionalidad de la segunda reacción’.
* <math>y_{2}(t)</math>=‘Concentración del producto D’.
* <math>y_{1}(t)</math>-<math>y'_{2}(t)</math>=‘Concentración de C’.
Podemos observar que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En los siguientes apartados lo resolveremos numéricamente de forma vectorial.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=5 ===
[[Archivo:1.Grafico Euler.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=input('Introducimos valor del paso:'); %Paso del problema h=0.1, h=0.3
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

Apreciamos cómo los dos compuestos C y D se forman simultáneamente, siendo la velocidad de formación de D más rápida. En un determinado punto vemos que el compuesto C deja de formarse ya que B (reactivo limitante) se ha agotado, y a partir de este momento, el reactivo C comienza a consumirse hasta agotarse, mientras que D sigue formandose hasta alcanzar un equilibrio.
Cabe observar también cómo en el primer instante, tanto mediante el método de Euler como para el de Runge-Kutta, cuando empieza a formarse C el compuesto D no se forma hasta pasado un determinado tiempo. Esto es erróneo puesto que C y D se forman simultáneamente, pero no se trata de un error cometido por el paso sino por un error que cometen los métodos: el bucle, para el primer valor de i, calcula que la concentración de D da cero y no es hasta que se toma el segundo valor de i que nos proporciona un valor determinado.

Para un valor de paso h=0.3 quedaría:
[[Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Solución mediante el método de Euler para h=0.3]]
[[Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.3]]

[[Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]

Como ya vimos anteriormente a medida que el paso, h, aumenta, el método de Euler va cometiendo más error y se vuelve más impreciso. Usa como ordenada, el punto perteneciente a la recta tangente del anterior punto, por lo que la diferencia entre la ordenada real y la aproximada es notable. Se observa que al aplicar Euler explícito con tamaño del paso decreciente, la solución mejora aproximándose a la solución exacta. Esta es la idea de convergencia del método. Por otra parte se ve que para valores del paso, superiores a una cierta cantidad, la solución tiene un carácter oscilatorio. En el caso de Runge-Kutta, vemos que la aproximación que se realiza es igualmente errónea, salvo que para este método se observa un carácter oscilatorio menos pronunciado, al ser Runge-Kutta un método de aproximación más exacto (Gráfico comparativo). Con lo que concluimos descartando la opción de utilizar un valor de paso h=0.3 por conllevar un gran error.

=== Resolución numérica por Trapecio y RK4 cuando k2=1/5 ===
[[Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Euler para h=0.1]]
[[Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Solución mediante el método de Runge-Kutta para h=0.1]]
[[Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg|250px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfico comparativo para compuesto C y D para h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Sistema de ecuaciones no lineal por Trapecio y RK4
clear all; clc; clf;

%Datos del problema
t0=0; tN=10; y0=[0;0]; k1=1; k2=1/5; a0=3; b0=1;

%Discretización temporal
h=0.1; %Paso del problema
t=t0:h:tN;
N=round((tN-t0)/h); %N intervalos, N+1 valores

%Método de Euler
%Preparación vector solución para un tiempo t
y=zeros(2,length(t));
y(:,1)=y0; %Inicialización
for i=1:length(t)-1
y(:,i+1) =y(:,i)+h*[k1*((a0-(y(1,i)))*(b0-(y(1,i))));k2*(y(1,i)-y(2,i))];
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
yC=y(1,:)-y(2,:);

%Representación del sistema (Euler)
figure(1)
hold on
plot(t,yC,'linewidth',2)
plot(t,y(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Euler');
hold off

%Método de Runge-Kutta 4
%Preparación vector solución para un tiempo t
z=zeros(2,length(t));
z(:,1)=y0;%Inicializamos

for i=1:length(t)-1
K1=[k1*(a0-z(1,i))*(b0-z(1,i));k2*(z(1,i)-z(2,i))];
K2=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K1(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K1(2))-(z(2,i)+(h/2)*K1(2)))];
K3=[k1*(a0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)))*(b0-(z(1,i)+(h/2)*K2(1)));k2*((z(1,i)+(h/2)*K2(2))-(z(2,i)+(h/2)*K2(2)))];
K4=[k1*(a0-(z(1,i)+h*K3(1)))*(b0-(z(1,i)+h*K3(1)));k2*((z(1,i)+h*K3(2))-(z(2,i)+h*K3(2)))];
z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

%Cálculo de la concentración real de C tras formarse simultáneamente D
zC=z(1,:)-z(2,:);

%Representación del sistema (RK4)
figure(2)
hold on
plot(t,zC,'linewidth',2)
plot(t,z(2,:),'r','linewidth',2)
legend('Concentración de C','Concentración de D','location','best');
title('Solución mediante el método de Runge-Kutta');
hold off

%Gráfico de los dos métodos empleados
figure(3)
hold on
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,yC,'b','linewidth',1.5)
plot(t,zC,'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de C(Euler)','Concentración de C(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto C')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t,y(2,:),'b','linewidth',1.5)
plot(t,z(2,:),'r--','linewidth',1.5)
legend('Concentración de D(Euler)','Concentración de D(RK4)','location','best');
title('Gráfico comparativo para compuesto D')
hold off
hold off
}}

En este caso, podemos apreciar como la curva de la concentración de D tarda mucho más en formarse y alcanzar a C. Esto es debido a que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, por lo tanto, el reactivo C tardará más tiempo en agotarse y por ello, para el intervalo de tiempo [0,10] vemos como aún existe C a diferencia del apartado anterior. Mediante el método de Euler, como ya hemos visto acumulamos error. En cambio, Runge-Kutta nos da una aproximación más exacta, con un error prácticamente nulo.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:3.Grafico comparativo 2 (max).jpg

2015-03-06T00:08:02Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:2.Gráfica RK4 2.jpg

2015-03-06T00:07:47Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:1.Grafica Euler 2.jpg

2015-03-06T00:07:27Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:3.Grafico comparativo h=0.3.jpg

2015-03-06T00:07:01Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:2.Grafica Runge Kutta h=0.3.jpg

2015-03-06T00:06:47Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:1.Grafica Euler h=0.3.jpg

2015-03-06T00:06:32Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:3.Grafico comparativo.jpg

2015-03-06T00:06:08Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:2.Grafico Runge Kutta.jpg

2015-03-06T00:05:51Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:1.Grafico Euler.jpg

2015-03-06T00:05:37Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Runge-Kutta apartado8 k2=unquinto h=0.1.jpg

2015-02-28T12:46:04Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado8 k2=unquinto h=0.1.jpg

2015-02-28T12:45:47Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Runge-Kutta apartado7 2 k2=5 h=0.3.jpg

2015-02-28T11:43:55Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado7 2 k2=5 h=0.3.jpg

2015-02-28T11:43:32Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Runge-Kutta apartado7 k2=5 h=0.1.jpg

2015-02-28T11:43:00Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado7 k2=5 h=0.1.jpg

2015-02-28T11:42:35Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Calculos trapecio.jpg

2015-02-28T11:19:53Z

Alicia.vilalta.duce:

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-02-28T10:42:57Z

Alicia.vilalta.duce: /* Enunciado */

Archivo:Reaccion consecutiva.jpg

2015-02-27T15:30:42Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Apartado5 grafica del error de los tres metodos.jpg

2015-02-27T14:48:33Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Apartado5 grafica de los tres metodos.jpg

2015-02-27T14:46:47Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Cálculodelvalordeltiempo apartado4.jpg

2015-02-27T11:33:37Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Gráficadelasconcentraciones apartado4.jpg

2015-02-27T11:33:18Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Cálculos realizados.jpg

2015-02-27T11:32:47Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Cálculos realizados a mano.jpg

2015-02-27T10:58:29Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Exacta apartado3 h=0.01.jpg

2015-02-27T10:21:43Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado3 h=0.01.jpg

2015-02-27T10:21:18Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Error apartado3 h=0.01.jpg

2015-02-27T10:20:55Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Comparacion apartado3 h=0.01.jpg

2015-02-27T10:19:55Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Exacta apartado3.jpg

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Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Error apartado3.jpg

2015-02-27T10:17:57Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Comparacion apartado3.jpg

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Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado3.jpg

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Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Gráfica error apartado2.jpg

2015-02-27T09:50:23Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Gráfica comparativa apartado2.jpg

2015-02-27T09:49:52Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Euler apartado2.jpg

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Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Reacción reversible.jpg

2015-02-24T18:14:13Z

Alicia.vilalta.duce:

Archivo:Teorema Existencia y Unicidad (Teoría).jpg

2015-02-24T16:21:45Z

Alicia.vilalta.duce:

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-02-13T11:50:05Z

Alicia.vilalta.duce:

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-02-13T11:35:48Z

Alicia.vilalta.duce:

Reacciones complejas (Grupo 3-C)

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Reacciones complejas (Grupo 3-C)

2015-02-13T11:02:04Z

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 2-C)

2014-12-16T00:59:51Z

Alicia.vilalta.duce: /* Tensiones tangenciales de un sólido elástico */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 2-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Victoria Manget Sánchez Sacristán, Alejandro Perales Juidías, Manuel Hernández Muñoz, Cristina Martínez Navarro y Alicia Vilalta Duce }}

Trabajo realizado por:
* Victoria Manget Sánchez Sacristán
* Alejandro Perales Juidías
* Manuel Hernández Muñoz
* Cristina Martínez Navarro
* Alicia Vilalta Duce

== Enunciado==
[[Archivo:Mallado de los trabajos 1 y 2().jpg|200px|thumb|left|Mallado de los trabajos 1 y 2]]
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math>
\vec u(x,y) = \vec a \dot(\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>

Se pide:

# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura 1). Tomar como paso de muestreo ''h''= 1/10 para las variables x e y.
# La temperatura del sólido viene dada por la función \( T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}\). Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima.
# Calcular \(\nabla T\) y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que \(\nabla T\) es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado sólido.
# Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math>. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
# Calcular la divergencia de <math>\vec u(x,y)</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
# Calcular |\(\nabla T\)x<math>\vec u(x,y)</math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u(x,y)</math>. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula
<math>\sigma_{i,j}=λ \cdot \nabla \vec u 1 + 2\cdotμ\cdot\epsilon</math>,

donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>λ=μ=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math>. Comparar las gráficas de las tensiones normales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

9. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|= 0 </math>. ¿Dónde son mayores? Comparar las gráficas de las tensiones tangenciales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

10. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|= 0 </math>. ¿Dónde son mayores? Comparar las gráficas de las tensiones tangenciales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

11. La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[[Archivo:Fórmula.jpg]]

donde <math>\sigma_{1}</math>, <math>\sigma_{2}</math>, <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de
<math>\sigma_{}</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m).

12. Supongamos que la densidad de la placa es \( d(x,y,z)=xy log{(x+2)}\).

==Influencia de campos físicos sobre el sólido elástico==

===Introducción al método===

Un campo físico representa la distribución de una magnitud física que varía en el espacio, en otras palabras, es una aplicación que asocia a cada punto del espacio un tensor (hablamos de campos escalares y vectoriales). Normalmente relacionamos estos tensores con variables físicas (temperatura, velocidad, aceleración, etc.).
A continuación se estudiará la influencia que ejercen los campos sobre el sólido elástico, capaz de recuperar su deformación (y volver al estado original) tras ser sometido a tensión.

Partimos de una placa rectangular plana cuyos puntos vienen dados por el vector de posición
<math> \vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>, donde <math> \vec r_{0}(x,y)</math> son las coordenadas del punto definidas en <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math> y <math> \vec u(x,y) </math> refleja el "cambio de posición" (desplazamiento). Consideramos ahora dos campos físicos aplicados a ésta:

'''Campo escalar temperatura:''' <math>T(x,y)</math>

'''Campo vectorial desplazamiento:''' <math>\vec u(x,y)</math>

que dependen de las variables espaciales (x,y).

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Z= zeros(40,10) %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z) %Representación de la superficie
axis equal %Caracterización de los ejes
axis([-1,1,-1,5]) %Limitamos una región en los ejes
}}

===Influencia de la temperatura===

Imaginemos que sobre el solido actúa un primer campo que representa la temperatura puntual y no depende del tiempo. Definimos su foco de calor con centro en el origen (0,0) mediante la expresión:
\( T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}\)

Su representación gráfica sobre la placa viene dada por una superficie en tres dimensiones donde los tonos rojizos indican temperaturas más altas y los tonos azules temperaturas más bajas (ver figura 2).

La visualización en dos dimensiones nos permite ver de forma más clara la relación entre temperatura-distancia al foco. Es fácil comprobar que a medida que nos acercamos al foco la temperatura asciende (ver figura 1).

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-1,1,-1,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,2,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,2,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
}}

El valor máximo de la temperatura es 8.9716.

[[Archivo:ejercicio2.png|700px|thumb|left|Figura 1 y figura 2]]

Para obtener la dirección de máximo cambio de temperatura sobre la superficie (hacia dónde tengo que moverme para calentarme lo más rápido posible) nos valemos del gradiente, representado por un campo vectorial superpuesto a las curvas de nivel de la superficie. Se observa ortogonalidad entre vectores y curvas de nivel. Esto se debe a que la manera de recorrer un tramo sobre la superficie se realiza de la forma más corta en esa dirección, la del gradiente, que representa la mínima distancia entre dos puntos de diferente temperatura.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=(8-Y.^2+2.*Y).*exp(-(X.^2)); %Función de temperatura
[X,Y]=gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y) %Representación de los vectores del campo gradiente
hold off
}}

[[Archivo:ejercicio3.png|700px|thumb|left|Figura 3]]

===Influencia del desplazamiento===

Consideremos ahora <math>\vec u(x,y) = \vec a \dot(\vec b \cdot \vec r_0)^2</math> un campo vectorial que determine el desplazamiento de los puntos del mallado. Al aplicarlo sobre el conjunto, representa el cambio de posición de cada uno de los puntos del sólido.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
i=1; j=1; %Creación del comienzo del bucle
Ux= []; %Creación de la matriz Ux
Uy=[]; %Creación matriz Uy
for i=1:40 %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
for j=1:10
Ux(i,j)=0;
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
quiver(X,Y,Ux,Uy) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
}}

[[Archivo:ejercicio5.png|700px|thumb|left|Figura 4]]

Al aplicar el campo de desplazamiento a la placa rectangular observamos su posición final en comparación a su posición inicial.
[[Archivo:ejercicio5(usar este).png|700px|thumb|left|Figura 5]]

===Influencia de la divergencia===

La divergencia refleja el incremento local de volumen del sólido sometido al campo vectorial <math>\vec u</math> , podemos entenderlo como el flujo por unidad de volumen. Gráficamente imaginamos un prisma de base cuadrada y longitud de lado tendiendo a 0. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia del campo) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que represente un sistema de fuerzas que un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:40
for j=1:10
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %Divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia en mallado
max(max(div)) %Cálculo del máximo valor de la divergencia
}}

El valor máximo obtenido de la divergencia es 0.7897.

[[Archivo:ejercicio6.png|700px|thumb|left|Figura 6]]

===Influencia del rotacional===

El rotacional de un campo vectorial representa la capacidad de girar en torno a un eje. Los puntos que sufren un mayor rotacional serán aquellos en los cuales las derivadas parciales sean máximas ya que el rotacional se halla a partir del producto vectorial de las componentes del campo y los vectores de la base, siendo estas dos fijas.

Procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u(x,y)</math> y observamos que el resultado es 0.

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\frac{1}{\sqrt{g}} \begin{vmatrix} \vec{g_i} & \vec{g_j} & \vec{g_k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{g_i} & \vec{g_j} & \vec{g_k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>

Por tanto el campo es irrotacional, en un dominio simplemente conexo, es decir, se puede demostrar que el campo vectorial u⃗ es conservativo.

===Tensiones normales de un sólido elástico===

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i</math> aplicamos <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> resultando y/5.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j</math> aplicamos <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math> también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-10/2,1/2,10); %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(-10,4,40); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax= Y./5 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:40
for j=1:10
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([0,10,0,40,-6,4]) %Caracterización de los ejes
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

Aplicado a la placa rectangular puesto que tiene un rotacional nulo, por lo explicado anteriormente, dependerá solo de <math>\sigma_{ij}</math> siendo ésta la parte antisimétrica. Se puede observar analíticamente que las componentes de sigma son las mismas que las de <math>\sigma_{}</math>.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i</math> ,aplicamos <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> resultando cero pues es la proyección del vector <math>(\sigma \cdot \vec i)</math> al solo depender de la coordenada <math>\vec j</math> sobre la dirección <math>\vec i</math> es 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j</math> aplicamos <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math> también es cero, puesto que el vector <math>(\sigma \cdot \vec j)</math> solo depende de la componente <math>\vec i</math> por lo que la proyección sobre el eje <math>\vec j</math> es nula.

Por ser nulo no obtendremos ninguna comparación respecto al rotacional.

===Tensiones tangenciales de un sólido elástico===

Las tensiones tangenciales (componentes del vector tensión rasantes al plano de corte) vienen definidas por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> si son respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> y por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>
respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.
Resolviendo la fórmula descrita a continuación para el cálculo de tensiones tangenciales podemos observar que éstas son nulas.

Esto se debe a que estamos proyectando sobre la dirección <math>\vec i</math> un vector con componente únicamente en la dirección <math>\vec i</math>, por tanto coincide con la tensión en la misma dirección y al restarlos, ambos se anulan.
Análogamente para la proyección sobre la dirección <math>\vec j</math>.
<math>
|\sigma \cdot \vec i-(\vec i\cdot\sigma\cdot\vec i)\cdot\vec i|
</math>

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

===La tensión de Von Mises===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[[Archivo:Fórmula.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:ejercicio11.png|700px|thumb|left|Figura8]]

===Cálculo de la masa total===
{{matlab|codigo=
h= 1/10 %Paso de muestreo
u= -1/2:h:1/2 %Vector u
v= 0:h:4 %Vector v
[X,Y]=meshgrid(u,v) %Mallado a partir de los vectores u y v
d=abs(X.*Y.*log(X+2)) %Función de densidad
a=h.^2.*d
masa=sum(sum(a)) %Cálculo de la integral
}}

El valor de la masa = 1.6578.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 2-C)

2014-12-16T00:03:21Z

Alicia.vilalta.duce: /* Cálculo de la masa total */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 2-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Victoria Manget Sánchez Sacristán, Alejandro Perales Juidías, Manuel Hernández Muñoz, Cristina Martínez Navarro y Alicia Vilalta Duce }}

Trabajo realizado por:
* Victoria Manget Sánchez Sacristán
* Alejandro Perales Juidías
* Manuel Hernández Muñoz
* Cristina Martínez Navarro
* Alicia Vilalta Duce

== Enunciado==
[[Archivo:Mallado de los trabajos 1 y 2().jpg|200px|thumb|left|Mallado de los trabajos 1 y 2]]
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por:
<math>
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
</math>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<math>
\vec u(x,y) = \vec a \dot(\vec b \cdot \vec r_0)^2,
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.
En este trabajo supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>

Se pide:

# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura 1). Tomar como paso de muestreo ''h''= 1/10 para las variables x e y.
# La temperatura del sólido viene dada por la función \( T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}\). Dibujar las curvas de nivel y decidir en qué punto la temperatura es máxima.
# Calcular \(\nabla T\) y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que \(\nabla T\) es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math>\vec u(x,y)</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado sólido.
# Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>\vec u(x,y)</math>. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
# Calcular la divergencia de <math>\vec u(x,y)</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?
# Calcular |\(\nabla T\)x<math>\vec u(x,y)</math>| en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u(x,y)</math>. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula
<math>\sigma_{i,j}=λ \cdot \nabla \vec u 1 + 2\cdotμ\cdot\epsilon</math>,

donde <math>λ</math> y <math>μ</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>λ=μ=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math>. Comparar las gráficas de las tensiones normales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

9. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|= 0 </math>. ¿Dónde son mayores? Comparar las gráficas de las tensiones tangenciales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

10. Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|= 0 </math>. ¿Dónde son mayores? Comparar las gráficas de las tensiones tangenciales con las del módulo de la divergencia y las del módulo del rotacional.

11. La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[[Archivo:Fórmula.jpg]]

donde <math>\sigma_{1}</math>, <math>\sigma_{2}</math>, <math>\sigma_{3}</math> son los autovalores de
<math>\sigma_{}</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Pintar la tensión de Von Mises y señalar en qué punto se alcanza el mayor valor. (Para calcular autovalores con OCTAVE/Matlab usar el comando eig.m).

12. Supongamos que la densidad de la placa es \( d(x,y,z)=xy log{(x+2)}\).

==Influencia de campos físicos sobre el sólido elástico==

===Introducción al método===

Un campo físico representa la distribución de una magnitud física que varía en el espacio, en otras palabras, es una aplicación que asocia a cada punto del espacio un tensor (hablamos de campos escalares y vectoriales). Normalmente relacionamos estos tensores con variables físicas (temperatura, velocidad, aceleración, etc.).
A continuación se estudiará la influencia que ejercen los campos sobre el sólido elástico, capaz de recuperar su deformación (y volver al estado original) tras ser sometido a tensión.

Partimos de una placa rectangular plana cuyos puntos vienen dados por el vector de posición
<math> \vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>, donde <math> \vec r_{0}(x,y)</math> son las coordenadas del punto definidas en <math> [-1/2,1/2] \times [0,4]</math> y <math> \vec u(x,y) </math> refleja el "cambio de posición" (desplazamiento). Consideramos ahora dos campos físicos aplicados a ésta:

'''Campo escalar temperatura:''' <math>T(x,y)</math>

'''Campo vectorial desplazamiento:''' <math>\vec u(x,y)</math>

que dependen de las variables espaciales (x,y).

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
Z= zeros(40,10) %Altura de los puntos del intervalo
surf(X,Y,Z) %Representación de la superficie
axis equal %Caracterización de los ejes
axis([-1,1,-1,5]) %Limitamos una región en los ejes
}}

===Influencia de la temperatura===

Imaginemos que sobre el solido actúa un primer campo que representa la temperatura puntual y no depende del tiempo. Definimos su foco de calor con centro en el origen (0,0) mediante la expresión:
\( T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}\)

Su representación gráfica sobre la placa viene dada por una superficie en tres dimensiones donde los tonos rojizos indican temperaturas más altas y los tonos azules temperaturas más bajas (ver figura 2).

La visualización en dos dimensiones nos permite ver de forma más clara la relación entre temperatura-distancia al foco. Es fácil comprobar que a medida que nos acercamos al foco la temperatura asciende (ver figura 1).

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
F=inline('(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2)','x','y'); %Función de temperatura
Z1=F(X,Y) %Elevación de los puntos de la función de temperatura
axis([-1,1,-1,5]) %Caracterización de los ejes
subplot(1,2,1) %Creación de subventana en el espacio de representación
surf(X,Y,Z1) %Representación superficie en 3D
view([0,0,1]) %Vista desde arriba (paso a 2D)
subplot(1,2,2) %Cambio a subventana 2
mesh(X,Y,Z1) %Representación en mallado de la superficie
max(max(F(X,Y))) %Calculo del máximo de la matriz
}}

El valor máximo de la temperatura es 8.9716.

[[Archivo:ejercicio2.png|700px|thumb|left|Figura 1 y figura 2]]

Para obtener la dirección de máximo cambio de temperatura sobre la superficie (hacia dónde tengo que moverme para calentarme lo más rápido posible) nos valemos del gradiente, representado por un campo vectorial superpuesto a las curvas de nivel de la superficie. Se observa ortogonalidad entre vectores y curvas de nivel. Esto se debe a que la manera de recorrer un tramo sobre la superficie se realiza de la forma más corta en esa dirección, la del gradiente, que representa la mínima distancia entre dos puntos de diferente temperatura.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
T=(8-Y.^2+2.*Y).*exp(-(X.^2)); %Función de temperatura
[X,Y]=gradient(T,0.1,0.1); %Cálculo del gradiente
contour(x,y,T) %Representación de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,X,Y) %Representación de los vectores del campo gradiente
hold off
}}

[[Archivo:ejercicio3.png|700px|thumb|left|Figura 3]]

===Influencia del desplazamiento===

Consideremos ahora <math>\vec u(x,y) = \vec a \dot(\vec b \cdot \vec r_0)^2</math> un campo vectorial que determine el desplazamiento de los puntos del mallado. Al aplicarlo sobre el conjunto, representa el cambio de posición de cada uno de los puntos del sólido.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
i=1; j=1; %Creación del comienzo del bucle
Ux= []; %Creación de la matriz Ux
Uy=[]; %Creación matriz Uy
for i=1:40 %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
for j=1:10
Ux(i,j)=0;
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
quiver(X,Y,Ux,Uy) %Representación de los vectores de desplazamiento
axis equal
}}

[[Archivo:ejercicio5.png|700px|thumb|left|Figura 4]]

Al aplicar el campo de desplazamiento a la placa rectangular observamos su posición final en comparación a su posición inicial.
[[Archivo:ejercicio5(usar este).png|700px|thumb|left|Figura 5]]

===Influencia de la divergencia===

La divergencia refleja el incremento local de volumen del sólido sometido al campo vectorial <math>\vec u</math> , podemos entenderlo como el flujo por unidad de volumen. Gráficamente imaginamos un prisma de base cuadrada y longitud de lado tendiendo a 0. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia del campo) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que represente un sistema de fuerzas que un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-1/2,1/2,10) %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(0,4,40) %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y) %Mallado de la placa
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:40
for j=1:10
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %Divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia en mallado
max(max(div)) %Cálculo del máximo valor de la divergencia
}}

El valor máximo obtenido de la divergencia es 0.7897.

[[Archivo:ejercicio6.png|700px|thumb|left|Figura 6]]

===Influencia del rotacional===

El rotacional de un campo vectorial representa la capacidad de girar en torno a un eje. Los puntos que sufren un mayor rotacional serán aquellos en los cuales las derivadas parciales sean máximas ya que el rotacional se halla a partir del producto vectorial de las componentes del campo y los vectores de la base, siendo estas dos fijas.

Procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u(x,y)</math> y observamos que el resultado es 0.

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\frac{1}{\sqrt{g}} \begin{vmatrix} \vec{g_i} & \vec{g_j} & \vec{g_k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{g_i} & \vec{g_j} & \vec{g_k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>

Por tanto el campo es irrotacional, en un dominio simplemente conexo, es decir, se puede demostrar que el campo vectorial u⃗ es conservativo.

===Tensiones normales de un sólido elástico===

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i</math> aplicamos <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> resultando y/5.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j</math> aplicamos <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math> también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x= linspace(-10/2,1/2,10); %Región de rango x entre los valores dados
y= linspace(-10,4,40); %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax= Y./5 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:40
for j=1:10
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([0,10,0,40,-6,4]) %Caracterización de los ejes
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

Aplicado a la placa rectangular puesto que tiene un rotacional nulo, por lo explicado anteriormente, dependerá solo de <math>\sigma_{ij}</math> siendo ésta la parte antisimétrica. Se puede observar analíticamente que las componentes de sigma son las mismas que las de <math>\sigma_{}</math>.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec i</math> ,aplicamos <math>(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i)</math> resultando cero pues es la proyección del vector <math>(\sigma \cdot \vec i)</math> al solo depender de la coordenada <math>\vec j</math> sobre la dirección <math>\vec i</math> es 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje <math>\vec j</math> aplicamos <math>(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j)</math> también es cero, puesto que el vector <math>(\sigma \cdot \vec j)</math> solo depende de la componente <math>\vec i</math> por lo que la proyección sobre el eje <math>\vec j</math> es nula.

Por ser nulo no obtendremos ninguna comparación respecto al rotacional.

===Tensiones tangenciales de un sólido elástico===

Las tensiones tangenciales (componentes del vector tensión rasantes al plano de corte) vienen definidas por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> si son respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math> y por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>
respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.
Resolviendo la fórmula descrita a continuación para el cálculo de tensiones tangenciales podemos observar que éstas son nulas.

Esto se debe a que estamos proyectando sobre la dirección <math>\vec i</math> un vector con componente únicamente en la dirección <math>\vec i</math>, por tanto coincide con la tensión en la misma dirección y al restarlos, ambos se anulan.
Análogamente para la proyección sobre la dirección <math>\vec j</math>.
<math>
|\sigma \cdot \vec i-(\vec i\cdot\sigma\cdot\vec i)\cdot\vec i|
</math>

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

===La tensión de Von Mises===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula

[[Archivo:Fórmula.jpg]]

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:ejercicio11.png|700px|thumb|left|Figura8]]

===Cálculo de la masa total===
{{matlab|codigo=
h= 1/10 %Paso de muestreo
u= -1/2:h:1/2 %Vector u
v= 0:h:4 %Vector v
[X,Y]=meshgrid(u,v) %Mallado a partir de los vectores u y v
d=abs(X.*Y.*log(X+2)) %Función de densidad
a=h.^2.*d
masa=sum(sum(a)) %Cálculo de la integral
}}

El valor de la masa = 1.6578.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]