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Trabajo grupo 4

2019-12-05T13:58:32Z

Alicia Rodriguez Reyes: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Andrea Palomar Expósito 
Bertha Alicia Rodríguez 
Marcos Nieto Horna }}

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante <math>x,y\geq 0</math>. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>.

== Introducción ==
Durante este trabajo expondremos los cambios que sufre una placa cuando está sometida a distintas situaciones como temperaturas, desplazamientos o rotaciones.

== Mallado de la placa ==
 
Con lo definido anteriormente, comenzaremos dibujando con ayuda del programa Matlab el mallado que representa los puntos interiores del sólido; consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como podemos observar en el mallado el aro no está completamente cerrado en la coordenada <math>\theta =\pi </math>. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, éste será mayor que <math>\theta </math>, por lo que se omite. 

[[Archivo:tc1c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
[[Archivo:tc1f2.png|400px|thumb|centro|Mallado de la Placa]] 

== Temperatura ==
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación es <math>T(x,y)=log(y+2)</math>. Como ya conocemos la representación de la placa, ahora podremos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido debido a la temperatura que la afecta.

[[Archivo:tc2c.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc2f2.png|600px|thumb|centro|Temperatura en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma <math>\nabla T</math>. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 

Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: 
<math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow </math>
<math> \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> 

[[Archivo:tc3c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc3f2.png|500px|thumb|centro|Gradiente de Temperatura en la Placa]] 

== Campo de Desplazamiento ==
Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento. 
:*El <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 

Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cilíndricas:
<math>\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad </math> 
 

Particularizamos el cálculo del rotacional a nuestro campo. una vez calculado lo igualamos a <math>\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
Nota: Como sabemos que nuestro rotacional solo depende de <math>{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math>, no tenemos en cuenta <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }+\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial z } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math><math>\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
 

Calculamos nuestra función <math>f\left( \rho \right)</math> . 
<math>\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C</math>. 

<math>{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } </math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Imponemos la primera condición la cual nos dice que los puntos situados en <math>\rho =1</math> no tienen desplazamiento. Esto quiere decir que nuestro campo <math>\overrightarrow { u } </math>, en <math>\rho =1</math>, es cero. 

<math>\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0</math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>.

Una vez obtenido el campo de desplazamientos, a continuación podemos ver el sólido antes y después de aplicar <math>\overrightarrow { u } </math>. 

[[Archivo:tc5c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc5f2.png|500px|thumb|centro|Campo de vectores en la malla]] 
 
[[Archivo:tc6c2.png|550px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc6f2.png|500px|thumb|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Divergencia ==
Al tener el vector <math>\overrightarrow { u } </math> podremos aprovechar para calcular el cambio de densidad que afecta a nuestra placa en cada punto, es decir su divergencia. Ésta la calcularemos a continuación: 
Nuestro campo anteriormente calculado:
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Recordamos la fórmula general: 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \left( \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \rho } +\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \theta } +\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial z } \right) </math>. 

Ahora calculamos la divergencia particularizada a nuestro campo: 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial \rho } +\frac { \partial \left( \rho \cdot \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) }{ \partial \theta } +\frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial z } \right) =\frac { 1 }{ \rho } \cdot \left( 0 \right) </math>. 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> 
Al realizar el cálculo de la divergencia podemos observas que nuestro resultado a dado cero, por lo que no afecta a nuestra placa. 

[[Archivo:tc7c2.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc7f2.png|500px|thumb|centro|Divergencia en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Rotacional ==
Con una de las características que nos des daban para calcular en vector de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math>, nos dan el rotacional <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. Recordamos que el rotacional que es el vector perpendicular al plano que gira sobre si mismo. Lo aplicaremos a nuestra placa para observar como lo afecta. 
Tenemos: 
<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math> que ya nos lo daban

Y su módulo será: <math>\left| \nabla x\overrightarrow { u } \right| =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } </math>

[[Archivo:tc8c2.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc8f2.png|600px|thumb|centro|Rotacional en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Tensiones ==
Definimos <math>\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } </math>. Recordamos que el vector <math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad </math><math>g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }</math>. 
 
Aplicado a nuestro campo tendríamos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) </math>. 
 
<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z)
 
<math>\frac { \partial { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } ={ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta }=\frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \left( -\rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math> 
<math>\frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } ={ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=-\rho { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>.

Para poder resolver la divergencia nos apoyamos en los símbolos de Christoffel, donde han establecido una matrices para las coordenadas cilíndricas que son las siguientes: 
<math>{ \Gamma }^{ \rho }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ \theta }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \rho } & 0 \\ \frac { 1 }{ \rho } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ z }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 
 
Donde podemos ahora sustituir en la gráfica y finalmente tenemos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10{ \rho }^{ 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

Siguiendo definiendo <math>\epsilon ({ \overrightarrow { u } })</math>, teniendo <math>\nabla \overrightarrow { u } </math>. Ahora encontramos tu traspuesta <math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }</math>: 
<math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 \\ \frac { -\rho ^{ 2 }+\rho }{ 10\rho ^{ 2 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\epsilon \left( \overrightarrow { u } \right) =\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla \overrightarrow { u } }^{ t } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 20 } \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math> 

Tenemos la tensión definida por <math>\sigma =\lambda \nabla \cdot \overrightarrow { u } 1+2\mu \epsilon </math>, donde sabemos que <math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> y <math>\mu =\lambda =1</math> 

Por lo que finalmente la tensión será <math>\sigma =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\sigma =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>,<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta },{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math> 
<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0\quad\quad,\quad \quad { \overrightarrow { g } }_{ z }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ z }=0\quad \quad y\quad \quad \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } \cdot \sigma \cdot \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } =0</math>. 

A partir de la tensión obtenida anteriormente, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>, es decir <math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }-\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| </math>. 

Tenemos la tensión <math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

Por lo calculado anteriormente sabemos que <math>\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0</math>. 
Entonces nos quedaría <math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\quad \frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

Desarollándolo: <math>\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta } } =\frac { 1 }{ 10 } \rho </math>. 
Nota: Recordamos que <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }</math>

En la siguiente gráfica observamos la tensión de Von Mises, la cual viene dada por la siguiente fórmula: <math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>, donde sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }y { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math> . 

[[Archivo:tc12c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]] 
 
[[Archivo:tc11c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]]
[[Archivo:tc11f2.png|500px|thumb|left|Tensiones de Von Mises]]
[[Archivo:tc12f2.png|500px|thumb|Centro|Tensiones de Von Mises]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Masa ==
Al tener la densidad de la placa, que es: <math>d(x,y,z)=1+{ e }^{ -\left| x \right| /{ \left( y+1 \right) }^{ 2 } }</math>. Podemos calcular la masa total mediante la siguiente integral: 
<math>\int _{ S }^{ }{ f\cdot dS\quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| \frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial u } \left( u,v \right) x\frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial v } \left( u,v \right) \right| dudv } } \quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| dudv } </math>. 

Con la parametrización de nuestra placa: <math>\begin{cases} \rho =u \\ \theta =v \\ z=0 \end{cases}\qquad \begin{matrix} u\quad \epsilon \left( 1,3 \right) \\ v\quad \epsilon \left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \end{matrix}</math>. 
Cambiando nuestra densidad de cartesianas a cilíndrica: <math>d\left( \rho ,\theta \right) =-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } }</math>. 
Y sabiendo que <math>\left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| =\rho =u</math>. 
Finalmente tenemos nuestra integral: 
<math>\int _{ 1 }^{ 3 }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( (-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } })\rho \right) dudv } } </math> 
Al ser una integral complicada para realizarla a mano, nos apoyaremos de los métodos numéricos para aproximar la integral. 
 
[[Archivo:tc13c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
Que nos da como resultado m=0.094601

[[Categoría:Curso ICE]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
[[Categoría:TC15/16]]
[[Categoría:TC16/17]]
[[Categoría:TC17/18]]
[[Categoría:TC18/19]]
[[Categoría:TC19/20]]
[[Categoría:Informática]]

Trabajo grupo 4

2019-12-05T13:53:44Z

Alicia Rodriguez Reyes:

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Andrea Palomar Expósito 
Bertha Alicia Rodríguez 
Marcos Nieto Horna }}

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante <math>x,y\geq 0</math>. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>.

== Introducción ==
Durante este trabajo expondremos los cambios que sufre una placa cuando está sometida a distintas situaciones como temperaturas, desplazamientos o rotaciones.

== Mallado de la placa ==
 
Con lo definido anteriormente, comenzaremos dibujando con ayuda del programa Matlab el mallado que representa los puntos interiores del sólido; consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como podemos observar en el mallado el aro no está completamente cerrado en la coordenada <math>\theta =\pi </math>. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, éste será mayor que <math>\theta </math>, por lo que se omite. 

[[Archivo:tc1c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
[[Archivo:tc1f2.png|400px|thumb|centro|Mallado de la Placa]] 

== Temperatura ==
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación es <math>T(x,y)=log(y+2)</math>. Como ya conocemos la representación de la placa, ahora podremos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido debido a la temperatura que la afecta.

[[Archivo:tc2c.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc2f2.png|600px|thumb|centro|Temperatura en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma <math>\nabla T</math>. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 

Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: 
<math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow </math>
<math> \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> 

[[Archivo:tc3c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc3f2.png|500px|thumb|centro|Gradiente de Temperatura en la Placa]] 

== Campo de Desplazamiento ==
Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento. 
:*El <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 

Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cilíndricas:
<math>\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad </math> 
 

Particularizamos el cálculo del rotacional a nuestro campo. una vez calculado lo igualamos a <math>\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
Nota: Como sabemos que nuestro rotacional solo depende de <math>{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math>, no tenemos en cuenta <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }+\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial z } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math><math>\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
 

Calculamos nuestra función <math>f\left( \rho \right)</math> . 
<math>\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C</math>. 

<math>{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } </math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Imponemos la primera condición la cual nos dice que los puntos situados en <math>\rho =1</math> no tienen desplazamiento. Esto quiere decir que nuestro campo <math>\overrightarrow { u } </math>, en <math>\rho =1</math>, es cero. 

<math>\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0</math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>.

Una vez obtenido el campo de desplazamientos, a continuación podemos ver el sólido antes y después de aplicar <math>\overrightarrow { u } </math>. 

[[Archivo:tc5c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc5f2.png|500px|thumb|centro|Campo de vectores en la malla]] 
 
[[Archivo:tc6c2.png|550px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc6f2.png|500px|thumb|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Divergencia ==
Al tener el vector <math>\overrightarrow { u } </math> podremos aprovechar para calcular el cambio de densidad que afecta a nuestra placa en cada punto, es decir su divergencia. Ésta la calcularemos a continuación: 
Nuestro campo anteriormente calculado:
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Recordamos la fórmula general: 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \left( \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \rho } +\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \theta } +\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial z } \right) </math>. 

Ahora calculamos la divergencia particularizada a nuestro campo: 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial \rho } +\frac { \partial \left( \rho \cdot \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) }{ \partial \theta } +\frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial z } \right) =\frac { 1 }{ \rho } \cdot \left( 0 \right) </math>. 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> 
Al realizar el cálculo de la divergencia podemos observas que nuestro resultado a dado cero, por lo que no afecta a nuestra placa. 

[[Archivo:tc7c2.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc7f2.png|500px|thumb|centro|Divergencia en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Rotacional ==
Con una de las características que nos des daban para calcular en vector de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math>, lo aplicaremos a nuestra placa para observar como lo afecta. 
Tenemos: 
<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math> que ya nos lo daban

Y su módulo será: <math>\left| \nabla x\overrightarrow { u } \right| =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } </math>

[[Archivo:tc8c2.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc8f2.png|600px|thumb|centro|Rotacional en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Tensiones ==
Definimos <math>\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } </math>. Recordamos que el vector <math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad </math><math>g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }</math>. 
 
Aplicado a nuestro campo tendríamos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) </math>. 
 
<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z)
 
<math>\frac { \partial { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } ={ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta }=\frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \left( -\rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math> 
<math>\frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } ={ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=-\rho { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>.

Para poder resolver la divergencia nos apoyamos en los símbolos de Christoffel, donde han establecido una matrices para las coordenadas cilíndricas que son las siguientes: 
<math>{ \Gamma }^{ \rho }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ \theta }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \rho } & 0 \\ \frac { 1 }{ \rho } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ z }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 
 
Donde podemos ahora sustituir en la gráfica y finalmente tenemos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10{ \rho }^{ 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

Siguiendo definiendo <math>\epsilon ({ \overrightarrow { u } })</math>, teniendo <math>\nabla \overrightarrow { u } </math>. Ahora encontramos tu traspuesta <math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }</math>: 
<math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 \\ \frac { -\rho ^{ 2 }+\rho }{ 10\rho ^{ 2 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\epsilon \left( \overrightarrow { u } \right) =\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla \overrightarrow { u } }^{ t } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 20 } \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math> 

Tenemos la tensión definida por <math>\sigma =\lambda \nabla \cdot \overrightarrow { u } 1+2\mu \epsilon </math>, donde sabemos que <math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> y <math>\mu =\lambda =1</math> 

Por lo que finalmente la tensión será <math>\sigma =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\sigma =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>,<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta },{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math> 
<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0\quad\quad,\quad \quad { \overrightarrow { g } }_{ z }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ z }=0\quad \quad y\quad \quad \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } \cdot \sigma \cdot \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } =0</math>. 

A partir de la tensión obtenida anteriormente, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>, es decir <math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }-\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| </math>. 

Tenemos la tensión <math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

Por lo calculado anteriormente sabemos que <math>\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0</math>. 
Entonces nos quedaría <math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\quad \frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

Desarollándolo: <math>\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta } } =\frac { 1 }{ 10 } \rho </math>. 
Nota: Recordamos que <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }</math>

En la siguiente gráfica observamos la tensión de Von Mises, la cual viene dada por la siguiente fórmula: <math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>, donde sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }y { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math> . 

[[Archivo:tc12c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]] 
 
[[Archivo:tc11c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]]
[[Archivo:tc11f2.png|500px|thumb|left|Tensiones de Von Mises]]
[[Archivo:tc12f2.png|500px|thumb|Centro|Tensiones de Von Mises]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Masa ==
Al tener la densidad de la placa, que es: <math>d(x,y,z)=1+{ e }^{ -\left| x \right| /{ \left( y+1 \right) }^{ 2 } }</math>. Podemos calcular la masa total mediante la siguiente integral: 
<math>\int _{ S }^{ }{ f\cdot dS\quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| \frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial u } \left( u,v \right) x\frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial v } \left( u,v \right) \right| dudv } } \quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| dudv } </math>. 

Con la parametrización de nuestra placa: <math>\begin{cases} \rho =u \\ \theta =v \\ z=0 \end{cases}\qquad \begin{matrix} u\quad \epsilon \left( 1,3 \right) \\ v\quad \epsilon \left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \end{matrix}</math>. 
Cambiando nuestra densidad de cartesianas a cilíndrica: <math>d\left( \rho ,\theta \right) =-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } }</math>. 
Y sabiendo que <math>\left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| =\rho =u</math>. 
Finalmente tenemos nuestra integral: 
<math>\int _{ 1 }^{ 3 }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( (-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } })\rho \right) dudv } } </math> 
Al ser una integral complicada para realizarla a mano, nos apoyaremos de los métodos numéricos para aproximar la integral. 
 
[[Archivo:tc13c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
Que nos da como resultado m=0.094601

[[Categoría:Curso ICE]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
[[Categoría:TC15/16]]
[[Categoría:TC16/17]]
[[Categoría:TC17/18]]
[[Categoría:TC18/19]]
[[Categoría:TC19/20]]
[[Categoría:Informática]]

Trabajo grupo 4

2019-12-05T13:53:24Z

Alicia Rodriguez Reyes:

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Ana Regaliza Rodríguez 
Andrea Palomar Expósito 
Bertha Alicia Rodríguez Reyes 
Marcos Nieto Horna }}

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante <math>x,y\geq 0</math>. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>.

== Introducción ==
Durante este trabajo expondremos los cambios que sufre una placa cuando está sometida a distintas situaciones como temperaturas, desplazamientos o rotaciones.

== Mallado de la placa ==
 
Con lo definido anteriormente, comenzaremos dibujando con ayuda del programa Matlab el mallado que representa los puntos interiores del sólido; consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como podemos observar en el mallado el aro no está completamente cerrado en la coordenada <math>\theta =\pi </math>. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, éste será mayor que <math>\theta </math>, por lo que se omite. 

[[Archivo:tc1c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
[[Archivo:tc1f2.png|400px|thumb|centro|Mallado de la Placa]] 

== Temperatura ==
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación es <math>T(x,y)=log(y+2)</math>. Como ya conocemos la representación de la placa, ahora podremos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido debido a la temperatura que la afecta.

[[Archivo:tc2c.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc2f2.png|600px|thumb|centro|Temperatura en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma <math>\nabla T</math>. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 

Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: 
<math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow </math>
<math> \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> 

[[Archivo:tc3c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc3f2.png|500px|thumb|centro|Gradiente de Temperatura en la Placa]] 

== Campo de Desplazamiento ==
Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento. 
:*El <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 

Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cilíndricas:
<math>\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad </math> 
 

Particularizamos el cálculo del rotacional a nuestro campo. una vez calculado lo igualamos a <math>\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
Nota: Como sabemos que nuestro rotacional solo depende de <math>{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math>, no tenemos en cuenta <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }+\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial z } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math><math>\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
 

Calculamos nuestra función <math>f\left( \rho \right)</math> . 
<math>\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C</math>. 

<math>{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } </math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Imponemos la primera condición la cual nos dice que los puntos situados en <math>\rho =1</math> no tienen desplazamiento. Esto quiere decir que nuestro campo <math>\overrightarrow { u } </math>, en <math>\rho =1</math>, es cero. 

<math>\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0</math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>.

Una vez obtenido el campo de desplazamientos, a continuación podemos ver el sólido antes y después de aplicar <math>\overrightarrow { u } </math>. 

[[Archivo:tc5c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc5f2.png|500px|thumb|centro|Campo de vectores en la malla]] 
 
[[Archivo:tc6c2.png|550px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc6f2.png|500px|thumb|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Divergencia ==
Al tener el vector <math>\overrightarrow { u } </math> podremos aprovechar para calcular el cambio de densidad que afecta a nuestra placa en cada punto, es decir su divergencia. Ésta la calcularemos a continuación: 
Nuestro campo anteriormente calculado:
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Recordamos la fórmula general: 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \left( \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \rho } +\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \theta } +\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial z } \right) </math>. 

Ahora calculamos la divergencia particularizada a nuestro campo: 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial \rho } +\frac { \partial \left( \rho \cdot \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) }{ \partial \theta } +\frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial z } \right) =\frac { 1 }{ \rho } \cdot \left( 0 \right) </math>. 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> 
Al realizar el cálculo de la divergencia podemos observas que nuestro resultado a dado cero, por lo que no afecta a nuestra placa. 

[[Archivo:tc7c2.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc7f2.png|500px|thumb|centro|Divergencia en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Rotacional ==
Con una de las características que nos des daban para calcular en vector de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math>, lo aplicaremos a nuestra placa para observar como lo afecta. 
Tenemos: 
<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math> que ya nos lo daban

Y su módulo será: <math>\left| \nabla x\overrightarrow { u } \right| =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } </math>

[[Archivo:tc8c2.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc8f2.png|600px|thumb|centro|Rotacional en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Tensiones ==
Definimos <math>\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } </math>. Recordamos que el vector <math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad </math><math>g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }</math>. 
 
Aplicado a nuestro campo tendríamos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) </math>. 
 
<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z)
 
<math>\frac { \partial { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } ={ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta }=\frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \left( -\rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math> 
<math>\frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } ={ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=-\rho { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>.

Para poder resolver la divergencia nos apoyamos en los símbolos de Christoffel, donde han establecido una matrices para las coordenadas cilíndricas que son las siguientes: 
<math>{ \Gamma }^{ \rho }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ \theta }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \rho } & 0 \\ \frac { 1 }{ \rho } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ z }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 
 
Donde podemos ahora sustituir en la gráfica y finalmente tenemos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10{ \rho }^{ 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

Siguiendo definiendo <math>\epsilon ({ \overrightarrow { u } })</math>, teniendo <math>\nabla \overrightarrow { u } </math>. Ahora encontramos tu traspuesta <math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }</math>: 
<math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 \\ \frac { -\rho ^{ 2 }+\rho }{ 10\rho ^{ 2 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\epsilon \left( \overrightarrow { u } \right) =\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla \overrightarrow { u } }^{ t } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 20 } \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math> 

Tenemos la tensión definida por <math>\sigma =\lambda \nabla \cdot \overrightarrow { u } 1+2\mu \epsilon </math>, donde sabemos que <math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> y <math>\mu =\lambda =1</math> 

Por lo que finalmente la tensión será <math>\sigma =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\sigma =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>,<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta },{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math> 
<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0\quad\quad,\quad \quad { \overrightarrow { g } }_{ z }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ z }=0\quad \quad y\quad \quad \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } \cdot \sigma \cdot \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } =0</math>. 

A partir de la tensión obtenida anteriormente, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>, es decir <math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }-\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| </math>. 

Tenemos la tensión <math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

Por lo calculado anteriormente sabemos que <math>\left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0</math>. 
Entonces nos quedaría <math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\quad \frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

Desarollándolo: <math>\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad +\frac { 1 }{ 10 } \left( { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\quad =\quad \frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\left| \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| =\sqrt { \frac { 1 }{ { 10 }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta } } =\frac { 1 }{ 10 } \rho </math>. 
Nota: Recordamos que <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }\cdot { \overrightarrow { g } }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }</math>

En la siguiente gráfica observamos la tensión de Von Mises, la cual viene dada por la siguiente fórmula: <math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>, donde sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }y { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math> . 

[[Archivo:tc12c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]] 
 
[[Archivo:tc11c2.png|600px|thumb|centro|Código Matlab]]
[[Archivo:tc11f2.png|500px|thumb|left|Tensiones de Von Mises]]
[[Archivo:tc12f2.png|500px|thumb|Centro|Tensiones de Von Mises]] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Masa ==
Al tener la densidad de la placa, que es: <math>d(x,y,z)=1+{ e }^{ -\left| x \right| /{ \left( y+1 \right) }^{ 2 } }</math>. Podemos calcular la masa total mediante la siguiente integral: 
<math>\int _{ S }^{ }{ f\cdot dS\quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| \frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial u } \left( u,v \right) x\frac { \partial \overrightarrow { r } }{ \partial v } \left( u,v \right) \right| dudv } } \quad =\quad \iint _{ D }^{ }{ f\left( s\left( u,v \right) \right) \left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| dudv } </math>. 

Con la parametrización de nuestra placa: <math>\begin{cases} \rho =u \\ \theta =v \\ z=0 \end{cases}\qquad \begin{matrix} u\quad \epsilon \left( 1,3 \right) \\ v\quad \epsilon \left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \end{matrix}</math>. 
Cambiando nuestra densidad de cartesianas a cilíndrica: <math>d\left( \rho ,\theta \right) =-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } }</math>. 
Y sabiendo que <math>\left| { \overrightarrow { r } }_{ u }x{ \overrightarrow { r } }_{ v } \right| =\rho =u</math>. 
Finalmente tenemos nuestra integral: 
<math>\int _{ 1 }^{ 3 }{ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \left( (-1+{ e }^{ \frac { -\left| pcos\left( \theta \right) \right| }{ { \left( \rho sin\left( \theta \right) +1 \right) }^{ 2 } } })\rho \right) dudv } } </math> 
Al ser una integral complicada para realizarla a mano, nos apoyaremos de los métodos numéricos para aproximar la integral. 
 
[[Archivo:tc13c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
Que nos da como resultado m=0.094601

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2019-12-04T21:46:46Z

Alicia Rodriguez Reyes:

Archivo:Tc12f2.png

2019-12-04T21:46:20Z

Alicia Rodriguez Reyes:

2019-12-04T21:33:39Z

Alicia Rodriguez Reyes:

Trabajo grupo 4

2019-12-04T21:32:56Z

Alicia Rodriguez Reyes:

{{ Trabajo 4 | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Elasticidad. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] |Ana Regaliza Rodríguez 
Andrea Palomar Expósito 
Bertha Alicia Rodríguez Reyes 
Marcos Nieto Horna }}

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante <math>x,y\geq 0</math>. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math>.

== Introducción ==
Durante este trabajo expondremos los cambios que sufre una placa cuando está sometida a distintas situaciones como temperaturas, desplazamientos o rotaciones.

== Mallado de la placa ==
 
Con lo definido anteriormente, comenzaremos dibujando con ayuda del programa Matlab el mallado que representa los puntos interiores del sólido; consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como podemos observar en el mallado el aro no está completamente cerrado en la coordenada <math>\theta =\pi </math>. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, éste será mayor que <math>\theta </math>, por lo que se omite. 

[[Archivo:tc1c2.png|400px|thumb|left|Código Matlab]]
[[Archivo:tc1f2.png|400px|thumb|centro|Mallado de la Placa]] 

== Temperatura ==
Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación es <math>T(x,y)=log(y+2)</math>. Como ya conocemos la representación de la placa, ahora podremos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido debido a la temperatura que la afecta.

[[Archivo:tc2c.png|400px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc2f2.png|600px|thumb|centro|Temperatura en la Placa]] 
 
 
 
 
 
 
 

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma <math>\nabla T</math>. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

Recordamos la fórmula general del cálculo de <math>\nabla T</math> en coordenadas cartesianas
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 

Particularizándolo a nuestra temperatura <math>T(x,y)=log(y+2)</math>, obtenemos: 
<math>\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow </math>
<math> \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } </math> 

[[Archivo:tc3c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc3f2.png|500px|thumb|centro|Temperatura en la Placa]] 

== Campo de Desplazamiento ==
Queremos considerar un campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math> con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en <math>\rho =1</math> no sufren desplazamiento. 
:*El <math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 

Para poder calcular el campo de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math> debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cilíndricas:
<math>\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad </math> 
 

Particularizamos el cálculo del rotacional a nuestro campo. una vez calculado lo igualamos a <math>\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
Nota: Como sabemos que nuestro rotacional solo depende de <math>{ \overrightarrow { g } }_{ z }</math>, no tenemos en cuenta <math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 

<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }+\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial z } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math><math>\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math>. 
 

Calculamos nuestra función <math>f\left( \rho \right)</math> . 
<math>\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C</math>. 

<math>{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } </math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Imponemos la primera condición la cual nos dice que los puntos situados en <math>\rho =1</math> no tienen desplazamiento. Esto quiere decir que nuestro campo <math>\overrightarrow { u } </math>, en <math>\rho =1</math>, es cero. 

<math>\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0</math>. 
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>.

Una vez obtenido el campo de desplazamientos, a continuación podemos ver el sólido antes y después de aplicar <math>\overrightarrow { u } </math>. 

[[Archivo:tc5c.png|500px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc5f2.png|500px|thumb|centro|Campo de vectores en la malla]] 
 
[[Archivo:tc6c2.png|550px|thumb|left|Código]]
[[Archivo:tc6f2.png|500px|thumb|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]] 
 
 
 
 
 
 
 
 

== Divergencia ==
Al tener el vector <math>\overrightarrow { u } </math> podremos aprovechar para calcular el cambio de densidad que afecta a nuestra placa en cada punto, es decir su divergencia. Ésta la calcularemos a continuación: 
Nuestro campo anteriormente calculado:
<math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Recordamos la fórmula general: 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \left( \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \rho } +\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \theta } +\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial z } \right) </math>. 

Ahora calculamos la divergencia particularizada a nuestro campo: 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial \rho } +\frac { \partial \left( \rho \cdot \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) }{ \partial \theta } +\frac { \partial \left( \rho \cdot 0 \right) }{ \partial z } \right) =\frac { 1 }{ \rho } \cdot \left( 0 \right) </math>. 

<math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> 
Al realizar el cálculo de la divergencia podemos observas que nuestro resultado a dado cero, por lo que no afecta a nuestra placa. 

== Rotacional ==
Con una de las características que nos des daban para calcular en vector de desplazamiento <math>\overrightarrow { u } </math>, lo aplicaremos a nuestra placa para observar como lo afecta. 
Tenemos: 
<math>\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }</math> que ya nos lo daban

Y su módulo será: <math>\left| \nabla x\overrightarrow { u } \right| =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } </math>

(codigo matlab y figura)

== Tensiones ==
Definimos <math>\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } </math>. Recordamos que el vector <math>\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
<math>\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad </math><math>g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }</math>. 
 
Aplicado a nuestro campo tendríamos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) </math>. 
 
<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho }=\frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z)
 
<math>\frac { \partial { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \rho } ={ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \rho }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 1 }{ \rho } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }</math>. 

<math>\frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta }=\frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } =\frac { \rho -1 }{ 10 } \left( -\rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=\frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math> 
<math>\frac { { \partial \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \partial \theta } ={ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \rho }{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ \theta }{ \overrightarrow { g } }_{ \theta }+{ \Gamma }_{ \theta \theta }^{ z }{ \overrightarrow { g } }_{ z }=-\rho { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>.

Para poder resolver la divergencia nos apoyamos en los símbolos de Christoffel, donde han establecido una matrices para las coordenadas cilíndricas que son las siguientes: 
<math>{ \Gamma }^{ \rho }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\rho & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ \theta }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ \rho } & 0 \\ \frac { 1 }{ \rho } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) \qquad { \Gamma }^{ z }=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 
 
Donde podemos ahora sustituir en la gráfica y finalmente tenemos: <math>\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { -{ \rho }^{ 2 }+\rho }{ 10{ \rho }^{ 2 } } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

Siguiendo definiendo <math>\epsilon ({ \overrightarrow { u } })</math>, teniendo <math>\nabla \overrightarrow { u } </math>. Ahora encontramos tu traspuesta <math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }</math>: 
<math>\nabla \overrightarrow { u } ^{ t }=\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } (2-\frac { 1 }{ \rho } ) & 0 \\ \frac { -\rho ^{ 2 }+\rho }{ 10\rho ^{ 2 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\epsilon \left( \overrightarrow { u } \right) =\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla \overrightarrow { u } }^{ t } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 20 } \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math> 

Tenemos la tensión definida por <math>\sigma =\lambda \nabla \cdot \overrightarrow { u } 1+2\mu \epsilon </math>, donde sabemos que <math>\nabla \cdot \overrightarrow { u } =0</math> y <math>\mu =\lambda =1</math> 

Por lo que finalmente la tensión será <math>\sigma =\left( \begin{matrix} 0 & \frac { 1 }{ 10 } & 0 \\ \frac { 1 }{ 10 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) </math>. 

<math>\sigma =\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \rho }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \theta }+\frac { 1 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ \theta }\otimes { \overrightarrow { g } }_{ \rho }</math>. 
Calculamos las tensiones normales en la direccion que marca el eje g(rho), g(tetha), g(z) 
<math>{ \overrightarrow { g } }_{ \rho }\cdot \sigma \cdot { \overrightarrow { g } }_{ \rho }=0\quad \quad y\quad \quad \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } \cdot \sigma \cdot \frac { { \overrightarrow { g } }_{ \theta } }{ \rho } =0</math>. 

A partir de la tensión obtenida anteriormente, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a g(rho) 

(calculo de ejercicio 10)

En la siguiente gráfica observamos la tensión de Von Mises, la cual viene dada por la siguiente fórmula: (formula) , donde sabemos de t1,t2,t3 son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de t. 

Añadir foto ejercicio 11

== Masa ==
Al tener la densidad de la placa, que es: . Podemos calcular la masa total mediante la siguiente integral. 

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Alicia Rodriguez Reyes:

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Alicia Rodriguez Reyes: