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Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares

2014-12-03T15:16:10Z

Alfandres: /* Resta */

{{ TrabajoSIG | Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares | Carlos Fernández Rubio, Alfonso Andrés Garcia, Roberto Cojo Ruiz | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

El objetivo de este trabajo es determinar la localización óptima para un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos de media y alta radioactividad en el territorio peninsular español.
Para ello, utilizaremos el programa libre de sistemas de información geográfica QGIS. Con este, realizaremos un análisis vectorial de la zona a estudiar basándonos en: criterios excluyentes, que determinarán zonas en las que no es posible la localización (añadiendo distancias mínimas a estas); y criterios de cercanía y de elección preferente, que determinarán zonas óptimas por cercanía o características. Los criterios considerados estarán debidamente justificados.
Los datos utilizados podrán ser consultados en: el Centro Nacional de Información Geográfica (CNIG), el Instituto Geográfico Nacional (IGN) y el Instituto Geológico Minero Español (IGME). Todas las capas utilizadas fueron descargadas de las páginas oficiales o realizadas por nosotros.
Tras la creación de una capa vectorial de todo el territorio peninsular español, se realizarán las restas pertinentes para eliminar las zonas que deben ser evitadas según los criterios de exclusión. Una vez realizado este proceso, esperamos haber eliminado la mayor parte del territorio inicial.
Tras esto, trabajaremos con los polígonos obtenidos aplicando los criterios de localización preferente para así, finalmente, obtener las zonas que constituirán los resultados y conclusiones del estudio.
Tras un análisis preliminar, creemos que las zonas óptimas estarán situadas en la meseta central (Castilla la Mancha, Castilla León o Extremadura), lejos del sur peninsular (donde se encuentra la mayoría de las zonas sísmicas) y evitando las zonas costeras y cuencas fluviales.

== INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Y CRITERIOS UTILIZADOS==
Según datos oficiales, se espera que al final de la vida operativa de los reactores nucleares españoles (estimada en 40 años) se hayan generado cerca de 6.700 toneladas de material irradiado de alta actividad.
Tras la expiración de los contratos que mantenía el gobierno de España con Reino Unido y Francia (en 2010 y 2011 respectivamente) para el envío de residuos radiactivos; y la saturación de los almacenes de las propias centrales (como la de Trillo, en la que ya se construyó un contenedor extra para el almacenamiento de excedentes); surge la necesidad de la construcción de un almacén de residuos radiactivos en territorio nacional. [1.]
Por estas causas, nos centraremos en la localización óptima de un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos radiactivos en el territorio peninsular español, necesario para hacer frente a esta oferta de residuos.
Esta instalación, que requiere una zona de 25 hectáreas [2.], es a diferencia de los almacenes de residuos radiactivos por tiempo indefinido, una construcción superficial y temporal, lo cual facilita sustancialmente la elección de la localización reduciendo los criterios a considerar.

===Criterios de exclusión y cercanía: elección y desarrollo===
Para determinar qué criterios son los necesarios (u obligatorios) para la localización del ATC, nos hemos basado en:
Los tomados para construcciones similares en otros países, como: La Hague y Marcoule (Francia), Sellafield (Reino Unido), Paks (Hungría), Fort St.Vrain (Estados Unidos) o Habog (Holanda) [3.].
Los tomados por la Comisión Interministerial que se constituyó tras el VI Plan General de Residuos Radiactivos de Junio de 2006 para el tratamiento de residuos radiactivos [4.].
Estudios realizados por la Empresa Nacional de Residuos Radiactivos S.A. (ENRESA).

Tras la lectura de estos documentos, concluimos que: deben evitarse las zonas que supongan riesgo de provocar fallos en la contención de los residuos. Además, deben tomarse precauciones extra, alejando la infraestructura de zonas clave (poblaciones, zonas protegidas, etc.).
Determinamos, con esta información, los criterios a seguir.

===Criterios de exclusión===
Evitar el emplazamiento en zonas con riesgo potencial debido a terremotos, fallas activas, volcanismo reciente, etc.

Evitar emplazamientos con riesgo apreciable debido a posibles accidentes catastróficos inducidos por el hombre (provocados por proximidad a aeropuertos, estaciones y nudos importantes de transporte). Por esto, alejaremos la infraestructura de otras que puedan suponer un riesgo potencial.

El emplazamiento se ubicará excluyendo las áreas que forman parte de la red europea de Conservación de la Naturaleza Natura 2000. En el caso de España, ésta incluye los Parques Nacionales, Parques Naturales (y otras figuras equivalentes cuya gestión corresponde a las Comunidades Autónomas), los Lugares de Importancia Comunitaria (LICS) las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS).

Evitar el emplazamiento en zonas mojadas o cercanas a láminas de agua, como pantanos, embalses, ríos, humedales, etc.

Determinar el alejamiento a los núcleos de población para evitar los daños personales en caso de incidente inesperado. Éste variará de forma proporcional a los habitantes de tal manera que, cuanto más habitantes, mayor lejanía. A falta de una normativa, nosotros determinaremos la distancia mínima exigida.

===Criterios de cercanía y localización preferente===
Estos criterios serán aplicados a los polígonos que resten tras la primera filtración.

Los transportes al emplazamiento tendrán lugar por vía terrestre (ferrocarril o carretera), desestimándose por ello todos aquellos emplazamientos que requieran necesariamente transporte que tenga lugar por vía aérea o marítima. Necesitarán, por tanto, situarse cerca de líneas de ferrocarril, carreteras nacionales, etc.

Cuanto mayor sea la permeabilidad del terreno, mayor riesgo existirá de infiltraciones a este o a acuíferos cercanos. Por lo tanto, el almacén deberá estar, preferiblemente, lo más alejado de este tipo de suelos. A falta de uno más exacto, usaremos un mapa de la permeabilidad de los suelos a nivel nacional que descargaremos del IGME.

Buscamos zonas llanas, de fácil acceso, y que permitan la construcción de la infraestructura sin complicaciones innecesarias. Para ello usaremos mapas de relieve y de pendientes que nos ayudarán a localizar esas zonas.
==METODOLOGÍA==
Para llevar a cabo el estudio, primero debemos traducir estos criterios al lenguaje que nos permite trabajar en QGIS. El primer paso es la obtención de los datos necesarios. Como haremos un análisis vectorial, deberemos obtener capas del tipo “.shp”. Una vez obtengamos los datos, llevaremos a cabo operaciones con las capas. Preferiblemente elegiremos capas poligonales o por puntos para así facilitarnos las operaciones.

===Datos===
Desde el centro de descargas de la página del Instituto Geográfico Nacional, nos descargamos la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala 1:100.000), de la que obtenemos la mayoría de las capas con las que trabajaremos. De esta, usaremos:
Capa del territorio español peninsular
Capa de los núcleos de población
Capa de láminas de agua: ríos, embalses, humedales, pantanos, cauces artificiales
Capa de los parques naturales
Capa de los LICS (lugar de importancia comunitaria)
Capa de las ZEPAS (Zonas de Especial Protección de Aves )
Capa de centrales: térmicas, nucleares…
Capa de aeropuertos
Capa de puertos
Capa de líneas de ferrocarril
Capa de carreteras: nacionales, autopistas y autovías.
Además de estas, creamos la capa que no hemos encontrado y que hemos considerado básica haciendo poligonaciones sobre archivos del tipo “.tiff” (imagen). Esta capa es la de riesgo sísmico.
Así mismo, hemos usado capas de tipo WMS
Capa de permeabilidad local
Capa de pendientes del territorio peninsular español
Además de éstas, creamos una capa tipo línea, llamada de “contorno” que definirá la silueta de la zona a estudiar incluyendo: las fronteras con otros países y la línea costera.
===Operaciones===

Lo primero que necesitamos hacer es georreferenciar todas las capas, de tal manera que todas se encuentren en un sistema de referencia común. En este caso utilizamos el “ETRS89/UTM zone 30N (25830)” con el que se trabaja bien en España.

Después de esto, haremos buffer a todas las capas que así lo requieran.

Una vez tenemos todas las capas con sus respectivos buffer, restaremos a la capa del territorio peninsular español todas las capas de zonas excluyentes.

Tras esto, haremos una superposición con las capas de ferrocarriles y carreteras y con las WMS (con las que no podemos operar).

==RESULTADOS==

===Buffer===
Primero, determinamos las distancias mínimas a las diferentes capas:
Empezaremos dando un buffer de 10 kilómetros a la capa “contorno”. De esta forma, nos alejamos tanto de la costa, como de las fronteras internacionales.
Capa de núcleos de población. Como no tenemos una referencia oficial, hemos determinado que una consideración lógica es establecer una distancia mínima a cada núcleo de población, de forma proporcional al número de habitantes (a mayor número de habitantes, mayor distancia). Con este criterio, hemos concluido que la distancia mínima es: para los núcleos de más de 100.000 habitantes, 30 kilómetros; para los núcleos de entre 100.000 y 10.000 habitantes, 15 kilómetros; para los núcleos de entre 10.000 y 3.000 habitantes, 7,5 kilómetros; para los núcleos de entre 3.000 y 1.000 habitantes, 5 kilómetros; y para los núcleos de menos de 1000 habitantes, 1 kilómetro.
Dentro de las zonas protegidas, y según la importancia que se le da en la normativa, determinamos distancias mínimas: para los Parques Naturales, 10 kilómetros; para los Lugares de Interés Cultural (LICS), 7 kilómetros; y para las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS), una distancia de 5 kilómetros.
Finalmente, para las zonas estratégicas, hemos determinado que una distancia prudencial mínima, que evitaría posibles incidentes en caso de problemas inesperados, es la de 15 kilómetros para puertos, aeropuertos y centrales eléctricas.

===Resta===
Ahora que ya tenemos las capas con sus respectivos buffer, restamos todas las capas excluyentes a la capa inicial de territorio español peninsular:
Para facilitar este proceso, creamos unas “super-capas” en las que agrupamos las capas que están estrechamente relacionadas. De esa forma obtenemos siete capas a restar:

1. Capa de riesgo sísmico

2. Capa de núcleos

3. Capa de zonas protegidas

4. Capa de agua y contorno

5. Capa de aeropuertos y puertos

6. Capa de centrales

Además de estas, tenemos ya definida la “capa del territorio peninsular español”.
Restando estas capas a la inicial, vamos obteniendo:

Resta1: capa del territorio peninsular español-capa de riesgo sísmico (Fig. 1)

Resta2: Resta1-capa de núcleos (Fig. 2)

Resta3:Resta2-capa de zonas protegidas (Fig. 3)

Resta4:Resta3-capa de agua y contorno(Fig. 4)

Resta5:Resta4-capa de aeropuertos y puertos (Fig. 5)

Resta6:Resta5-capa de centrales (Fig. 6)

Una vez tenemos la Resta6 ya hemos descartado la mayor parte del territorio, tal y como se esperaba.

===Superposición===
Debido a la falta de mapas de permeabilidad a nivel nacional digitalizados (a pesar de que intentamos ponernos en contacto con un miembro del IGME para que nos proporcionara uno), tan solo podemos hacer una aproximación somera de qué zonas serían eliminadas por la alta permeabilidad de su suelo. En nuestro caso, hemos considerado que las zonas marcadas en el mapa de permeabilidad con colores azul y verde (la primera, de mucha permeabilidad con acuíferos subterráneos; y la segunda zonas de permeabilidad media-alta) serían zonas a eliminar de los resultados finales. Superponiendo las capas de Resta7 y permeabilidad, podemos hacernos una idea de qué polígonos podemos eliminar.
Llevando a cabo un proceso similar con las pendientes a nivel nacional, eliminamos las zonas de grandes pendientes y terrenos accidentados, obteniendo otra intersección con la que determinamos las zonas finales.
Los resutados finales obtenidos son los mostrados en los temáticos de permeabilidad (Fig. 7), pendientes (Fig.8), carreteras y ferrocarriles (Fig. 9).

==CONCLUSIONES==
En este estudio se ha prestado especial atención a la protección y seguridad tanto en términos humanos, infraestructurales como medioambientales.
También se ha tenido en cuenta la optimización de la accesibilidad y la búsqueda de facilidades a la hora de la construcción, transporte y almacenamiento de residuos. Teniendo en cuenta que la construcción de un ramal (carretera y/o ferrocarril) está subordinada al proyecto.
Por esto, las localizaciones finales obtenidas suponen una combinación entre: zonas que garantizan la seguridad de los ciudadanos, así como la protección del medio ambiente; y zonas que facilitan la labor de los trabajadores, optimizando con ello el proceso. Es, por tanto, una respuesta segura y efectiva al problema inicialmente planteado.
Como curiosidad, la zona elegida por la empresa ENRESA para la localización del ATC en España (en el municipio de Villar de Cañas, Cuenca), se encuentra dentro de uno de los polígonos obtenidos.
Si este trabajo se retomara en un futuro, se recomienda la realización de mapas de permeabilidad más exactos para así acotar mejor los resultados finales, así como una primera aproximación con el fin de eliminar o acotar, al menos, el ámbito del estudio.

==ANEJO==
[[Archivo:rejas.Sismologia.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 1]]
[[Archivo:rejas.nucleos.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 2]]
[[Archivo:rejas.zp.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 3]]
[[Archivo:rejas.agua.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 4]]
[[Archivo:rejas.puertos.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 5]]
[[Archivo:rejas.centrales.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 6]]
[[Archivo:Rejas.perme.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 7]]
[[Archivo:Rejas.pend.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 8]]
[[Archivo:rejas.carreteras.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 9]]

==REFERENCIAS==
[1.] http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado_de_Espa%C3%B1a

[2.] http://www.emplazamientoatc.es/Paginas/index.aspx

[3.] http://www.enresa.es/files/multimedios/estratos93.pdf

[4.] http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/raa
===Otras referencias===
http://www.emplazamientoatc.es/Antecedentes/Plataforma_LogisticaATC.pdf

http://www.emplazamientoatc.es/organizacion/comisioninterministerial/DocumentosComite/criterios.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado

https://www.oecd-nea.org/rwm/profiles/Spain_profile_web.pdf

http://eprints.whiterose.ac.uk/5043/1/96-18.pdf

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares

2014-12-03T15:08:28Z

Alfandres: /* OTRAS REFERENCIAS */

{{ TrabajoSIG | Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares | Carlos Fernández Rubio, Alfonso Andrés Garcia, Roberto Cojo Ruiz | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

El objetivo de este trabajo es determinar la localización óptima para un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos de media y alta radioactividad en el territorio peninsular español.
Para ello, utilizaremos el programa libre de sistemas de información geográfica QGIS. Con este, realizaremos un análisis vectorial de la zona a estudiar basándonos en: criterios excluyentes, que determinarán zonas en las que no es posible la localización (añadiendo distancias mínimas a estas); y criterios de cercanía y de elección preferente, que determinarán zonas óptimas por cercanía o características. Los criterios considerados estarán debidamente justificados.
Los datos utilizados podrán ser consultados en: el Centro Nacional de Información Geográfica (CNIG), el Instituto Geográfico Nacional (IGN) y el Instituto Geológico Minero Español (IGME). Todas las capas utilizadas fueron descargadas de las páginas oficiales o realizadas por nosotros.
Tras la creación de una capa vectorial de todo el territorio peninsular español, se realizarán las restas pertinentes para eliminar las zonas que deben ser evitadas según los criterios de exclusión. Una vez realizado este proceso, esperamos haber eliminado la mayor parte del territorio inicial.
Tras esto, trabajaremos con los polígonos obtenidos aplicando los criterios de localización preferente para así, finalmente, obtener las zonas que constituirán los resultados y conclusiones del estudio.
Tras un análisis preliminar, creemos que las zonas óptimas estarán situadas en la meseta central (Castilla la Mancha, Castilla León o Extremadura), lejos del sur peninsular (donde se encuentra la mayoría de las zonas sísmicas) y evitando las zonas costeras y cuencas fluviales.

== INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Y CRITERIOS UTILIZADOS==
Según datos oficiales, se espera que al final de la vida operativa de los reactores nucleares españoles (estimada en 40 años) se hayan generado cerca de 6.700 toneladas de material irradiado de alta actividad.
Tras la expiración de los contratos que mantenía el gobierno de España con Reino Unido y Francia (en 2010 y 2011 respectivamente) para el envío de residuos radiactivos; y la saturación de los almacenes de las propias centrales (como la de Trillo, en la que ya se construyó un contenedor extra para el almacenamiento de excedentes); surge la necesidad de la construcción de un almacén de residuos radiactivos en territorio nacional. [1.]
Por estas causas, nos centraremos en la localización óptima de un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos radiactivos en el territorio peninsular español, necesario para hacer frente a esta oferta de residuos.
Esta instalación, que requiere una zona de 25 hectáreas [2.], es a diferencia de los almacenes de residuos radiactivos por tiempo indefinido, una construcción superficial y temporal, lo cual facilita sustancialmente la elección de la localización reduciendo los criterios a considerar.

===Criterios de exclusión y cercanía: elección y desarrollo===
Para determinar qué criterios son los necesarios (u obligatorios) para la localización del ATC, nos hemos basado en:
Los tomados para construcciones similares en otros países, como: La Hague y Marcoule (Francia), Sellafield (Reino Unido), Paks (Hungría), Fort St.Vrain (Estados Unidos) o Habog (Holanda) [3.].
Los tomados por la Comisión Interministerial que se constituyó tras el VI Plan General de Residuos Radiactivos de Junio de 2006 para el tratamiento de residuos radiactivos [4.].
Estudios realizados por la Empresa Nacional de Residuos Radiactivos S.A. (ENRESA).

Tras la lectura de estos documentos, concluimos que: deben evitarse las zonas que supongan riesgo de provocar fallos en la contención de los residuos. Además, deben tomarse precauciones extra, alejando la infraestructura de zonas clave (poblaciones, zonas protegidas, etc.).
Determinamos, con esta información, los criterios a seguir.

===Criterios de exclusión===
Evitar el emplazamiento en zonas con riesgo potencial debido a terremotos, fallas activas, volcanismo reciente, etc.

Evitar emplazamientos con riesgo apreciable debido a posibles accidentes catastróficos inducidos por el hombre (provocados por proximidad a aeropuertos, estaciones y nudos importantes de transporte). Por esto, alejaremos la infraestructura de otras que puedan suponer un riesgo potencial.

El emplazamiento se ubicará excluyendo las áreas que forman parte de la red europea de Conservación de la Naturaleza Natura 2000. En el caso de España, ésta incluye los Parques Nacionales, Parques Naturales (y otras figuras equivalentes cuya gestión corresponde a las Comunidades Autónomas), los Lugares de Importancia Comunitaria (LICS) las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS).

Evitar el emplazamiento en zonas mojadas o cercanas a láminas de agua, como pantanos, embalses, ríos, humedales, etc.

Determinar el alejamiento a los núcleos de población para evitar los daños personales en caso de incidente inesperado. Éste variará de forma proporcional a los habitantes de tal manera que, cuanto más habitantes, mayor lejanía. A falta de una normativa, nosotros determinaremos la distancia mínima exigida.

===Criterios de cercanía y localización preferente===
Estos criterios serán aplicados a los polígonos que resten tras la primera filtración.

Los transportes al emplazamiento tendrán lugar por vía terrestre (ferrocarril o carretera), desestimándose por ello todos aquellos emplazamientos que requieran necesariamente transporte que tenga lugar por vía aérea o marítima. Necesitarán, por tanto, situarse cerca de líneas de ferrocarril, carreteras nacionales, etc.

Cuanto mayor sea la permeabilidad del terreno, mayor riesgo existirá de infiltraciones a este o a acuíferos cercanos. Por lo tanto, el almacén deberá estar, preferiblemente, lo más alejado de este tipo de suelos. A falta de uno más exacto, usaremos un mapa de la permeabilidad de los suelos a nivel nacional que descargaremos del IGME.

Buscamos zonas llanas, de fácil acceso, y que permitan la construcción de la infraestructura sin complicaciones innecesarias. Para ello usaremos mapas de relieve y de pendientes que nos ayudarán a localizar esas zonas.
==METODOLOGÍA==
Para llevar a cabo el estudio, primero debemos traducir estos criterios al lenguaje que nos permite trabajar en QGIS. El primer paso es la obtención de los datos necesarios. Como haremos un análisis vectorial, deberemos obtener capas del tipo “.shp”. Una vez obtengamos los datos, llevaremos a cabo operaciones con las capas. Preferiblemente elegiremos capas poligonales o por puntos para así facilitarnos las operaciones.

===Datos===
Desde el centro de descargas de la página del Instituto Geográfico Nacional, nos descargamos la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala 1:100.000), de la que obtenemos la mayoría de las capas con las que trabajaremos. De esta, usaremos:
Capa del territorio español peninsular
Capa de los núcleos de población
Capa de láminas de agua: ríos, embalses, humedales, pantanos, cauces artificiales
Capa de los parques naturales
Capa de los LICS (lugar de importancia comunitaria)
Capa de las ZEPAS (Zonas de Especial Protección de Aves )
Capa de centrales: térmicas, nucleares…
Capa de aeropuertos
Capa de puertos
Capa de líneas de ferrocarril
Capa de carreteras: nacionales, autopistas y autovías.
Además de estas, creamos la capa que no hemos encontrado y que hemos considerado básica haciendo poligonaciones sobre archivos del tipo “.tiff” (imagen). Esta capa es la de riesgo sísmico.
Así mismo, hemos usado capas de tipo WMS
Capa de permeabilidad local
Capa de pendientes del territorio peninsular español
Además de éstas, creamos una capa tipo línea, llamada de “contorno” que definirá la silueta de la zona a estudiar incluyendo: las fronteras con otros países y la línea costera.
===Operaciones===

Lo primero que necesitamos hacer es georreferenciar todas las capas, de tal manera que todas se encuentren en un sistema de referencia común. En este caso utilizamos el “ETRS89/UTM zone 30N (25830)” con el que se trabaja bien en España.

Después de esto, haremos buffer a todas las capas que así lo requieran.

Una vez tenemos todas las capas con sus respectivos buffer, restaremos a la capa del territorio peninsular español todas las capas de zonas excluyentes.

Tras esto, haremos una superposición con las capas de ferrocarriles y carreteras y con las WMS (con las que no podemos operar).

==RESULTADOS==

===Buffer===
Primero, determinamos las distancias mínimas a las diferentes capas:
Empezaremos dando un buffer de 10 kilómetros a la capa “contorno”. De esta forma, nos alejamos tanto de la costa, como de las fronteras internacionales.
Capa de núcleos de población. Como no tenemos una referencia oficial, hemos determinado que una consideración lógica es establecer una distancia mínima a cada núcleo de población, de forma proporcional al número de habitantes (a mayor número de habitantes, mayor distancia). Con este criterio, hemos concluido que la distancia mínima es: para los núcleos de más de 100.000 habitantes, 30 kilómetros; para los núcleos de entre 100.000 y 10.000 habitantes, 15 kilómetros; para los núcleos de entre 10.000 y 3.000 habitantes, 7,5 kilómetros; para los núcleos de entre 3.000 y 1.000 habitantes, 5 kilómetros; y para los núcleos de menos de 1000 habitantes, 1 kilómetro.
Dentro de las zonas protegidas, y según la importancia que se le da en la normativa, determinamos distancias mínimas: para los Parques Naturales, 10 kilómetros; para los Lugares de Interés Cultural (LICS), 7 kilómetros; y para las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS), una distancia de 5 kilómetros.
Finalmente, para las zonas estratégicas, hemos determinado que una distancia prudencial mínima, que evitaría posibles incidentes en caso de problemas inesperados, es la de 15 kilómetros para puertos, aeropuertos y centrales eléctricas.

===Resta===
Ahora que ya tenemos las capas con sus respectivos buffer, restamos todas las capas excluyentes a la capa inicial de territorio español peninsular:
Para facilitar este proceso, creamos unas “super-capas” en las que agrupamos las capas que están estrechamente relacionadas. De esa forma obtenemos siete capas a restar:
1. Capa de riesgo sísmico
2. Capa de núcleos
3. Capa de zonas protegidas
4. Capa de agua y contorno
5. Capa de aeropuertos y puertos
6. Capa de centrales
Además de estas, tenemos ya definida la “capa del territorio peninsular español”.
Restando estas capas a la inicial, vamos obteniendo:
Resta1: capa del territorio peninsular español-capa de riesgo sísmico (Fig. 1)
Resta2: Resta1-capa de núcleos (Fig. 2)
Resta3:Resta2-capa de zonas protegidas (Fig. 3)
Resta4:Resta3-capa de agua y contorno(Fig. 4)
Resta5:Resta4-capa de aeropuertos y puertos (Fig. 5)
Resta6:Resta5-capa de centrales (Fig. 6)

Una vez tenemos la Resta6 ya hemos descartado la mayor parte del territorio, tal y como se esperaba.

===Superposición===
Debido a la falta de mapas de permeabilidad a nivel nacional digitalizados (a pesar de que intentamos ponernos en contacto con un miembro del IGME para que nos proporcionara uno), tan solo podemos hacer una aproximación somera de qué zonas serían eliminadas por la alta permeabilidad de su suelo. En nuestro caso, hemos considerado que las zonas marcadas en el mapa de permeabilidad con colores azul y verde (la primera, de mucha permeabilidad con acuíferos subterráneos; y la segunda zonas de permeabilidad media-alta) serían zonas a eliminar de los resultados finales. Superponiendo las capas de Resta7 y permeabilidad, podemos hacernos una idea de qué polígonos podemos eliminar.
Llevando a cabo un proceso similar con las pendientes a nivel nacional, eliminamos las zonas de grandes pendientes y terrenos accidentados, obteniendo otra intersección con la que determinamos las zonas finales.
Los resutados finales obtenidos son los mostrados en los temáticos de permeabilidad (Fig. 7), pendientes (Fig.8), carreteras y ferrocarriles (Fig. 9).

==CONCLUSIONES==
En este estudio se ha prestado especial atención a la protección y seguridad tanto en términos humanos, infraestructurales como medioambientales.
También se ha tenido en cuenta la optimización de la accesibilidad y la búsqueda de facilidades a la hora de la construcción, transporte y almacenamiento de residuos. Teniendo en cuenta que la construcción de un ramal (carretera y/o ferrocarril) está subordinada al proyecto.
Por esto, las localizaciones finales obtenidas suponen una combinación entre: zonas que garantizan la seguridad de los ciudadanos, así como la protección del medio ambiente; y zonas que facilitan la labor de los trabajadores, optimizando con ello el proceso. Es, por tanto, una respuesta segura y efectiva al problema inicialmente planteado.
Como curiosidad, la zona elegida por la empresa ENRESA para la localización del ATC en España (en el municipio de Villar de Cañas, Cuenca), se encuentra dentro de uno de los polígonos obtenidos.
Si este trabajo se retomara en un futuro, se recomienda la realización de mapas de permeabilidad más exactos para así acotar mejor los resultados finales, así como una primera aproximación con el fin de eliminar o acotar, al menos, el ámbito del estudio.

==ANEJO==
[[Archivo:rejas.Sismologia.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 1]]
[[Archivo:rejas.nucleos.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 2]]
[[Archivo:rejas.zp.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 3]]
[[Archivo:rejas.agua.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 4]]
[[Archivo:rejas.puertos.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 5]]
[[Archivo:rejas.centrales.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 6]]
[[Archivo:Rejas.perme.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 7]]
[[Archivo:Rejas.pend.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 8]]
[[Archivo:rejas.carreteras.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 9]]

==REFERENCIAS==
[1.] http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado_de_Espa%C3%B1a

[2.] http://www.emplazamientoatc.es/Paginas/index.aspx

[3.] http://www.enresa.es/files/multimedios/estratos93.pdf

[4.] http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/raa
===Otras referencias===
http://www.emplazamientoatc.es/Antecedentes/Plataforma_LogisticaATC.pdf

http://www.emplazamientoatc.es/organizacion/comisioninterministerial/DocumentosComite/criterios.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado

https://www.oecd-nea.org/rwm/profiles/Spain_profile_web.pdf

http://eprints.whiterose.ac.uk/5043/1/96-18.pdf

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares

2014-12-03T15:07:53Z

Alfandres:

{{ TrabajoSIG | Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares | Carlos Fernández Rubio, Alfonso Andrés Garcia, Roberto Cojo Ruiz | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

El objetivo de este trabajo es determinar la localización óptima para un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos de media y alta radioactividad en el territorio peninsular español.
Para ello, utilizaremos el programa libre de sistemas de información geográfica QGIS. Con este, realizaremos un análisis vectorial de la zona a estudiar basándonos en: criterios excluyentes, que determinarán zonas en las que no es posible la localización (añadiendo distancias mínimas a estas); y criterios de cercanía y de elección preferente, que determinarán zonas óptimas por cercanía o características. Los criterios considerados estarán debidamente justificados.
Los datos utilizados podrán ser consultados en: el Centro Nacional de Información Geográfica (CNIG), el Instituto Geográfico Nacional (IGN) y el Instituto Geológico Minero Español (IGME). Todas las capas utilizadas fueron descargadas de las páginas oficiales o realizadas por nosotros.
Tras la creación de una capa vectorial de todo el territorio peninsular español, se realizarán las restas pertinentes para eliminar las zonas que deben ser evitadas según los criterios de exclusión. Una vez realizado este proceso, esperamos haber eliminado la mayor parte del territorio inicial.
Tras esto, trabajaremos con los polígonos obtenidos aplicando los criterios de localización preferente para así, finalmente, obtener las zonas que constituirán los resultados y conclusiones del estudio.
Tras un análisis preliminar, creemos que las zonas óptimas estarán situadas en la meseta central (Castilla la Mancha, Castilla León o Extremadura), lejos del sur peninsular (donde se encuentra la mayoría de las zonas sísmicas) y evitando las zonas costeras y cuencas fluviales.

== INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Y CRITERIOS UTILIZADOS==
Según datos oficiales, se espera que al final de la vida operativa de los reactores nucleares españoles (estimada en 40 años) se hayan generado cerca de 6.700 toneladas de material irradiado de alta actividad.
Tras la expiración de los contratos que mantenía el gobierno de España con Reino Unido y Francia (en 2010 y 2011 respectivamente) para el envío de residuos radiactivos; y la saturación de los almacenes de las propias centrales (como la de Trillo, en la que ya se construyó un contenedor extra para el almacenamiento de excedentes); surge la necesidad de la construcción de un almacén de residuos radiactivos en territorio nacional. [1.]
Por estas causas, nos centraremos en la localización óptima de un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos radiactivos en el territorio peninsular español, necesario para hacer frente a esta oferta de residuos.
Esta instalación, que requiere una zona de 25 hectáreas [2.], es a diferencia de los almacenes de residuos radiactivos por tiempo indefinido, una construcción superficial y temporal, lo cual facilita sustancialmente la elección de la localización reduciendo los criterios a considerar.

===Criterios de exclusión y cercanía: elección y desarrollo===
Para determinar qué criterios son los necesarios (u obligatorios) para la localización del ATC, nos hemos basado en:
Los tomados para construcciones similares en otros países, como: La Hague y Marcoule (Francia), Sellafield (Reino Unido), Paks (Hungría), Fort St.Vrain (Estados Unidos) o Habog (Holanda) [3.].
Los tomados por la Comisión Interministerial que se constituyó tras el VI Plan General de Residuos Radiactivos de Junio de 2006 para el tratamiento de residuos radiactivos [4.].
Estudios realizados por la Empresa Nacional de Residuos Radiactivos S.A. (ENRESA).

Tras la lectura de estos documentos, concluimos que: deben evitarse las zonas que supongan riesgo de provocar fallos en la contención de los residuos. Además, deben tomarse precauciones extra, alejando la infraestructura de zonas clave (poblaciones, zonas protegidas, etc.).
Determinamos, con esta información, los criterios a seguir.

===Criterios de exclusión===
Evitar el emplazamiento en zonas con riesgo potencial debido a terremotos, fallas activas, volcanismo reciente, etc.

Evitar emplazamientos con riesgo apreciable debido a posibles accidentes catastróficos inducidos por el hombre (provocados por proximidad a aeropuertos, estaciones y nudos importantes de transporte). Por esto, alejaremos la infraestructura de otras que puedan suponer un riesgo potencial.

El emplazamiento se ubicará excluyendo las áreas que forman parte de la red europea de Conservación de la Naturaleza Natura 2000. En el caso de España, ésta incluye los Parques Nacionales, Parques Naturales (y otras figuras equivalentes cuya gestión corresponde a las Comunidades Autónomas), los Lugares de Importancia Comunitaria (LICS) las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS).

Evitar el emplazamiento en zonas mojadas o cercanas a láminas de agua, como pantanos, embalses, ríos, humedales, etc.

Determinar el alejamiento a los núcleos de población para evitar los daños personales en caso de incidente inesperado. Éste variará de forma proporcional a los habitantes de tal manera que, cuanto más habitantes, mayor lejanía. A falta de una normativa, nosotros determinaremos la distancia mínima exigida.

===Criterios de cercanía y localización preferente===
Estos criterios serán aplicados a los polígonos que resten tras la primera filtración.

Los transportes al emplazamiento tendrán lugar por vía terrestre (ferrocarril o carretera), desestimándose por ello todos aquellos emplazamientos que requieran necesariamente transporte que tenga lugar por vía aérea o marítima. Necesitarán, por tanto, situarse cerca de líneas de ferrocarril, carreteras nacionales, etc.

Cuanto mayor sea la permeabilidad del terreno, mayor riesgo existirá de infiltraciones a este o a acuíferos cercanos. Por lo tanto, el almacén deberá estar, preferiblemente, lo más alejado de este tipo de suelos. A falta de uno más exacto, usaremos un mapa de la permeabilidad de los suelos a nivel nacional que descargaremos del IGME.

Buscamos zonas llanas, de fácil acceso, y que permitan la construcción de la infraestructura sin complicaciones innecesarias. Para ello usaremos mapas de relieve y de pendientes que nos ayudarán a localizar esas zonas.
==METODOLOGÍA==
Para llevar a cabo el estudio, primero debemos traducir estos criterios al lenguaje que nos permite trabajar en QGIS. El primer paso es la obtención de los datos necesarios. Como haremos un análisis vectorial, deberemos obtener capas del tipo “.shp”. Una vez obtengamos los datos, llevaremos a cabo operaciones con las capas. Preferiblemente elegiremos capas poligonales o por puntos para así facilitarnos las operaciones.

===Datos===
Desde el centro de descargas de la página del Instituto Geográfico Nacional, nos descargamos la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala 1:100.000), de la que obtenemos la mayoría de las capas con las que trabajaremos. De esta, usaremos:
Capa del territorio español peninsular
Capa de los núcleos de población
Capa de láminas de agua: ríos, embalses, humedales, pantanos, cauces artificiales
Capa de los parques naturales
Capa de los LICS (lugar de importancia comunitaria)
Capa de las ZEPAS (Zonas de Especial Protección de Aves )
Capa de centrales: térmicas, nucleares…
Capa de aeropuertos
Capa de puertos
Capa de líneas de ferrocarril
Capa de carreteras: nacionales, autopistas y autovías.
Además de estas, creamos la capa que no hemos encontrado y que hemos considerado básica haciendo poligonaciones sobre archivos del tipo “.tiff” (imagen). Esta capa es la de riesgo sísmico.
Así mismo, hemos usado capas de tipo WMS
Capa de permeabilidad local
Capa de pendientes del territorio peninsular español
Además de éstas, creamos una capa tipo línea, llamada de “contorno” que definirá la silueta de la zona a estudiar incluyendo: las fronteras con otros países y la línea costera.
===Operaciones===

Lo primero que necesitamos hacer es georreferenciar todas las capas, de tal manera que todas se encuentren en un sistema de referencia común. En este caso utilizamos el “ETRS89/UTM zone 30N (25830)” con el que se trabaja bien en España.

Después de esto, haremos buffer a todas las capas que así lo requieran.

Una vez tenemos todas las capas con sus respectivos buffer, restaremos a la capa del territorio peninsular español todas las capas de zonas excluyentes.

Tras esto, haremos una superposición con las capas de ferrocarriles y carreteras y con las WMS (con las que no podemos operar).

==RESULTADOS==

===Buffer===
Primero, determinamos las distancias mínimas a las diferentes capas:
Empezaremos dando un buffer de 10 kilómetros a la capa “contorno”. De esta forma, nos alejamos tanto de la costa, como de las fronteras internacionales.
Capa de núcleos de población. Como no tenemos una referencia oficial, hemos determinado que una consideración lógica es establecer una distancia mínima a cada núcleo de población, de forma proporcional al número de habitantes (a mayor número de habitantes, mayor distancia). Con este criterio, hemos concluido que la distancia mínima es: para los núcleos de más de 100.000 habitantes, 30 kilómetros; para los núcleos de entre 100.000 y 10.000 habitantes, 15 kilómetros; para los núcleos de entre 10.000 y 3.000 habitantes, 7,5 kilómetros; para los núcleos de entre 3.000 y 1.000 habitantes, 5 kilómetros; y para los núcleos de menos de 1000 habitantes, 1 kilómetro.
Dentro de las zonas protegidas, y según la importancia que se le da en la normativa, determinamos distancias mínimas: para los Parques Naturales, 10 kilómetros; para los Lugares de Interés Cultural (LICS), 7 kilómetros; y para las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS), una distancia de 5 kilómetros.
Finalmente, para las zonas estratégicas, hemos determinado que una distancia prudencial mínima, que evitaría posibles incidentes en caso de problemas inesperados, es la de 15 kilómetros para puertos, aeropuertos y centrales eléctricas.

===Resta===
Ahora que ya tenemos las capas con sus respectivos buffer, restamos todas las capas excluyentes a la capa inicial de territorio español peninsular:
Para facilitar este proceso, creamos unas “super-capas” en las que agrupamos las capas que están estrechamente relacionadas. De esa forma obtenemos siete capas a restar:
1. Capa de riesgo sísmico
2. Capa de núcleos
3. Capa de zonas protegidas
4. Capa de agua y contorno
5. Capa de aeropuertos y puertos
6. Capa de centrales
Además de estas, tenemos ya definida la “capa del territorio peninsular español”.
Restando estas capas a la inicial, vamos obteniendo:
Resta1: capa del territorio peninsular español-capa de riesgo sísmico (Fig. 1)
Resta2: Resta1-capa de núcleos (Fig. 2)
Resta3:Resta2-capa de zonas protegidas (Fig. 3)
Resta4:Resta3-capa de agua y contorno(Fig. 4)
Resta5:Resta4-capa de aeropuertos y puertos (Fig. 5)
Resta6:Resta5-capa de centrales (Fig. 6)

Una vez tenemos la Resta6 ya hemos descartado la mayor parte del territorio, tal y como se esperaba.

===Superposición===
Debido a la falta de mapas de permeabilidad a nivel nacional digitalizados (a pesar de que intentamos ponernos en contacto con un miembro del IGME para que nos proporcionara uno), tan solo podemos hacer una aproximación somera de qué zonas serían eliminadas por la alta permeabilidad de su suelo. En nuestro caso, hemos considerado que las zonas marcadas en el mapa de permeabilidad con colores azul y verde (la primera, de mucha permeabilidad con acuíferos subterráneos; y la segunda zonas de permeabilidad media-alta) serían zonas a eliminar de los resultados finales. Superponiendo las capas de Resta7 y permeabilidad, podemos hacernos una idea de qué polígonos podemos eliminar.
Llevando a cabo un proceso similar con las pendientes a nivel nacional, eliminamos las zonas de grandes pendientes y terrenos accidentados, obteniendo otra intersección con la que determinamos las zonas finales.
Los resutados finales obtenidos son los mostrados en los temáticos de permeabilidad (Fig. 7), pendientes (Fig.8), carreteras y ferrocarriles (Fig. 9).

==CONCLUSIONES==
En este estudio se ha prestado especial atención a la protección y seguridad tanto en términos humanos, infraestructurales como medioambientales.
También se ha tenido en cuenta la optimización de la accesibilidad y la búsqueda de facilidades a la hora de la construcción, transporte y almacenamiento de residuos. Teniendo en cuenta que la construcción de un ramal (carretera y/o ferrocarril) está subordinada al proyecto.
Por esto, las localizaciones finales obtenidas suponen una combinación entre: zonas que garantizan la seguridad de los ciudadanos, así como la protección del medio ambiente; y zonas que facilitan la labor de los trabajadores, optimizando con ello el proceso. Es, por tanto, una respuesta segura y efectiva al problema inicialmente planteado.
Como curiosidad, la zona elegida por la empresa ENRESA para la localización del ATC en España (en el municipio de Villar de Cañas, Cuenca), se encuentra dentro de uno de los polígonos obtenidos.
Si este trabajo se retomara en un futuro, se recomienda la realización de mapas de permeabilidad más exactos para así acotar mejor los resultados finales, así como una primera aproximación con el fin de eliminar o acotar, al menos, el ámbito del estudio.

==ANEJO==
[[Archivo:rejas.Sismologia.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 1]]
[[Archivo:rejas.nucleos.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 2]]
[[Archivo:rejas.zp.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 3]]
[[Archivo:rejas.agua.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 4]]
[[Archivo:rejas.puertos.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 5]]
[[Archivo:rejas.centrales.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 6]]
[[Archivo:Rejas.perme.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 7]]
[[Archivo:Rejas.pend.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 8]]
[[Archivo:rejas.carreteras.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 9]]

==REFERENCIAS==
[1.] http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado_de_Espa%C3%B1a

[2.] http://www.emplazamientoatc.es/Paginas/index.aspx

[3.] http://www.enresa.es/files/multimedios/estratos93.pdf

[4.] http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/raa
===OTRAS REFERENCIAS===
http://www.emplazamientoatc.es/Antecedentes/Plataforma_LogisticaATC.pdf

http://www.emplazamientoatc.es/organizacion/comisioninterministerial/DocumentosComite/criterios.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado

https://www.oecd-nea.org/rwm/profiles/Spain_profile_web.pdf

http://eprints.whiterose.ac.uk/5043/1/96-18.pdf

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares

2014-12-02T18:54:07Z

Alfandres: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares | Carlos Fernández Rubio, Alfonso Andrés Garcia, Roberto Cojo Ruiz | :Ca...»

{{ TrabajoSIG | Localización de un almacén temporal centralizado (ATC) de residuos nucleares | Carlos Fernández Rubio, Alfonso Andrés Garcia, Roberto Cojo Ruiz | [[:Categoría:SIGAIC_14/15|Curso 14/15]] }}

El objetivo de este trabajo es determinar la localización óptima para un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos de media y alta radioactividad en el territorio peninsular español.
Para ello, utilizaremos el programa libre de sistemas de información geográfica QGIS. Con este, realizaremos un análisis vectorial de la zona a estudiar basándonos en: criterios excluyentes, que determinarán zonas en las que no es posible la localización (añadiendo distancias mínimas a estas); y criterios de cercanía y de elección preferente, que determinarán zonas óptimas por cercanía o características. Los criterios considerados estarán debidamente justificados.
Los datos utilizados podrán ser consultados en: el Centro Nacional de Información Geográfica (CNIG), el Instituto Geográfico Nacional (IGN) y el Instituto Geológico Minero Español (IGME). Todas las capas utilizadas fueron descargadas de las páginas oficiales o realizadas por nosotros.
Tras la creación de una capa vectorial de todo el territorio peninsular español, se realizarán las restas pertinentes para eliminar las zonas que deben ser evitadas según los criterios de exclusión. Una vez realizado este proceso, esperamos haber eliminado la mayor parte del territorio inicial.
Tras esto, trabajaremos con los polígonos obtenidos aplicando los criterios de localización preferente para así, finalmente, obtener las zonas que constituirán los resultados y conclusiones del estudio.
Tras un análisis preliminar, creemos que las zonas óptimas estarán situadas en la meseta central (Castilla la Mancha, Castilla León o Extremadura), lejos del sur peninsular (donde se encuentra la mayoría de las zonas sísmicas) y evitando las zonas costeras y cuencas fluviales.

== INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Y CRITERIOS UTILIZADOS==
Según datos oficiales, se espera que al final de la vida operativa de los reactores nucleares españoles (estimada en 40 años) se hayan generado cerca de 6.700 toneladas de material irradiado de alta actividad.
Tras la expiración de los contratos que mantenía el gobierno de España con Reino Unido y Francia (en 2010 y 2011 respectivamente) para el envío de residuos radiactivos; y la saturación de los almacenes de las propias centrales (como la de Trillo, en la que ya se construyó un contenedor extra para el almacenamiento de excedentes); surge la necesidad de la construcción de un almacén de residuos radiactivos en territorio nacional. [1.]
Por estas causas, nos centraremos en la localización óptima de un Almacén Temporal Centralizado (ATC) para residuos radiactivos en el territorio peninsular español, necesario para hacer frente a esta oferta de residuos.
Esta instalación, que requiere una zona de 25 hectáreas [2.], es a diferencia de los almacenes de residuos radiactivos por tiempo indefinido, una construcción superficial y temporal, lo cual facilita sustancialmente la elección de la localización reduciendo los criterios a considerar.

=== CRITERIOS DE EXCLUSIÓN Y CECANÍA: ELECCIÓN Y DESARROLLO===
Para determinar qué criterios son los necesarios (u obligatorios) para la localización del ATC, nos hemos basado en:
Los tomados para construcciones similares en otros países, como: La Hague y Marcoule (Francia), Sellafield (Reino Unido), Paks (Hungría), Fort St.Vrain (Estados Unidos) o Habog (Holanda) [3.].
Los tomados por la Comisión Interministerial que se constituyó tras el VI Plan General de Residuos Radiactivos de Junio de 2006 para el tratamiento de residuos radiactivos [4.].
Estudios realizados por la Empresa Nacional de Residuos Radiactivos S.A. (ENRESA).

Tras la lectura de estos documentos, concluimos que: deben evitarse las zonas que supongan riesgo de provocar fallos en la contención de los residuos. Además, deben tomarse precauciones extra, alejando la infraestructura de zonas clave (poblaciones, zonas protegidas, etc.).
Determinamos, con esta información, los criterios a seguir.

===CRITERIOS DE EXCLUSIÓN===
Evitar el emplazamiento en zonas con riesgo potencial debido a terremotos, fallas activas, volcanismo reciente, etc.

Evitar emplazamientos con riesgo apreciable debido a posibles accidentes catastróficos inducidos por el hombre (provocados por proximidad a aeropuertos, estaciones y nudos importantes de transporte). Por esto, alejaremos la infraestructura de otras que puedan suponer un riesgo potencial.

El emplazamiento se ubicará excluyendo las áreas que forman parte de la red europea de Conservación de la Naturaleza Natura 2000. En el caso de España, ésta incluye los Parques Nacionales, Parques Naturales (y otras figuras equivalentes cuya gestión corresponde a las Comunidades Autónomas), los Lugares de Importancia Comunitaria (LICS) las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS).

Evitar el emplazamiento en zonas mojadas o cercanas a láminas de agua, como pantanos, embalses, ríos, humedales, etc.

Determinar el alejamiento a los núcleos de población para evitar los daños personales en caso de incidente inesperado. Éste variará de forma proporcional a los habitantes de tal manera que, cuanto más habitantes, mayor lejanía. A falta de una normativa, nosotros determinaremos la distancia mínima exigida.

===CRITERIOS DE CERCANÍA Y DE LOCALIZACIÓN PREFERENTE===
Estos criterios serán aplicados a los polígonos que resten tras la primera filtración.

Los transportes al emplazamiento tendrán lugar por vía terrestre (ferrocarril o carretera), desestimándose por ello todos aquellos emplazamientos que requieran necesariamente transporte que tenga lugar por vía aérea o marítima. Necesitarán, por tanto, situarse cerca de líneas de ferrocarril, carreteras nacionales, etc.

Cuanto mayor sea la permeabilidad del terreno, mayor riesgo existirá de infiltraciones a este o a acuíferos cercanos. Por lo tanto, el almacén deberá estar, preferiblemente, lo más alejado de este tipo de suelos. A falta de uno más exacto, usaremos un mapa de la permeabilidad de los suelos a nivel nacional que descargaremos del IGME.

Buscamos zonas llanas, de fácil acceso, y que permitan la construcción de la infraestructura sin complicaciones innecesarias. Para ello usaremos mapas de relieve y de pendientes que nos ayudarán a localizar esas zonas.
==METODOLOGÍA==
Para llevar a cabo el estudio, primero debemos traducir estos criterios al lenguaje que nos permite trabajar en QGIS. El primer paso es la obtención de los datos necesarios. Como haremos un análisis vectorial, deberemos obtener capas del tipo “.shp”. Una vez obtengamos los datos, llevaremos a cabo operaciones con las capas. Preferiblemente elegiremos capas poligonales o por puntos para así facilitarnos las operaciones.

===DATOS===
Desde el centro de descargas de la página del Instituto Geográfico Nacional, nos descargamos la BTN 100 (Base Topográfica Nacional a escala 1:100.000), de la que obtenemos la mayoría de las capas con las que trabajaremos. De esta, usaremos:
Capa del territorio español peninsular
Capa de los núcleos de población
Capa de láminas de agua: ríos, embalses, humedales, pantanos, cauces artificiales
Capa de los parques naturales
Capa de los LICS (lugar de importancia comunitaria)
Capa de las ZEPAS (Zonas de Especial Protección de Aves )
Capa de centrales: térmicas, nucleares…
Capa de aeropuertos
Capa de puertos
Capa de líneas de ferrocarril
Capa de carreteras: nacionales, autopistas y autovías.
Además de estas, creamos la capa que no hemos encontrado y que hemos considerado básica haciendo poligonaciones sobre archivos del tipo “.tiff” (imagen). Esta capa es la de riesgo sísmico.
Así mismo, hemos usado capas de tipo WMS
Capa de permeabilidad local
Capa de pendientes del territorio peninsular español
Además de éstas, creamos una capa tipo línea, llamada de “contorno” que definirá la silueta de la zona a estudiar incluyendo: las fronteras con otros países y la línea costera.
===OPERACIONES===

Lo primero que necesitamos hacer es georreferenciar todas las capas, de tal manera que todas se encuentren en un sistema de referencia común. En este caso utilizamos el “ETRS89/UTM zone 30N (25830)” con el que se trabaja bien en España.

Después de esto, haremos buffer a todas las capas que así lo requieran.

Una vez tenemos todas las capas con sus respectivos buffer, restaremos a la capa del territorio peninsular español todas las capas de zonas excluyentes.

Tras esto, haremos una superposición con las capas de ferrocarriles y carreteras y con las WMS (con las que no podemos operar).

==RESULTADOS==

===BUFFER===
Primero, determinamos las distancias mínimas a las diferentes capas:
Empezaremos dando un buffer de 10 kilómetros a la capa “contorno”. De esta forma, nos alejamos tanto de la costa, como de las fronteras internacionales.
Capa de núcleos de población. Como no tenemos una referencia oficial, hemos determinado que una consideración lógica es establecer una distancia mínima a cada núcleo de población, de forma proporcional al número de habitantes (a mayor número de habitantes, mayor distancia). Con este criterio, hemos concluido que la distancia mínima es: para los núcleos de más de 100.000 habitantes, 30 kilómetros; para los núcleos de entre 100.000 y 10.000 habitantes, 15 kilómetros; para los núcleos de entre 10.000 y 3.000 habitantes, 7,5 kilómetros; para los núcleos de entre 3.000 y 1.000 habitantes, 5 kilómetros; y para los núcleos de menos de 1000 habitantes, 1 kilómetro.
Dentro de las zonas protegidas, y según la importancia que se le da en la normativa, determinamos distancias mínimas: para los Parques Naturales, 10 kilómetros; para los Lugares de Interés Cultural (LICS), 7 kilómetros; y para las Zonas de Especial Protección de Aves (ZEPAS), una distancia de 5 kilómetros.
Finalmente, para las zonas estratégicas, hemos determinado que una distancia prudencial mínima, que evitaría posibles incidentes en caso de problemas inesperados, es la de 15 kilómetros para puertos, aeropuertos y centrales eléctricas.

===RESTA===
Ahora que ya tenemos las capas con sus respectivos buffer, restamos todas las capas excluyentes a la capa inicial de territorio español peninsular:
Para facilitar este proceso, creamos unas “super-capas” en las que agrupamos las capas que están estrechamente relacionadas. De esa forma obtenemos siete capas a restar:
1. Capa de riesgo sísmico
2. Capa de núcleos
3. Capa de zonas protegidas
4. Capa de agua y contorno
5. Capa de aeropuertos y puertos
6. Capa de centrales
Además de estas, tenemos ya definida la “capa del territorio peninsular español”.
Restando estas capas a la inicial, vamos obteniendo:
Resta1: capa del territorio peninsular español-capa de riesgo sísmico (Fig. 1)
Resta2: Resta1-capa de núcleos (Fig. 2)
Resta3:Resta2-capa de zonas protegidas (Fig. 3)
Resta4:Resta3-capa de agua y contorno(Fig. 4)
Resta5:Resta4-capa de aeropuertos y puertos (Fig. 5)
Resta6:Resta5-capa de centrales (Fig. 6)

Una vez tenemos la Resta6 ya hemos descartado la mayor parte del territorio, tal y como se esperaba.

===INTERSECCIONES===
Debido a la falta de mapas de permeabilidad a nivel nacional digitalizados (a pesar de que intentamos ponernos en contacto con un miembro del IGME para que nos proporcionara uno), tan solo podemos hacer una aproximación somera de qué zonas serían eliminadas por la alta permeabilidad de su suelo. En nuestro caso, hemos considerado que las zonas marcadas en el mapa de permeabilidad con colores azul y verde (la primera, de mucha permeabilidad con acuíferos subterráneos; y la segunda zonas de permeabilidad media-alta) serían zonas a eliminar de los resultados finales. Superponiendo las capas de Resta7 y permeabilidad, podemos hacernos una idea de qué polígonos podemos eliminar.
Llevando a cabo un proceso similar con las pendientes a nivel nacional, eliminamos las zonas de grandes pendientes y terrenos accidentados, obteniendo otra intersección con la que determinamos las zonas finales.
Los resutados finales obtenidos son los mostrados en los temáticos de permeabilidad (Fig. 7), pendientes (Fig.8), carreteras y ferrocarriles (Fig. 9).

==CONCLUSIONES==
En este estudio se ha prestado especial atención a la protección y seguridad tanto en términos humanos, infraestructurales como medioambientales.
También se ha tenido en cuenta la optimización de la accesibilidad y la búsqueda de facilidades a la hora de la construcción, transporte y almacenamiento de residuos. Teniendo en cuenta que la construcción de un ramal (carretera y/o ferrocarril) está subordinada al proyecto.
Por esto, las localizaciones finales obtenidas suponen una combinación entre: zonas que garantizan la seguridad de los ciudadanos, así como la protección del medio ambiente; y zonas que facilitan la labor de los trabajadores, optimizando con ello el proceso. Es, por tanto, una respuesta segura y efectiva al problema inicialmente planteado.
Como curiosidad, la zona elegida por la empresa ENRESA para la localización del ATC en España (en el municipio de Villar de Cañas, Cuenca), se encuentra dentro de uno de los polígonos obtenidos.
Si este trabajo se retomara en un futuro, se recomienda la realización de mapas de permeabilidad más exactos para así acotar mejor los resultados finales, así como una primera aproximación con el fin de eliminar o acotar, al menos, el ámbito del estudio.

==ANEJO==
[[Archivo:rejas.Sismologia.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 1]]
[[Archivo:rejas.nucleos.jpg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 2]]
[[Archivo:rejas.zp.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 3]]
[[Archivo:rejas.agua.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 4]]
[[Archivo:rejas.puertos.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 5]]
[[Archivo:rejas.centrales.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 6]]
[[Archivo:Rejas.perme.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 7]]
[[Archivo:Rejas.pend.JPG|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 8]]
[[Archivo:rejas.carreteras.jpeg|534px|miniaturadeimagen|centro|Fig. 9]]

==REFERENCIAS==
[1.] http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado_de_Espa%C3%B1a

[2.] http://www.emplazamientoatc.es/Paginas/index.aspx

[3.] http://www.enresa.es/files/multimedios/estratos93.pdf

[4.] http://www.enresa.es/actividades_y_proyectos/raa
===OTRAS REFERENCIAS===
http://www.emplazamientoatc.es/Antecedentes/Plataforma_LogisticaATC.pdf

http://www.emplazamientoatc.es/organizacion/comisioninterministerial/DocumentosComite/criterios.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Almac%C3%A9n_temporal_centralizado

https://www.oecd-nea.org/rwm/profiles/Spain_profile_web.pdf

http://eprints.whiterose.ac.uk/5043/1/96-18.pdf

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_14/15]]

Archivo:Rejas.carreteras.jpeg

2014-12-02T18:37:54Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.pend.JPG

2014-12-02T18:37:30Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.perme.JPG

2014-12-02T18:37:11Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.centrales.jpeg

2014-12-02T18:36:37Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.puertos.jpeg

2014-12-02T18:34:45Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.agua.jpeg

2014-12-02T18:34:02Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.zp.jpeg

2014-12-02T18:33:13Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.nucleos.jpg

2014-12-02T18:32:38Z

Alfandres:

Archivo:Rejas.Sismologia.jpg

2014-12-02T18:31:16Z

Alfandres:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:22:37Z

Alfandres:

{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido2.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiontxx.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionty.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, al igual que en el caso anterior.

Observamos que el punto de mayor desplazamiento en la placa coincide con el punto de mayor tensión tangencial <math> y=0</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:22:17Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido2.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
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}}
[[Archivo:G7Ctensiontxx.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionty.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, al igual que en el caso anterior.

Observamos que el punto de mayor desplazamiento en la placa coincide con el punto de mayor tensión tangencial <math> y=0</math>.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:G7Csolido2.jpg

2013-12-09T12:20:22Z

Alfandres:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:20:08Z

Alfandres: /* Campo de vectores de \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:13:48Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
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axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
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}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
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}}
[[Archivo:G7Ctensiontxx.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(cos(yy))/10;
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axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
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[[Archivo:G7Ctensionty.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, al igual que en el caso anterior.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:13:02Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiontxx.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionty.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>, los mismos que en el caso anterior.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:G7Ctensiontxx.jpg

2013-12-09T12:12:37Z

Alfandres:

Archivo:G7Ctensionty.jpg

2013-12-09T12:12:15Z

Alfandres:

Archivo:G7Ctensiontx.jpg

2013-12-09T12:10:32Z

Alfandres:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T12:09:47Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiontx.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(cos(yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionty.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>, los mismos que en el caso anterior.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:59:52Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont1.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont2.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec j</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>, los mismos que en el caso anterior.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:58:43Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont1.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Se comprueba graficamente que se alcanzan las tensiones máximas tangeciales ortogonales al eje <math> \vec i</math> en <math> y=0</math>, <math> y=1</math> e <math> y=2</math>.

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont2.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:55:23Z

Alfandres: /* Tensiones Normales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.

===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont1.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont2.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:50:23Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{ij}</math> la parte simétrica del tensor grandiente de los desplazamientos, siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y siendo <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.
===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont1.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

Para el eje y <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math> el segundo sumando es nulo, por lo que la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec j</math>.

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont2.jpg|300px|marco|centro|Figura8:Tensiones tangenciales en la dirección j]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:G7Ctensiont2.jpg

2013-12-09T11:50:14Z

Alfandres:

Archivo:G7Ctensiont1.jpg

2013-12-09T11:46:54Z

Alfandres:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:46:31Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{ij}</math> la parte simétrica del tensor grandiente de los desplazamientos, siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y siendo <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.
===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Uy=0;
Ux=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,Ux,yy*0)
axis([-1.5,1.5,-0.5,3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensiont1.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones tangenciales en sentido i]]

{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-0.8,0.8,-0.3,2.3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionn.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones normales]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:G7Ctensionm.jpg

2013-12-09T11:43:09Z

Alfandres:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:39:36Z

Alfandres: /* Tensiones tangenciales */

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{ij}</math> la parte simétrica del tensor grandiente de los desplazamientos, siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y siendo <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.
===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la representación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-0.8,0.8,-0.3,2.3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionn.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones normales]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:38:50Z

Alfandres:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
===Tensiones Normales===
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Siendo <math>\epsilon_{ij}</math> la parte simétrica del tensor grandiente de los desplazamientos, siendo <math>\epsilon_{i}</math> cero por depender solo el gradiente de <math>\vec j</math>, y siendo <math>\epsilon_{j}</math> depende solo de la componente 'x' por tanto también es nulo.
===Tensiones tangenciales===
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> se reprensentan por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> y respecto al plano ortogonal a j por la ecuación <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>.

En nuestro caso <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> el segundo sumando es nulo, por tanto la represnetación de las tensiones tangenciales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-0.8,0.8,-0.3,2.3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionn.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones normales]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:G7Ctensionn.jpg

2013-12-09T11:17:06Z

Alfandres: figura7

figura7

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T11:15:41Z

Alfandres:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Entonces el dibujo de las tensiones normales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.
{{matlab|codigo=
Ux=0;
Uy=(pi*cos(pi*yy))/10;
quiver(xx,yy,xx*0,Uy)
axis([-0.8,0.8,-0.3,2.3])
view([0,0,1])
}}
[[Archivo:G7Ctensionn.jpg|300px|marco|centro|Figura7:Tensiones normales]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T10:39:52Z

Alfandres:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

Entonces el dibujo de las tensiones normales en la dirección del eje <math> \vec i</math>.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T10:37:42Z

Alfandres:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

Puesto que la divergencia es nula, como hemos explicado anteriormente, el primer sumando del tensor de tensiones de <math>\sigma_{ij}</math> es cero.

Siendo <math>\mu=1</math> el tensor de tensiones resulta:<math>
\sigma_{ij}=2\epsilon_{ij}
</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T10:25:32Z

Alfandres:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

==Mallado de puntos interiores y temperatura==
Vamos a dibujar el mallado de los puntos interiores del solido. Tomando el paso de muestreo <math>h=1/10</math> tanto para la variable x como y.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % creamos el vector x con valores entre -0.5 y 0.5 equidistantes 0.1
y=0:0.1:2; % creamos el vector y con valores entre 0 y 2 equidistantes 0.1
[X,Y]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
mesh(X,Y,X*0) % dibujamos el mallado
axis([-1.5,1.5,-1,2.5]) %fijamos los ejes para dejarlo centrado
}}
[[Archivo:G7Cmallado.jpg|300px|marco|centro|Figura1: Mallado de los puntos interiores del sólido.]]
A continuación dibujamos la temperatura con la siguiente fórmula dada:
<math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x entre -0.5 y 0.5
y=0:0.1:2; % intervalo de y entre 0 y 2
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de las coordenadas x e y
f=-log(0.1+sqrt(xx.^2+yy.^2)); % el campo escalar
surf(xx,yy,f) % dibujamos el mallado
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes adecuados
view(2) % para una visualización cenital
}}
[[Archivo:G7Ctemperatura.jpg|300px|marco|centro|Figura2:Temperatura del sólido.]]
Calculamos el gradiente de <math>T(\rho,\theta)</math> con la siguiente formula :

<math>\nabla T = \frac{ \partial T }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial T }{ \partial y } \vec j</math>
En el codigo de matlab representamos el gradiente y las curvas de nivel de la temperatura en un mismo gráfico para comprobar que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
[FX,FY]=gradient(f) % Cálculo del gradiente
hold on % Comando para superponer las gráficas
quiver(xx,yy,FX,FY) % Dibujamos el gradiente como un campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % Colocamos los ejes
contour(x,y,f,20) % Dibujamos las curvas de nivel
hold off
}}
[[Archivo:G7Cgradiente.jpg|300px|marco|centro|Figura3:gradiente de la temperatura y curvas de nivel.]]
==Campo de vectores de <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>==

Consideramos ahora el campo de vectores <math> \vec u(x,y)=\frac{\sin(y)}{10} \vec i</math>.

Dibujamos el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % intervalo de x
y=0:0.1:2; % intervalo de y
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % mallado de x e y
fx=sin(yy)/10; % componente x del campo vectorial
fy=yy*0; % componente y del campo vectorial
quiver(xx,yy,fx,fy) % dibujamos el campo vectorial
axis([-2,2,-1,3]) % seleccionamos los ejes
view(2)
}}
[[Archivo:G7Ccampou.jpg|300px|marco|centro|Figura4:Campo de vectores de u.]]
A continuación dibujamos el sólido antes del desplazamiento provocado por <math> \vec u </math> y después de aplicarlo.

{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,xx*0);
axis([-1.5,1.5,-1,3]);
view(2)
subplot(1,2,2);
mesh(xx+1/10*sin(pi*yy),yy)
}}
[[Archivo:G7Csolido.jpg|300px|marco|centro|Figura5:Sólido antes y después del desplazamiento.]]
Para calcular <math>\nabla· \vec u </math> la componente <math> \vec i </math> no depende de la variable 'x' y no hay mas componentes por lo tanto la divergencia es 0.

El rotacional es <math>\frac{-cos(y)}{10} \vec k</math> que con el código matlab para dibujarlo es:

{{matlab|codigo=
z=linspace(0,0,21);
[XX,YY,ZZ]=meshgrid(x,y,z);
fz=-cos(YY)/10;
fx=fz*0;
fy=fz*0;
quiver3(XX,YY,ZZ,fx,fy,fz)
}}

[[Archivo:G7Crotacional.jpg|300px|marco|centro|Figura6:Rotacional de u.]]
Se observa en la imagen que el rotacional alcanza el máximo en <math>y=0 </math>

==Tensiones==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. En nuestro caso, dichos coeficientes tendrán el mismo valor <math>\lambda=\mu=1</math> y consideramos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina tensor de deformaciones.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C)

2013-12-09T10:18:28Z

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Alfandres: /* Mallado de puntos interiores y temperatura */

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== Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C) ==

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Usuario discusión:Alfandres

2013-12-09T09:52:47Z

Alfandres:

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== Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 7C) ==

{{beta}}
{{Trabajo|Visualizacion de campos escalares y vectoriales. Grupo 7-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}
==Introducción==
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

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