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Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-09T17:19:38Z

Alexvegazo: /* . Gradiente de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.png]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

Para comprobar gráficamente que el gradiente de temperatura es ortogonal a las curvas de nivel, creamos el siguiente programa:
[[Archivo:Curvas_nivel_gradiente.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
figure(2)
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
figure(3)
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
hold on
contour(rho,teta,T,10,'r')
hold off
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-09T17:17:43Z

Alexvegazo: /* . Gradiente de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.png]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

Para comprobar gráficamente que el gradiente de temperatura es ortogonal a las curvas de nivel, creamos el siguiente programa:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Curvas nivel gradiente.jpg

2019-12-09T17:10:25Z

Alexvegazo:

Archivo:Lalalalalalla.png

2019-12-05T23:08:17Z

Alexvegazo:

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:06:53Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.png]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:05:29Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.jpg]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:05:07Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.jpg|260px]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:04:20Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo: lalalalalalla.jpg]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:00:34Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.fig]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T23:00:18Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}
[[Archivo:lalalalalalla.fig|260px]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T22:58:17Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off}}

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T22:56:55Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
Para obtener las líneas de corriente, calculamos el siguiente producto vectorial:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
vy=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
vx=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
quiver(xx,yy,vx,vy)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
hold off

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T22:53:55Z

Alexvegazo: /* . Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png]]

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Archivo:Captura de pantalla 2019-12-06 a las 0.12.14.png

2019-12-05T22:50:51Z

Alexvegazo:

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T22:48:15Z

Alexvegazo:

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC19/20]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:22:33Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:

[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:

:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:21:47Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:20:52Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png]]
Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:18:33Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula .
.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:17:03Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula .
.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 19.43.43.png

2019-12-05T19:16:16Z

Alexvegazo:

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:15:42Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Heyyyyyyyy.png|260px]]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula .

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Heyyyyyyyy.png

2019-12-05T19:14:59Z

Alexvegazo:

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T19:14:15Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .

Comprobamos que también la velocidad del fluido en las paredes es nula .

[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T18:24:09Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

Además se verifica la condición de incomprensibilidad
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T18:06:47Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]] .
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T18:06:23Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por:[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]
y su presión por:
[[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]
A continuación verificaremos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T18:03:23Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|260px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T17:59:36Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

En primer lugar comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2].

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T17:57:31Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|thumb|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T17:56:33Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|right|Mallado Inicial]]
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T17:03:18Z

Alexvegazo:

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Introducción</big> ==

Trabajaremos con campos escalares y vectoriales en fluidos. En nuestro caso, vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:24:32Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|300px|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:24:04Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|500px|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|500px|Mallado Inicial]]

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:23:18Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|500px|Mallado Inicial]]

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:22:48Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|700px|Mallado Inicial]]

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:22:30Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|700px|thumb|Mallado Inicial]]

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T16:21:46Z

Alexvegazo: /* . Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|700px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T10:56:57Z

Alexvegazo: /* . Temperatura del Fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|300px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T10:56:18Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|310px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|370px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Captura de pantalla 2019-12-05 a las 10.53.55.png

2019-12-05T09:33:01Z

Alexvegazo:

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-05T09:17:24Z

Alexvegazo: /* . Ecuación de Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

Verificamos la ecuación de Navier-Stokes:
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u
</math>
Primero calculamos <math> \nabla \vec u </math>:
:<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = 0\vec i + \frac{ \partial u_{1}}{ \partial y }\vec j = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>
:<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec j \cdot \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} \vec i = 0
</math>
El gradiente del campo es ortogonal al propio campo, por lo que su producto escalar es 0.
Segundo calculamos <math> \nabla p </math>:
:<math>
\nabla p = \frac{ \partial p}{ \partial x^{j} } \vec g^{j} = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por último, calculamos <math> Δ \vec u </math>
:<math>
Δ \vec u = \nabla \cdot \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 u_{i}}{ \partial^2 x^{j} } \vec g^{i} = \frac{ \partial^2 u_{1}}{ \partial y^2 } \vec i + 0 \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Queda verificada la ecuación de Navier-Stokes, por lo que el fluido sigue un régimen estacionario.

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T16:38:53Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T16:37:52Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Campodevel.jpg

2019-12-04T16:35:36Z

Alexvegazo: Página blanqueada

Archivo:Campodevel.jpg

2019-12-04T16:34:59Z

Alexvegazo:

[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T16:32:01Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T16:31:30Z

Alexvegazo: /* . Campo de Presiones y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T10:03:22Z

Alexvegazo: /* . Rotacional de ū */

{{ TrabajoED | Visualización de un campo escalar y vectorial en un fluido. Grupo 7-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC19/20|2019-20]] | Natalia Peña Salas, Stella Bárbara Peña Martínez, Alejandro Vegazo Luengo }}

== <big>. Mallado que representa los puntos ocupados por un fluido</big> ==

Dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del rectángulo [0, 8] × [−1, 1] ocupado por un fluido. Fijaremos los ejes en la región [0, 4] × [−2, 2]. El código para crear el programa aparece a continuación, junto con su representación gráfica:

[[Archivo:Mallado1.1.jpg|250px|thumb|right|Mallado Inicial]]

{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos
x=0:0.1:8
y=-1:0.1:1
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Ecuación de Navier-Stokes</big> ==

== <big>. Campo de Presiones y Campo de Velocidades</big> ==

Suponemos que el campo de presiones toma los siguientes valores:

<math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:

El campo de presiones viene dado por la expresión [[Archivo:Campodepresionesfl.png|250px]]. Por otro lado, la expresión de las velocidades de las partículas viene dada por:
[[Archivo:Velocparticulasfluido.png|260px]]

Sustituyendo los valores que nos dan, tenemos que:

[[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_17.09.14.png|260px]]

El código para obtener la gráfica del campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Campopresionesgraf.jpg|284px|thumb|right|Campo de Presiones]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
p=2+(1-2)*(xx-1);
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE PRESIONES')
}}

Por último, para obtener el campo de velocidades y su gráfica, utilizamos el siguiente código:
[[Archivo:Campodevel.jpg|340px|thumb|right|Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=((yy+1).*(1-yy).*(2-1))./(2);
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-2,2])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
}}

== <big>. Lineas de Corriente del Campo ū y su Función de Corriente</big> ==

== <big>. Puntos con Velocidad Máxima del Fluido</big> ==

Los puntos con velocidad máxima del fluido serán aquellos cuya primera derivada de su módulo sea cero, y la segunda derivada en el que sea el punto de mayor velocidad, sea inferior a cero.

:<math>
\vec u (x,y) = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i
</math>
:<math>
| \vec u (x,y) | = \frac{(y+1)(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
:<math>
\frac{d| \vec u (x,y) |}{dy} = 0 \implies \frac{(-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)} = 0 \implies y = 0
</math>
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}
</math>
Suponemos el máximo o mínimo en función de los valores <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
:<math>
\frac{d^2| \vec u (x,y) |}{dy^2} = \frac{-2 \cdot(2-1)}{(2\cdot 1)} = -1
</math>
Sería menor de cero, por lo que la velocidad sería máxima en todos los puntos cuya ordenada sea <math> y = 0 </math>.

== <big>. Rotacional de ū</big> ==

Vamos a calcular el rotacional del campo <math> \vec u </math> y después su módulo:
<math>\nabla\times\vec{u}= det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu}& 0 & 0 \end{pmatrix}=-\frac{\partial}{\partial y}(\frac{(y+1)(1-y)(p_1-p_2)}{2\mu})\vec{k} =\frac{ -(2y)(p_1-p_2)}{2\mu}\vec{k} </math>
<math>|\nabla\times\vec{u}| = \frac{(-2y)(p_1-p_2)}{2\mu}</math>
<math>\frac{d|\nabla\times\vec{u}|}{dy} = \frac{-2(p_1-p_2)}{2\mu} = \frac{-(p_1-p_2)}{\mu} \implies\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}= 0 </math>

No existen máximos ni mínimos relativos.
Vamos a ver en las paredes si son máximos o mínimos absolutos en el intervalo [-1,1]:
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{(-1)})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{p_1-p_2}{\mu}| </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{(-2\cdot{1})(p_1-p_2)}{2\mu}| = |\frac{-(p_1-p_2)}{\mu}| </math>
Para <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>
:<math> y = -1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{2-1}{1}| = |{1}|= 1 </math>
:<math> y = 1 \implies |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{-(2-1)}{1}| = |-{1}|=1 </math>
Los puntos de mayor rotacional se encuentran en las paredes del canal.
Representamos el módulo del rotacional del campo <math> \vec u </math>, que sería la función <math>|\nabla\times\vec{u}| = {y} </math>.
Programando en Matlab:

[[Archivo:Camporot.jpg|340px|thumb|right|Rotacional del Campo de Velocidades]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
mod_rot=abs(yy);
surf(xx,yy,mod_rot)
colorbar
view(2)
axis([0,4,-2,2])}}

== <big>. Temperatura del Fluido</big> ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente ecuación:

[[Archivo:Matlab1.png]]

Como el Campo de Temperaturas viene en coordenadas polares, hemos de cambiarlo a coordenadas cartesianas. Definiremos la variable rho como:
[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 13.40.34.png|130px]]
Por otro lado, teta será igual a [[Archivo:Captura_de_pantalla_2019-12-03_a_las_13.47.23.png|170px]] Le sumamos a x un valor que tienda a -∞ para asegurarnos que el denominador de la fracción no sea igual a cero evitando que el programa nos de un error.

Representaremos el campo de temperaturas utilizando Matlab, con el siguiente código:
[[Archivo:Temperaturaa.jpg|284px|thumb|right|Temperatura del Fluido]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
figure(1)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
surf(rho,teta,T)
hold on
plot(rho,teta,'k','linewidth',1)
axis([0,4,-2,2])
view(2)
contour(rho,teta,T,100)
}}

Las curvas de nivel de la temperatura, se obtendrán gráficamente con el siguiente código:
[[Archivo:curvassnivel.jpg|230px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
figure(1)
contour(rho,teta,T,100)
}}

== <big>. Gradiente de la Temperatura</big> ==

A continuación hallaremos el gradiente de la temperatura utilizando la siguiente fórmula.

[[Archivo:Gradienteform.png]]

Por lo que haciendo las derivadas parciales obtenemos que el gradiente es:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-03 a las 12.31.51.png|476x89px]]

Para representarlo en un gráfico utilizaremos el siguiente código Matlab:
[[Archivo:gradibujo.jpg|350px|thumb|right|Gradiente de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
x=linspace(0,8,30);
y=linspace(-1,1,30);
rho=sqrt(x.^2+y.^2)
teta=atan(y./[x+0.0000001])
[rho,teta]=meshgrid(x,y)
T=1+[sin(teta).^2].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Primer componente del gradiente:
Tx=-2.*[sin(teta).^2].*[rho-0.5].*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Segundo componente del gradiente:
Ty=sin(2*teta).*[exp(-[rho-0.5].^2)]
%Dibujo del gradiente de T:
quiver(rho,teta,Tx,Ty)
%Fijación de los ejes:
axis([0,4,-2,2])
view(2)
}}

== <big>. Cálculo de la presión media en los puntos del fluido</big> ==

Para calcular la presión media en los puntos del fluido es necesario aproximar la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el canal.

La integral empleada para calcular la presión es una integral de superficie con los límites [0,8],[-1,1], que son los intervalos de los parámetros x e y.

La integral a calcular será la siguiente:

[[Archivo:Captura de pantalla 2019-12-02 a las 21.17.46.jpg|600x200px]]

Suponemos <math> p_{1} = 2 </math> y <math> p_{2} = 1 </math> y la integral nos queda:

[[Archivo:Integral2.png|120x200px]]

Para resolverla emplearemos el método del Trapecio

[[Archivo:ReglaTrapecio.png|350x120px]] , donde [[Archivo:Valorh.png|70x180px]] y N es el número de puntos entre los que se divide la región a integrar.

Para dicho cálculo, hemos diseñado el siguiente programa en Matlab:

{{matlab|codigo=
% Número de puntos
N = 200;
a=0; b=8;
h = (b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(x) (2*(x-3));
for k = 1:N
x0 = a + (k-1)*h;
x1 = a + k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(x0) + f(x1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Con el programa, la integral queda:

[[Archivo:Integralready.png|150x200px]]

Una vez resuelta dicha integral, necesitamos dividir el resultado entre el área del canal, que la obtendremos mediante la siguiente operación:

[[Archivo:AreadS.png|120x200px]]

Sabiendo que se trata de un rectángulo de dimensiones [0,8],[-1,1], el área será:

:<math> Área = 8\cdot{2} = 16 </math>

Una vez obtenidos éstos cálculos, la presión media será:

[[Archivo:Pmedia.png|250x200px]]

== <big>. Caudal del canal</big> ==

=== Caudal del canal ===

Para calcular el caudal emplearemos la siguiente integral de línea:

[[Archivo:Intcaudal.png|180x200px]]

siendo t un parámetro y N su vector normal.

Empleando la velocidad y suponiendo <math> p_{1} = 2 </math>, <math> p_{2} = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>, obtenemos la integral a calcular que nos dará el caudal (sustituyendo 'y' por el parámetro t):

[[Archivo:Vectoruxy.png|200x200px]]

[[Archivo:Readycaudal.png|100x200px]]

Para calcular dicha intregral volvemos a emplear el método del Trapecio en Matlab:

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-1; b=1;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Ejecutando este programa, obtenemos que el caudal es <math> 0.6666\frac{M^2}{S} </math>

=== Porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal ===

Por último, calcularemos el porcentaje del caudal que pasa por el centro del canal. Para ello emplearemos la misma integral que para calcular el caudal pero cambiando el intervalo. En éste caso, el intervalo será aquel que tenga el valor medio de y en el centro, siendo -0.5 y 0.5 los extremos.

Modificamos dichos extremos en el mismo programa de Matlab empleado para el caudal

{{matlab|codigo=
%Número de puntos
N = 200;
a=-0.5; b=0.5;
h=(b-a)/N;
A = 0;
% Función a integrar
f = @(t) ((1-t^2)/2)
for k = 1:N
t0 = a+(k-1)*h;
t1=a+k*h;
% Método del trapecio
A = A + h/2*(f(t0) + f(t1));
end
% Resultado
disp(A)
}}

Una vez modificado, lo ejecutamos y obtenemos una aproximación de <math> 0.4583\frac{M^2}{S} </math>. Con este dato, ya podemos obtener el porcentaje pedido. Lo obtendremos mediante la siguiente fórmula:

<math> Caudal(Porcentaje) = \frac{Caudal_{centro}}{Caudal_{total}}\cdot 100 = \frac{0.4583}{0.6666}\cdot 100 ≈ 68.75 </math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Trabajo De Campos Grupo 7

2019-12-04T09:14:27Z

Alexvegazo: /* . Rotacional de ū */