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Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:47:50Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==El Gradiente en Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas==

===Definición del sistema de coordenadas===
 
Las coordenadas cilíndrico-parabólicas \((u, v, z)\) se relacionan con las cartesianas \((x, y, z)\) mediante:

<math>
x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2), \quad y = uv, \quad z = z
</math>

donde \(u \geq 0\), \(v \geq 0\), \(z \in \mathbb{R}\).

===Factores de escala===
 
<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Fórmula del gradiente===
 
Para un campo escalar \(f(u, v, z)\), el gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

Sustituyendo los factores de escala:

<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

===Aplicación al campo \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\)===
 

===Paso 1: Convertir a coordenadas cilíndrico-parabólicas===
 
Dado que \(x_2 = y\) en coordenadas cartesianas, y en cilíndrico-parabólicas \(y = uv\):

<math>
f(u, v, z) = uv
</math>

===Paso 2: Punto en coordenadas cartesianas===
 
Punto dado: \((x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1)\) en cartesianas.

Convertimos a cilíndrico-parabólicas:
<math>
\begin{cases}
x = 0 = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\
y = 1 = uv \\
z = 1
\end{cases}
</math>

Resolviendo:
<math>
u^2 - v^2 = 0 \Rightarrow u = v \quad \text{(ya que } u, v \geq 0\text{)}
</math>
<math>
u \cdot u = 1 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1, \quad v = 1
</math>

Por tanto, el punto en cilíndrico-parabólicas es: \((u, v, z) = (1, 1, 1)\)

===Paso 3: Calcular derivadas parciales===
 
<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial (uv)}{\partial u} = v
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial (uv)}{\partial v} = u
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial (uv)}{\partial z} = 0
</math>

===Paso 4: Aplicar fórmula del gradiente===
 
<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (v) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u) \vec{e}_v + 0 \cdot \vec{e}_z
</math>

===Paso 5: Evaluar en el punto (1, 1, 1)===
 
En \(u = 1\), \(v = 1\):
<math>
\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_v
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v
</math>

===Paso 6: Magnitud del gradiente===
 
<math>
|\nabla f| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1
</math>

===Resultado final===
 
El gradiente de \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) en el punto cartesiano \((0, 1, 1)\) expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\boxed{\nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v}
</math>

con magnitud 1.

===Interpretación geométrica===
 
El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de \(f = x_2 = y\). En el punto \((0, 1, 1)\), esto corresponde a moverse en el plano \(xy\) aumentando la coordenada \(y\).

===Visualización===
 
{{matlab|codigo=
% Punto de interés
u0 = 1; v0 = 1; z0 = 1;

% Crear malla alrededor del punto
[u, v] = meshgrid(0.5:0.1:1.5, 0.5:0.1:1.5);

% Campo escalar f = uv
f = u .* v;

% Gradiente teórico en el punto
grad_u = 1/sqrt(2);
grad_v = 1/sqrt(2);

% Graficar
figure('Position', [100, 100, 800, 400])

% Subplot 1: Superficie y gradiente
subplot(1,2,1)
surf(u, v, f, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7);
hold on
% Punto de interés
scatter3(u0, v0, u0*v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver3(u0, v0, u0*v0, grad_u, grad_v, 0, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.5);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f = uv');
title('Campo escalar f = uv');
grid on; view(45, 30);

% Subplot 2: Curvas de nivel y gradiente
subplot(1,2,2)
contour(u, v, f, 10, 'LineWidth', 1.5);
hold on
% Punto de interés
scatter(u0, v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver(u0, v0, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.3);
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Curvas de nivel y gradiente');
grid on; axis equal;

% Mostrar resultados
disp('=== RESULTADOS ===');
disp(['Punto en cartesianas: (0, 1, 1)']);
disp(['Punto en cilíndrico-parabólicas: (u, v, z) = (1, 1, 1)']);
disp([' ']);
disp(['Gradiente en el punto:']);
disp(['∇f = (1/√2) ê_u + (1/√2) ê_v']);
disp(['Magnitud: |∇f| = 1']);
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Imagen2.fig

2025-12-05T16:46:00Z

Alejandro Santisteban:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:43:33Z

Alejandro Santisteban: /* Aplicación al campo \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==El Gradiente en Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas==

===Definición del sistema de coordenadas===
 
Las coordenadas cilíndrico-parabólicas \((u, v, z)\) se relacionan con las cartesianas \((x, y, z)\) mediante:

<math>
x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2), \quad y = uv, \quad z = z
</math>

donde \(u \geq 0\), \(v \geq 0\), \(z \in \mathbb{R}\).

===Factores de escala===
 
<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Fórmula del gradiente===
 
Para un campo escalar \(f(u, v, z)\), el gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

Sustituyendo los factores de escala:

<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

===Aplicación al campo \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\)===
 

===Paso 1: Convertir a coordenadas cilíndrico-parabólicas===
 
Dado que \(x_2 = y\) en coordenadas cartesianas, y en cilíndrico-parabólicas \(y = uv\):

<math>
f(u, v, z) = uv
</math>

===Paso 2: Punto en coordenadas cartesianas===
 
Punto dado: \((x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1)\) en cartesianas.

Convertimos a cilíndrico-parabólicas:
<math>
\begin{cases}
x = 0 = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\
y = 1 = uv \\
z = 1
\end{cases}
</math>

Resolviendo:
<math>
u^2 - v^2 = 0 \Rightarrow u = v \quad \text{(ya que } u, v \geq 0\text{)}
</math>
<math>
u \cdot u = 1 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1, \quad v = 1
</math>

Por tanto, el punto en cilíndrico-parabólicas es: \((u, v, z) = (1, 1, 1)\)

===Paso 3: Calcular derivadas parciales===
 
<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial (uv)}{\partial u} = v
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial (uv)}{\partial v} = u
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial (uv)}{\partial z} = 0
</math>

===Paso 4: Aplicar fórmula del gradiente===
 
<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (v) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u) \vec{e}_v + 0 \cdot \vec{e}_z
</math>

===Paso 5: Evaluar en el punto (1, 1, 1)===
 
En \(u = 1\), \(v = 1\):
<math>
\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_v
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v
</math>

===Paso 6: Magnitud del gradiente===
 
<math>
|\nabla f| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1
</math>

===Resultado final===
 
El gradiente de \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) en el punto cartesiano \((0, 1, 1)\) expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\boxed{\nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v}
</math>

con magnitud 1.

===Interpretación geométrica===
 
El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de \(f = x_2 = y\). En el punto \((0, 1, 1)\), esto corresponde a moverse en el plano \(xy\) aumentando la coordenada \(y\).

===Visualización===
 
{{matlab|codigo=
% Punto de interés
u0 = 1; v0 = 1; z0 = 1;

% Crear malla alrededor del punto
[u, v] = meshgrid(0.5:0.1:1.5, 0.5:0.1:1.5);

% Campo escalar f = uv
f = u .* v;

% Gradiente teórico en el punto
grad_u = 1/sqrt(2);
grad_v = 1/sqrt(2);

% Graficar
figure('Position', [100, 100, 800, 400])

% Subplot 1: Superficie y gradiente
subplot(1,2,1)
surf(u, v, f, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7);
hold on
% Punto de interés
scatter3(u0, v0, u0*v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver3(u0, v0, u0*v0, grad_u, grad_v, 0, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.5);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f = uv');
title('Campo escalar f = uv');
grid on; view(45, 30);

% Subplot 2: Curvas de nivel y gradiente
subplot(1,2,2)
contour(u, v, f, 10, 'LineWidth', 1.5);
hold on
% Punto de interés
scatter(u0, v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver(u0, v0, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.3);
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Curvas de nivel y gradiente');
grid on; axis equal;

% Mostrar resultados
disp('=== RESULTADOS ===');
disp(['Punto en cartesianas: (0, 1, 1)']);
disp(['Punto en cilíndrico-parabólicas: (u, v, z) = (1, 1, 1)']);
disp([' ']);
disp(['Gradiente en el punto:']);
disp(['∇f = (1/√2) ê_u + (1/√2) ê_v']);
disp(['Magnitud: |∇f| = 1']);
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:42:54Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==El Gradiente en Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas==

===Definición del sistema de coordenadas===
 
Las coordenadas cilíndrico-parabólicas \((u, v, z)\) se relacionan con las cartesianas \((x, y, z)\) mediante:

<math>
x = \frac{1}{2}(u^2 - v^2), \quad y = uv, \quad z = z
</math>

donde \(u \geq 0\), \(v \geq 0\), \(z \in \mathbb{R}\).

===Factores de escala===
 
<math>
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Fórmula del gradiente===
 
Para un campo escalar \(f(u, v, z)\), el gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

Sustituyendo los factores de escala:

<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

==Aplicación al campo \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\)==
 

===Paso 1: Convertir a coordenadas cilíndrico-parabólicas===
 
Dado que \(x_2 = y\) en coordenadas cartesianas, y en cilíndrico-parabólicas \(y = uv\):

<math>
f(u, v, z) = uv
</math>

===Paso 2: Punto en coordenadas cartesianas===
 
Punto dado: \((x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1)\) en cartesianas.

Convertimos a cilíndrico-parabólicas:
<math>
\begin{cases}
x = 0 = \frac{1}{2}(u^2 - v^2) \\
y = 1 = uv \\
z = 1
\end{cases}
</math>

Resolviendo:
<math>
u^2 - v^2 = 0 \Rightarrow u = v \quad \text{(ya que } u, v \geq 0\text{)}
</math>
<math>
u \cdot u = 1 \Rightarrow u^2 = 1 \Rightarrow u = 1, \quad v = 1
</math>

Por tanto, el punto en cilíndrico-parabólicas es: \((u, v, z) = (1, 1, 1)\)

===Paso 3: Calcular derivadas parciales===
 
<math>
\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial (uv)}{\partial u} = v
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial (uv)}{\partial v} = u
</math>

<math>
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial (uv)}{\partial z} = 0
</math>

===Paso 4: Aplicar fórmula del gradiente===
 
<math>
\nabla f = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (v) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u) \vec{e}_v + 0 \cdot \vec{e}_z
</math>

===Paso 5: Evaluar en el punto (1, 1, 1)===
 
En \(u = 1\), \(v = 1\):
<math>
\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} (1) \vec{e}_v
</math>

<math>
\nabla f(1, 1, 1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v
</math>

===Paso 6: Magnitud del gradiente===
 
<math>
|\nabla f| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1
</math>

===Resultado final===
 
El gradiente de \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) en el punto cartesiano \((0, 1, 1)\) expresado en coordenadas cilíndrico-parabólicas es:

<math>
\boxed{\nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{e}_v}
</math>

con magnitud 1.

===Interpretación geométrica===
 
El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de \(f = x_2 = y\). En el punto \((0, 1, 1)\), esto corresponde a moverse en el plano \(xy\) aumentando la coordenada \(y\).

===Visualización===
 
{{matlab|codigo=
% Punto de interés
u0 = 1; v0 = 1; z0 = 1;

% Crear malla alrededor del punto
[u, v] = meshgrid(0.5:0.1:1.5, 0.5:0.1:1.5);

% Campo escalar f = uv
f = u .* v;

% Gradiente teórico en el punto
grad_u = 1/sqrt(2);
grad_v = 1/sqrt(2);

% Graficar
figure('Position', [100, 100, 800, 400])

% Subplot 1: Superficie y gradiente
subplot(1,2,1)
surf(u, v, f, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7);
hold on
% Punto de interés
scatter3(u0, v0, u0*v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver3(u0, v0, u0*v0, grad_u, grad_v, 0, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.5);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f = uv');
title('Campo escalar f = uv');
grid on; view(45, 30);

% Subplot 2: Curvas de nivel y gradiente
subplot(1,2,2)
contour(u, v, f, 10, 'LineWidth', 1.5);
hold on
% Punto de interés
scatter(u0, v0, 100, 'r', 'filled');
% Vector gradiente
quiver(u0, v0, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 2, 'Color', 'k', 'MaxHeadSize', 0.3);
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Curvas de nivel y gradiente');
grid on; axis equal;

% Mostrar resultados
disp('=== RESULTADOS ===');
disp(['Punto en cartesianas: (0, 1, 1)']);
disp(['Punto en cilíndrico-parabólicas: (u, v, z) = (1, 1, 1)']);
disp([' ']);
disp(['Gradiente en el punto:']);
disp(['∇f = (1/√2) ê_u + (1/√2) ê_v']);
disp(['Magnitud: |∇f| = 1']);
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:39:23Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Gradiente==

===Fórmula genérica===
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula como:

<math>
\nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

===Factores de escala===
 
<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo: \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 

===Cálculo del gradiente===
 
**Componente u:**
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2) = u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

**Componente v:**
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2) = v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

**Componente z:**
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 2z
</math>

===Resultado final===
 
<math>
\nabla f = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Visualización===
 
{{matlab|codigo=
% Crear malla
[u, v] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular gradiente
F_u = u .* sqrt(u.^2 + v.^2);
F_v = v .* sqrt(u.^2 + v.^2);
f = (1/4)*(u.^2 + v.^2).^2;

% Graficar
figure('Position', [100, 100, 800, 400])

subplot(1,2,1)
contour(u, v, f, 10, 'LineWidth', 1.5);
hold on
quiver(u, v, F_u, F_v, 'r', 'LineWidth', 1);
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Campo gradiente y curvas de nivel');
grid on; axis equal;

subplot(1,2,2)
surf(u, v, f, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
hold on
quiver3(u, v, zeros(size(u)), F_u, F_v, zeros(size(u)), 'r', 'LineWidth', 1);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f');
title('Superficie y gradiente');
grid on;
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:37:33Z

Alejandro Santisteban: /* Fórmula genérica */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:37:07Z

Alejandro Santisteban: /* Factores de escala */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:36:45Z

Alejandro Santisteban: /* Interpretación física */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:36:12Z

Alejandro Santisteban: /* Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\) */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:35:50Z

Alejandro Santisteban: /* Visualización con MATLAB */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:35:30Z

Alejandro Santisteban: /* Ejercicio propuesto */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:35:17Z

Alejandro Santisteban: /* Visualización con MATLAB */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:34:57Z

Alejandro Santisteban: /* Resultado final del gradiente */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:34:40Z

Alejandro Santisteban: /* Ejercicio propuesto */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:34:04Z

Alejandro Santisteban: /* Resultado final */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:33:38Z

Alejandro Santisteban: /* Interpretación física */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

===Interpretación física===
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:33:25Z

Alejandro Santisteban: /* Resultado final del gradiente */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

===Resultado final del gradiente===
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:33:03Z

Alejandro Santisteban: /* Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\) */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

===Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)===
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:32:41Z

Alejandro Santisteban: /* Factores de escala */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

===Factores de escala===
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:31:15Z

Alejandro Santisteban: /* Fórmula genérica */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:30:28Z

Alejandro Santisteban: /* Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z) */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

# El Gradiente

==Fórmula genérica==
 
El gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en la función escalar que queremos estudiar:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \vec{e}_u + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \vec{e}_v + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \vec{e}_z
</math>

El resultado vectorial nos va a mostrar la dirección y magnitud de la máxima tasa de cambio de la función escalar en cada punto.

==Factores de escala==
 
Los factores de escala en coordenadas cilíndrico-parabólicas son:

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2}, \quad h_z = 1
</math>

==Ejemplo práctico: Gradiente de \(f(u,v,z) = \frac{1}{4}(u^2+v^2)^2 + z^2\)==
 
Vamos a calcular el gradiente de esta función escalar paso a paso.

===Componente en \(\vec{e}_u\)===
 
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2u
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot u(u^2+v^2)
</math>

<math>
= u\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_v\)===
 
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{1}{4}(u^2+v^2)^2\right]
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2(u^2+v^2) \cdot 2v
</math>

<math>
= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot v(u^2+v^2)
</math>

<math>
= v\sqrt{u^2+v^2}
</math>

===Componente en \(\vec{e}_z\)===
 
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} = 1 \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
</math>

==Resultado final del gradiente==
 
Sumando las tres componentes, obtenemos:

<math>
\nabla f = \text{grad}(f) = u\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_u + v\sqrt{u^2+v^2} \ \vec{e}_v + 2z \ \vec{e}_z
</math>

==Interpretación física==
 
El vector gradiente en cada punto:
- Apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función
- Su magnitud indica la tasa de cambio máxima
- Es perpendicular a las superficies equipotenciales (curvas de nivel)

<math>
|\nabla f| = \sqrt{(u\sqrt{u^2+v^2})^2 + (v\sqrt{u^2+v^2})^2 + (2z)^2} = \sqrt{(u^2+v^2)^2 + 4z^2}
</math>

[[Archivo:Gradiente_campo.png|400px|thumb|right|Campo gradiente y superficies equipotenciales]]

==Visualización con MATLAB==
 
{{matlab|codigo=
syms u v z

% Definir la función escalar
f = (1/4)*(u^2 + v^2)^2 + z^2;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Calcular el gradiente
grad_f_u = (1/h_u) * diff(f, u);
grad_f_v = (1/h_v) * diff(f, v);
grad_f_z = (1/h_z) * diff(f, z);

disp('=== GRADIENTE DE f ===');
disp(['Componente u: ', char(simplify(grad_f_u))]);
disp(['Componente v: ', char(simplify(grad_f_v))]);
disp(['Componente z: ', char(simplify(grad_f_z))]);

% Gráfica 2D del gradiente en el plano u-v
figure('Position', [100, 100, 900, 700])
subplot(2,2,1)
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-2:0.3:2, -2:0.3:2);

% Calcular función y gradiente en z=0
f_grid = (1/4)*(u_grid.^2 + v_grid.^2).^2;
grad_u = u_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);
grad_v = v_grid .* sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2);

% Graficar curvas de nivel
contour(u_grid, v_grid, f_grid, 15, 'LineWidth', 1.2);
colormap('parula');

% Graficar campo gradiente
quiver(u_grid, v_grid, grad_u, grad_v, ...
'LineWidth', 1.0, 'Color', 'r', ...
'AutoScaleFactor', 0.7);

xlabel('Coordenada u');
ylabel('Coordenada v');
title('Campo Gradiente \nabla f');
legend('Curvas de nivel', 'Gradiente', 'Location', 'northwest');

% Gráfica de la función
subplot(2,2,2)
surf(u_grid, v_grid, f_grid, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colormap('jet');
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('f(u,v,0)');
title('Superficie f(u,v,0)');
grid on

% Magnitud del gradiente
subplot(2,2,3)
mag_grad = sqrt(grad_u.^2 + grad_v.^2);
contourf(u_grid, v_grid, mag_grad, 20);
colorbar;
xlabel('u'); ylabel('v');
title('Magnitud de |\nabla f|');
axis equal

% Vectores gradiente en 3D
subplot(2,2,4)
z_level = zeros(size(u_grid));
quiver3(u_grid, v_grid, z_level, grad_u, grad_v, zeros(size(grad_u)), ...
'Color', 'b', 'LineWidth', 1.2);
xlabel('u'); ylabel('v'); zlabel('z=0');
title('Vectores Gradiente en 3D');
grid on
view(3)

disp(' ');
disp('=== PROPIEDADES DEL GRADIENTE ===');
disp('1. El gradiente apunta hacia la máxima tasa de crecimiento');
disp('2. Es perpendicular a las curvas de nivel');
disp('3. Su magnitud indica la tasa de cambio máxima');
}}

==Ejercicio propuesto==
 
Calcula el gradiente de la función \(g(u,v,z) = \ln(u^2+v^2) + z\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas:

===Solución paso a paso===
 
**Paso 1:** Derivada parcial respecto a \(u\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{2u}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 2:** Componente en \(\vec{e}_u\)
<math>
\frac{1}{h_u} \frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2u}{u^2+v^2} = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 3:** Derivada parcial respecto a \(v\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial v} = \frac{2v}{u^2+v^2}
</math>

**Paso 4:** Componente en \(\vec{e}_v\)
<math>
\frac{1}{h_v} \frac{\partial g}{\partial v} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \cdot \frac{2v}{u^2+v^2} = \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}}
</math>

**Paso 5:** Derivada parcial respecto a \(z\)
<math>
\frac{\partial g}{\partial z} = 1
</math>

**Paso 6:** Componente en \(\vec{e}_z\)
<math>
\frac{1}{h_z} \frac{\partial g}{\partial z} = 1 \cdot 1 = 1
</math>

**Resultado final:**
<math>
\nabla g = \frac{2u}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_u + \frac{2v}{(u^2+v^2)^{3/2}} \vec{e}_v + \vec{e}_z
</math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:21:33Z

Alejandro Santisteban: /* Expresion del campo de posición en cartesianas */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:20:43Z

Alejandro Santisteban: /* Valor del gradiente en ese punto */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:20:28Z

Alejandro Santisteban: /* Conversión del punto (0,1,1) */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

===Valor del gradiente en ese punto===

<math> \nabla f\big|_{(1,1,1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_v. </math>

En coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f=(0,1,0). </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:19:53Z

Alejandro Santisteban: /* Paso 4: Evaluación del gradiente en el punto */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

===Conversión del punto (0,1,1)===
Del sistema:

<math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 \Rightarrow u^2=v^2,\qquad uv=1, </math>

obtenemos:

<math> u=1,\; v=1,\; z=1,\qquad \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

===Valor del gradiente en ese punto===

<math> \nabla f\big|_{(1,1,1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_v. </math>

En coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f=(0,1,0). </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:18:39Z

Alejandro Santisteban: /* = */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

===Conversión del punto (0,1,1)===
Del sistema:

<math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 \Rightarrow u^2=v^2,\qquad uv=1, </math>

obtenemos:

<math> u=1,\; v=1,\; z=1,\qquad \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

===Valor del gradiente en ese punto===

<math> \nabla f\big|_{(1,1,1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_v. </math>

En coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f=(0,1,0). </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Paso 4: Evaluación del gradiente en el punto==

<math> \nabla f\big|_{(u,v)=(1,1)} =\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_u +\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_v. </math>

Si se desea expresarlo en coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f = (0,1,0), </math>

lo cual es coherente con que
𝑓
=
𝑦
f=y.

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:16:57Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

===
Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

===Conversión del punto (0,1,1)===
Del sistema:

<math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 \Rightarrow u^2=v^2,\qquad uv=1, </math>

obtenemos:

<math> u=1,\; v=1,\; z=1,\qquad \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

===Valor del gradiente en ese punto===

<math> \nabla f\big|_{(1,1,1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_v. </math>

En coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f=(0,1,0). </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Paso 4: Evaluación del gradiente en el punto==

<math> \nabla f\big|_{(u,v)=(1,1)} =\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_u +\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_v. </math>

Si se desea expresarlo en coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f = (0,1,0), </math>

lo cual es coherente con que
𝑓
=
𝑦
f=y.

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:12:23Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

==Gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas==

===Expresión general del gradiente===
En un sistema ortogonal con factores de escala
ℎ
𝑢
,
ℎ
𝑣
,
ℎ
𝑧
h
u

,h
v

,h
z

:

<math> \nabla f=\frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e}_u +\frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e}_v +\frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z. </math>

En coordenadas cilíndrico-parabólicas:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2},\qquad y=uv,\qquad z=z, </math> <math> h_u=h_v=\sqrt{u^2+v^2},\qquad h_z=1. </math>

Por tanto:

<math> \nabla f= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e}_u +\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e}_v +\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z . </math>

===Aplicación al campo
𝑓
(
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
)
=
𝑥
2
f(x
1

,x
2

,x
3

)=x
2

===
Como
𝑥
2
=
𝑦
=
𝑢
𝑣
x
2

=y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv, \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=v,\quad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Así:

<math> \nabla f= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

===Conversión del punto (0,1,1)===
Del sistema:

<math> \frac{u^2-v^2}{2}=0 \Rightarrow u^2=v^2,\qquad uv=1, </math>

obtenemos:

<math> u=1,\; v=1,\; z=1,\qquad \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

===Valor del gradiente en ese punto===

<math> \nabla f\big|_{(1,1,1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_u + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{e}_v. </math>

En coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f=(0,1,0). </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Paso 4: Evaluación del gradiente en el punto==

<math> \nabla f\big|_{(u,v)=(1,1)} =\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_u +\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_v. </math>

Si se desea expresarlo en coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f = (0,1,0), </math>

lo cual es coherente con que
𝑓
=
𝑦
f=y.

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-05T16:08:41Z

Alejandro Santisteban: /* El Gradiente */

{{ TrabajoED | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 03 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Mikel Ugarte Janeiro
*Juan Félix Aguilar Romero
*Ernesto Pastor González
*Alejandro Santisteban Sancho
*Alejandro Vaquero Giménez }}


Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de representación de puntos en el espacio, el cual se basa en la representación cilíndrica y en la forma parabólica para describir la posición de puntos de manera específica. Estas coordenadas resultan muy convenientes para el estudio de campos en los que vemos implicadas geometrías parabólicas. 
Su repercusión en la ingeniería es notable y su uso es frecuente, debido a las características que presenta la parábola y sus propiedades tan resaltables. La relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las cilíndricas parabólicas es la siguiente (con u>0): 

<center>
<math>
\begin{cases}
x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
</center>
 
== Parametrizaciones de las líneas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 en coordenadas cartesianas ==
=== Lineas coordenadas 𝛾𝑢, 𝛾𝑣, 𝛾𝑧 ===

Conocidas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) y las coordenadas cartesianas ( \(x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\)), las parametrizaciones de las líneas coordenadas (en cartesianas) se calculan variando uno de los tres parámetros (u, v, z) y manteniendo los otros dos constantes para cada una de las tres líneas coordenadas.

<math>
\gamma_u(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = tv \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_v(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\
x_2 = ut \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
x_2 = uv \\
x_3 = t
\end{cases}
</math> 

Las líneas coordenadas asociadas a u y a v tienen forma de parábolas, mientras que la asociada a z es una recta vertical.

===Programas MATLAB y representaciones gráficas===
[[Archivo:lineas coordenadas.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=
clear;
clc;

% Dibujo de lineas coordenadas gamma_u y gamma_v en plano x_3=0
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Lineas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en el plano x_3=0');

% Curva gamma_u (fijamos v0)
v0 = 1;
u = linspace(0.01,5,400);
x1 = (u.^2 - v0^2)/2;
x2 = u .* v0;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);

% Curva gamma_v (fijamos u0)
u0 = 1;
v = linspace(0.01,5,400);
x1_v = (u0^2 - v.^2)/2;
x2_v = u0 .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'LineWidth', 2);

legend(['\gamma_u (v = 1)'], ...
['\gamma_v (u = 1)'], ...
'Location','best');

hold off;

}}

[[Archivo:lineas coordenadas 2.jpg|400px|thumb|left|Representación lineas coordenadas]]

{{matlab|codigo=

clear;
clc;

% Valores de u y v para curvas gamma_v y gamma_u
u_vals = linspace(0.1, 2, 5);
v_vals = linspace(0.1, 2, 5);

figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_f = v_vals
u = linspace(0.1, 2, 100);
x1_u = (u.^2 - v_f^2) / 2;
x2_u = u .* v_f;
plot(x1_u, x2_u,'r','LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_f = u_vals
v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
x1_v = (u_f^2 - v.^2) / 2;
x2_v = u_f .* v;
plot(x1_v, x2_v,'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Representación gráfica
title('Lineas coordenadas \gamma_u (para distintos valores de v) y \gamma_v (para distintos valores de u )');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u)', 'Curvas \gamma_v (v)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

}}

==Campos velocidad, factores de escala y vectores tangentes de las líneas coordenadas <math>\gamma'_u, \gamma'_v, \gamma'_z</math>==
===Campos velocidad===

 

Denotamos con <math>\vec{r}_u, \vec{r}_v, \vec{r}_z</math> a las parametrizaciones vectoriales asociadas a <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>, respectivamente.

El vector velocidad se obtiene como <math>\vec{r}'_i (t) = \frac{\partial x_1}{\partial i} \vec{i} + \frac{\partial x_2}{\partial i} \vec{j} + \frac{\partial x_3}{\partial i} \vec{k}</math> .

 

:<math>\gamma_u (t) = \underbrace{( t, v, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{t²-v²}{2}, tv, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_u (t) = u \vec{i} + v \vec{j}</math>

:<math>\gamma_v (t) = \underbrace{( u, t, z )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-t²}{2}, ut, z)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_v (t) = -v \vec{i} + u \vec{j}</math>

:<math>\gamma_z (t) = \underbrace{( u, v, t )}_{\text{cilíndricas parabólicas}} = \underbrace{( \frac{u²-v²}{2}, uv, t)}_{cartesianas} \Rightarrow \vec{r}'_z (t) = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{r}'_u (t), \vec{r}'_v (t), \vec{r}'_z (t),</math> definidos anteriormente, los vectores velocidad asociados a las parametrizaciones <math>\gamma_u, \gamma_v, \gamma_z</math>.

 

===Factores de escala <math>h_u , h_v , h_z</math>===

 

Definimos los factores de escala como los módulos de las velocidades calculadas en el apartado anterior.

 

:<math>h_u = |\vec{r}'_u (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_v = |\vec{r}'_v (t)| = \sqrt{u² + v²}</math> , <math> \qquad h_z = |\vec{r}'_z (t)| = 1</math>

 

===Vectores tangentes===

 

Los vectores tangentes, de forma genérica, quedan definidos como <math>\quad \vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|} \quad</math> en este caso <math>\quad \vec{e}_i = \frac{\vec{r}'_i}{h_i}.</math>

 

:<math>\vec{e}_u = \frac{\vec{r}'_u}{|\vec{r}'_u (t)|} = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_v = \frac{\vec{r}'_v}{|\vec{r}'_v (t)|} = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\vec{i} + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}\vec{j}</math>

:<math>\vec{e}_z = \frac{\vec{r}'_z}{|\vec{r}'_z (t)|} = \vec{k}</math>

 

Siendo <math>\vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z</math> los vectores tangentes a las lineas coordenadas <math>\Gamma_u, \Gamma_v, \Gamma_z ,</math> respectivamente.

 
[[Archivo:VectoresLineasCoordenadas.png|600px|thumb|left|Representación de líneas coordenadas y vectores tangentes]]

{{matlab|codigo=
clear,clc

% Parámetros
u = 1;
v = 1;
z = 0;
t = linspace(0, 3, 100);

% Curva coordenada gamma_u (varía u)
gamma_u = {t, v, z};

% Curva coordenada gamma_v (varía v)
gamma_v = {u, t, z};

% Transformación parabólica
x1_u = (gamma_u{1}.^2 - gamma_u{2}^2)/2;
x2_u = gamma_u{1} .* gamma_u{2};

x1_v = (gamma_v{1}^2 - gamma_v{2}.^2)/2;
x2_v = gamma_v{1} .* gamma_v{2};

% Punto base
x1 = (u^2 - v^2)/2;
x2 = u*v;

% Vectores unitarios
h = sqrt(u^2 + v^2);
e_u = [u/h, v/h, 0];
e_v = [-v/h, u/h, 0];

% Paleta de colores
color_u = [0.4 0.6 0.8];
color_v = [0.9 0.5 0.4];
color_eu = [0 0.4470 0.7410];
color_ev = [0.8500 0.3250 0.0980];

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
r_u = plot(x1_u, x2_u, 'color', color_u, 'LineWidth', 1.5);
r_v = plot(x1_v, x2_v, 'color', color_v, 'LineWidth', 1.5);

% Dibujar vectores unitarios
e_u = quiver(x1, x2, e_u(1), e_u(2), 0, 'color', color_eu, 'LineWidth', 1.5);
e_v = quiver(x1, x2, e_v(1), e_v(2), 0, 'color', color_ev, 'LineWidth', 1.5);

title('Vectores e_u y e_v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
legend([r_u, r_v, e_u, e_v], {'Línea coordenada u', 'Línea coordenada v', 'Vector e_u', 'Vector e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

 

===Ortonormalidad===

 

Para comprobar que se trata de una base ortonormal primero se debe cumplir la ortogonalidad, comprobándose mediante el producto escalar de los vectores de la base, que deben quedar ortogonales dos a dos.

 

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_v = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·\left(-\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}\right) + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·\frac{u}{\sqrt{u²+v²}} = 0</math>

:<math>\vec{e}_u · \vec{e}_z = \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1= 0</math>

:<math>\vec{e}_v · \vec{e}_z = -\frac{v}{\sqrt{u²+v²}}·0 + \frac{u}{\sqrt{u²+v²}}·0 + 0·1 = 0</math>

 

Como se puede comprobar '''se trata de una base ortogonal'''.

Depués se comprueba que '''los vectores son unitarios''', que como se han obtenido de la expresión <math>\vec{t} = \frac{\vec{v}}{\left| \vec{v} \right|},</math> por definición, lo son. '''Así queda comprobada la ortonormalidad de la base <math>\left\{ \vec{e}_u , \vec{e}_v , \vec{e}_z \right\}</math>.'''

 

===Orientación===

 

Para comprobar la orientación de la base se hace el producto vectorial de los dos primeros vectores de la base, de esta manera: <math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v .</math> Si el producto resulta el tercer vector de la base <math>\left( \vec{e}_z \right)</math> entonces se considera la base orientada positivamente, si por el contrario nos da su opuesta <math>\left( -\vec{e}_z \right)</math> se considera orientada negativamente.

 

:<math>\vec{e}_u \times \vec{e}_v = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0\end{matrix} \right| = \frac{u²}{u² + v²}\vec{k} - \frac{(-v)v}{u² + v²}\vec{k} = \vec{k} = \vec{e}_z</math>

 

Como se comprueba, '''la base esta orientada positivamente'''.

 

==Matrices de cambio de base <math>Q</math> y <math>Q^{-1}</math>==

 
===Cambio de cilíndricas parabólicas a cartesianas===
La matriz de cambio de coordenadas cilíndricas parabólicas a coordenadas cartesianas se construye colocando en columnas las coordenadas en cartesianas de los vectores de la base cilíndrica parabólica de esta manera:

 

:<math>Q = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 
===Cambio de cartesianas a cilíndricas parabólicas===

Al tratarse de una matriz que representa un cambio de coordenadas entre bases ortonormales, la matriz inversa (<math>Q^{-1}</math>) es igual a la traspuesta (<math>Q^{t}</math>), resultando la matriz de cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas así:

 

:<math>Q^{-1} = Q^{t} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

 

==Campo de posición <math>\vec{r}</math>==
===Expresion del campo de posición en cartesianas===
 

Para encontrar el campo de posición en la base cilíndrica parabólica se emplean las coordenadas conocidas en la base cartesiana. Como se ha calculado previamente la matriz de cambio de coordenadas en cartesianas a cilíndricas parabólicas, denotada <math>Q^{-1}</math>, se puede calcular de forma directa:

 

:<math>h = h_u = h_v = \sqrt{u² + v²}</math>

 

:<math>\begin{pmatrix} v_u \\ v_v \\ v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u² + v²}} & \frac{u}{\sqrt{u² + v²}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{u}{h} & \frac{v}{h} & 0 \\ -\frac{v}{h} & \frac{u}{h} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} \frac{u²-v²}{2} \\ uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{u}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{v}{h} uv \\ -\frac{v}{h} \frac{u² - v²}{2} + \frac{u}{h} uv \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{uh}{2} \\ \frac{vh}{2} \\ z \end{pmatrix}</math>

 

Sustituyendo h resulta:

 

:<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

 

==Gradiente en coordenadas cilíndrico-parabólicas==

===(5) Expresión general del gradiente===
En cualquier sistema de coordenadas ortogonales
(
𝑞
1
,
𝑞
2
,
𝑞
3
)
(q
1

,q
2

,q
3

) con factores de escala
ℎ
1
,
ℎ
2
,
ℎ
3
h
1

,h
2

,h
3

, el gradiente de un campo escalar
𝑓
f viene dado por

<math> \nabla f \;=\; \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\,\vec{e}_{q_1} \;+\; \frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\,\vec{e}_{q_2} \;+\; \frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\,\vec{e}_{q_3}. </math>

Para el sistema cilíndrico-parabólico usamos las transformaciones:

<math> x=\frac{u^2 - v^2}{2},\qquad y=uv,\qquad z=z, </math>

y sus factores de escala:

<math> h_u=\sqrt{u^2+v^2},\qquad h_v=\sqrt{u^2+v^2},\qquad h_z=1. </math>

Por tanto, el gradiente de un escalar
𝑓
(
𝑢
,
𝑣
,
𝑧
)
f(u,v,z) es:

<math> \nabla f \;=\; \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\,\frac{\partial f}{\partial u}\,\vec{e}_u \;+\; \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}\,\frac{\partial f}{\partial v}\,\vec{e}_v \;+\; \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{e}_z . </math>

==Aplicación al campo escalar
𝑓
(
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
)
=
𝑥
2
f(x
1

,x
2

,x
3

)=x
2

==

===Paso 1: Expresar
𝑓
f en coordenadas cilíndrico-parabólicas===

Dado que
<math> f(x_1,x_2,x_3)=x_2=y, </math>
y usando la relación
𝑦
=
𝑢
𝑣
y=uv:

<math> f(u,v,z)=uv. </math>

===Paso 2: Derivadas parciales===

<math> \frac{\partial f}{\partial u}=v,\qquad \frac{\partial f}{\partial v}=u,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=0. </math>

Sustituyendo en la fórmula del gradiente:

<math> \nabla f =\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_u +\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}\vec{e}_v. </math>

==Paso 3: Transformación del punto (0,1,1) a coordenadas (u,v,z)==

Resolvemos:

<math> x=\frac{u^2-v^2}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad u^2=v^2, </math> <math> y=uv=1. </math>

La solución con la convención habitual
𝑢
≥
0
u≥0 es:

<math> u=1,\qquad v=1,\qquad z=1. </math>

Además:

<math> h=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{2}. </math>

==Paso 4: Evaluación del gradiente en el punto==

<math> \nabla f\big|_{(u,v)=(1,1)} =\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_u +\frac{1}{\sqrt2}\vec{e}_v. </math>

Si se desea expresarlo en coordenadas cartesianas:

<math> \nabla f = (0,1,0), </math>

lo cual es coherente con que
𝑓
=
𝑦
f=y.

==Divergencia==
===Fórmula genérica===
 
La divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente fórmula en el campo que queremos estudiar:

<math>
div(\vec{F})=\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]
</math>
El resultado escalar nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a emanar o converger en un punto.

===Campo vectorial \(\vec{r}\) y factores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>

===Sustituimos en la fórmula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>div(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]</math>

===Calculamos cada término===
 
**Primer término:**
<math>
h_v h_z F_u = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{u\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{u(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{u(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + u \cdot 2u\right] = \frac{3u^2+v^2}{2}
</math>

**Segundo término:**
<math>
h_u h_z F_v = \sqrt{u^2+v^2} \cdot 1 \cdot \frac{v\sqrt{u^2+v^2}}{2} = \frac{v(u^2+v^2)}{2}
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial v}\left[\frac{v(u^2+v^2)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[(u^2+v^2) + v \cdot 2v\right] = \frac{u^2+3v^2}{2}
</math>

**Tercer término:**
<math>
h_u h_v F_z = (u^2+v^2) \cdot z
</math>
<math>
\frac{\partial}{\partial z}\left[(u^2+v^2) \cdot z\right] = u^2+v^2
</math>

===Sumamos los términos===
 
<math>
\frac{3u^2+v^2}{2} + \frac{u^2+3v^2}{2} + (u^2+v^2) = \frac{4u^2+4v^2}{2} + (u^2+v^2)
</math>
<math>
= 2(u^2+v^2) + (u^2+v^2) = 3(u^2+v^2)
</math>

===Aplicamos el factor común===
 
<math>
div(\vec{r}) = \frac{1}{u^2+v^2} \cdot 3(u^2+v^2) = 3
</math>

===Resultado final===
 
Sustituimos el resultado que hemos obtenido y obtenemos la divergencia:

<math>
div(\vec{r}) = \nabla \cdot \vec{r} = 3
</math>

[[Archivo:Campo divergencia.png|400px|thumb|left|Campo con divergencia constante]]

{{matlab|codigo=
syms u v z

% Componentes del campo
F_u = (u*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_v = (v*sqrt(u^2 + v^2))/2;
F_z = z;

% Factores de escala
h_u = sqrt(u^2 + v^2);
h_v = sqrt(u^2 + v^2);
h_z = 1;

% Divergencia en coordenadas ortogonales
divF = (1/(h_u*h_v*h_z)) * (...
diff(h_v*h_z*F_u, u) + ...
diff(h_u*h_z*F_v, v) + ...
diff(h_u*h_v*F_z, z));

disp('Divergencia de r:');
simplify(divF)

% Gráfica del campo vectorial en 2D (plano u-v)
figure('Position', [100, 100, 800, 600])
hold on
grid on
axis equal

% Crear malla en el plano
[u_grid, v_grid] = meshgrid(-3:0.5:3, -3:0.5:3);

% Calcular componentes del campo
F_u_num = (u_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;
F_v_num = (v_grid.*sqrt(u_grid.^2 + v_grid.^2))/2;

% Graficar campo vectorial
quiver(u_grid, v_grid, F_u_num, F_v_num, ...
'LineWidth', 1.2, 'Color', 'b', ...
'AutoScaleFactor', 0.8, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Marcar puntos de divergencia
scatter(0, 0, 100, 'r', 'filled', ...
'MarkerEdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Configuración de la gráfica
xlabel('Coordenada u', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Coordenada v', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Campo Vectorial \vec{r} en coordenadas cilíndrico-parabólicas', ...
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

% Añadir leyenda
legend('Campo vectorial \vec{r}', ...
'Punto con divergencia constante = 3', ...
'Location', 'northwest', 'FontSize', 10);

% Añadir texto informativo
text(0.5, -2.5, 'Divergencia(\vec{r}) = 3 en todo el espacio', ...
'FontSize', 11, 'FontWeight', 'bold', ...
'BackgroundColor', 'yellow', 'EdgeColor', 'black');

hold off

% Gráfica 3D opcional
figure('Position', [950, 100, 800, 600])
[x, y, z] = meshgrid(-2:0.4:2, -2:0.4:2, -1:0.4:1);

% Convertir a coordenadas cartesianas para visualización
% (En coordenadas cilíndrico-parabólicas: x = (u²-v²)/2, y = uv)
u_val = sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) + x);
v_val = sign(y).*sqrt(sqrt(x.^2 + y.^2) - x);

F_x = (u_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_y = (v_val.*sqrt(u_val.^2 + v_val.^2))/2;
F_z_3d = z;

% Graficar campo 3D
quiver3(x, y, z, F_x, F_y, F_z_3d, ...
'LineWidth', 1, 'Color', 'm', ...
'AutoScaleFactor', 0.6);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('Campo \vec{r} en 3D (representación aproximada)', ...
'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
grid on
axis equal
rotate3d on

disp('Gráficas generadas correctamente.');
}}

==Rotacional==
===Formula genérica===
 
El rotacional en coordenadas cilindico-parabolicas, lo podremos calcular aplicando y particularizando la siguiente formula en el campo que queremos estudiar:

<math>
rot( \vec{F})=\nabla \times \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right |
</math>
El vector resultante nos va a mostrar la tendencia del campo a estudiar a producir rotacion.
===Campo vectorial \(\vec{r}\) y facrores de escala que vamos a usar===
 
<math>\vec{r} = \frac{u\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_u + \frac{v\sqrt{u² + v²}}{2} \vec{e}_v + z \vec{e}_z</math>

<math>
h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad
h_z = 1.
</math>
===Sustitucion en la formula===
 
<math> h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 = u^2 + v^2</math> <math> \xrightarrow{} </math>

<math>rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right |</math>

===Resolucion del determinante===
 
Componente <math> \vec{e_u} </math> :

<math>
\vec{e_u} =\frac{\partial}{\partial v}(h_z r_z)
-
\frac{\partial}{\partial z}(h_v r_v)
</math>
<math> \xrightarrow{} </math> <math>
\vec{e_u} =0 - 0 </math> <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_u} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_v} </math> :

<math>
\vec{e_v} =\frac{\partial}{\partial z}(h_u r_u)
-
\frac{\partial}{\partial u}(h_z r_z) </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math> (h_u r_u)</math> y <math>(h_z r_z)</math> NO DEPENDEN DE z <math> \xrightarrow{} </math><math>
\vec{e_v} =0 </math>

Componete <math> \vec{e_z} </math> :

<math>
\vec{e_z} =\frac{\partial}{\partial u}(h_v r_v)
-
\frac{\partial}{\partial v}(h_u r_u) </math> <math> \xrightarrow{} </math>
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v)=vu \\[6pt]
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)=uv
\end{array}
\right.
</math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z = vu - uv </math> <math> \xrightarrow{} </math> <math>
e_z =0 </math>

===Resultado final===
 
Sustituimos los resultados que hemos obtenido de cada componente y obtenemos el vector rotacional:

<math>
rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= \vec {0}
</math>

[[Archivo:Campo rotacional.png|400px|thumb|left|Campo rotacional]]

{{matlab|codigo=

syms u v z

% Componentes del campo

A_u = u*v;

A_v = u^2;

A_z = v*z;

% Factores de escala

h_u = sqrt(u^2 + v^2);

h_v = sqrt(u^2 + v^2);

h_z = 1;

% Rotacional en coordenadas ortogonales (sin simplificar)

curl_u = (1/(h_v*h_z)) * (diff(h_z*A_z, v) - diff(h_v*A_v, z));

curl_v = (1/(h_z*h_u)) * (diff(h_u*A_u, z) - diff(h_z*A_z, u));

curl_z = (1/(h_u*h_v)) * (diff(h_v*A_v, u) - diff(h_u*A_u, v));

curlA = [curl_u; curl_v; curl_z];

disp('Rotacional de A:');
disp(curlA);
}}

==Superficies de nivel==
===Diferentes superficies de nivel y su representación===

Las superficies de nivel se obtienen al mantener constante una de las coordenadas del sistema de representación. Estas se definen por los siguientes campos escalares: 
 <math>
f1=(u,v,z) = u, f2=(u,v,z) = v, f3=(u,v,z) = z,
</math> 
Cada coordenada genera una familia de superficies en el espacio que se define como: 


Manteniendo u fija (u=cte): 

<math>
u=u_0
\begin{cases}
x=u_0*v\\
y=\frac{1}{2}*(v^2-u_0^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide cóncavo, abierto hacia las y positivas. 

Manteniendo v fija (v=cte): 

<math>
v=v_0
\begin{cases}
x=u*v_0\\
y=\frac{1}{2}*(v_0^2-u^2)

\end{cases}
</math>
 
Obtenemos un paraboloide convexo, abierto hacia las y negativas. 

Manteniendo z fija (z=cte): 

<math>
z=z_0
</math>
 
Obtenemos un plano paralelo al plano XY. 

Al fijar dos coordenadas diferentes a la vez, obtenemos superficies parabólicas. Esto es lo que hace que al superponerlas se formen cilindros ,dando nombre al sistema de coordenadas (cilíndricas parabólicas).


===Programa Matlab de las superficies de nivel===
 
[[Archivo:Superficie_de_nivel_u.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_v.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_de_nivel_z.png|400px|thumb|left|superficie de nivel asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 40);
v = linspace(0, 2, 40);
z = linspace(0, 2, 40);

% SUPERFICIE 1: u= constante

u_const = 1;

% Mallado en (v,z)
[V1, Z1] = meshgrid(v, z);

% Ecuaciones paramétricas
X1 = (u_const^2 - V1.^2) / 2;
Y1 = u_const .* V1;

figure(1);
surf(X1, Y1, Z1, Z1, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: u= cte');
axis equal;
grid on;
view(15, 25);

% SUPERFICIE 2: v= constante

v_const = 1;

% Mallado en (u,z)
[U2, Z2] = meshgrid(u, z);

% Ecuaciones paramétricas
X2 = (U2.^2 - v_const^2) / 2;
Y2 = U2 .* v_const;

figure(2);
surf(X2, Y2, Z2, Z2, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: v= cte');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

% SUPERFICIE 3: z= cte

z_const = 1;

x_vals = linspace(-5, 5, 40);
y_vals = linspace(-5, 5, 40);

% Mallado en (u,v)
[X3, Y3] = meshgrid(x_vals, y_vals);

% Ecuación paramétrica
Z3 = z_const * ones(size(X3));

figure(3);
surf(X3, Y3, Z3, Z3, 'EdgeColor', 'none');
shading interp;
colormap(parula);
colorbar;

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel: z = constante');
axis equal;
grid on;
view(45, 25);

}}

===Superficies regladas del sistema de representación===

Las diferentes líneas coordenadas que generan las superficies de nivel están asociadas a superficies regladas. Estas superficies regladas están constituidas por una línea coordenada y un vector w(t) asociado a la curva. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas las curvas asociadas a u y v forman cilindros parabólicos y tienen un eje paralelo al eje Z, por lo que se contruyen mediante infinitas rectas paralelas a dicho eje. Estas generan una superficie idéntica a la superficie de nivel. En el caso de la curva generada por z es un plano, y por lo tanto son infinitas rectas paralelas al eje X o al eje Y.

===Programa Matlab de las superficies regladas===
 
[[Archivo:Superficie_reglada_u.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a u]]
[[Archivo:Superficie_reglada_v.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a v]]
[[Archivo:Superficie_reglada_z.png|400px|thumb|left|superficie reglada asociada a z]]

{{matlab|codigo=
% Coordenadas cilíndricas parabólicas
% x = (u^2 - v^2)/2
% y = u*v
% z = z

% Rango de parámetros
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
x_full = linspace(-5, 5, 80);

% FIGURE 1: u= cte

u_const = 1;

figure(1); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: u = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
v_line = linspace(0, 2, 50);
x_line = (u_const^2 - v_line.^2)/2;
y_line = u_const .* v_line;
z_line = zeros(size(v_line));

plot3(x_line, y_line, z_line, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas al eje z
long_flecha = 0.5;

for k = 1:6:length(v_line)
quiver3(x_line(k), y_line(k), 0, ...
0, 0, long_flecha, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.0);
end

% FIGURE 2: v= cte

v_const = 1;

figure(2); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: v = constante');
grid on; axis equal; view(15,25);

% Línea coordenada
u_line = linspace(0, 2, 50);
x_line2 = (u_line.^2 - v_const^2)/2;
y_line2 = u_line .* v_const;
z_line2 = zeros(size(u_line));

plot3(x_line2, y_line2, z_line2, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas paralelas a z
long_flecha2 = 0.7;

for k = 1:6:length(u_line)
quiver3(x_line2(k), y_line2(k), 0, ...
0, 0, long_flecha2, ...
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5);
end

% FIGURE 3: z= cte

figure(3); hold on;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Superficie reglada: z = constante');
grid on; axis equal; view(-35, 20);

% Línea coordenada en y=0, z=0
x_line3 = x_full;
y_line3 = zeros(size(x_line3));
z_line3 = zeros(size(x_line3));

plot3(x_line3, y_line3, z_line3, 'k', 'LineWidth', 3);

% Flechas horizontales en el plano XY
long_total = max(x_line3) - min(x_line3);
long_flecha3 = long_total * 0.45;

for k = 1:10:length(x_line3)
quiver3(x_line3(k), 0, 0, ...
0, long_flecha3, 0, ... % flechas hacia +y
'Color', 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.8);
end
}}
===Superficies regladas en la ingeniería===

==Curvatura==
===Fórmula Genérica===
En geometría diferencial de curvas planas, la curvatura 𝜅 de una curva regular parametrizada por 𝑥↦(𝑥,𝑦(𝑥)) (es decir, vista como gráfico 𝑦=𝑦(𝑥)y=y(x)) se calcula con la fórmula estándar: 
<math>
\kappa(x)=\dfrac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}} .
</math>

Esta cantidad mide la “curvatura” instantánea de la curva en cada punto: valores grandes de 𝜅 indican curvatura pronunciada (radio de curvatura pequeño), valores pequeños indican curvatura suave (radio grande). 

===Curvatura de la superficie dada===
Partiendo de las relaciones
𝑥=𝑢𝑣
calculando diferenciales, 
<math>
\mathrm{d}x = v,\mathrm{d}u + u,\mathrm{d}v,\qquad
\mathrm{d}y = -u,\mathrm{d}u + v,\mathrm{d}v.
</math>

El elemento de línea en el plano xy resulta, 

<math>
\mathrm{d}s^{2}=\mathrm{d}x^{2}+\mathrm{d}y^{2}=(u^{2}+v^{2})(\mathrm{d}u^{2}+\mathrm{d}v^{2})+\mathrm{d}z^{2}.
</math>

De aquí se obtienen los factores de escala (o coeficientes métrico en coordenadas ortogonales) 
<math>
h_{u}=h_{v}=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_{z}=1.
</math>
 
La igualdad ℎ𝑢=ℎ𝑣 refleja la simetría del sistema en los parámetros 𝑢 y 𝑣 (ambos están asociados a parábolas congruentes en el plano).

Si tomamos la curva del plano (𝑧 fijo) dada por 𝑢=𝑢0u=u0 y parámetro 𝑣↦(𝑥(𝑣),𝑦(𝑣))v↦(x(v),y(v)), entonces: 
<math>
x(v)=u_{0}v,\qquad y(v)=\tfrac{1}{2}(v^{2}-u_{0}^{2}).
</math>

Sus derivadas son 𝑥′=𝑢0x′=u0, 𝑦′=𝑣y′=v, 𝑥′′=0x′′=0, 𝑦′′=1y′′=1.

La curvatura (ordinaria) 𝜅 de una curva plana parametrizada por 𝑣 es: 
<math>
\kappa(v)=\dfrac{|x' y'' - y' x''|}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}=\dfrac{u_{0}}{(u_{0}^{2}+v^{2})^{3/2}}.
</math>

Análogamente, para la curva 𝑣=𝑣0 parametrizada por 𝑢 se obtiene: 
<math>
\kappa(u)=\dfrac{v_{0}}{(u^{2}+v_{0}^{2})^{3/2}}.
</math>

Así, las curvas coordenadas son parábolas con curvatura que depende inversamente de la potencia 3/2 de la distancia euclídea al origen en el plano (𝑢,𝑣). 

===Programa Matlab de la curvatura===
 
[[Archivo:Curvatura_k.png|400px|thumb|left|curvatura de la parábola]]
[[Archivo:Parabola_y_superficies_normales.png|400px|thumb|left|Parábola con sus normales a la superficie]]

{{matlab|codigo=
clear; clc; close all;
% Curvatura de la parábola y= -A*x^2+ B con x∈ [-1, 1]

A = 3;
B = 1;

% Dominio
x = linspace(-1, 1, 400);
y = -A*x.^2 + B;

% Derivadas
y1 = -2*A*x;
y2 = -2*A*ones(size(x));

% Curvatura
k = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Máximo y mínimo
[kmax, idx_max] = max(k);
x_max = x(idx_max);
y_max = y(idx_max);

[kmin, idx_min] = min(k);
x_min = x(idx_min);
y_min = y(idx_min);

% FIGURE 1: Parábola con la normal

figure(1); hold on; grid on; axis equal;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);

title('Parábola y campo de normales');
xlabel('x'); ylabel('y');

% Puntos donde dibujar flechas
pts = linspace(-1, 1, 8);
y_pts = -A*pts.^2 + B;
slope = -2*A*pts;

% Tamaño base de la flecha
arrow_scale = 0.8;

for i = 1:length(pts)
% Vector normal unitario
nx = -slope(i);
ny = 1;
nrm = sqrt(nx^2 + ny^2);
nx = nx/nrm; ny = ny/nrm;

quiver(pts(i), y_pts(i), arrow_scale*nx, arrow_scale*ny, 0, ...
'r', 'LineWidth', 1.4, 'MaxHeadSize', 0.9);
end

% FIGURE 2: Curvatura

figure(2); hold on; grid on;
plot(x, k, 'LineWidth', 2);

title('Curvatura \kappa(x)');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');

text(x_max, kmax*0.82, ...
sprintf('Máximo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_max, kmax), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

% Texto del mínimo
text(x_min, kmin*0.75, ...
sprintf('Mínimo: x = %.2f, \\kappa = %.4f', x_min, kmin), ...
'HorizontalAlignment','center','FontSize',10);

set(gca,'TitleFontSizeMultiplier',1.05);

}}

==La parábola y su uso en la ingeniería==
===La parábola===
[[Archivo:Auditorio tenerife.jpg|300px|thumb|left|Auditorio de Tenerife]]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del mismo plano. A dicho punto se le conoce como foco y a dicha recta como directriz.

La parábola se puede definir también como una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del cono. Las parábolas tienen una propiedad fundamental que es la reflexión. Por la reflexión los rayos paralelos al eje que inciden en una parábola se reflejan pasando por su foco.

===Usos principales en ingeniería===
[[Archivo:Viaducto garabit.jpg|300px|thumb|left|Viaducto de Garabit]]
'''Reflectores y antenas'''

Las antenas parabólicas y los concentradores solares usan la propiedad de reflexión para concentrar ondas electromagnéticas o radiación solar en el foco.

'''Micrófonos parabólicos'''

La manera de funcionar de este tipo de micrófonos es reflejar las ondas de sonido hacia un micrófono en el foco del paraboloide amplificando así los sonidos. Esto hace posible captar de una manera muy nítida y precisa sonidos en una dirección específica.

'''Estructuras y arcos'''

Un arco parabólico es una forma muy apropiada para ser empleada en estructuras sometidas a compresión porque por su forma, reparten eficientemente las cargas minimizando los esfuerzos cortantes y las flexiones.

'''Puentes y cables'''

En puentes colgantes, la curva asumida por los cables puede aproximarse a una parábola cuando el cable soporta una carga uniformemente distribuida. Sin embargo, no es así cuando el cable cuelga solo con la actuación de su propio peso. En ese caso la curva es la catenaria y no la parábola.

===Construcciones donde se ha utilizado la parábola===

[[Archivo:Antigua oficina postal central de Ultrecht.jpeg|200px|thumb|left|Antigua oficina postal central de Ultrecht]]
[[Archivo:Planta embotelladora bacardí.jpg|300px|thumb|left|Planta embotelladora de Bacardí en México]]
'''Auditorio de Tenerife:''' Esta construcción cuenta con un muy característico elemento arquitectónico. Dicho elemento es el arco con forma de parábola que se encuentra por encima de todo el resto de la estructura.

'''Viaducto de Garabit:''' La parte fundamental de este puente, en cuanto la estructura se refiere, es el arco parabólico que transmite las cargas a los apoyos que se encuentran en cada una de las dos laderas del valle. Con el uso de este tipo de arco se pretende minimizar los esfuerzos flectores y cortantes presentes en la estructura.

'''Antigua oficina postal central de Ultrecht:''' El techo de la sala principal de este edificio tiene una sección transversal constante que es una parábola, formando así el techo una superficie que es un paraboloide.

'''Planta embotelladora de Bacardí en México:''' La estructura de esta nave embotelladora esta formada por distintos paraboloides unidos que intersecan entre sí. Las secciones transversales de estos paraboloides son parábolas.

==Bibliografía==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Imagen.fig

2025-12-05T15:49:56Z

Alejandro Santisteban:

Archivo:Grafico gradiente.png

2025-12-05T15:47:41Z

Alejandro Santisteban:

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:25:17Z

Alejandro Santisteban: /* Resultado Final */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:24:17Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:19:23Z

Alejandro Santisteban: /* Calculamos cada componente */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:18:24Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:16:23Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:08:32Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-04T17:05:51Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:47:53Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:46:21Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:45:56Z

Alejandro Santisteban: /* Divergencia */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:44:16Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:43:47Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 03)

2025-12-03T14:42:59Z

Alejandro Santisteban: /* Gradiente */

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-08T12:03:39Z

Alejandro Santisteban: /* .- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid). Fuente: Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid.]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==

En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa. Esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 1. Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
% cara de aguas arriba, en un único color

% Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

% Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}

Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 2. Representar el campo escalar de presión como un mapa de colores sobre
% la superficie parametrizada de la presa (usa también colorbar)

% Asignación de parámetros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

% Relación presión - altura
P = rho*g*(H-Mz);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en planta del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Representación de la gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

% Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Representación de la gráfica de los campos tangente y normal sobre la curva en varios instantes
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros ajustados para la trayectoria
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
v0 = 30; % Velocidad inicial (m/s)
theta = pi/3; % Ángulo de lanzamiento (60 grados)
Hc = 25; % Altura inicial (m)
t_max = 2 * v0 * sin(theta) / g + sqrt(2 * Hc / g); % Tiempo total de vuelo
t = linspace(0, t_max, 200); % Intervalo de tiempo para la animación

% Posiciones en x e y durante la animación
x = v0 * cos(theta) .* t;
y = Hc + v0 * sin(theta) .* t - 0.5 * g .* t.^2;

% Ajustar límites para evitar valores negativos en y
valid_idx = y >= 0; % Solo considerar valores donde y >= 0
x = x(valid_idx);
y = y(valid_idx);

% Crear y configurar la figura

figure;
hold on;
plot(x, y, 'c', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Trayectoria gota'); % Trayectoria
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua (animada)');
grid on;
axis equal;
xlim([25, max(x)]);
ylim([0, Hc + 75]);

% Inicializar marcador de la gota
gota = plot(x(1), y(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Gota en movimiento');

legend('Location', 'best');
hold off;

% Animar la trayectoria
for i = 1:length(x)
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x(i), 'YData', y(i));

% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);
end

% Agregar marcador de impacto al final de la animación
hold on;
plot(x(end), y(end), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
legend('Location', 'best');
hold off;

}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta(m^2)
g = 9.81; % Gravedad(m/s^2)
Hc = 25; % Altura compuerta(m)
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

% Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de 24,36 litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=
clear; clc
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
H = 134; % Altura de la presa (m)
r0 = 150; % Radio en la coronación (m)
b = 35; % Factor de curvatura parabólica

% Resolución para la integración
num_theta = 100; % Divisiones en theta
num_z = 100; % Divisiones en z

% Rango de variables
theta = linspace(3*pi/4, 5*pi/4, num_theta);
z = linspace(0, H, num_z);

% Matriz de resultados
force_total = 0;
area_total = 0;

% Integración sobre la superficie
for i = 1:numel(theta)
for j = 1:numel(z)
% Coordenadas en la superficie
r = r0 + b * (1 - (z(j)^2 / H^2)); % Radio a cada z
h = H - z(j); % Profundidad

% Elemento de área diferencial en coordenadas cilíndricas
dS = r * (theta(2) - theta(1)) * (z(2) - z(1));

% Presión a cada punto
P = rho * g * h;

% Contribución a la fuerza total
force_total = force_total + P * dS;

% Acumulación del área para calcular presión media (si necesaria)
area_total = area_total + dS;
end
end

% Fuerza total de presión
disp(['Fuerza total de presión: ', num2str(force_total), ' N']);

% Presión promedio por unidad de superficie
pressure_per_unit_area = force_total / area_total;
disp(['Presión por unidad de superficie promedio: ', num2str(pressure_per_unit_area), ' Pa']);
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 5: presas de gravedad , presas de arco, presas de arco-gravedad, presas bóveda o doble arco, y por último presas de contrafuertes o aligeradas.

Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos sólidos. Generalmente están hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Como su nombre indica, en este tipo de presas la forma predominante es la de arco y es precisamente su curvatura la que resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los estribos de la cerrada -los laterales de la presa- ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas, cuanto más simétrica mejor, y orográficas del terreno.

A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más:

Las presas bóveda o de doble arco, en las que, por su forma curva en planta y alzado, el esfuerzo se transmite a los laterales y el fondo. Un ejemplo de este tipo de presas es la Almendra que, situada en España, es emblemática por ser la presa más alta del país.

Las presas de arco-gravedad son unas presas que tienen forma curva que transfiere la presión del agua hacia los estribos en las paredes del valle. Están hechas de hormigón y son ideales para valles estrechos y rocosos. Consumen menos material que las presas de gravedad, pero su diseño es mucho mas complejo y necesitan estribos sólidos para funcionar. La estabilidad de este tipo de presa depende de la resistencia de los estribos, de la forma del arco y de la presión del agua. Es una mezcla de la presa de arco y de la de gravedad.

Las presas de contrafuertes o aligeradas son algo similares a las de gravedad en el sentido en que, en cuanto a su mecanismo de resistencia, pero cuenta con una serie de contrafuertes para ofrecer estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco. Se emplea así una cantidad menor de material que en las presas de gravedad, pero tienen una mayor complejidad técnica.

[[Archivo:tiposdepresas.jpg|miniatura|Figura 8. Tipos de presas. Fuente: Iberdrola.]]

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/

https://www.iberdrola.com/conocenos/nuestra-actividad/energia-hidroelectrica/tipos-presa

https://www.canaldeisabelsegunda.es/documents/20143/787562/El+Atazar_OK.pdf/ea6f7a49-7ee0-b69b-b274-70980bb104ad?t=1567751073532

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-08T11:56:48Z

Alejandro Santisteban: /* .- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid). Fuente: Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid.]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==

En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa. Esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 1. Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
% cara de aguas arriba, en un único color

% Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

% Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}

Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 2. Representar el campo escalar de presión como un mapa de colores sobre
% la superficie parametrizada de la presa (usa también colorbar)

% Asignación de parámetros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

% Relación presión - altura
P = rho*g*(H-Mz);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en planta del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Representación de la gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

% Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Representación de la gráfica de los campos tangente y normal sobre la curva en varios instantes
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros ajustados para la trayectoria
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
v0 = 30; % Velocidad inicial (m/s)
theta = pi/3; % Ángulo de lanzamiento (60 grados)
Hc = 25; % Altura inicial (m)
t_max = 2 * v0 * sin(theta) / g + sqrt(2 * Hc / g); % Tiempo total de vuelo
t = linspace(0, t_max, 200); % Intervalo de tiempo para la animación

% Posiciones en x e y durante la animación
x = v0 * cos(theta) .* t;
y = Hc + v0 * sin(theta) .* t - 0.5 * g .* t.^2;

% Ajustar límites para evitar valores negativos en y
valid_idx = y >= 0; % Solo considerar valores donde y >= 0
x = x(valid_idx);
y = y(valid_idx);

% Crear y configurar la figura

figure;
hold on;
plot(x, y, 'c', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Trayectoria gota'); % Trayectoria
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua (animada)');
grid on;
axis equal;
xlim([25, max(x)]);
ylim([0, Hc + 75]);

% Inicializar marcador de la gota
gota = plot(x(1), y(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Gota en movimiento');

legend('Location', 'best');
hold off;

% Animar la trayectoria
for i = 1:length(x)
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x(i), 'YData', y(i));

% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);
end

% Agregar marcador de impacto al final de la animación
hold on;
plot(x(end), y(end), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
legend('Location', 'best');
hold off;

}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta(m^2)
g = 9.81; % Gravedad(m/s^2)
Hc = 25; % Altura compuerta(m)
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

% Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de 24,36 litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
H = 134; % Altura de la presa (m)
r0 = 150; % Radio en la coronación (m)
b = 35; % Factor de curvatura parabólica

% Resolución para la integración
num_theta = 100; % Divisiones en theta
num_z = 100; % Divisiones en z

% Rango de variables
theta = linspace(3*pi/4, 5*pi/4, num_theta);
z = linspace(0, H, num_z);

% Matriz de resultados
force_total = 0;
area_total = 0;

% Integración sobre la superficie
for i = 1:numel(theta)
for j = 1:numel(z)
% Coordenadas en la superficie
r = r0 + b * (1 - (z(j)^2 / H^2)); % Radio a cada z
h = H - z(j); % Profundidad

% Elemento de área diferencial en coordenadas cilíndricas
dS = r * (theta(2) - theta(1)) * (z(2) - z(1));

% Presión a cada punto
P = rho * g * h;

% Contribución a la fuerza total
force_total = force_total + P * dS;

% Acumulación del área para calcular presión media (si necesaria)
area_total = area_total + dS;
end
end

% Fuerza total de presión
disp(['Fuerza total de presión: ', num2str(force_total), ' N']);

% Presión promedio por unidad de superficie
pressure_per_unit_area = force_total / area_total;
disp(['Presión por unidad de superficie promedio: ', num2str(pressure_per_unit_area), ' Pa']);
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 5: presas de gravedad , presas de arco, presas de arco-gravedad, presas bóveda o doble arco, y por último presas de contrafuertes o aligeradas.

Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos sólidos. Generalmente están hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Como su nombre indica, en este tipo de presas la forma predominante es la de arco y es precisamente su curvatura la que resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los estribos de la cerrada -los laterales de la presa- ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas, cuanto más simétrica mejor, y orográficas del terreno.

A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más:

Las presas bóveda o de doble arco, en las que, por su forma curva en planta y alzado, el esfuerzo se transmite a los laterales y el fondo. Un ejemplo de este tipo de presas es la Almendra que, situada en España, es emblemática por ser la presa más alta del país.

Las presas de arco-gravedad son unas presas que tienen forma curva que transfiere la presión del agua hacia los estribos en las paredes del valle. Están hechas de hormigón y son ideales para valles estrechos y rocosos. Consumen menos material que las presas de gravedad, pero su diseño es mucho mas complejo y necesitan estribos sólidos para funcionar. La estabilidad de este tipo de presa depende de la resistencia de los estribos, de la forma del arco y de la presión del agua. Es una mezcla de la presa de arco y de la de gravedad.

Las presas de contrafuertes o aligeradas son algo similares a las de gravedad en el sentido en que, en cuanto a su mecanismo de resistencia, pero cuenta con una serie de contrafuertes para ofrecer estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco. Se emplea así una cantidad menor de material que en las presas de gravedad, pero tienen una mayor complejidad técnica.

[[Archivo:tiposdepresas.jpg|miniatura|Figura 8. Tipos de presas. Fuente: Iberdrola.]]

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/

https://www.iberdrola.com/conocenos/nuestra-actividad/energia-hidroelectrica/tipos-presa

https://www.canaldeisabelsegunda.es/documents/20143/787562/El+Atazar_OK.pdf/ea6f7a49-7ee0-b69b-b274-70980bb104ad?t=1567751073532

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-08T11:44:05Z

Alejandro Santisteban: /* .- Diferentes tipos de presas y su estabilidad. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid). Fuente: Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid.]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==

En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa. Esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 1. Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
% cara de aguas arriba, en un único color

% Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

% Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}

Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 2. Representar el campo escalar de presión como un mapa de colores sobre
% la superficie parametrizada de la presa (usa también colorbar)

% Asignación de parámetros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

% Relación presión - altura
P = rho*g*(H-Mz);

% Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en planta del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Representación de la gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

% Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Representación de la gráfica de los campos tangente y normal sobre la curva en varios instantes
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros ajustados para la trayectoria
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
v0 = 30; % Velocidad inicial (m/s)
theta = pi/3; % Ángulo de lanzamiento (60 grados)
Hc = 25; % Altura inicial (m)
t_max = 2 * v0 * sin(theta) / g + sqrt(2 * Hc / g); % Tiempo total de vuelo
t = linspace(0, t_max, 200); % Intervalo de tiempo para la animación

% Posiciones en x e y durante la animación
x = v0 * cos(theta) .* t;
y = Hc + v0 * sin(theta) .* t - 0.5 * g .* t.^2;

% Ajustar límites para evitar valores negativos en y
valid_idx = y >= 0; % Solo considerar valores donde y >= 0
x = x(valid_idx);
y = y(valid_idx);

% Crear y configurar la figura

figure;
hold on;
plot(x, y, 'c', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Trayectoria gota'); % Trayectoria
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua (animada)');
grid on;
axis equal;
xlim([25, max(x)]);
ylim([0, Hc + 75]);

% Inicializar marcador de la gota
gota = plot(x(1), y(1), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName', 'Gota en movimiento');

legend('Location', 'best');
hold off;

% Animar la trayectoria
for i = 1:length(x)
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x(i), 'YData', y(i));

% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);
end

% Agregar marcador de impacto al final de la animación
hold on;
plot(x(end), y(end), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
legend('Location', 'best');
hold off;

}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta(m^2)
g = 9.81; % Gravedad(m/s^2)
Hc = 25; % Altura compuerta(m)
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

% Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de 24,36 litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=

clear, clc

% Parámetros que vamos a utilizar
rho = 1000; % Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; % Gravedad terrestre
H = 134; % Altura de la presa (metros)

% Presa de doble curvatura (b = 35)
b = 35; % Curvatura (m)
r = @(x) r0 + b * (1 - x.^2 / H^2); % Radio
a = @(x) sqrt(r(x).^2 + (2 * b .* r(x) .* x / H^2).^2); % Diferencial del área
P = @(x) rho * g * (H - x); % Presión
I = @(x) P(x) .* a(x); % Integral de presión
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 5: presas de gravedad , presas de arco, presas de arco-gravedad, presas bóveda o doble arco, y por último presas de contrafuertes o aligeradas.

Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos sólidos. Generalmente están hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Como su nombre indica, en este tipo de presas la forma predominante es la de arco y es precisamente su curvatura la que resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los estribos de la cerrada -los laterales de la presa- ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas, cuanto más simétrica mejor, y orográficas del terreno.

A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más:

Las presas bóveda o de doble arco, en las que, por su forma curva en planta y alzado, el esfuerzo se transmite a los laterales y el fondo. Un ejemplo de este tipo de presas es la Almendra que, situada en España, es emblemática por ser la presa más alta del país.

Las presas de arco-gravedad son unas presas que tienen forma curva que transfiere la presión del agua hacia los estribos en las paredes del valle. Están hechas de hormigón y son ideales para valles estrechos y rocosos. Consumen menos material que las presas de gravedad, pero su diseño es mucho mas complejo y necesitan estribos sólidos para funcionar. La estabilidad de este tipo de presa depende de la resistencia de los estribos, de la forma del arco y de la presión del agua. Es una mezcla de la presa de arco y de la de gravedad.

Las presas de contrafuertes o aligeradas son algo similares a las de gravedad en el sentido en que, en cuanto a su mecanismo de resistencia, pero cuenta con una serie de contrafuertes para ofrecer estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco. Se emplea así una cantidad menor de material que en las presas de gravedad, pero tienen una mayor complejidad técnica.

[[Archivo:tiposdepresas.jpg|miniatura|Figura 8. Tipos de presas. Fuente: Iberdrola.]]

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/

https://www.iberdrola.com/conocenos/nuestra-actividad/energia-hidroelectrica/tipos-presa

https://www.canaldeisabelsegunda.es/documents/20143/787562/El+Atazar_OK.pdf/ea6f7a49-7ee0-b69b-b274-70980bb104ad?t=1567751073532

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-05T17:27:58Z

Alejandro Santisteban: /* .- Diferentes tipos de presas y su estabilidad. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid).]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==
En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa, esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%1.Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
%cara de aguas arriba, en un unico color

%Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

%Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

%Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}
Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
%2.Representar el campo escalar de presion como un mapa de colores sobre
%la superficie parametrizada de la presa (usa tambien colorbar)

%Asignacion de parametros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

%Relacion presion - altura
P = rho*g*(H-Mz);

%Creacion del grafico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en plata del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Parámetros de partida
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

%Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Creamos el gráfico
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.
{{matlab|codigo=
% se definen los parámetros de la animación

t=linspace(0,t,200); % se define el intervalo de tiempo para la animación
x=v0*cos(theta) * t ; % posición del eje x durante la animación
y=Hc + v0* sin(theta)*t-0.5 *g *t^2; % posición del eje y

% ahora se calcula las velocidades y las aceleraciones en los puntos de animación

vx= v0 * cos(theta) * one(size(t))v; % velocidad en x constante
vy= v0 * sin(theta) - g * t ; % velocidad en y
V=sqrt(vx.^2 + vy.^2); % magnitud de velocidad total

% Aceleraciones constantes

ax = zeros(size(t_anim)); % acelerción en x(0);
ay = -g * ones(size(t_anim)); % aceleración en Y(-g) ;
figure;
hold on;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName');
xlabel('Distancia horizontal(m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Animación de una Gota de Agua');
grid on;
axis equal;
xlim([0, max(x)]);
ylim([0, Hc + 5]);
%inicializar marcador para la gota
gota = plot(x(1),y(1),'ro','markersize',10,'displayname'Gota'); % gota inicial

% Inicializar vectores de velocidad y aceleración

quiver_vel = quiver(x(1), y(1), vx(1), vy(1), 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Velocidad'); % Flecha de velocidad
quiver_acc = quiver(x(1), y(1), ax(1), ay(1), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Aceleración'); % Flecha de aceleración

legend; % Mostrar la leyenda de los elementos de la gráfica
% Ejecutar la animación

for i = 1:length(t) % Iterar sobre cada punto en el tiempo
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x(i), 'YData', y(i));
% Actualizar los vectores de velocidad y aceleración
set(quiver_vel, 'XData', x(i), 'YData', y(i),'UData', vx(i), 'VData', vy(i))
set(quiver_acc, 'XData', x(i), 'YData', y(i),'UData', ax(i), 'VData', ay(i));
% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);

end
}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
%Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta(m^2)
g = 9.81; % Gravedad(m/s^2)
Hc = 25; % Altura compuerta(m)
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

%Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

%Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de 24,36 litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=

clear, clc
1 rho = 1000 % Densidad
2 g = 9.8 % Gravedad
3 H = 134; % Altura de la presa (metros)
4
5 % Presa de doble curvatura (b = 35)
6 b = 35; % Curvatura (m)
7 r = @(x) r0 + b * (1 - x.^2 / H^2); % Radio
8 a = @(x) sqrt(r(x).^2 + (2 * b .* r(x) .* x / H^2).^2); % Diferencial del área
9 P = @(x) rho * g * (H - x); % Presión
10 I = @(x) P(x) .* a(x); % Integral de presión
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 5, presas de gravedad , presas de arco, presas de arco-gravedad, presas bóveda o doble arco, y por ultimo presas de contrafuertes o aligeradas.
Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos solidos. Generalmente están hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Como su nombre indica, en este tipo de presas la forma predominante es la de arco y es precisamente su curvatura la que resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los estribos de la cerrada -los laterales de la presa- ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas, cuanto más simétrica mejor, y orográficas del terreno.

A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más:

Las presas bóveda o de doble arco, en las que, por su forma curva en planta y alzado, el esfuerzo se transmite a los laterales y el fondo. Un ejemplo de este tipo de presas es la Almendra que, situada en España, es emblemática por ser la presa más alta del país.

Las presas de arco-gravedad son unas presas que tienen forma curva que transfiere la presión del agua hacia los estribos en las paredes del valle. Están hechas de hormigón y son ideales para valles estrechos y rocosos. Consumen menos material que las presas de gravedad, pero su diseño es mucho mas complejo y necesitan estribos sólidos para funcionar. La estabilidad de este tipo de presa depende de la resistencia de los estribos, de la forma del arco y de la presión del agua. Es una mezcla de la presa de arco y de la de gravedad.

Las presas de contrafuertes o aligeradas son algo similares a las de gravedad en el sentido en que, en cuanto a su mecanismo de resistencia, pero cuenta con una serie de contrafuertes para ofrecer estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco. Se emplea así una cantidad menor de material que en las presas de gravedad, pero tienen una mayor complejidad técnica.

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-05T17:20:10Z

Alejandro Santisteban: /* .- Diferentes tipos de presas y su estabilidad. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid).]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==
En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa, esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%1.Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
%cara de aguas arriba, en un unico color

%Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

%Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

%Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}
Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
%2.Representar el campo escalar de presion como un mapa de colores sobre
%la superficie parametrizada de la presa (usa tambien colorbar)

%Asignacion de parametros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

%Relacion presion - altura
P = rho*g*(H-Mz);

%Creacion del grafico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en plata del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Parámetros de partida
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

%Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Creamos el gráfico
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.
{{matlab|codigo=
% se definen los parámetros de la animación

t=linspace(0,t,200); % se define el intervalo de tiempo para la animación
x=v0*cos(theta) * t ; % posición del eje x durante la animación
y=Hc + v0* sin(theta)*t-0.5 *g *t^2; % posición del eje y

% ahora se calcula las velocidades y las aceleraciones en los puntos de animación

vx= v0 * cos(theta) * one(size(t))v; % velocidad en x constante
vy= v0 * sin(theta) - g * t ; % velocidad en y
V=sqrt(vx.^2 + vy.^2); % magnitud de velocidad total

% Aceleraciones constantes

ax = zeros(size(t_anim)); % acelerción en x(0);
ay = -g * ones(size(t_anim)); % aceleración en Y(-g) ;
figure;
hold on;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName');
xlabel('Distancia horizontal(m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Animación de una Gota de Agua');
grid on;
axis equal;
xlim([0, max(x)]);
ylim([0, Hc + 5]);
%inicializar marcador para la gota
gota = plot(x(1),y(1),'ro','markersize',10,'displayname'Gota'); % gota inicial

% Inicializar vectores de velocidad y aceleración

quiver_vel = quiver(x(1), y(1), vx(1), vy(1), 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Velocidad'); % Flecha de velocidad
quiver_acc = quiver(x(1), y(1), ax(1), ay(1), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Aceleración'); % Flecha de aceleración

legend; % Mostrar la leyenda de los elementos de la gráfica
% Ejecutar la animación

for i = 1:length(t) % Iterar sobre cada punto en el tiempo
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x(i), 'YData', y(i));
% Actualizar los vectores de velocidad y aceleración
set(quiver_vel, 'XData', x(i), 'YData', y(i),'UData', vx(i), 'VData', vy(i))
set(quiver_acc, 'XData', x(i), 'YData', y(i),'UData', ax(i), 'VData', ay(i));
% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);

end
}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
%Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta(m^2)
g = 9.81; % Gravedad(m/s^2)
Hc = 25; % Altura compuerta(m)
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

%Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

%Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de 24,36 litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=

clear, clc
1 rho = 1000 % Densidad
2 g = 9.8 % Gravedad
3 H = 134; % Altura de la presa (metros)
4
5 % Presa de doble curvatura (b = 35)
6 b = 35; % Curvatura (m)
7 r = @(x) r0 + b * (1 - x.^2 / H^2); % Radio
8 a = @(x) sqrt(r(x).^2 + (2 * b .* r(x) .* x / H^2).^2); % Diferencial del área
9 P = @(x) rho * g * (H - x); % Presión
10 I = @(x) P(x) .* a(x); % Integral de presión
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 5, presas de gravedad , presas de arco, presas de arco-gravedad, presas bóveda o doble arco, y por ultimo presas de contrafuertes o aligeradas.
Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos solidos. Generalmente están hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Como su nombre indica, en este tipo de presas la forma predominante es la de arco y es precisamente su curvatura la que resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los estribos de la cerrada -los laterales de la presa- ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas, cuanto más simétrica mejor, y orográficas del terreno.

A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más:

Las presas bóveda o de doble arco, en las que, por su forma curva en planta y alzado, el esfuerzo se transmite a los laterales y el fondo. Un ejemplo de este tipo de presas es la Almendra que, situada en España, es emblemática por ser la presa más alta del país.

Las presas de arco-gravedad son unas presas que tienen forma curva que transfiere la presión del agua hacia los estribos en las paredes del valle. Están hechas de hormigón y son ideales para valles estrechos y rocosos. Consumen menos material que las presas de gravedad, pero su diseño es mucho mas complejo y necesitan estribos sólidos para funcionar. La estabilidad de este tipo de presa depende de la resistencia de los estribos, de la forma del arco y de la presión del agua. Es una mezcla de la presa de arco y de la de gravedad.

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/

La presa de El Atazar. Grupo 16

2024-12-05T16:39:28Z

Alejandro Santisteban: /* .- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie. */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 16 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Jaime Moral Riquelme
*Dionisio José García Álvarez
*Juan Felix Aguilar Romero
*Alejandro Santisteban Sancho
*Jose Pablo Bonilla Hurtado }}
[[Archivo:atazar_foto.jpg|miniatura|Presa de El Atazar (Madrid).]]


La presa de El Atazar, construida entre 1968 y 1972, es la más grande de la Comunidad de Madrid y una estructura clave para el suministro de agua de la capital y de toda la región. Esta presa de doble curvatura forma un arco tanto en la vista superior como en la sección vertical, alcanzando una altura de 134 metros y una longitud de coronación de 484 metros.

Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones:

<center><math>r = r_{0} + b (1 - \frac{z^2}{h^2})</math>,<math>\qquad θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}]</math>, <math>\qquad Z ∈ [0,H]</math></center>
Siendo:
*H: altura de la presa,
*<math>r_{0}</math>: radio de la presa en la altura máxima,
*b = 35 m: factor que determina la curvatura del arco parabólico.

Consideramos el campo escalar de la presión que ejerce el agua como:
*<math>P(z)=ρgh(z)</math>

Además el campo vectorial de la fuerza de presión viene dado por:
*<math>\overrightarrow{F} = −P(z) \overrightarrow{n}</math>


==.- Representación de la cara interior de la presa.==
En primer lugar, vamos a representar la superficie aguas arriba de la presa, esta se representa directamente con la ecuación de la superficie mencionada anteriormente.
El color que hemos elegido para la representación de este primer gráfico es azul, dado que la superficie representaría la pared contra la cual el agua ejercería la presión.
[[Archivo:atazar_superficie.png|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 1. Representación de la cara interior de la presa, vista aguas arriba.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%1.Representar en MATLAB la superficie parametrizada de la presa en su
%cara de aguas arriba, en un unico color

%Asignación de variables
H = 134; %Altura de la presa (metros)
r0 = 242; %Radio de la presa en la altura máxima (metros)
b = 35; %Curvatura del arco parabólico (metros)
theta = linspace(3*pi/4,5*pi/4,100); %Angulo theta coordenadas cilíndricas
z = linspace(0,H,100); %Altura z coordenadas cilíndricas
[Mthetha,Mz] = meshgrid(theta,z); %Mallado
r = r0+b*(1-(Mz.^2/H^2)); %Ecuación de la superficie de la presa

%Conversión de cilíndricas a cartesianas
X = r.*cos(Mthetha);
Y = r.*sin(Mthetha);

%Creación del gráfico
figure;
surf(X,Y,Mz,'FaceColor','#4DBEEE','EdgeColor','none');
title('Presa de El Atazar aguas arriba');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
}}
Como se puede observar en la figura 1, tenemos una superficie curva con un radio de curvatura inferior de mayor dimensión que el radio de curvatura de mayor altura de la pared de la presa. Para representar la superficie de un único color, hemos hecho uso de la función 'surf' de MATLAB.

==.- Representación del campo escalar de presiones.==
Utilizando la fórmula fundamental de la estática de fluidos, calcularemos las presiones que sufre la cara interior de la presa. Como es lógico, la presión aumenta de manera proporcional según aumenta la profundidad (color más rojo).
[[Archivo:presion_atazar.png|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 2. Representación de las presiones en la cara interior de la presa.]]
{{matlab|codigo=
%2.Representar el campo escalar de presion como un mapa de colores sobre
%la superficie parametrizada de la presa (usa tambien colorbar)

%Asignacion de parametros
rho = 1000; %Densidad del agua (Kg/(m^3))
g = 9.81; %Gravedad terrestre

%Relacion presion - altura
P = rho*g*(H-Mz);

%Creacion del grafico
figure;
surf(X,Y,Mz,P,"EdgeColor","none");
title('Campo escalar de presion en la presa');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
axis equal;
grid on;
colormap("jet");
colorbar;
}}
Para la representación de esta gráfica, hemos hecho uso de la función 'surf', al igual que en el apartado anterior, y además hemos usado la función 'colorbar' para representar dónde es más fuerte la presión.

==.- Representación del campo escalar de la fuerza de presión.==
En este apartado, vamos a trabajar con el campo vectorial de la presión que ejerce el agua contra la pared interior de la presa.
[[Archivo:CampoPresionesG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 3. Representación del campo vectorial de presiones en la cara interior de la presa.]]
[[Archivo:CorteLongitudinalG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 4. Representación del corte en plata del campo vectorial de presiones.]]
{{matlab|codigo=
% 3. Representación de campo de presiones
% Derivadas y vectores normales
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(gridH);

% Producto cruzado para el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;

% Magnitud del vector normal
N_magnitud = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);

% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitud;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitud;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitud;

% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;

% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, gridH, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'r');
hold on;
surf(X, Y, gridH, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Altura Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(-60, 20); % Cambia el ángulo de vista
axis equal;
grid on;

% Corte en planta
corte = 51; % Elegimos un corte en el plano longitudinal (aproximadamente theta = 0)
X_corte = X(:, corte);
Z_corte = gridH(:, corte);
P_corte = P(:, corte);

Nx_corte = Nx(:, corte);
Nz_corte = Nz(:, corte);
N_magnitud_corte = sqrt(Nx_corte.^2 + Nz_corte.^2);

Nx_unit_corte = Nx_corte ./ N_magnitud_corte;
Nz_unit_corte = Nz_corte ./ N_magnitud_corte;

Fx_corte = -P_corte .* Nx_unit_corte;
Fz_corte = -P_corte .* Nz_unit_corte;

% Representación del corte longitudinal
figure;
quiver(X_corte, Z_corte, Fx_corte, Fz_corte, 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(X_corte, Z_corte, 'k-', 'LineWidth', 2);
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el corte longitudinal');
grid on;
}}
En la figura 3, podemos ver la representación en tercera dimensión del campo vectorial de presiones. Hemos conseguido representarla haciendo uso de la función 'quiver3' la cual sirve para representar campos vectoriales tridimensionales, en el gráfico, este queda representado en rojo. Además hemos representado con la función 'surf' la superficie de la pared interior de la presa.
 
En la figura 4, tenemos la representación en planta de lo que sería el corte longitudinal de la presa en planta. Para ella hemos hecho uso de la función 'quiver' para representar el campo vectorial de presiones en 2D y la función 'plot' para representar la curva, es decir, la sección de la pared de la presa en planta.

==.- Representación de la curva que describe la trayectoria de una gota de agua al salir de la compuerta.==
Teniendo en cuenta que la altura de la compuerta de la presa es 25 metros, que el área de la compuerta son 1100 metros cuadrados y que la fórmula de Tonirreli es:
<center><math>v_{0}=\sqrt{2gH_{c}}</math></center>
 
Podemos determinar la trayectoria que describiría una gota de agua que sale de la compuerta.
[[Archivo:TrayectoriaGotaG16.jpg|miniaturadeimagen|Representación de la cara interior de la presa|Figura 5. Trayectoria que tendría una gota que sale de la compuerta de la presa.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Parámetros de partida
theta = 15 * pi / 180; % Ángulo de salida (pasamos a radianes)
g = 9.81; % Gravedad en metros partido de segundo cuadrado
Hc = 25; % Altura de la compuerta con respecto al suelo

% Velocidad inicial, utilizamos la fórmula de Torricelli
v0 = sqrt(2 * g * Hc);

% Determinamos los factores posición
t = linspace(0, 5, 1000); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición horizontal (X)
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición vertical (Y)

% Hallamos el tiempo para el cual la altura es 0, es decir, el momento en el que la gota impacta contra el suelo
t_impacto = fzero(@(t) Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2, [0, 10]);
x_impacto = v0 * cos(theta) * t_impacto; % Distancia desde la compuerta hasta el punto de impacto con el suelo

% Gráfica de la trayectoria que describe la gota
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); % Ponemos el mismo color que hemos utilizado para la primera figura
hold on;
plot(x_impacto, 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Impacto con el suelo');
xlabel('Distancia horizontal de la gota (metros)');
ylabel('Altura de la gota (metros)');
title('Trayectoria de la gota de agua');
grid on;

%Insertamos una leyenda que describa lo que vemos
legend('Trayectoria gota', 'Impacto con el suelo');
xlim([0, x_impacto + 12]);
ylim([0, Hc + 7]);
}}
El punto (25,0) representaría el punto en el que se encuentra la compuerta, es decir, el punto de partida de la gota, por otro lado, el punto que se encuentra entre x=60 y x=70 que está rodeado de un círculo rojo, sería el punto final de la trayectoria de la gota, es decir, el punto en el que la gota impacta contra el suelo.
 
La curva azul representada indica por dónde se movería la gota, es decir, su trayectoria.
 
Para la representación de la figura 5, al ser una función bidimensional, hemos hecho uso de la función 'plot' para la representación de la gráfica.

==.- Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva anterior.==
En este apartado, representamos los vectores tangentes y normales de la trayectoria que describe la gota anterior que sale de la compuerta.
[[Archivo:VecNVecTG16.jpg|miniaturadeimagen|Campo de presiones|Figura 6. Representación del campo tangente y el campo normal sobre la curva que define la trayectoria de la curva.]]
{{matlab|codigo=
% Parámetros que vamos a utilizar
theta = 15 * pi / 180; % Pasamos el ángulo inicial a radianes
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

% Trayectoria de la curva
t = linspace(0, 5, 500); % Tiempo
x = v0 * cos(theta) * t; % Posición en el eje x
y = Hc + v0 * sin(theta) * t - 0.5 * g * t.^2; % Posición en el eje y

% Velocidades (derivadas de la posición)
vx = v0 * cos(theta) * ones(size(t)); % Velocidad en x (dx/dt)
vy = v0 * sin(theta) - g * t; % Velocidad en y (dy/dt)
V = sqrt(vx.^2 + vy.^2); % Magnitud de la velocidad

% Vector tangente
Tx = vx ./ V; % Componente tangencial en x
Ty = vy ./ V; % Componente tangencial en y

% Aceleraciones (derivadas de las velocidades)
ax = zeros(size(t)); % Aceleración en x (dvx/dt = 0)
ay = -g * ones(size(t)); % Aceleración en y (dvy/dt = -g)
a_magnitude = sqrt(ax.^2 + ay.^2); % Magnitud de la aceleración

% Vector normal
Nx = (ax - Tx .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en x
Ny = (ay - Ty .* (ax .* Tx + ay .* Ty)) ./ a_magnitude; % Componente normal en y

% Creamos el gráfico
figure;
plot(x, y, 'Color', '#4DBEEE', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Campos tangente y normal en puntos específicos
puntos = 15; % Número de vectores a graficar
indices = round(linspace(1, length(t), puntos)); % Selección de índices

% Vectores tangentes en rojo
quiver(x(indices), y(indices), Tx(indices), Ty(indices), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Tangente');

% Vectores normales en color azul oscuro
quiver(x(indices), y(indices), Nx(indices), Ny(indices), 0.3, 'Color', [0, 0, 0.5], 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Normal');

xlabel('Distancia horizontal (m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Campos Tangente y Normal sobre la trayectoria');
legend('Trayectoria', 'Tangente', 'Normal');
grid on;
axis equal;

% Ajustar los límites de la gráfica para asegurar que se vea la intersección con el eje x (y=0) y el eje y (x=0)
xlim([min(0, min(x) - 5), max(x) + 5]);
ylim([min(0, min(y) - 5), max(y) + 5]);
}}

Para la elaboración de la figura 6 hemos usado la función 'quiver' para representar los campos vectoriales en 2D (Tangencial y normal) y la función 'plot' para la representación de la representación de la curva.

==.- Representación de la animación del vector velocidad y el vector aceleración de la gota.==
Sobre la gráfica anterior, se representa el cambio de la velocidad y de la aceleración que sufre una gota al seguir la curva a lo largo del recorrido.
{{matlab|codigo=
% se definen los parámetros de la animación

t=linspace(0,t_ground,200); % se define el intervalo de tiempo para la animación
x=v0*cos(theta)*t_anim; % posición del eje x durante la animación
y=Hc + v0* sin(theta)*t_anim-0.5 *g *t_anim^2; % posición del eje y

% ahora se calcula las velocidades y las aceleraciones en los puntos de animación

vx= v0 * cos(theta) * one(size(t_anim)); % velocidad en x constante
vy= v0 * sin(theta) - g * t_anim; % velocidad en y
speed_anin=sqrt(vx_anim.^2 + vy_anim.^2); % magnitud de velocidad total

% Aceleraciones constantes

ax_anim = zeros(size(t_anim)); % acelerción en x(0);
ay_anim = -g * ones(size(t_anim)); % aceleración en Y(-g) ;
figure;
hold on;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName');
xlabel('Distancia horizontal(m)');
ylabel('Altura (m)');
title('Animación de una Gota de Agua');
grid on;
axis equal;
xlim([0, max(x)]);
ylim([0, Hc + 5]);
%inicializar marcador para la gota
gota = plot(x_anim(1),y_anim(1),'ro','markersize',10,'displayname'Gota'); % gota inicial

% Inicializar vectores de velocidad y aceleración

quiver_vel = quiver(x_anim(1), y_anim(1), vx_anim(1), vy_anim(1), 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Velocidad'); % Flecha de velocidad
quiver_acc = quiver(x_anim(1), y_anim(1), ax_anim(1), ay_anim(1), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 1, 'DisplayName', 'Aceleración'); % Flecha de aceleración

legend; % Mostrar la leyenda de los elementos de la gráfica
% Ejecutar la animación

for i = 1:length(t_anim) % Iterar sobre cada punto en el tiempo
% Actualizar la posición de la gota
set(gota, 'XData', x_anim(i), 'YData', y_anim(i));
% Actualizar los vectores de velocidad y aceleración
set(quiver_vel, 'XData', x_anim(i), 'YData', y_anim(i),'UData', vx_anim(i), 'VData', vy_anim(i))
set(quiver_acc, 'XData', x_anim(i), 'YData', y_anim(i),'UData', ax_anim(i), 'VData', ay_anim(i));
% Pausa para crear el efecto de animación
pause(0.05);

end
}}

==.- Cálculo del caudal volumétrico.==
La presa cuenta con una compuerta a una altura de 25m con un área de 1100m2. Para calcular el caudal ideal de agua que fluye por dicha compuerta se usa el siguiente código.
{{matlab|codigo=
%Parámetros que vamos a utilizar
a = 1100; % Área compuerta
g = 9.81; % Gravedad
Hc = 25; % Altura compuerta
v0 = sqrt(2 * g * Hc); % Velocidad inicial (con Tonirrelli)

%Caudal de la presa en metros cúbicos por segundo
Q = ( a * v0)

%Caudal de la presa en litros por segundo
Q(l/s) = Q ./ 1000

}}
Este cálculo nos da un caudal de litros por segundo

==.- Cálculo de la fuerza de la presión total y la presión por unidad de superficie.==
{{matlab|codigo=

clear, clc
1 rho = 1000 % Densidad
2 g = 9.8 % Gravedad
3 H = 134; % Altura de la presa (metros)
4
5 % Presa de doble curvatura (b = 35)
6 b = 35; % Curvatura (m)
7 r = @(x) r0 + b * (1 - x.^2 / H^2); % Radio
8 a = @(x) sqrt(r(x).^2 + (2 * b .* r(x) .* x / H^2).^2); % Diferencial del área
9 P = @(x) rho * g * (H - x); % Presión
10 I = @(x) P(x) .* a(x); % Integral de presión
}}

==.- Diferentes tipos de presas y su estabilidad.==

Hay diferentes tipos de presas, en concreto hay 3, las presas de gravedad , las presas de arco de gravedad y por ultimo de boveda.
Las presas de gravedad se caracterizan porque resisten la fuerza de el agua por su propio peso, son adecuadas para valles anchos y terrenos solidos. Generalmente estan hechas de hormigón o mampostería, son muy buenas frente al vuelco y el deslizamiento de distintas partes. La mayoría de ellas son rectas, y es importante que el suelo no erosione. Estas presas se suelen construir para resistir algunos de los terremotos más fuertes. Aunque los cimientos de una presa de gravedad se construyen para soportar el peso de la presa y de toda el agua, son bastante flexibles, ya que absorben una gran cantidad de energía y la envían a la corteza terrestre.

Las presas de arco de gravedad son unas presas

==.- Referencias.==

https://ingcivileng.com/2020/03/24/embalse-presa-boveda-el-atazar-rio-lozoya-madrid/