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Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-10T21:26:03Z

Alejandro Martin:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizará la tensión normal en la dirección de gro. 

:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub ro

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2+(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en la dirección de g sub ro')
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
hold on
fx=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)));
fy=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2));
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
title('Campo de tensiones en la dirección de g sub ro')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo g sub ro12CG10.jpg|1200px|centro]]

:Como se puede apreciar en los gráficos, esta tensión depende, tanto de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. La tensión en la dirección de gro, es menor en los puntos del exterior de la placa y mayor en los puntos del interior. Además, éste valor depende del ángulo <math> \theta </math> que tenga el campo de desplazamientos. También se puede observar que la componente de los vectores del campo de tensiones en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima y viceversa. Para finalizar, se puede observar en el gráfico del módulo de la tensión en dirección de gro que hay seis puntos donde la tensión es máxima en esta dirección.

* En lo referente a la tensión en la dirección de gteta, se crea el programa MATLAB
:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub teta

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2+((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en dirección g sub ro')
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
hold on
fx=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))
fy=((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
title('Campo de vectores de la tensión en dirección de g sub teta')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub teta12CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo en g sub teta22CG10.jpg|1200px|centro]]

:Observando los gráficos, se puede ver que en el caso de las componentes de los vectores del campo de la tensión en la dirección de gteta ocurre lo mismo que con las componentes del campo de tensiones en la dirección de gro, es decir, la componente en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima. La componente en gro de esta tensión (la que está en dirección de gteta) depende de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>, al igual que la componente en gteta y ambas lo hacen del mismo modo que en el caso anterior. Además, se puede apreciar que la componente en gro de la tensión en la dirección de gteta y la componente en gteta de la tensión en la dirección de gro coinciden en valores y pintos de aplicación. Algo parecido ocurre con la componente en gro de la tensión en la dirección de gro y la componente en gteta de la tensión en la dirección de gteta, que, aunque no coinciden en valores, sí que lo hacen en los puntos de aplicación. Por último, a la hora de analizar el módulo de esta tensión, se puede apreciar que los puntos donde es máximo coincide con los puntos donde la tensión en dirección de gro tiene módulo máximo. Estos 6 puntos de aplicación de ambas tensiones sugieren que la placa está sujeta en esos seis puntos.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Archivo:Modulo y campo en g sub teta22CG10.jpg

2013-12-10T21:25:36Z

Alejandro Martin:

Archivo:Modulo y campo g sub ro12CG10.jpg

2013-12-10T21:25:02Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-10T21:10:00Z

Alejandro Martin:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizará la tensión normal en la dirección de gro. 

:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub ro

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2+(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en la dirección de g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))
fy=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
title('Campo de tensiones en la dirección de g sub ro')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]

:Como se puede apreciar en los gráficos, esta tensión depende, tanto de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. La tensión en la dirección de gro, es menor en los puntos del exterior de la placa y mayor en los puntos del interior. Además, éste valor depende del ángulo <math> \theta </math> que tenga el campo de desplazamientos. También se puede observar que la componente de los vectores del campo de tensiones en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima y viceversa. Para finalizar, se puede observar en el gráfico del módulo de la tensión en dirección de gro que hay seis puntos donde la tensión es máxima en esta dirección.

* En lo referente a la tensión en la dirección de gteta, se crea el programa MATLAB
:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub teta

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2+((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en dirección g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))
fy=((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
title('Campo de vectores de la tensión en dirección de g sub teta')

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub teta12CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo en g sub teta12CG10.jpg|1200px|centro]]

:Observando los gráficos, se puede ver que en el caso de las componentes de los vectores del campo de la tensión en la dirección de gteta ocurre lo mismo que con las componentes del campo de tensiones en la dirección de gro, es decir, la componente en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima. La componente en gro de esta tensión (la que está en dirección de gteta) depende de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>, al igual que la componente en gteta y ambas lo hacen del mismo modo que en el caso anterior. Además, se puede apreciar que la componente en gro de la tensión en la dirección de gteta y la componente en gteta de la tensión en la dirección de gro coinciden en valores y pintos de aplicación. Algo parecido ocurre con la componente en gro de la tensión en la dirección de gro y la componente en gteta de la tensión en la dirección de gteta, que, aunque no coinciden en valores, sí que lo hacen en los puntos de aplicación. Por último, a la hora de analizar el módulo de esta tensión, se puede apreciar que los puntos donde es máximo coincide con los puntos donde la tensión en dirección de gro tiene módulo máximo. Estos 6 puntos de aplicación de ambas tensiones sugieren que la placa está sujeta en esos seis puntos.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Archivo:Modulo y campo en g sub teta12CG10.jpg

2013-12-10T20:59:22Z

Alejandro Martin:

Archivo:Componentes en g sub teta12CG10.jpg

2013-12-10T20:58:35Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T23:09:38Z

Alejandro Martin:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizará la tensión normal en la dirección de gro. 

:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub ro

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2+(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en la dirección de g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))
fy=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
title('Campo de tensiones en la dirección de g sub ro')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]

:Como se puede apreciar en los gráficos, esta tensión depende, tanto de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. La tensión en la dirección de gro, es menor en los puntos del exterior de la placa y mayor en los puntos del interior. Además, éste valor depende del ángulo <math> \theta </math> que tenga el campo de desplazamientos. También se puede observar que la componente de los vectores del campo de tensiones en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima y viceversa. Para finalizar, se puede observar en el gráfico del módulo de la tensión en dirección de gro que hay seis puntos donde la tensión es máxima en esta dirección.

* En lo referente a la tensión en la dirección de gteta, se crea el programa MATLAB
:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub teta

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro).^2+(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en dirección g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro)
fy=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2)
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
title('Campo de vectores de la tensión en dirección de g sub teta')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub teta2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo en g sub teta2CG10.jpg|1200px|centro]]

:Observando los gráficos, se puede ver que en el caso de las componentes de los vectores del campo de la tensión en la dirección de gteta ocurre lo mismo que con las componentes del campo de tensiones en la dirección de gro, es decir, la componente en gro es máxima cuando la componente en gteta es mínima. La componente en gro de esta tensión (la que está en dirección de gteta) depende de las variables <math> \rho </math> y <math> \theta </math>, a diferencia de la componente en gteta, que depende exclusivamente de <math> \theta </math>. Por último, a la hora de analizar el módulo de esta tensión, se puede apreciar que la tensión es máxima en 6 puntos, los mismos en los cuales el módulo de la tensión en la dirección de gro era máximo. Esto hace pensar que la placa está sujeta en esos seis puntos.

Para acabar este análisis, si se observa cualquier gráfico que represente las componentes de las tensiones se puede ver que el valor de estas puede ser positivo o negativo en los puntos donde el módulo de las tensiones es mayor. Esto puede sugerir que la placa esté sujeta por 6 puntos, como se ha dicho antes, pero alternando la cara de la placa donde se encuentran las sujeciones, es decir, uno arriba, después otro abajo, y así sucesivamente a lo largo de los 6 puntos.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T22:21:20Z

Alejandro Martin:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizará la tensión normal en la dirección de gro. 

:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub ro

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub ro')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).^2+(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en la dirección de g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2)))
fy=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2))
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
title('Campo de tensiones en la dirección de g sub ro')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo g sub ro2CG10.jpg|1200px|centro]]

CONCLUSIÓN

* En lo referente a la tensión en la dirección de gteta, se crea el programa MATLAB
:Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
%Tensiones en g sub teta

h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub ro de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Componente en g sub teta de los vectores de la tensión en la dirección de g sub teta')

figure(2)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=sqrt(((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro).^2+(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Módulo de la tensión en dirección g sub ro')
subplot(1,2,2)
fx=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro)
fy=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2)
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
title('Campo de vectores de la tensión en dirección de g sub teta')
}}

:Se generarán los siguientes gráficos: 
[[Archivo:Componentes en g sub teta2CG10.jpg|1200px|centro]]
[[Archivo:Modulo y campo en g sub teta2CG10.jpg|1200px|centro]]

CONCLUSIONES

* Primero se analizará la tensión normal en dirección gro: 
:Esta tensión, como se puede observar en el gráfico, depende de <math> \rho </math> y de <math> \theta </math>, disminuyendo conforme aumenta <math> \rho </math>, y siendo mayor en los valores de <math> \theta </math> para los cuales los vectores del campo se aproximan o alejan los unos de los otros. En aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos siguen la misma dirección, el valor de esta tensión es 0.
* En lo referente a la tensión normal en dirección gteta: 
:En esta ocasión, en la tensión normal en dirección gteta, es independiente de la variable <math> \rho </math>, dependiendo exclusivamente de <math> \theta </math>. Además, al igual que en el caso anterior la tensión es mayor en las zonas en que los vectores de desplazamiento se acercan o se alejan.

* En lo referente a la tensión en la dirección de gteta, se crea el programa MATLAB

En esta ocasión se analizan en los gráficos las componentes respecto a los vectores gteta y gro respectivamente: 
* En el gráfico de la izquierda, el correspondiente a la componente en gteta, se puede observar que depende de <math>\rho</math> de manera que al aumentar ésta, disminuye la componente en gteta, y en lo referente a la variable <math>\theta</math>, la componente es mayor, al igual que en los casos anteriores, en aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos se alejan o acercan.
* En el gráfico de la derecha, el correspondiente a la componente en gro, la dependencia que predomina es sobre la variable <math>\theta</math>, siendo menor la dependencia de <math>\rho</math>. Al igual que en las tensiones anteriores, ésta es más acusada en aquellos punto en los que los vectores del campo se acercan o se alejan los unos de los otros.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Archivo:Modulo y campo en g sub teta2CG10.jpg

2013-12-09T21:16:02Z

Alejandro Martin:

Archivo:Componentes en g sub teta2CG10.jpg

2013-12-09T21:15:20Z

Alejandro Martin:

Archivo:Modulo y campo g sub ro2CG10.jpg

2013-12-09T21:12:17Z

Alejandro Martin:

Archivo:Componentes en g sub ro2CG10.jpg

2013-12-09T21:10:45Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T10:52:43Z

Alejandro Martin:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the picture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

* Primero se analizará la tensión normal en dirección gro: 
:Esta tensión, como se puede observar en el gráfico, depende de <math> \rho </math> y de <math> \theta </math>, disminuyendo conforme aumenta <math> \rho </math>, y siendo mayor en los valores de <math> \theta </math> para los cuales los vectores del campo se aproximan o alejan los unos de los otros. En aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos siguen la misma dirección, el valor de esta tensión es 0.
* En lo referente a la tensión normal en dirección gteta: 
:En esta ocasión, en la tensión normal en dirección gteta, es independiente de la variable <math> \rho </math>, dependiendo exclusivamente de <math> \theta </math>. Además, al igual que en el caso anterior la tensión es mayor en las zonas en que los vectores de desplazamiento se acercan o se alejan.

* En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y gteta, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the picture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro|A la izquierda se puede observar la componente de la tensión en gteta, y a la derecha, en gro]]

En esta ocasión se analizan en los gráficos las componentes respecto a los vectores gteta y gro respectivamente: 
* En el gráfico de la izquierda, el correspondiente a la componente en gteta, se puede observar que depende de <math>\rho</math> de manera que al aumentar ésta, disminuye la componente en gteta, y en lo referente a la variable <math>\theta</math>, la componente es mayor, al igual que en los casos anteriores, en aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos se alejan o acercan.
* En el gráfico de la derecha, el correspondiente a la componente en gro, la dependencia que predomina es sobre la variable <math>\theta</math>, siendo menor la dependencia de <math>\rho</math>. Al igual que en las tensiones anteriores, ésta es más acusada en aquellos punto en los que los vectores del campo se acercan o se alejan los unos de los otros.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T10:52:09Z

Alejandro Martin:

{{beta}}Versión beta

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the picture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

* Primero se analizará la tensión normal en dirección gro: 
:Esta tensión, como se puede observar en el gráfico, depende de <math> \rho </math> y de <math> \theta </math>, disminuyendo conforme aumenta <math> \rho </math>, y siendo mayor en los valores de <math> \theta </math> para los cuales los vectores del campo se aproximan o alejan los unos de los otros. En aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos siguen la misma dirección, el valor de esta tensión es 0.
* En lo referente a la tensión normal en dirección gteta: 
:En esta ocasión, en la tensión normal en dirección gteta, es independiente de la variable <math> \rho </math>, dependiendo exclusivamente de <math> \theta </math>. Además, al igual que en el caso anterior la tensión es mayor en las zonas en que los vectores de desplazamiento se acercan o se alejan.

* En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y gteta, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the picture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro|A la izquierda se puede observar la componente de la tensión en gteta, y a la derecha, en gro]]

En esta ocasión se analizan en los gráficos las componentes respecto a los vectores gteta y gro respectivamente: 
* En el gráfico de la izquierda, el correspondiente a la componente en gteta, se puede observar que depende de <math>\rho</math> de manera que al aumentar ésta, disminuye la componente en gteta, y en lo referente a la variable <math>\theta</math>, la componente es mayor, al igual que en los casos anteriores, en aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos se alejan o acercan.
* En el gráfico de la derecha, el correspondiente a la componente en gro, la dependencia que predomina es sobre la variable <math>\theta</math>, siendo menor la dependencia de <math>\rho</math>. Al igual que en las tensiones anteriores, ésta es más acusada en aquellos punto en los que los vectores del campo se acercan o se alejan los unos de los otros.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T09:50:52Z

Alejandro Martin:

{{beta}}Versión beta

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

* Primero se analizará la tensión normal en dirección gro: 
:Esta tensión, como se puede observar en el gráfico, depende de <math> \rho </math> y de <math> \theta </math>, disminuyendo conforme aumenta <math> \rho </math>, y siendo mayor en los valores de <math> \theta </math> para los cuales los vectores del campo se aproximan o alejan los unos de los otros. En aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos siguen la misma dirección, el valor de esta tensión es 0.
* En lo referente a la tensión normal en dirección gteta: 
:En esta ocasión, en la tensión normal en dirección gteta, es muy poco apreciable la dependencia de la variable <math> \rho </math>, dependiendo principalmente de <math> \theta </math>. Además, al igual que en el caso anterior la tensión es mayor en las zonas en que los vectores de desplazamiento se acercan o se alejan.

* En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y gteta, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro|A la izquierda se puede observar la componente de la tensión en gteta, y a la derecha, en gro]]

En esta ocasión se analizan en los gráficos las componentes respecto a los vectores gteta y gro respectivamente: 
* En el gráfico de la izquierda, el correspondiente a la componente en gteta, se puede observar que depende de <math>\rho</math> de manera que al aumente ésta, disminuye la componente en gteta, y en lo referente a la variable <math>\theta</math>, la componente es mayor, al igual que en los casos anteriores, en aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos se alejan o acercan.
* En el gráfico de la derecha, el correspondiente a la componente en gro, la dependencia que predomina es sobre la variable <math>\theta</math>, siendo menor la dependencia de <math>\rho</math>. Al igual que en las tensiones anteriores, ésta es más acusada en aquellos punto en los que los vectores del campo se acercan o se alejan los unos de los otros.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T09:49:05Z

Alejandro Martin:

Versión beta

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana en forma de corona circular. Grupo 10-C|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen local de los puntos del sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

La divergencia queda 

<math>
\nabla · u=\frac{\pi·\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}.
</math> 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por graficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde donde los vectores se desplazan en la misma dirección), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el campo se anula a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

* Primero se analizará la tensión normal en dirección gro: 
:Esta tensión, como se puede observar en el gráfico, depende de <math> \rho </math> y de <math> \theta </math>, disminuyendo conforme aumenta <math> \rho </math>, y siendo mayor en los valores de <math> \theta </math> para los cuales los vectores del campo se aproximan o alejan los unos de los otros. En aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos siguen la misma dirección, el valor de esta tensión es 0.
* En lo referente a la tensión normal en dirección gteta: 
:En esta ocasión, en la tensión normal en dirección gteta, es muy poco apreciable la dependencia de la variable <math> \rho </math>, dependiendo principalmente de <math> \theta </math>. Además, al igual que en el caso anterior la tensión es mayor en las zonas en que los vectores de desplazamiento se acercan o se alejan.

* En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y gteta, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro|A la izquierda se puede observar la componente de la tensión en gteta, y a la derecha, en gro]]

En esta ocasión se analizan en los gráficos las componentes respecto a los vectores gteta y gro respectivamente: 
* En el gráfico de la izquierda, el correspondiente a la componente en gteta, se puede observar que depende de <math>\rho</math> de manera que al aumente ésta, disminuye la componente en gteta, y en lo referente a la variable <math>\theta</math>, la componente es mayor, al igual que en los casos anteriores, en aquellos puntos donde los vectores del campo de desplazamientos se alejan o acercan.
* En el gráfico de la derecha, el correspondiente a la componente en gro, la dependencia que predomina es sobre la variable <math>\theta</math>, siendo menor la dependencia de <math>\rho</math>. Al igual que en las tensiones anteriores, ésta es más acusada en aquellos punto en los que los vectores del campo se acercan o se alejan los unos de los otros.

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-09T08:24:04Z

Alejandro Martin:

Versión beta FALTA METER LA EXPRESIÓN DE LA DIVERGENCIA Y LAS CONCLUSIONES DE LAS TENSIONES. MODIFICAR CÓDIGOS MATLAB

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen de las distintas secciones que forman el sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por traficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde no hay vectores de desplazamiento), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el fluido se opone a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

Como se puede ver en el gráfico,

* En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y g<math> \theta </math>, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro]]

CONCLUSIONES

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T23:06:52Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T23:06:10Z

Alejandro Martin:

Versión beta FALTA METER LA EXPRESIÓN DE LA DIVERGENCIA Y LAS CONCLUSIONES DE LAS TENSIONES. MODIFICAR CÓDIGOS MATLAB

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen de las distintas secciones que forman el sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por traficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde no hay vectores de desplazamiento), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por acción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no permitiría que la rueda girara, ya que hay puntos donde el fluido se opone a sí mismo, impidiendo el giro de la rueda. 

Por acción del desplazamiento de las partículas, en el sólido se generan unas tensiones. Ahora se analizarán éstas. 

* Primeramente se analizarán las tensiones normales en las direcciones de gro y g<math> \theta </math>. 
Creando en MATLAB el siguiente programa
{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=[1:0.1:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
%axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=(((3*pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(roro).^2); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión normal en dirección g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
se generará el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

Como se puede ver en el gráfico,

En lo referente a las tensiones tangenciales en planos ortogonales a los vectores gro y g<math> \theta </math>, se crea el programa MATLAB

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=(((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub ro')
view(2) % See the pisture from the top
subplot(1,2,2)
f=((((sin(pi*tetateta))./(20*(roro).^3)).*(-1-roro.^2)).*roro); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Tensión tangencial en el plano ortogonal a g sub teta')
view(2) % See the pisture from the top
}}
 
generando el siguiente gráfico: 

[[Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg|800px|marco|centro]]

CONCLUSIONES

Archivo:Tensiones tangenciales en planos ortogonales2CG10.jpg

2013-12-08T23:04:11Z

Alejandro Martin:

Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base12CG10.jpg

2013-12-08T22:42:04Z

Alejandro Martin:

Archivo:Tensiones normales a los vectores de la base2CG10.jpg

2013-12-08T22:40:02Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T22:11:44Z

Alejandro Martin:

Versión beta

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección. 

En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa. 

Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen de las distintas secciones que forman el sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos. 

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por traficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos. 

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde no hay vectores de desplazamiento), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen. 

A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

En lo referente al rotacional del campo, éste, una vez calculado, es nulo. 

El rotacional muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

Si se observa, el campo podría indicar la dirección de un fluido. Si se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, en un campo con rotacional no nulo, la rueda tendería a rotar por a cción del campo. En este caso se puede ver claramente que si situáramos la rueda de palas en el centro del sólido y el campo indicara la dirección de un fluido, éste no haría que la rueda girara, ya que hay punto donde el fluido se

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T21:39:07Z

Alejandro Martin:

Versión beta

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Se comienza creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB que será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce en esa dirección.
En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente. Esto es debido a que cualquier curva de nivel se puede expresar como f(x,y) = c. Al hacer el vector gradiente de la función queda d(f) = ∇f * dr = 0, se donde se puede extraer la conclusión de que el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva (el producto escalar de ambos es 0), y por tanto, a la curva de nivel.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

A continuación se va a analizar el efecto de la percusión en la placa.
Como se puede apreciar en el gráfico, el campo del desplazamiento tiene una periodicidad. Esto hace que se repita, como se puede observar, 3 veces a lo largo de la placa.
[[Archivo:Campo2CG10.jpg|900px|marco|centro|Campo de desplazamientos definido por <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.</math>]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Además, se pueden extraer varias conclusiones una vez visto esto:
* El desplazamiento de las partículas del sólido es mayor en el perímetro interior del sólido que en el exterior, ya que ahí los vectores del campo tienen un módulo mayor. Esto viene determinado porque el campo está dividido por <math>\rho^2</math>, lo cual hace que a mayor distancia del origen para un mismo ángulo, los vectores sean más pequeños.
* Hay puntos en los que no existe desplazamiento de las partículas y además, estos puntos son los que marcan la periodicidad del campo.

En la siguiente imagen se pueden observar el sólido con y sin el desplazamiento.
[[Archivo:Solido deformado12CG10.jpg|800px|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Como se observa muy levemente el efecto del campo, vamos a observar el efecto del campo <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{2\rho^2}\vec g_{\theta}.</math> sobre el mismo sólido para estudiarlo mejor.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,3,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido inicial')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
subplot(1,3,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
title('Sólido con el desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,3,3)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*tetateta)./(2*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:Solido deformado22CG10.jpg|800px|marco|centro]]

En esta imagen sí que se puede observar el efecto del campo en el sólido y nos ayuda a hacernos una idea de cómo actúa el campo anterior:
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se separan, las partículas del sólido tiran de él hacia un lado y hacia el otro, produciendo que el sólido se ensanche en esos puntos.
* En los puntos del sólido en los que los vectores del campo se encuentran, las partículas del sólido se empujan empujan las unas a las otras, provocando que el sólido se contraiga.

Esto hace que el volumen de las distintas secciones que forman el sólido varíe:
* En las zonas donde el sólido se contrae por acción del campo, se pierde volumen.
* En las zonas donde el sólido se expande por acción del campo, se gana volumen.

Esto se puede observar muy bien con ayuda del operador divergencia. Este operador mide el cambio de volumen local en el sólido provocado por el campo de desplazamientos.

Para crear el gráfico que represente la divergencia, se crea el siguiente código en MATLAB:

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
subplot(1,2,1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=((pi*cos(pi*tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
title('Divergencia del campo del desplazamiento')
view(2) % See the picture from the top
subplot(1,2,2)
xx=roro.*cos(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta)+(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx);
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujas la malla
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top
hold on
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
fx=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(-yy); % x-component of the vector field
fy=(sin(pi*(tetateta))./(20*(xx.^2+yy.^2))).*(xx); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

Y se obtiene el siguiente gráfico:

[[Archivo:Divergencia2CG10.jpg|900px|marco|centro]]

Para facilitar su explicación, se ha optado por traficar al lado de la divergencia el sólido con el campo de desplazamientos.

Como se puede apreciar, y concuerda con lo dicho anteriormente, la divergencia es mayor (en módulo) en los puntos en los que los vectores se encuentran o se separan. Esto provoca que las partículas del sólido se acerquen o alejen las unas de las otras, haciendo que el volumen local cambie. Como también se puede apreciar, en los puntos en los que no hay cambio de volumen (los puntos del campo donde no hay vectores de desplazamiento), la divergencia es 0, y por lo tanto, no hay cambio de volumen.
A parte de esto, también se puede apreciar que la divergencia, o el cambio de volumen local, como se quiera, además de variar con el ángulo, varía con el radio. Los puntos más exteriores del sólido tienen menor divergencia que los interiores. Esto es debido a que el volumen local cambia más levemente en estos puntos debido a lo expuesto anteriormente acerca del campo.

Archivo:Divergencia2CG10.jpg

2013-12-08T21:17:55Z

Alejandro Martin:

Archivo:Solido deformado22CG10.jpg

2013-12-08T21:03:12Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T20:41:40Z

Alejandro Martin:

Archivo:Solido deformado12CG10.jpg

2013-12-08T20:33:41Z

Alejandro Martin:

Archivo:Solido deformado2CG10.jpg

2013-12-08T20:30:48Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T20:24:19Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T20:17:29Z

Alejandro Martin:

Archivo:Campo2CG10.jpg

2013-12-08T20:15:37Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-08T20:07:43Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-07T13:30:24Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-05T15:25:38Z

Alejandro Martin:

Versión beta

La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por de la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las dos coordenadas polares <math>(\rho,\theta)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>, sobre una placa plana (en dimensión 2) que ocupa el anillo comprendido entre las circunferencias centradas en el origen de radios 2 y 1. 

'''De esta forma:'''
* La temperatura viene definida por la función <math>T(x,y)=e^{-y}</math>
* El desplazamiento de los puntos de la placa es consecuencia de una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math>
 
Si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>

Comenzamos creando una malla en forma de corona circular de radios 1 y 2 en MATLAB. Esto será la placa considerada. Se crean las dos matrices de los valores <math>\rho</math> y <math>\theta</math> y se interpolan consiguiéndose la malla querida. Con esto, obtenemos un dominio de trabajo en <math>R^2</math>.
 
{{matlab|codigo=
h=0.1 % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the picture from the top % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Malla2CG10.jpg|900px|marco|centro|Sólido inicial]]
 

En el dominio de trabajo anterior, se toma un foco calorífico en el origen, definido por la función escalar de temperatura anterior, <math>T(x,y)=e^{-y}</math>. Con esto, se consigue una representación de la temperatura en función de la posición. En el gráfico, se puede observar una leyenda graduada que asocia los valores de la función en cada punto con un color, siendo el rojo la temperatura más elevada, y el azul, la más baja.
 

{{matlab|codigo=
h=(0.1); % sampling step
ro=[1:h:2]; % sampling of the interval [1,2]
teta=[0:h:2*pi+h]; % sampling of the interval [0,2<math>\pi</math>]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
surf(xx,yy,f) % Draw the mesh
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
colorbar
view(2) % See the picture from the top
}}

[[Archivo:Temperatura2CG10.jpg|900px|marco|centro|Temperatura en función de la posición.]]

Se calcula el gradiente de la función temperatura.

<math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>

Esto aporta las direcciones de máxima variación de temperatura (indicadas por las flechas) en cada punto. Se puede observar que el gradiente está en la dirección negativa del eje de ordenadas, debido a que el máximo cambio se produce ahi.
En el gráfico, a parte del gradiente, se puede observar también que las curvas de nivel referentes a la superficie de la temperatura no son equidistantes porque la superficie no tiene una pendiente lineal. Cuanto mayor es el gradiente, las curvas de nivel son más cercanas. Además, también se puede observar que las curvas de nivel son perpendiculares a los vectores del gradiente.

{{matlab|codigo=
h=0.1; % sampling step
ro=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
teta=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[roro,tetateta]=meshgrid(ro,teta); % matrixes of ro and teta coordinates RORO ES MATRIZ DE FILAS IGUALES CON VALORES DE 1 A 2 Y TETATETA ES MATRIZ DE COLUMNAS IGUALES CON VALORES DE 0 A 2PI
figure(1)
xx=roro.*cos(tetateta); % parametrization
yy=roro.*sin(tetateta);
f=exp(-yy); % The scalar field
contour(xx,yy,f) % Draw the level sets
hold on
% El gradiente de T viene dado por el campo -exp(-y) según el versor j
fx=xx*0; % x-component of the vector field
fy=-exp(-yy); % y-component of the vector field
quiver(xx,yy,fx,fy) % Draw the vector field
axis([-2,2,-2,2]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
colorbar
}}

[[Archivo:Gradiente2CG10.jpg|900px|marco|centro|Gradiente de la función temperatura y curvas de nivel de la misma]]

Archivo:Gradiente2CG10.jpg

2013-12-05T15:21:29Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-05T15:19:59Z

Alejandro Martin:

Archivo:Temperatura2CG10.jpg

2013-12-05T15:14:14Z

Alejandro Martin:

Archivo:Malla2CG10.jpg

2013-12-05T15:13:17Z

Alejandro Martin:

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-05T15:11:57Z

Alejandro Martin:

Archivo:Malla.jpg

2013-12-05T14:55:58Z

Alejandro Martin: Sólido en la posición inicial

Sólido en la posición inicial

Placa corona circular Grupo de trabajo 10, Trabajo 4, Grupo C

2013-12-05T14:52:42Z

Alejandro Martin: Página creada con «Versión beta La finalidad del trabajo es el estudio, mediante el uso de operadores diferenciales tales como la divergencia y el rotacional, de los cambios producidos por ...»

Ayuda:Cómo se edita una página

2013-12-05T14:43:41Z

Alejandro Martin: Página blanqueada

Ayuda:Cómo se edita una página

2013-12-05T14:42:00Z