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La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T19:27:55Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

En segundo lugar, sustituiremos:
<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>
<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Una vez sustituidos, nos quedarán las siguientes ecuaciónes:

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

La parametrización finalmente quedaría:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T19:27:35Z

Alejandra.gacanle: /* Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

En segundo lugar, sustituiremos:
<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>
<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Una vez sustituidos, nos quedarán las siguientes ecuaciónes:

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

La parametrización finalmente quedaría:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

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[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:08:51Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

En segundo lugar, sustituiremos:
<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>
<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Una vez sustituidos, nos quedarán las siguientes ecuaciónes:

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

La parametrización finalmente quedaría:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:08:31Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

en segundo lugar, sustituiremos:
<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>
<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Una vez sustituidos, nos quedarán las siguientes ecuaciónes:

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

la parametrización finalmente quedaría:
<center><math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math></center>

{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:07:09Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

Para pasar de cartesianas a cilíndricas haremos lo siguiente:

<math> \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }</math>;

<math>\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } ) \rightarrow \theta = arctan ( tan ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ))</math>

<math>\ z = z</math>

en segundo lugar, sustituimos <math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> y <math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math> , con lo que nos quedará la siguiente ecuación:

<math> \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } </math>

<math>\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ</math>

la parametrización finalmente quedaría:
<math> \gamma( z ) = ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) , z \leq 0</math>

{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:04:44Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
La espiral de Ekman, que describe el perfil vertical de corrientes en la capa superficial oceánica bajo la influencia del viento y la fuerza de Coriolis, puede expresarse de manera natural en coordenadas cilíndricas debido a su estructura rotacional. Esta formulación resalta la naturaleza esencialmente rotacional del transporte de Ekman, donde el flujo neto integrado verticalmente es perpendicular a la dirección del viento, un resultado que emerge claramente al integrar las componentes cilíndricas sobre la profundidad.

{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:02:52Z

Alejandra.gacanle: /* Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<center><math> \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<center><math> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

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[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:02:09Z

Alejandra.gacanle: /* Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como:
<math><center>\tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} </math></center> 
<math><center> \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} </math></center> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

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La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T15:00:16Z

Alejandra.gacanle: /* Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:59:55Z

Alejandra.gacanle: /* Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho) */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:59:32Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:59:23Z

Alejandra.gacanle: /* Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:59:05Z

Alejandra.gacanle: /* Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:58:48Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:58:15Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;
end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:58:05Z

Alejandra.gacanle: /* La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular
phi = 30,10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
axis equal;
% xlim([-0.5, 0.5]);
% ylim([-0.5, 0.5]);

K = zeros(1,n_frames);
Tau = zeros(1,n_frames);
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Calcular las componentes de la velocidad
u = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * cos(-z / delta+theta0); % Componente u(z)
v= V0 * exp(-z / delta) * sin(-z / delta+theta0); % Componente v(z)
K(k) = (1/delta)*1/(V0*exp(-z/delta))^2;
Tau(k) = 0;

end
plot(-z_vals,K,'Color','g','DisplayName','Curvatura K(z)')
plot(-z_vals,Tau, 'LineStyle','--','Color','b','DisplayName','Torsion \tau(z)')
xlabel('Profundidad [m]');
ylabel('K(z) y \tau(z)');
set(gca, 'XDir', 'reverse')
legend()
}}

==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:57:24Z

Alejandra.gacanle: /* Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=

dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva

rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;

%Paso a cilíndricas
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;

%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:57:01Z

Alejandra.gacanle: /* Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
dE = sqrt(2 * 0.05 / 0.7*10^-4); % Cálculo de dE
z = linspace(0, dE, 500); % Valores de z
v=0.15;
% Definición de la curva
%Valores de rho, theta y z
rho = v .* exp(z ./ dE);
theta = (z ./ dE) + 3*pi/4;
Z=z-dE;
%Paso a cilíndricas para graficar en MATLAB
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=z-dE;
figure;
hold on;
%axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4,-150,0]);
axis tight;
grid on;
zlabel('Profundidad'); %Z
view(3);
plot3(X, Y, Z, 'g', 'LineWidth', 4);
}}

==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:56:32Z

Alejandra.gacanle: /* Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho) */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);
end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:56:13Z

Alejandra.gacanle: /* Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho) */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
{{matlab|codigo=
% Parámetros
V0=0.15;
visc=0.05;
phi=0.17*pi;
omega=7.2921e-5;
f=2*omega*sin(phi);
dE=sqrt(2*visc/abs(f));
theta=3*pi/4;

% Profundidades hasta tres veces la profundidad de Ekman
zvals=linspace(0,-3*dE,40);

figure;
hold on;

% Matrices inciales
uvals=zeros(size(zvals));
vvals=zeros(size(zvals));

% Calcular valores y graficar
for i=1:length(zvals)
z=zvals(i);

% Calcular valores
uvals(i)=sign(f)*V0*exp(z/dE)*cos((z/dE)+theta);
vvals(i)=V0*exp(z/dE)*sin((z/dE)+theta);

end

% Espiral de Ekman
plot3(uvals,vvals,zvals,'g-','LineWidth',3);

title('espiral de Ekman');
view(3); % Vista 3D
axis([-0.20, 0.15, -0.20, 0.15, -3*dE, 0]);
xlabel('Componente Este (u)');
ylabel('Componente Norte (v)');
zlabel('Profundidad (z)');
grid on;
hold off;
}}

==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:55:16Z

Alejandra.gacanle: /* Rotacional de V */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
%%
figure(2);

grid on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
% Derivadas de u(z) y v(z) con respecto a z
du_dz = (f/abs(f)) * V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));

dv_dz = V0 * exp(-z / delta) * ...
(-1 / delta * cos(theta0 - z / delta) + 1 / delta * sin(theta0 - z / delta));
% Calcular los campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), -dv_dz * ones(size(X)), du_dz * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
view([0 90])
title(sprintf('Rotacional de la velocidad en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlabel('Este (m)');
ylabel('Norte (m)');
xlim([-0.12 0.12]);
ylim([-0.12 0.12]);
zlim([-z_max 0])
% Pausa para actualizar la animación
pause(0.1);

end
}}

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:51:02Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

{{ TrabajoED | La espiral de Ekman. Grupo 16. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Angela María Clarambo Nassarre Alejandra García-Agullo Canle María Cabranes Gonzalez Alvaro Román Aguilera}}

==Introducción==

==Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE==

El parámetro de Coriolis cuantifica la influencia local de la rotación terrestre en el movimiento de fluidos y objetos sobre la Tierra. Se define como:
<center> <math> f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math> </center>

Sustituyendo la velocidad angular Ω y la latitud expresada en radianes <math> \phi = \pi/6 </math>, nos da la siguiente expresión:

<center> <math> f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } </math> </center>

Para identificar en qué lugares de la Tierra 𝑓 es positivo, negativo o nulo, debemos fijarnos en <math> \phi </math>, es decir, en la latitud.

*𝑓 será nulo en el Ecuador (latitud 0°). No hay efecto de Coriolis horizontal.

*𝑓 será positivo en todo el Hemisferio Norte. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la derecha.

*𝑓 será negativo en todo el Hemisferio Sur. La fuerza de Coriolis desvía los movimientos hacia la izquierda.

La profundidad de Ekman 𝑑𝐸, define la capa de agua directamente influenciada por la fricción del viento en la superficie y desviada por la fuerza de Coriolis.

Para calcularla, es necesario saber |𝑓|, la viscosidad turbulenta y aplicar la siguiente fórmula:

<center> <math> d _ { E} = \sqrt { \frac { 2 v_ { e } } { | f | }} = 37.0317 </math> metros </center>

==Determinar el valor de ϑ==

θ es una fase inicial que depende de la dirección del viento, que a su vez está relacionada con la fuerza de coriolis.
En la superficie, la dirección del flujo de agua se desvía θ con respecto la dirección del viento.

Como hemos visto antes nuestro valor de f es positivo por lo cual nos encontramos en el hemisferio norte y por ende <math> sgn(f) =1 </math>

<center> <math>\color{white} ‘f= 2 Ω \sin ( \phi ) </math>
<math> \color{white} “f = 2 \cdot 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } \cdot \sin ( \pi / 6 ) = 7.2921 \cdot 10 ^ { - 5 } > 0 </math>

<math> u ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = V _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

<math> \rightarrow z = 0 \rightarrow </math><math> u( 0 ) = v _ { 0 } . \cos ( ϑ )</math><math> \color{white} "v( 0 ) = v _ { 0 } . \sin ( ϑ )</math> </center>

Como el viento va de norte a sur, la fuerza de coriolis genera una corriente hacia el este entonces el flujo en la superficie se desviará π/4 rad en esa dirección .

Por lo tanto, <math> ϑ = \frac { 3 \pi} { 4 } </math>

==Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman==
Las soluciones propuestas para las componentes horizontales de la velocidad en la capa de Ekman son:

<center> <math> u ( z ) =V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ ) </math>

<math> v ( z ) = V_ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ) </math> </center>

Para verificar que estas expresiones son solución del sistema, deben satisfacer las ecuaciones diferenciales de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v _ { e } } v </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = \frac { f } { v _ { e } } u </math> </center>

Cálculo de primeras derivadas:

<center> <math> \frac { d u } { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) - \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) ) </math>

<math> \frac { d v} { d z } = V _ { 0 } \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z } { d_{E} } }( \sin ( \frac { z } { d_{E} } + ϑ ) + \cos ( \frac { z} { d_{E}} +ϑ )) </math> </center>

Cálculo de segundas derivadas:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = \frac { -2 } { d {E}^ { 2 } } V _ { 0 } e ^ { \frac { z } { d{E} } } \sin ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ) </math>

<math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ )) </math> </center>

Igualamos cada derivada a su derivada de Ekman:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } v } { d z ^ { 2 } } = v _ { 0} \frac { 1 } { d_{E} }( \frac { 1 } { d_{E} } e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( 2 \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ) ) = V_ { 0} \frac { 2 } { d_{E}^2 }e ^ { \frac { z} { d_{E}} } ( \cos ( \frac { z} { d_{E}} + ϑ ) )</math></center>

Sustituiyendo <math> d_{E} </math> en la ecuación, nos queda:

<center> <math> \frac { d ^ { 2 } u } { d z ^ { 2 } } = - \frac { f } { v e } v \rightarrow \frac { f } { v e } = \frac { 2 } { d_ { E } ^ { 2 } } </math> </center>
Ahora se sustituye <math> d_{E} </math> y así se confirma que se verifica <math>f = |f |</math>

==Campo vectorial V en varios planos horizontales==
En el siguiente apartado desarrollaremos una simulación animada en MATLAB que represente la evolución del campo vectorial de velocidad v a lo largo de la columna de agua, utilizando una secuencia de planos horizontales distribuidos entre la superficie del océano y la profundidad de Ekman.

La animación mostrará cómo se distribuyen y transforman los vectores de corriente en cada uno de estos planos paralelos a la superficie. Al reproducir la secuencia, se podrá apreciar de manera dinámica el giro progresivo en la dirección del flujo y la atenuación en su magnitud conforme aumenta la profundidad. Esto permite visualizar claramente la estructura tridimensional característica de la espiral de Ekman, evidenciando los cambios en las corrientes oceánicas desde la capa superficial hasta niveles más profundos.

{{matlab|codigo=

clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud (grados)
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial (radianes)

% Cálculo del parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sin(phi);

% Profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 40; % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 10), linspace(-1, 1, 10));

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calculo velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0);

% Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on

% Animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo de campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
zlabel('Profundidad (m)');
grid on
end
hold off

figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k); % Componente v(z)

% Calculo campos vectoriales para este valor de z
quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([-1.2 1.2]);
zlim([-z_max 0]);

pause(0.1);

cla
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','g')
xlabel('Oeste - Este (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
grid on
view([0 90])
end
hold off
}}

==Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical==
En este apartado el objetivo es generar una representación tridimensional de la espiral de Ekman mediante la visualización del campo vectorial V a lo largo de la vertical.

Se evaluará el vector V en un conjunto de puntos distribuidos sobre el eje vertical, desde la superficie (0,0,0) hasta una profundidad dada. Se tomarán entre 30 y 40 puntos equidistantes a lo largo de este intervalo.
Cada vector se dibujará anclado en su correspondiente coordenada vertical (0,0,z), representando así la corriente en esa capa específica. Al unir visualmente las puntas de todos los vectores, se revelará en el espacio 3D la trayectoria curva característica de la espiral de Ekman, mostrando cómo la dirección y magnitud de la corriente rotan y decrecen con la profundidad.
{{matlab|codigo=
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5; % Velocidad angular (rad/s)
phi = 30.10242; % Latitud en grados
V0 = 0.15; % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05; % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 3*pi/4; % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta; % Profundidad máxima para la animación (2 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 40; % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');

u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta) .* cos(-z_vals / delta+theta0); % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta) .* sin(-z_vals / delta+theta0); % Componente v(z)

plot3(u_m, v_m, -z_vals, 'Color', 'g')

hold on

% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
z = z_vals(k); % Profundidad actual
u = u_m(k); % Componente u(z)
v = v_m(k);% Componente v(z)
quiver3(u, v, -z, u, v, 0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
grid on
view([45 45])
end
}}

==Divergencia de V==
El campo está definido por: <math>\overrightarrow {V} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>

Donde las componentes para el modelo clásico de Ekman son:

<math> u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ)</math>

<math>v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )</math>

Un aspecto fundamental del flujo de Ekman es que las componentes de velocidad u y v dependen exclusivamente de la coordenada vertical z, no varían en las direcciones horizontales.

La divergencia horizontal del campo vectorial se define como:
<math>\nabla\overline { V } = \frac { d u } { d x } + \frac { d v } { d y } = 0</math>

Esto significa que el flujo de Ekman es incompresible a escala horizontal. No existe convergencia ni divergencia neta de masa de agua en el plano horizontal dentro de la capa de Ekman. Esto implica que el transporte de masa asociado a la espiral se produce sin que se acumule o se vacíe agua en ningún punto, reflejando la continuidad del fluido en el modelo ideal.

==Rotacional de V==

El rotacional en la espiral de Ekman describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, resultado de la combinación entre la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional cuantifica la circulación del flujo por unidad de área y es clave para entender cómo el transporte en esta capa afecta procesos de mayor escala, como la formación de vórtices o el desarrollo de corrientes oceánicas.

En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones <math> x </math> e <math> y </math>:

<center> <math>\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }</math>, </center>

El transporte neto de masa dentro de la capa de Ekman queda orientado de forma perpendicular al viento en la superficie, como consecuencia del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidades tridimensional se define como:

<center><math>\nabla×\vec u(x,y) = {\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec u_x & \vec u_y & \vec u_z
\end{vmatrix}} </math></center>

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal <math>(\vec u_z = 0)</math> y homogéneo en las direcciones horizontales.
Esto significa que:

1. La variación del componente <math> v </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente <math> u </math> con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

==Reflexión del transporte de Ekman (por unidad de ancho)==
==Calculo flujo neto de V a través de una pared vertical==
==La espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas==
==Curvatura y Torsión de la esprial de Ekman==

La curvatura y la torsión ayudan a describir cómo se comporta la espiral de Ekman.
La curvatura indica cuánto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cómo va girando el plano en el que se curva la trayectoria, reflejando así su carácter tridimensional.
Las expresiones para la curvatura y la torsión se definen como: :<math> \kappa (z) y \tau (z)</math> 

==Calculo y representación del tiedro de Frenet==
==Calculo de la longitud del arco de la espiral de Ekman==
==La proyección de la espiral de Ekman sobre el plano horizontal==
===Representación logaritmica en el plano XY===
===Verificación de p=p0ebtheta===
===Calculo del ángulo entre vector posición y vector tangente. Verificación de que es constante===
===Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería===

La espiral logarítmica (o espiral equiangular) es una de las curvas más estudiadas en matemáticas aplicadas debido a sus propiedades geométricas únicas y su frecuente aparición en sistemas naturales y artificiales.

Aplicaciones en ingeniería:

Diseño aeronáutico y de turbomáquinas:

Álabes de turbinas y compresores: El perfil de los álabes en turbinas eólicas, turbinas de gas y compresores centrífugos a menudo sigue una espiral logarítmica. Esto se debe a que mantiene un ángulo de ataque constante a lo largo del radio, lo que minimiza las pérdidas por choque y mejora la eficiencia aerodinámica o hidrodinámica.

Ductos de difusores y toberas: La forma espiral logarítmica permite una expansión o compresión gradual del flujo, reduciendo la formación de turbulencias y la separación de la capa límite.

Antenas y electromagnetismo:

Antenas espirales logarítmicas: Son ampliamente utilizadas en telecomunicaciones y radioastronomía por su característica de banda ancha. Pueden operar en un amplio rango de frecuencias sin cambios significativos en su impedancia y patrón de radiación.

Diseño de guías de onda y acopladores direccionales: La curva permite una transición suave de la energía electromagnética, minimizando reflexiones.

Ingeniería mecánica y diseño de resortes:

Resortes espirales no cilíndricos: En aplicaciones donde se requiere una relación no lineal entre fuerza y desplazamiento, los resortes con forma de espiral logarítmica ofrecen una respuesta mecánica más controlada.

Mecanismos de seguimiento solar: Algunos diseños de concentradores solares utilizan superficies reflectantes en forma de espiral logarítmica para enfocar la radiación de manera uniforme a lo largo del día.

Ingeniería civil y arquitectura:

Diseño estructural de escaleras y rampas: La espiral logarítmica proporciona una transición ergonómica y estéticamente agradable entre niveles.

Distribución de tensiones en cúpulas y arcos: Algunas estructuras de cubierta se inspiran en esta curva para redistribuir cargas de manera óptima.

Procesamiento de señales e imagen:

Algoritmos de compresión y reconocimiento de patrones: La espiral logarítmica sirve como base para transformadas matemáticas (como la transformada espiral) utilizadas en el análisis de texturas y formas naturales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:28:51Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:28:33Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:26:12Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:25:59Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:25:37Z

Alejandra.gacanle: /* Representación de los vectores V evaluados en puntos del eje vertical */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:23:59Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:23:44Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:18:57Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:18:32Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:13:51Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:13:11Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T14:12:34Z

Alejandra.gacanle: /* Campo vectorial V en varios planos horizontales */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-03T09:05:59Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:29:52Z

Alejandra.gacanle: /* Aplicaciones de la espiral logaritmica en ingeniería */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

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Alejandra.gacanle: /* Divergencia de V */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:08:28Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:08:11Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:07:44Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:07:04Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:06:34Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:01:29Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:01:01Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T19:00:00Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T18:59:17Z

Alejandra.gacanle: /* Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

2025-12-02T18:48:39Z

Alejandra.gacanle: /* Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

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Alejandra.gacanle: /* Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

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Alejandra.gacanle: /* Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE */

La espiral de Ekman (Grupo 16)

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Alejandra.gacanle: /* Parametros de coriolis f y profundidad de Ekman dE */