MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 2 1000.png

2024-05-27T17:16:18Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 1 1000.png

2024-05-27T17:16:02Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 0.5 1000.png

2024-05-27T17:15:44Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 0 1000.png

2024-05-27T17:14:08Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 2.png

2024-05-27T17:13:49Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 1.png

2024-05-27T17:13:35Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 0.5.png

2024-05-27T17:13:17Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap2 t 0.png

2024-05-27T17:12:57Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap1 n3.png

2024-05-27T17:10:39Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap1 n2.png

2024-05-27T17:10:26Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej2 Ap1 n1.png

2024-05-27T17:10:13Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej1 Ap5.png

2024-05-27T17:09:29Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej1 Ap4.png

2024-05-27T17:09:06Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EQUIPOLUA Ej1 Ap3.png

2024-05-27T17:07:57Z

Alejandra Hernández:

Ecuación de Laplace y Poisson (equipo LUA)

2024-04-19T20:35:06Z

Alejandra Hernández:

{{TrabajoED | Ecuación de Laplace y Poisson. Grupo LUA | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Luis Carreras Hoyos, Lucía Gil Ruiz y Alejandra Hernández Sieber}}
==Introducción==

Las ecuaciones de Poisson y Laplace son dos conceptos fundamentales en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas disciplinas, desde la física y la ingeniería hasta las matemáticas aplicadas y la ciencia de datos; y son herramientas poderosas para comprender y analizar una variedad de problemas del mundo real.

Comencemos con la ecuación de Laplace, que aparece con frecuencia en el estudio de fenómenos de estado estacionario. Sus soluciones se denominan armónicas. La ecuación de Laplace matemáticamente se expresa como:

<center><math> \Delta u = 0 </math></center>

donde <math> u </math> es una función escalar que representa el potencial y <math> \Delta </math> es el operador laplaciano, que es la suma de las segundas derivadas parciales de <math> u </math> con respecto a las coordenadas espaciales. En otras palabras, la ecuación de Laplace establece que el laplaciano del potencial es igual a cero en un dominio dado.

Por otro lado, la ecuación de Poisson es una generalización de la ecuación de Laplace y es muy importante en la teoría de los campos conservativos, como el campo eléctrico, magnético o gravitatorio. Matemáticamente, se expresa como:

<center><math> \Delta u = f </math></center>

En este trabajo, exploraremos en detalle la teoría detrás de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, examinando sus propiedades fundamentales, métodos de resolución y aplicaciones.

==Conceptos previos==

* ''Funciones armónicas:'' Diremos que una función <math> u(x) \in \mathcal{C}^2 (\Omega) </math> es armónica si <math> \Delta u(x)=0 </math>. Las funciones armónicas verifican la propiedad del valor medio (¡y viceversa!), esto es: Sea <math> u </math> armónica en <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math>, con <math> u \in \mathcal{C}^2(\Omega) </math> y <math> u \in \mathcal{C}(\bar{\Omega}) </math>. Entonces, para cualquier bola de centro <math> x \in \Omega </math> y radio <math> R </math> tal que <math> \mathbb{B}_R(x) \in \Omega </math> se verifica:

<center><math> u(x) = \frac{1}{|\mathbb{B}_R(x)|} \cdot \int_{\mathbb{B}_R (x)} u(y)\,\mathrm{d}y </math></center>

* ''Unicidad del problema de Laplace y de Poisson en un dominio acotado'': Se puede demostrar que siendo <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> un dominio suave y acotado, entonces existe a lo sumo una solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\Omega) \cap \mathcal{C}^1(\bar{\Omega}) </math>, que satisface en <math> \partial \Omega </math> una condición del tipo Dirichlet, Robin o mixta. En caso de la condición Neumann, la solución del problema es única salvo constante. Si se desea conocer más al respecto se recomienda consultar la sección <math> 3.2 </math> de la página <math> 116 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

* ''Desigualdad de Harnack'': Sea <math> u(x) </math> una función armónica y <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. Supongamos que <math>\overline{ \mathbb{B}_{R}}(z)\subset \Omega </math>, entonces se verifica:

<center> <math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}}u(z)\leq u(x)\leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{R}(z) </math> y <math> r=|z-x| </math></center>.

* ''Principio del máximo'': Sea <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> y <math> u \in \mathcal{C} (\Omega) </math>. Si <math> u </math> satisface la propiedad del valor medio y alcanza un máximo o mínimo en <math> \Omega </math>, entonces <math> u </math> es constante. Como consecuencia, si <math> \Omega </math> es acotado y la función <math> u </math> no es constante, entonces:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u < u(x) ~~~\mathrm{y}~~~ \max \limits_{\partial \Omega} u > u(x) ~~~\forall x \in \Omega </math></center>

== Ecuación de Laplace==
En esta primera sección, vamos a estudiar la ecuación de Laplace. Para comenzar, planteamos el siguiente sistema en dimensión <math> n </math>:

<center><math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_R(p)\\
u = g \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_R(p)\\
\end{cases}</math></center>

Con <math> R \in \mathbb{R} </math>, <math> p </math> un punto de <math> \mathbb{R}^n </math> y <math> w_n </math> la medida de la esfera de radio <math> 1 </math>. La solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{B}_{R}(p)) \cap \mathcal{C}(\overline{\mathbb{B}_{R}(p)})</math> del sistema anterior viene dada por la fórmula de Poisson. Esta es:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x-p|^2} {w_n \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_R (p)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^n}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_R (p)</math></center>

Cabe destacar que esta fórmula es válida cuando la función <math> g </math> es continua y para una dimensión <math> n \geq 2 </math>. La demostración de ello puede encontrarse en la sección <math> 3.3.5 </math> de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

=== Solución de la ecuación de Laplace por la fórmula de Poisson en un caso particular ===

Particularizamos el sistema anterior para el caso de la esfera unitaria con <math> R=1 </math>, centrada en el punto <math> p= (0,0) </math>, en dimensión <math> n=2 </math> y la función <math> g(\theta) =max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} </math> expresada en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math>. Para dicho caso, tendríamos el siguiente sistema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Calculamos ahora la solución de la ecuación de Laplace usando la fórmula de Poisson. Notar que, para dimensión <math> n=2 </math>, la expresión <math> w_2 = 2 \pi </math>. Por tanto, la fórmula de Poisson en este caso será:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x|^2} {2 \cdot \pi \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_1 (0)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^2}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_1 (0) </math></center>

Siguiendo la demostración del ''Teorema <math> 3.13 </math>'' en la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'', al aplicar coordenadas polares, de manera que <math> x_1= r \cdot cos (\theta) </math> y <math> x_2= r \cdot sen (\theta) </math> se llega a que:

<center> <math> u(r,\theta) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi}max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |s - \pi|\right\} \cdot \frac{1 – r^2}{1 + r^2 -2r \cdot cos(s - \theta)} ds </math></center>

Volviendo a las coordenadas cartesianas, deshaciendo el cambio, esto equivale a:

<center><math> u(x)=\frac {1-|x|^{2}}{2 \pi} \int_{\partial \mathbb{B}_1(0)} max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\sigma - \pi|\right\} \cdot \frac{1}{|\sigma|^2 + r^2 -2 \cdot x \cdot \sigma} d \sigma </math></center>

Hay que destacar que, en la frontera no se puede usar la fórmula mencionada previamente debido a la singularidad de la integral. Es por ello por lo que hay que imponer directamente la condición frontera. Representamos ahora estos resultados en Matlab con el siguiente código:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math> ]]
[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1A.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(phi) max(0,1-2/pi.*abs(phi-pi));

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

erres=linspace(0,radio_bola,num_puntos_r);
thetas=linspace(0,2*pi,num_puntos_theta);
eses=thetas;
G=g(eses);

[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);

% Calculamos la solución
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Sustituimos los valores para r=1 por la condición frontera
solucion(end,:)=g(thetas);

% Dibujamos el resultado
figure(1)
colormap(jet)
surf(Thetas,Erres,solucion,'EdgeColor','none')
sgtitle('Representación de la solución')
colorbar
colormap('jet')
hold on
xlabel('theta')
ylabel('r')

figure(2)
sgtitle('Representación de la solución')
surf(Erres.*cos(Thetas), Erres.*sin(Thetas), solucion,'EdgeColor','none');
colorbar
colormap('jet')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')

}}

En primer lugar, definimos los datos: el radio de la bola y la función establecida en la condición frontera. A continuación, realizamos la discretización del dominio pasando así de un problema continuo a un problema discreto. Posteriormente definimos y calculamos la solución dada por la fórmula de Poisson habiendo aplicado coordenadas polares, aproximando dichas integrales mediante la fórmula del trapecio. Después, como se ha mencionado previamente, se establece la condición frontera directamente como solución en la frontera. Por último, representamos los resultados, siendo la primera figura la solución en coordenadas polares <math> (r,\theta) </math> y la segunda figura en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> una vez deshecho el cambio.

En la gráfica representada en coordenadas polares, resulta destacable como la solución obtenida es continua pero no derivable en la frontera de la bola de radio <math> r=1 </math>. Esto también se puede apreciar con claridad en la gráfica representada en coordenadas cartesianas, en concreto en el punto <math> (x_1,x_2)=(-1,0) </math>. Este comportamiento se debe directamente a la imposición de la condición frontera como solución en la frontera, pues ésta no es derivable y sus propiedades se traspasan a la solución.

Por último, se puede observar cómo se verifica el principio del máximo en ambas gráficas. En este caso, la solución obtenida no es constante, lo cual indica que el máximo y el mínimo de la misma se encuentran en la frontera de su dominio de definición, pues dicho dominio es acotado y, por ello, se puede aplicar el principio del máximo. Es decir, se cumple que:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u< u(x) < \max \limits_{\partial \Omega} u, ~~~ \forall (x) \in \Omega </math> </center>

Siendo <math> \Omega </math> el dominio de definición de la solución, en este caso, la esfera unitaria <math> \mathbb{B}_1(0) </math>.

===Cálculo de los errores con la fórmula de Poisson===

La fórmula de Poisson no es del todo precisa. Cuenta así con algunas limitaciones, como la ya mencionada previamente acerca del carácter singular de la integral cerca de la frontera del dominio. Recordamos que para solucionar este problema imponíamos directamente la condición frontera en la solución.

Por otro lado, con respecto al cálculo de la solución empleando la fórmula de Poisson, también se producen algunos errores. Estos se deben principalmente a la incorporación del método del trapecio para calcular dichas integrales, ya que al fin y al cabo sigue siendo un método de aproximación numérica. Este inconveniente será el objetivo de esta sección.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson variando discretizaciones ====
Para estudiar exactamente la magnitud de dichos errores, vamos a elegir una solución exacta, <math> u(x,y)=x \cdot y </math>. Es sencillo comprobar que dicha función es armónica dado que

<center><math>\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 x}= \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 y}=0 </math></center>

Además, su valor en la frontera de la bola <math> \mathbb{B}_1(0) </math> también es <math> g(x,y)=x \cdot y </math>. Es decir, la función <math> u(x,y) </math> es la solución exacta del problema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Usando el código de la sección anterior, podemos visualizar esta solución para una mayor comprensión del problema:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2 sol.png|400px|thumb|center| Representación de la solución exacta en <math> \mathbb{B}_1(0) </math>]]

Sin embargo, al igual que ocurría en el problema anterior, sabemos que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson.

En primer lugar, vamos a expresar la solución exacta <math> u(x,y) </math> en coordenadas polares por cuestión de comodidad, quedando así que <math> u(r,\theta)= r^2 \cdot cos(\theta) \cdot sin(\theta) </math> y la fórmula de Poisson en coordenadas polares es:

<center> <math> u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} cos(s) \cdot sin(s) \frac{1-r^2}{1+r^2-2r \cdot cos(s-\theta)} ds </math> </center>

Esta integral la vamos a resolver de forma numérica usando la fórmula del trapecio y calcularemos el error tomando diferentes discretizaciones para dicha fórmula, por lo que en primer lugar debemos obtener la solución dada por la fórmula de Poisson tomando todas esas discretizaciones.

Por lo tanto, en este estudio podemos fijar un punto concreto de la bola <math> \mathbb{B}_1 (0) </math>. En particular, hemos tomado el punto de estudio (en coordenadas polares) <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math>. Además, hemos estudiado los errores tomando <math> 10^n </math> puntos al evaluar el integrando aplicando la fórmula del trapecio para <math> n=1,\dots,8 </math>. Para calcular los errores correspondientes, hemos elaborado un código en Matlab. Sin embargo, este código incluye estudios que realizaremos posteriormente, por lo que lo explicaremos al final de esta subsección. En concreto, hemos obtenido la siguiente gráfica del error:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2.png|500px|thumb|center| Representación del error para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> en escala logarítmica]]

En primer lugar, es importante mencionar que el método del trapecio es un método de aproximación numérica, y la precisión de la aproximación aumenta a medida que se aumenta el número de subintervalos. En la imagen se puede observar cómo los errores disminuyen drásticamente cuando tomamos una discretización lo suficientemente precisa, como es <math> 10^ {3} </math> puntos. Aun así, hay que destacar lo pequeños que son estos errores, incluso el obtenido para una discretización de <math> 10^1 </math> puntos, cuyo valor es <math> 0.21 </math>. De hecho, el error incluso llega a alcanzar el valor de <math> 6,66 \cdot 10^{-16} </math> cuando se toman <math> 10^6 </math> puntos en la discretización. Por último, es llamativo como a pesar de que aumentamos el número de puntos para la discretización en la fórmula del trapecio, los errores aumentan ligeramente en alguno de los puntos. Esto puede observarse en valores como <math> n=7 </math> u <math> n=8 </math>. Realmente, no tenemos una explicación fundamentada para este fenómeno. La hipótesis que barajamos es que se trata de valores tan pequeños que es posible que la versión de Matlab de la que disponemos no sea lo suficientemente precisa para manejar dichos datos, dando lugar a estas posibles contradicciones.

Además, podemos comparar los errores obtenidos con la estimación del error máximo usando la fórmula del error teórica que se obtiene para la fórmula del trapecio, que es la siguiente:

<center> <math> \frac{(b-a)^3}{12n^{2}} |f’’(c)| </math> </center>

donde en nuestro caso <math> \left[a,b\right]=\left[0,2\pi \right] </math> es el dominio de integración, <math> n</math> el número de subintervalos, <math>c</math> un número cualquiera del intervalo <math> \left[0,2\pi \right] </math> y <math> f </math> es el integrando de la integral que resolvemos por la fórmula del trapecio. Es decir,

<center> <math> f(s)=\dfrac{\left(1-r^2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)}{2{\pi}\cdot\left(-2r\cos\left(s-{\theta}\right)+r^2+1\right)} </math> </center>

Para más información con respecto a la fórmula del error del trapecio, consultar la primera referencia citada al final del trabajo.

Teniendo esto en cuenta, lo primero que debemos calcular es <math> f’’(s) </math>, que es:

<center><math> \dfrac{\left(r^2-1\right)\left(4r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\sin^2\left(s-{\theta}\right)+\left(\left(4r^2\cos^2\left(s\right)-4r^2\sin^2\left(s\right)\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(2r^3+2r\right)\sin^2\left(s\right)+\left(-2r^3-2r\right)\cos^2\left(s\right)\right)\sin\left(s-{\theta}\right)-6r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos^2\left(s-{\theta}\right)+\left(7r^3+7r\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(-2r^4-4r^2-2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\right)}{{\pi}\cdot\left(2r\cos\left(s-{\theta}\right)-r^2-1\right)^3} </math> </center>

A continuación, vamos a estimar el error máximo a partir de esta fórmula. Para ello, debemos acotar la misma. Teniendo en cuenta las expresiones del seno y el coseno del ángulo doble, y que <math> sin(\phi) \leq 1 </math> y <math> cos(\phi) \leq 1 </math> para cualquier ángulo <math> \phi </math>, podemos acotar el valor absoluto de la segunda derivada por:

<center><math> |f’’(s)| \leq \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por otro lado, es muy importante mencionar que en la fórmula del trapecio hemos optado por evaluar la segunda derivada en el punto crítico que hace máximo su valor absoluto. Sin embargo, hemos calculado dicho máximo de manera numérica. Esta elección implica correr ciertos riegos, pues el cálculo numérico siempre va acompañado de un cierto error de cálculo. En busca de minimizar este error, hemos optado por hacer una discretización con <math> 10^7 </math> puntos para calcular dicho máximo.

Una vez hemos estimado el error máximo a partir del error teórico de la fórmula del trapecio, hemos representado todos en una gráfica para lograr comparalos.

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2a.png|500px|thumb|center| Representación error para el punto <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> y de la cota]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2b.png|500px|thumb|center| Diferencias de los errores numéricos y teóricos para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math>]]

En la primera gráfica, se ha representado el error numérico, ya estudiado anteriormente, el error teórico y la cota calculada. En primer lugar, recordamos que la fórmula del trapecio es un método de aproximación numérica y, por lo tanto, la precisión de la aproximación ha de aumentar a medida que se aumenta el número de subintervalos. Ya habíamos comentado que esto sí sucedía con el error numérico, pero gracias a esta gráfica también podemos apreciar que esto también ocurre para el error teórico.

Con respecto a la cota, recordamos que la expresión obtenida depende únicamente de la variable <math> r </math> y como en este estudio, <math> r </math> toma un valor fijo, es lógico que dicha cota sea constante con respecto al número de puntos de las discretizaciones. Sin embargo, al dividir entre <math> \frac{(2 \pi)^3}{12 \cdot n^2} </math> presente en la fórmula del error teórica para la fórmula del trapecio se obtiene la gráfica vista previamente.

Otro punto que debemos mencionar es que el error teórico siempre es mayor que el error numérico, pues hemos tomado el máximo de <math> f’’(s) </math>.

Con respecto a la última gráfica, esta representa la diferencia entre ambos errores. En ella, se puede apreciar claramente como dicha diferencia se acerca a cero a medida que aumentamos el número de puntos en la discretización. De hecho, el error numérico apenas disminuye a partir de los <math> 10^3 </math> puntos en la discretización, mientras que el error teórico no deja de disminuir.

Para terminar esta subsección, vamos a explicar el código elaborado para obtener todos los resultados presentados. Dicho código es el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar
erres=0.9;
thetas=pi/4;
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Definimos las distintas discretizaciones para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=[1,2,3,4,5,6,7,8];

% Definimos el coeficiente
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-erres.^2);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)/(pi.*(1-erre).^6);

errores_numericos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
errores_teoricos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
coeficientes=[];

% Calculamos la solución
for discr=1:length(num_puntos_trapz)
eses=linspace(0,2*pi,10^num_puntos_trapz(discr));
G=g(eses);
sol=zeros(size(thetas));
integral=zeros(size(thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos(discr)=abs(solucion-u(erres,thetas));
errores_teoricos(discr)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres,thetas,discretizacion_maximo)));
coeficientes=[coeficientes,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))];
end

diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos);

% Representamos gráficamente los errores numéricos
figure(1)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para el punto con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Error en escala logarítmica')

% Representamos gráficamente los errores numéricos y teóricos
figure(2)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-', 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(num_puntos_trapz,errores_teoricos,'o-','LineWidth',1.5)
semilogy(num_puntos_trapz,coeficientes.*cotaerror(0.9),'g','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintas discretizaciones en escala logarítmica')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota calculada')

figure(3)
semilogy(num_puntos_trapz,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia del error con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Diferencia de los errores en escala logarítmica')

}}

En primer lugar, definimos los datos necesarios: la solución exacta (expresada en coordenadas polares), el radio de la bola y la condición frontera. A continuación, definimos el número de puntos para la discretización, los puntos a estudiar y un vector para las distintas discretizaciones que usaremos para el método del trapecio. Seguidamente, definimos el coeficiente que acompaña a la integral dado que no depende del parámetro <math> s </math> y, por tanto, no influirá a la hora de derivar la expresión. Por último, definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico.

Cabe destacar que puesto que la variable <math> \theta </math> y la variable <math> s </math> pertenecen al mismo dominio <math> [0, 2\pi] </math>, podríamos haber definido ambas como la misma variable en el código. Sin embargo, el objetivo de este código es estudiar lo que ocurre cuando aumentamos el número de puntos en la discretización de la variable sobre la que integramos, <math> s </math>, llegando a tomar valores muy altos de ese valor. Por ello, tomar <math> s </math> y <math> \theta </math> como la misma variable, aumenta mucho la complejidad y el tiempo de ejecución, es por eso por lo que hemos optado por definirlas en variables distintas, con distinto número de puntos para sus respectivas discretizaciones.

Posteriormente, calculamos la solución de manera análoga a la anterior sección, tomando en este caso como solución la integral obtenida multiplicada por el coeficiente definido anteriormente. Además, vamos guardando registro de los errores cometidos (numérica y teóricamente). Por último, representamos los errores numéricos gráficamente en escala logarítmica y los comparamos gráficamente con los errores teóricos.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson cerca de la frontera ====

En último lugar nos interesa estudiar los errores cometidos en los puntos cercanos a la frontera de la bola unidad <math> \mathbb{B}_1(0) </math>. Para ello, fijaremos un número concreto de puntos en la fórmula del trapecio. Por ejemplo, para <math> n=2 </math>. Es decir, <math> 10^2=100 </math> puntos.

Dado que la integral de la fórmula de Poisson cuenta con una singularidad en su frontera, estudiaremos dicho error en puntos lo suficientemente cercanos a esta. Tomamos entonces puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>.

Para ello hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo=clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar y la matriz de mallado
erres=[1-10^-1,1-10^-2,1-10^-3,1-10^-4,1-10^-5,1-10^-6,1-10^-7];
thetas=pi/4;
[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Fijamos el valor de la discretización para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=10^2;
eses=linspace(0,2*pi,num_puntos_trapz);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)./(pi.*(1-erre).^6);

% Calculamos la solución
G=g(eses);
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
errores_teoricos=zeros(size(Thetas));

for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
errores_teoricos(j)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres(j),thetas,discretizacion_maximo)));
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos=abs(solucion-u(Erres,Thetas));
diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos)

% Dibujamos los errores en función de los valores de r
figure(1)
semilogy(erres,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Error en escala logarítmica')

figure(2)
semilogy(erres,errores_numericos, 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,errores_teoricos,'LineWidth',1.5)
semilogy(erres,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2))).*cotaerror(erres),'g--','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota del error')

figure(3)
semilogy(erres,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia de los errores con theta=pi/4 para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Diferencia de los errores error en escala logarítmica')

}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2c.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2d.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error teórico y númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2e.png|500px|thumb|center| Representación de la diferencia entre el error numérico y teórico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

Primero de todo, establecemos los datos necesarios: la solución exacta en coordenadas polares, el radio de la bola y la condición frontera. Seguidamente definimos el número de puntos para la discretización y definimos los puntos cercanos a la frontera de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math> con <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>. Posteriormente definimos la discretización elegida para el método del trapecio y calculamos la solución de manera análoga a la realizada en la sección <math> 3.1 </math>. Restando esta solución a la exacta obtenemos los errores numéricos.

Con respecto al error teórico seguimos el mismo proceso realizado anteriormente. Definimos la segunda derivada y la vamos calculando en cada una de nuestras discretizaciones. Tomamos el valor máximo, y almacenamos estos resultados en una lista. Además, tomamos la misma cota de error teórica del apartado anterior:
<center><math> \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por último, se representa gráficamente el error teórico, el error numérico, la diferencia de ambas y la cota teórica.

En las gráficas de los errores, estos van aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Cuando la función es suave y continua, los métodos de integración numérica son bastante precisos. Sin embargo, cerca de la frontera, la singularidad de la función dificulta la aproximación precisa de la integral.

Además, a pesar de que ambos errores aumentan, el error teórico alcanza valores más significativos. Tanto que hemos optado por representar el error numérico en una sola gráfica para apreciarla mejor. Los valores tan altos del error teórico se deben a que estamos tomando el máximo de la segunda derivada del integrando. Estos valores tienden a infinito cada vez que nos vamos acercando más a la frontera. Asimismo, sucede con la cota del error; al establecer una cota superior para nuestro error teórico, esta diverge a una velocidad mayor.

Con respecto a la gráfica de la diferencia, esta va aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Como se ha explicado, el error teórico toma valores cada vez más cercanos a infinito, demostrando así la dificultad que presenta la fórmula de Poisson cerca de la frontera, el principal inconveniente que describimos al principio de esta sección.

=== Solución de la ecuación de Laplace usando series de Fourier ===

En esta sección, vamos a calcular la solución de la ecuación de Laplace por series de Fourier. Consideramos nuevamente el problema

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

La resolución de este apartado está basada en la prueba vista en clase para demostrar que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson. Nuevamente, esta puede encontrarse como el ''Teorema <math> 3.13 </math>'' de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

En primer lugar, es importante destacar que vamos a trabajar en coordenadas polares, por lo que reescribimos el problema usando que <math> u(x,y)=U(r,\theta) </math> y <math> g(x,y)=G(\theta) </math>:

<center> <math> \begin{cases}
U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\theta \theta}= 0 \quad \text{para } r \in [0,1), \theta \in [0, 2\pi]\\
U(1,\theta) = G(\theta) = cos(\theta) sin (\theta) \quad \text{para } \theta \in [0, 2\pi] \\
\end{cases}</math> </center>

La primera expresión equivale al laplaciano expresado en coordenadas polares. Esta expresión y otras fórmulas así expresadas pueden consultarse en el ''Apéndice B.1'' en la página <math> 665 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

Regresando al problema, puesto que <math> u </math> debe de ser continua en <math> \overline{\mathbb{B}_1(0)} </math>, entonces <math> U </math> y <math> G </math> tienen que ser continuas en <math> [0,1] \times [0, 2 \pi] </math> y <math> [0,2 \pi] </math> respectivamente. Por lo tanto, se concluye que <math> G(\theta) </math> y <math> U(r,\theta) </math> tienen que ser <math> 2\pi </math>-periódicas y <math> U(0, \theta) </math> no puede depender del parámetro <math> \theta </math>.

A continuación, aplicamos separación de variables de manera que <math> U(r,\theta)=R(r) \cdot T(\theta) </math> y obtenemos un sistema para cada una de las funciones <math> T(\theta) </math> y <math> R(r) </math>. Por un lado,

<center> <math> \begin{cases}
T'' + \lambda T\\
T~~\mathrm{es}~~2\pi-\mathrm{periódica} \\
\end{cases}</math> </center>

Estudiando los casos en función del signo de <math> \lambda </math>, obtenemos como solución para este sistema la familia de funciones <math> \left\{sin(k \theta),cos(k\theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>, habiendo tomado <math> \sqrt \lambda=k \in \mathbb{N}</math>.

Con respecto al caso de <math> R(r) </math>, tenemos la ecuación

<center><math> R''r^{2}+rR'-\lambda_{k}R=0</math> </center>

Teniendo en cuenta que en el origen nuestra función solución tiene que ser continua, obtenemos el conjunto de funciones <math> \left\{ \frac{1}{2}, r^{k}cos(k \theta),r^{k}sin(k \theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>. Notar que, dicha familia forma una base de las funciones <math> L^2([-\pi,\pi]) </math>. Seguidamente, aplicamos el principio de superposición obteniendo la siguiente expresión:

<center> <math> U(r,\theta)= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left[a_k\cos(k \theta)r^{k}+ b_k\sin(k\theta)r^{k}\right]</math> con <math> a_0,a_k,b_k \in \mathbb{R}</math></center>

Finalmente, ajustamos la condición frontera, que recordamos que era <math>U(1,\theta)=\sin(\theta)\cos(\theta)</math>. A continuación, teniendo en cuenta que <math> U(1,\theta)=sin(\theta)cos(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>, los coeficientes de Fourier que debemos imponer para que se verifique la condición frontera son <math> a_0=0, ~~ a_k=0 ~~ \forall k \in \mathbb{N}</math> y <math> b_k=0 ~~ \forall k \neq 2 ~~\mathrm{con}~~ k \in \mathbb{N} </math> y <math> b_2 = \frac{1}{2} </math>.
Por lo tanto, la solución al sistema original es:

<center> <math> U(r,\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math></center>

Por último, hay que destacar que la serie de Fourier tiene solo un número finito de términos, y por tanto no tiene mucho sentido comparar, en este caso, los errores cometidos término a término con la solución exacta.

=== Desigualdad de Harnack ===
En esta última subsección vamos a analizar la desigualdad de Harnack para nuestro problema. Como hemos mencionado en los conceptos previos, para que se verifique dicha desigualdad se tiene que cumplir que <math> u </math> sea una función armónica con <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. La desigualdad se verifica en puntos dentro de una bola <math>\overline{\mathbb{B}_{r}(z)}\subset \Omega </math>.

En nuestro caso, la dimensión es <math>n=2</math>. Consideramos ahora la bola <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>. En ella se verifica que la función armónica <math>v :=u-M \geq 0 </math>, siendo <math>u</math> la solución a nuestro problema y <math>M</math> el mínimo de <math>u(x,y)=x \cdot y </math>. Sin embargo, como <math>u</math> es armónica y por tanto, verifica el Principio del máximo, para buscar el mínimo de <math>u(x,y) </math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>, basta limitarnos a buscar el mínimo en su frontera, es decir, el mínimo de <math> g(x,y) </math> en <math> \partial \mathbb{B}_{1}(0)</math>.

Para ello, expresaremos la condición frontera <math> g(x,y) = x \cdot y </math> en polares resultando así que <math>g(\theta)=cos(\theta)sin(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>.

Calculamos ahora los puntos críticos de dicha función y evaluamos en su segunda derivada para comprobar cuáles de dichos puntos críticos son mínimos, obteniendo finalmente que el mínimo se encuentra en <math>g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2} </math>.

Por lo tanto, podemos definir nuestra función <math> v </math> como <math> v:=u+\frac{1}{2}\geq 0</math>. Aplicando ahora la desigualdad de Harnack a <math> v </math> en la bola <math> B_{1}(0)</math> obtenemos:

<center><math>v(0) \cdot \left (\frac{1-|x|}{1+|x|} \right ) \leq v(x)\leq v(0) \cdot \left (\frac{1+|x|}{1-|x|} \right ) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{1}(0) </math> </center>

Sustituyendo <math>v(0)=u(0)+\frac{1}{2}</math> y generalizando la desigualdad para cualquier función armónica <math>w(x) </math> con <math>w(0)=u(0)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> logramos la desigualdad:

<center><math>\left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{1-|x|}\right)-\frac{1}{2} </math></center>

Una vez obtenidas estas desigualdades, podemos representar en Matlab la región en las que están todas las soluciones armónicas <math>w(x)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> que valen lo mismo que <math> u </math> en el punto <math> (0,0) </math>. Cabe destacar que durante toda esta sección vamos a emplear continuamente dos códigos distintos y ambos se explican brevemente al final de esta.

Tomando las dos funciones de los extremos de la desigualdad obtenemos:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

En la primera gráfica, la región no se puede apreciar bien pues cuando r es próximo a 1, la función que constituye la frontera superior de la región tiende a infinito. Por ese mismo motivo hemos representado una segunda gráfica tomando valores de <math>r \in [0,0.9]</math>. Como se puede apreciar en esta segunda gráfica, la región sigue el mismo comportamiento al analizado en clase.

Se puede apreciar como, tomando <math>r=0</math>, ambas fronteras coinciden en <math>u(0)=0</math>. Esto tiene sentido lógico con la teoría, pues estamos estudiando la región en la que se encuentran todas las funciones armónicas que pasan por <math>u(0)=0</math>. Sin embargo, en la segunda gráfica se puede apreciar como la función que ejerce de frontera inferior de la región toma valores negativos. Esto se debe a que si recordamos la expresión de dicha función:

<center> <math> \left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} </math> </center>

Esta comienza valiendo <math> u(0)=0 </math> cuando <math> |x|=0 </math> y a medida que el módulo de <math> |x| </math> aumenta, la función disminuye, es de hecho estrictamente decreciente, tomando así siempre valores negativos. Finalmente, cuando <math> |x| =1</math>, alcanza el mínimo <math> M=-\frac{1}{2} </math>.

Para apreciar la región mejor empleamos escala logarítmica, pero para ello, tendremos que desplazar las funciones frontera para que tomen valores positivos. Tal y como hemos explicado en el párrafo anterior, el mínimo de la región se alcanza en <math>M=-\frac{1}{2}</math>, por lo que bastará con desplazar la región dicho valor para así no obtener valores negativos y que el logaritmo quede bien definido. Obtenemos la siguiente gráfica:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Ahora, vamos a comparar las gráficas para distintos dominios: <math> \mathbb{B}_{2}(0)</math>, <math> \mathbb{B}_{10}(0)</math>. En este caso, nuestra solución queda como <math>u(r,\theta)=r^{2}cos(\theta)sin(\theta)</math>.

Para <math> \mathbb{B}_{2}(0) </math> con <math> r=2</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-2 </math>. De manera análoga al caso anterior, obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 2) \cdot \left (\frac{2-r}{2+r} \right) -2 \leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot \left (\frac{2+r}{2-r} \right )-2</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes representaciones gráficas:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Para la bola <math> \mathbb{B}_{10}(0) </math> con <math> r=10</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-50 </math>. Por lo tanto, en este caso obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 50) \cdot \left(\frac{10-r}{10+r}\right) -50 \leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot \left (\frac{50+r}{50-r} \right)-50</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes gráficas como resultado:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Prestando atención a las soluciones obtenidas se puede observar como la curva descrita por la frontera límite superior es más pronunciada a medida que aumentamos los radios. Además, hay que destacar que a simple vista puede parecer que restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math> las regiones definidas para las bolas de radio mayor estén incluidas en las de radio menor. Sin embargo, esto no es así. Para ello, hemos representado la comparación de dichas regiones en una misma gráfica restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math>. En ella se observan perfectamente estas diferencias

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 n2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=2 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Por último, vamos a comparar con las cotas que se obtendrían en dimensión <math> n=3 </math>. La región de la solución <math> w(x) </math> en <math> \mathbb{B}_{R}(0)</math> es la siguiente:

<center><math>(u(0)-M) \cdot R \cdot \left(\frac{R-|x|}{(R+|x|)^{2}} \right) +M \leq w(x) \leq (u(0)-M)\cdot R \cdot \left(\frac{R+|x|}{(R-|x|)^{2}} \right)+M</math></center>

En este caso <math> M </math> es el mínimo de nuestra función frontera <math>g(x,y)=x \cdot y</math> evaluada sobre los puntos <math> (x_{0},y_{0},z_{0}) </math> de la esfera <math> S_{1}(0) </math>.

Como la función no depende de la variable <math> z </math>, calcular el mínimo es equivalente a calcularlo sobre el plano <math> (x_{0}, y_{0},0) </math>. Este plano representa la proyección de la esfera en el espacio tridimensional con respecto al plano <math> z=0 </math>, el cual equivale al disco unidad de dimensión <math> n=2 </math>. Por consiguiente, el mínimo en la esfera es idéntico al calculado en el disco previamente. Por tanto, tenemos:

Para el caso <math> R=1 </math>

<center><math> \left(u(0)+\frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{(1+|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{(1-|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2}</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Tomando <math> R=2 </math> obtenemos la siguiente desigualdad

<center><math>(u(0)+2) \cdot 2 \cdot \left(\frac{2-|x|}{(2+|x|)^{2}} \right) -2
\leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot 2 \cdot \left(\frac{2+|x|}{(2-|x|)^{2}} \right) -2</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Para el caso <math> R=10 </math> obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+50) \cdot 10 \cdot \left(\frac{10-|x|}{(10+|x|)^{2}} \right) -50
\leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot 10 \cdot \left(\frac{10+|x|}{(10-|x|)^{2}} \right) -50</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Comparando los resultados obtenidos para dimensión <math> n=3 </math> obtenemos las mismas conclusiones que para <math> n=2 </math> dado que el comportamiento es análogo. La principal diferencia con respecto a la dimensión anterior se produce en los valores que se alcanzan en el eje <math> y </math> de definición. De nuevo, si nos restringimos al dominio <math> x \in [0,1] </math> podemos observar como las regiones definidas para las bolas de radio mayor no están incluidas en las de radio menor. La comparación de dichas regiones es la siguiente:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4_n3.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=3 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Analizando ahora las regiones obtenidas para distintas dimensiones, pero mismo radio, en este caso, si se puede observar como las regiones de definición de las funciones armónicas en dimensión <math> n=2 </math> están incluidas en las de dimensión <math> n=3 </math>. Realicemos una comparativa de dichas regiones en escala logarítmica para los tres radios considerados:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R1.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=1 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R2.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=2 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R10.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=10 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

Hay que destacar que estas comparaciones pueden realizarse en escala logarítmica dado que se alcanzan los mismos mínimos en las regiones, y por tanto son desplazadas por la misma constante <math> M </math> para conseguir así una correcta definición a la hora de aplicar logaritmos.

A continuación, se incluyen los códigos empleados durante esta sección. Por una parte, el primer código es el empleado para representar las regiones con los distintos radios y dimensiones y, el segundo código para las comparaciones entre estas. Estos son los siguientes:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

% Representamos gráficamente la región sin escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+(2*i-1))
sgtitle('Representación de la región')
subplot(1,2,1)
w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
xlabel('r')
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(erres(end))+"]")
subplot(1,2,2)
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
xlabel('r')
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(R-0.1)+"]")
xlim([0,R-0.1])

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+2*i)
w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;
semilogy(erres,w1_rM,'r','linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,'b','LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8])
sgtitle('Representación de la región desplazada en escala logarítmica')
end
end

}}

Con respecto a este primer código empleado, lo primero que hacemos es definir los datos necesarios: la solución en la frontera de la bola (<math> g(x,y) </math>) un vector de radios (<math> R=1,2,10 </math> en nuestro caso) y otro de dimensiones (<math> n=2,3 </math>). Además, denotamos como <math>u_0</math> al punto <math>u(0,0)</math>.

Posteriormente empleamos coordenadas polares en la solución en la frontera y calculamos los valores de <math> M </math> para cada uno de los radios. A continuación, definimos la desigualdad de Harnack en función de los radios y dimensiones y representamos las regiones obtenidas, incluyendo también para cada una de ellas la región en escala logarítmica.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

% Definimos los colores
colores=['b','r','g'];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);

w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure(i)
semilogy(erres,w1_rM,colores(j),'linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,colores(j),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],colores(j))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para R= "+num2str(R)+" en dimensiones n=2 y n=3")
legend('','','n=2','','','n=3')
alpha(0.5)

% Representamos la región
figure(n+2)
plot(erres,w1_r,colores(i),'linewidth',1.5)
hold on
plot(erres,w2_r,colores(i),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],colores(i))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para n="+num2str(n)+" para los radios R=1,2,10")
alpha(0.5)
xlim([0,0.9])
legend('','','R=1','','','R=2','','','R=10')

end
end }}

Este último código tiene un funcionamiento similar al citado anteriormente. En primer lugar, definimos los datos necesarios para el problema: la solución exacta, los radios de las bolas y las dimensiones deseadas. Posteriormente, aplicamos coordenadas polares a la solución exacta, calculamos el mínimo de dicha función (definido previamente como <math> M </math>) y definimos los parámetros necesarios para la discretización requerida. A continuación, definimos las funciones cota de nuestra desigualdad de Harnack, las evaluamos en nuestra discretización y las trasladamos dicho coeficiente <math> M </math> calculado para así poder realizar posteriormente una escala logarítmica. Por último, representamos las regiones comparativas.

== Ecuación de Poisson en <math> \mathbb{R}^2 </math>==

En esta sección nos centraremos en el estudio de la solución de la ecuación de Poisson. Para ello, planteamos el siguiente problema:

<center><math> \{\Delta u = -f ~~~: x \in \mathbb{R}^2 </math></center>

Donde <math> f </math> es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>. Observamos como la función <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> que hemos definido tiene soporte compacto.

Conocemos que si <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> es una función con soporte compacto, entonces la única solución del problema:

<center><math>\begin{cases}
\Delta u = -f \quad \text{en } \mathbb{R}^3\\
u(x) \rightarrow 0 \quad \text{si } |x| \rightarrow \infty \\
\end{cases}</math> </center>

Viene dada por el potencial Newtoniano:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^3} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{4 \pi} \cdot \frac{f(y)}{|x-y|} \cdot dy </math></center>

La demostración de esta prueba puede encontrarse como el Teorema <math> 3.33 </math> en la sección <math> 3.6.2 </math> de la página <math> 149 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

Sin embargo, en dimensión <math> n=2 </math> existe una versión de dicho teorema sustituyendo el potencial newtoniano por el potencial logarítmico. De esta manera:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy </math></center>

Donde en ambos casos, la aplicación <math> \phi(x) </math> se define como la solución fundamental del laplaciano en dimensiones <math> 3 </math> y <math> 2 </math> respectivamente. En dimensión <math> n=3 </math>: <math> \phi(x)=\frac{1}{4 \pi |x|} </math>, y en dimensión <math> n=2 </math> : <math> \phi(x)=\frac{-1}{2 \pi} \cdot log |x|</math>.

Estas soluciones verifican que son singulares en <math> x=0 </math> y <math> \Delta \phi = 0 </math> fuera de <math> x=0 </math>.

Como la función f es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math> podemos escribir <math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy =\int_{\mathbb{B}_{1}(0)} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot dy </math>.

Ahora, vamos a calcular en Matlab como sería la representación de la función <math> u(x) </math> para distintos dominios:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.png|700px|thumb|center|Representación de la solución <math> u(x) </math> para las regiones <math> (x_1,x_2) \in [-10000000000,10000000000] \times [-10000000000,10000000000] </math> y <math> (x_1,x_2) \in [-10,10] \times [-10,10] </math> .]]</center>

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar el comportamiento en el infinito
x2s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos);
y1s=linspace(-10,10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar con más precisión el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
y2s=linspace(-10,10,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos las soluciones para ambas discretizaciones
matrizx=zeros(num_puntos,num_puntos);
matrizy=zeros(num_puntos,num_puntos);

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
y1=y1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
y2=y2s(z);
integralx_r=[];
integraly_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
intx_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
inty_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((y1-erres.*cos(theta)).^2+(y2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integralx_r=[integralx_r,intx_r];
integraly_r=[integraly_r,inty_r];
end
matrizx(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integralx_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
matrizy(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integraly_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1) % Representación para estudiar el comportamiento en el infinito
surf(x1s,x2s,matrizx,'EdgeColor','none')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title('x_1')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
subplot(1,2,2)
surf(y1s,y2s,matrizy,'EdgeColor','none') % Representación para estudiar el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(y1s(1))+","+num2str(y1s(end))+"] \times ["+num2str(y2s(1))+","+num2str(y2s(end))+"]")
sgtitle('Representación de la solución en distintos dominios')

}}

En el código, se discretizan las variables <math>x_{1}, x_{2},y_{1}, y_{2}</math> para tomar dos conjuntos de puntos, uno espaciado para estudiar el comportamiento en <math> \mathbb{R}^2 </math> y otro más denso para estudiarlo cerca del origen. Se hace el cambio a polares de la función a integrar y se calcula la solución numérica de esta utilizando el método del trapecio, iterando sobre los puntos discretizados y almacenando los resultados en matrices. Finalmente, se visualizan las soluciones en dos subgráficas utilizando la función “surf”.

En la primera imagen, la función resulta adecuada para estudiar el comportamiento de la solución en valores de <math> x </math> muy alejados del origen. Esto se podría interpretar como su comportamiento en el “infinito”. Sin embargo, esta gráfica es inadecuada para estudiar el comportamiento con respecto al origen ya que no se representa bien el comportamiento alrededor de este. La inmensa anchura de la región hace que las discretizaciones en las que se toman los valores estén muy espaciadas. Además, la alta pendiente presente en la vecindad del origen requiere una mayor densidad de puntos para capturar su comportamiento. En la segunda imagen se toma una región más limitada cerca del origen, la cual si que facilita un estudio más preciso de su comportamiento.

Por otro lado, hay que destacar que el potencial logarítmico no ‘desaparece’ en el infinito, Su comportamiento asintótico, como indica la observación <math>3.35</math> del Teorema <math > 3.33 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'' ,viene dado por:

<center><math> u(x) = \frac{-M}{2 \pi} log|x| + O \left (\frac{1}{|x|} \right ) ~~: |x| \rightarrow \infty </math></center>

Donde definimos <math> M </math> como:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy </math></center>

que aplicado a nuestro problema inicialmente planteado con <math> f </math> la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>, tendríamos que:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy = \int_{\mathbb{B}_1} 1 \cdot dy = \pi </math></center>

Buscamos ahora comparar el comportamiento asintótico teórico con el obtenido numéricamente. En primer lugar, vamos a hacer una representación gráfica de ambas en el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> y para ello, hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a1.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=400;
x1s=linspace(-1,1,num_puntos);
x2s=linspace(-1,1,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,1000);
thetas=linspace(0,2*pi,1000);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta; % Añadimos la solución a la matriz
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1)
surf(x1s,x2s,matriz,'EdgeColor','none') % Representación de la solución
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la solución")
[X1_meshgrid,X2_meshgrid]=meshgrid(x1s,x2s);
subplot(1,2,2)
surf(x1s,x2s,limite(X1_meshgrid,X2_meshgrid),'EdgeColor','none') % Representación de la función que describe el comportamiento asintótico
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la función que describe el comportamiento asintótico")
sgtitle("Comparación de la solucion con la función que describe el comportamiento asintótico para (x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
}}
Primero de todo, en el código se define la función asintótica. A continuación, se discretizan las variables <math>(x_{1},x_{2})</math> para su representación y se establece otra discretización para las variables <math>r</math> y <math>\theta</math>. Seguidamente, mediante un bucle, se calculan las integrales respecto de <math>r</math> y respecto de <math>\theta</math> utilizando el método del trapecio. Estos resultados se almacenan en una matriz y, por último, se representan gráficamente la solución numérica y el comportamiento asintótico descrito teóricamente.

En las gráficas obtenidas no se pueden apreciar bien las diferencias entre ambas funciones. Para poder apreciar la magnitud de esta diferencia, hemos ejecutado el código anterior pero con un dominio más cercano al punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math>. En particular, para el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> las gráficas obtenidas son las siguientes:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a2.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> ]]

De esta manera, al restringir el dominio de representación, si se aprecian con claridad las diferencias entre ambas. En concreto, se observa una singularidad en el punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math> para la función del comportamiento asintótico <math> u(x) = -\frac{1}{2} \cdot log|x| </math>, mientras que la solución calculada de manera numérica no presenta dicha singularidad. Esto último contradice lo citado anteriormente ya que mencionamos que ambas funciones eran singulares en <math> x=0 </math>. Sin embargo, esta contradicción es consecuencia de realizar los cálculos de manera numérica.

Para poder estudiar el comportamiento asintótico de la solución calculada por el método del trapecio, hemos tenido en cuenta que ésta es simétrica con respecto al eje <math> x_1</math> y, por lo tanto, basta con estudiar lo que sucede para el semieje positivo. Para ello, hemos elaborado otro código en Matlab:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=[0.001];
for h=1:num_puntos-1
x1s=[x1s,x1s(end)*1.1]; % Hacemos una discretización no equidistribuida para x1s
end
%x1s=linspace(0.0001,10^10,num_puntos)
x2s=linspace(-10,10,num_puntos-1);
x2s=[x2s,0]; % Añadimos el valor x2=0, pues es donde más diferencia se va a producir entre ambas funciones
x2s=sort(x2s);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej5','MPEG-4'); % creo el video
pelicula.FrameRate=10; % controla velocidad
open(pelicula); % abrimos el vídeo

error=[];
for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
figura=figure(1);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta;
end
error=[error,max(abs(matriz(w,:)-limite(x1,x2s)))]; % Calculamos el máximo del error
plot(x2s,limite(x1,x2s),'r','LineWidth',1.5)
hold on
plot(x2s,matriz(w,:),'b--','LineWidth',1.5)
hold off
ylim([-25,5])
xlabel('Valores de x_2')
title("Representación de ambas funciones para x_1="+num2str(x1))
legend('Función que describe el comportamiento asintótico','Solución usando método del trapecio','Location','southeast')

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); % inserto la imagen
end

% Representación gráfica del error con respecto a los valores de x1
figure(2)
sgtitle('Representación del error máximo para distintos valores de x_1')
semilogx(x1s,error,'bo-','LineWidth',1.5)
xlim([10^(-3),10^5])
xlabel('Valores de x_1 en escala logarítmica')
ylabel('error')

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

Este código representa la solución calculada usando el método del trapecio y la función <math> u(x) = \frac{-1}{2} log|x| </math> para <math> x_2 \in [-10,10] </math> y valores fijos de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math>.

Con respecto al código, en primer lugar definimos la función <math> u(x) </math>, a la que hemos denominado '' limite ''. A continuación, hemos discretizado las variables <math> x_1 </math> y <math> x_2 </math>, así como las variables <math> r </math> y <math> \theta </math>, recordando que para resolver las integrales correspondientes para calcular la solución hemos hecho uso de coordenadas polares. Cabe destacar que puesto que para valores de <math>x_{1}</math> cercanos a <math> 0 </math> la solución sufre cambios mucho más notorios, hemos llevado a cabo una discretización de esta variable para que tenga muchos puntos cercanos a dicho valor y a medida que aumenta el mismo, estén más espaciados. Además, hemos optado por el método del trapecio para calcular numéricamente dichas integrales, la primera con respecto a la variable <math> r </math> y la segunda con respecto a la variable <math> \theta </math>. Finalmente, hemos graficado ambas funciones para cada uno de los valores de <math> x_1 </math> y hemos añadido cada una de esas imagenes a un vídeo, que es el siguiente:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.gif|550px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico para <math> x_2 \in [-10,10] </math> para cada valor de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math> ]].

Al comienzo de este vídeo, cuando el valor de <math> x_1 </math> es próximo a <math> 0 </math> , se puede apreciar como ambas funciones sí presentan diferencias en un entorno del punto <math> x_2=0 </math> (para cada valor fijado de <math> x_1 </math>). En concreto, la solución obtenida al integrar de manera numérica no presenta la singularidad que sí presenta la función <math> u(x) </math>. Sin embargo, el objetivo de este vídeo es comprobar que la función <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución y, efectivamente, a medida que crece <math>x_1 </math>, la diferencia entre estas funciones disminuye. En particular, a partir del valor <math> x_1=0.86 </math>, ambas funciones se solapan y decrecen hacia <math> - \infty </math> a la misma velocidad.

Para comprobar este hecho recién explicado, el código también devuelve la siguiente gráfica:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5b.png|600px|thumb|center| Representación del error máximo entre ambas funciones para <math> x_2 \in [-10,10] </math> con respecto a los valores de <math>x_1</math>]]

Es imprescindible mencionar que debido a la discretización llevada a cabo para la variable <math> x_1 </math>, hemos considerado más oportuno poner el eje <math>x</math> de esta gráfica en escala logarítmica, pues de la otra manera la mayoría de los puntos se almacenan en un intervalo muy pequeño y es muy complicado extraer conclusiones.

Con respecto a esta gráfica, es muy llamativo como el error inicial, para <math> x_1=0.001 </math> es realmente elevado, tomando el valor de <math> 3.2 </math>. Aunque este valor pueda parecer muy alto, realmente concuerda con los resultados analizados en el vídeo, pues está directamente relacionado con la singularidad que se produce en la función <math> u(x) </math>. Además, esta última gráfica confirma que a partir de <math> x_1=0.86 </math>, la diferencia entre ambas funciones es realmente pequeña y, por lo tanto, concluimos que efectivamente <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución.

== Aplicaciones==

Hasta el momento, se ha realizado un estudio exhaustivo de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, abordando su comportamiento, sus soluciones y sus aproximaciones tanto en <math> \mathbb{R}^{2}</math> como en <math>\mathbb{R}^{3}</math>. No obstante, utilizando estas ecuaciones, los científicos e ingenieros pueden modelar y resolver una variedad de problemas prácticos con precisión y eficacia.

* Electrostática y Magnetostática:
En el contexto de la electrostática, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el campo y el potencial eléctricos en sistemas sin cargas y con cargas distribuidas, respectivamente. Estas ecuaciones son fundamentales para comprender el comportamiento de circuitos eléctricos, condensadores, líneas de transmisión y muchos otros dispositivos eléctricos.
* Transferencia de Calor:
En problemas de transferencia de calor, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se aplican para modelar la distribución de temperatura en sistemas estacionarios y transitorios. Estas ecuaciones son utilizadas en el diseño de sistemas de refrigeración, análisis de aislamiento térmico, y optimización de procesos de fabricación que involucran calor.
* Mecánica de Fluidos y Aerodinámica:
En la mecánica de fluidos, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el potencial de flujo. Estas ecuaciones son esenciales en el diseño de cuerpos sumergidos y sistemas de tuberías.
En aerodinámica, estas ecuaciones se aplican para calcular el potencial de velocidad y la distribución de presión alrededor de objetos en movimiento, como aviones, automóviles y cuerpos aerodinámicos.

==Referencias==

* [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio. Wikipedia. Regla del trapecio]
* [Partial differential equations in action from modelling to theory. Sandro Salsa]
*[https://www.electricity-magnetism.org/es/ecuacion-de-laplace-uso-y-ejemplos/Ecuación de Laplace | Ecuación. Usos y Ejemplos ]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace y Poisson (equipo LUA)

2024-04-19T20:32:48Z

Alejandra Hernández:

{{TrabajoED | Ecuación de Laplace y Poisson. Grupo LUA | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Luis Carreras Hoyos, Lucía Gil Ruiz y Alejandra Hernández Sieber}}
==Introducción==

Las ecuaciones de Poisson y Laplace son dos conceptos fundamentales en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas disciplinas, desde la física y la ingeniería hasta las matemáticas aplicadas y la ciencia de datos; y son herramientas poderosas para comprender y analizar una variedad de problemas del mundo real.

Comencemos con la ecuación de Laplace, que aparece con frecuencia en el estudio de fenómenos de estado estacionario. Sus soluciones se denominan armónicas. La ecuación de Laplace matemáticamente se expresa como:

<center><math> \Delta u = 0 </math></center>

donde <math> u </math> es una función escalar que representa el potencial y <math> \Delta </math> es el operador laplaciano, que es la suma de las segundas derivadas parciales de <math> u </math> con respecto a las coordenadas espaciales. En otras palabras, la ecuación de Laplace establece que el laplaciano del potencial es igual a cero en un dominio dado.

Por otro lado, la ecuación de Poisson es una generalización de la ecuación de Laplace y es muy importante en la teoría de los campos conservativos, como el campo eléctrico, magnético o gravitatorio. Matemáticamente, se expresa como:

<center><math> \Delta u = f </math></center>

En este trabajo, exploraremos en detalle la teoría detrás de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, examinando sus propiedades fundamentales, métodos de resolución y aplicaciones.

==Conceptos previos==

* ''Funciones armónicas:'' Diremos que una función <math> u(x) \in \mathcal{C}^2 (\Omega) </math> es armónica si <math> \Delta u(x)=0 </math>. Las funciones armónicas verifican la propiedad del valor medio (¡y viceversa!), esto es: Sea <math> u </math> armónica en <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math>, con <math> u \in \mathcal{C}^2(\Omega) </math> y <math> u \in \mathcal{C}(\bar{\Omega}) </math>. Entonces, para cualquier bola de centro <math> x \in \Omega </math> y radio <math> R </math> tal que <math> \mathbb{B}_R(x) \in \Omega </math> se verifica:

<center><math> u(x) = \frac{1}{|\mathbb{B}_R(x)|} \cdot \int_{\mathbb{B}_R (x)} u(y)\,\mathrm{d}y </math></center>

* ''Unicidad del problema de Laplace y de Poisson en un dominio acotado'': Se puede demostrar que siendo <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> un dominio suave y acotado, entonces existe a lo sumo una solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\Omega) \cap \mathcal{C}^1(\bar{\Omega}) </math>, que satisface en <math> \partial \Omega </math> una condición del tipo Dirichlet, Robin o mixta. En caso de la condición Neumann, la solución del problema es única salvo constante. Si se desea conocer más al respecto se recomienda consultar la sección <math> 3.2 </math> de la página <math> 116 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

* ''Desigualdad de Harnack'': Sea <math> u(x) </math> una función armónica y <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. Supongamos que <math>\overline{ \mathbb{B}_{R}}(z)\subset \Omega </math>, entonces se verifica:

<center> <math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}}u(z)\leq u(x)\leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{R}(z) </math> y <math> r=|z-x| </math></center>.

* ''Principio del máximo'': Sea <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> y <math> u \in \mathcal{C} (\Omega) </math>. Si <math> u </math> satisface la propiedad del valor medio y alcanza un máximo o mínimo en <math> \Omega </math>, entonces <math> u </math> es constante. Como consecuencia, si <math> \Omega </math> es acotado y la función <math> u </math> no es constante, entonces:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u < u(x) ~~~\mathrm{y}~~~ \max \limits_{\partial \Omega} u > u(x) ~~~\forall x \in \Omega </math></center>

== Ecuación de Laplace==
En esta primera sección, vamos a estudiar la ecuación de Laplace, sus soluciones y los errores de las mismas. Para comenzar, planteamos el siguiente sistema en dimensión <math> n </math>:

<center><math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_R(p)\\
u = g \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_R(p)\\
\end{cases}</math></center>

Con <math> R \in \mathbb{R} </math>, <math> p </math> un punto de <math> \mathbb{R}^n </math> y <math> w_n </math> la medida de la esfera de radio <math> 1 </math>. La solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{B}_{R}(p)) \cap \mathcal{C}(\overline{\mathbb{B}_{R}(p)})</math> del sistema anterior viene dada por la fórmula de Poisson. Esta es:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x-p|^2} {w_n \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_R (p)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^n}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_R (p)</math></center>

Cabe destacar que esta fórmula es válida cuando la función <math> g </math> es continua y para una dimensión <math> n \geq 2 </math>. La demostración de ello puede encontrarse en la sección <math> 3.3.5 </math> de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

=== Solución de la ecuación de Laplace por la fórmula de Poisson en un caso particular ===

Particularizamos el sistema anterior para el caso de la esfera unitaria con <math> R=1 </math>, centrada en el punto <math> p= (0,0) </math>, en dimensión <math> n=2 </math> y la función <math> g(\theta) =max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} </math> expresada en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math>. Para dicho caso, tendríamos el siguiente sistema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Calculamos ahora la solución de la ecuación de Laplace usando la fórmula de Poisson. Notar que, para dimensión <math> n=2 </math>, la expresión <math> w_2 = 2 \pi </math>. Por tanto, la fórmula de Poisson en este caso será:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x|^2} {2 \cdot \pi \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_1 (0)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^2}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_1 (0) </math></center>

Siguiendo la demostración del ''Teorema <math> 3.13 </math>'' en la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'', al aplicar coordenadas polares, de manera que <math> x_1= r \cdot cos (\theta) </math> y <math> x_2= r \cdot sen (\theta) </math> se llega a que:

<center> <math> u(r,\theta) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi}max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |s - \pi|\right\} \cdot \frac{1 – r^2}{1 + r^2 -2r \cdot cos(s - \theta)} ds </math></center>

Volviendo a las coordenadas cartesianas, deshaciendo el cambio, esto equivale a:

<center><math> u(x)=\frac {1-|x|^{2}}{2 \pi} \int_{\partial \mathbb{B}_1(0)} max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\sigma - \pi|\right\} \cdot \frac{1}{|\sigma|^2 + r^2 -2 \cdot x \cdot \sigma} d \sigma </math></center>

Hay que destacar que, en la frontera no se puede usar la fórmula mencionada previamente debido a la singularidad de la integral. Es por ello por lo que hay que imponer directamente la condición frontera. Representamos ahora estos resultados en Matlab con el siguiente código:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math> ]]
[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1A.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(phi) max(0,1-2/pi.*abs(phi-pi));

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

erres=linspace(0,radio_bola,num_puntos_r);
thetas=linspace(0,2*pi,num_puntos_theta);
eses=thetas;
G=g(eses);

[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);

% Calculamos la solución
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Sustituimos los valores para r=1 por la condición frontera
solucion(end,:)=g(thetas);

% Dibujamos el resultado
figure(1)
colormap(jet)
surf(Thetas,Erres,solucion,'EdgeColor','none')
sgtitle('Representación de la solución')
colorbar
colormap('jet')
hold on
xlabel('theta')
ylabel('r')

figure(2)
sgtitle('Representación de la solución')
surf(Erres.*cos(Thetas), Erres.*sin(Thetas), solucion,'EdgeColor','none');
colorbar
colormap('jet')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')

}}

En primer lugar, definimos los datos: el radio de la bola y la función establecida en la condición frontera. A continuación, realizamos la discretización del dominio pasando así de un problema continuo a un problema discreto. Posteriormente definimos y calculamos la solución dada por la fórmula de Poisson habiendo aplicado coordenadas polares, aproximando dichas integrales mediante la fórmula del trapecio. Después, como se ha mencionado previamente, se establece la condición frontera directamente como solución en la frontera. Por último, representamos los resultados, siendo la primera figura la solución en coordenadas polares <math> (r,\theta) </math> y la segunda figura en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> una vez deshecho el cambio.

En la gráfica representada en coordenadas polares, resulta destacable como la solución obtenida es continua pero no derivable en la frontera de la bola de radio <math> r=1 </math>. Esto también se puede apreciar con claridad en la gráfica representada en coordenadas cartesianas, en concreto en el punto <math> (x_1,x_2)=(-1,0) </math>. Este comportamiento se debe directamente a la imposición de la condición frontera como solución en la frontera, pues ésta no es derivable y sus propiedades se traspasan a la solución.

Por último, se puede observar cómo se verifica el principio del máximo en ambas gráficas. En este caso, la solución obtenida no es constante, lo cual indica que el máximo y el mínimo de la misma se encuentran en la frontera de su dominio de definición, pues dicho dominio es acotado y, por ello, se puede aplicar el principio del máximo. Es decir, se cumple que:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u< u(x) < \max \limits_{\partial \Omega} u, ~~~ \forall (x) \in \Omega </math> </center>

Siendo <math> \Omega </math> el dominio de definición de la solución, en este caso, la esfera unitaria <math> \mathbb{B}_1(0) </math>.

===Cálculo de los errores con la fórmula de Poisson===

La fórmula de Poisson no es del todo precisa. Cuenta así con algunas limitaciones, como la ya mencionada previamente acerca del carácter singular de la integral cerca de la frontera del dominio. Recordamos que para solucionar este problema imponíamos directamente la condición frontera en la solución.

Por otro lado, con respecto al cálculo de la solución empleando la fórmula de Poisson, también se producen algunos errores. Estos se deben principalmente a la incorporación del método del trapecio para calcular dichas integrales, ya que al fin y al cabo sigue siendo un método de aproximación numérica. Este inconveniente será el objetivo de esta sección.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson variando discretizaciones ====
Para estudiar exactamente la magnitud de dichos errores, vamos a elegir una solución exacta, <math> u(x,y)=x \cdot y </math>. Es sencillo comprobar que dicha función es armónica dado que

<center><math>\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 x}= \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 y}=0 </math></center>

Además, su valor en la frontera de la bola <math> \mathbb{B}_1(0) </math> también es <math> g(x,y)=x \cdot y </math>. Es decir, la función <math> u(x,y) </math> es la solución exacta del problema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Usando el código de la sección anterior, podemos visualizar esta solución para una mayor comprensión del problema:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2 sol.png|400px|thumb|center| Representación de la solución exacta en <math> \mathbb{B}_1(0) </math>]]

Sin embargo, al igual que ocurría en el problema anterior, sabemos que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson.

En primer lugar, vamos a expresar la solución exacta <math> u(x,y) </math> en coordenadas polares por cuestión de comodidad, quedando así que <math> u(r,\theta)= r^2 \cdot cos(\theta) \cdot sin(\theta) </math> y la fórmula de Poisson en coordenadas polares es:

<center> <math> u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} cos(s) \cdot sin(s) \frac{1-r^2}{1+r^2-2r \cdot cos(s-\theta)} ds </math> </center>

Esta integral la vamos a resolver de forma numérica usando la fórmula del trapecio y calcularemos el error tomando diferentes discretizaciones para dicha fórmula, por lo que en primer lugar debemos obtener la solución dada por la fórmula de Poisson tomando todas esas discretizaciones.

Por lo tanto, en este estudio podemos fijar un punto concreto de la bola <math> \mathbb{B}_1 (0) </math>. En particular, hemos tomado el punto de estudio (en coordenadas polares) <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math>. Además, hemos estudiado los errores tomando <math> 10^n </math> puntos al evaluar el integrando aplicando la fórmula del trapecio para <math> n=1,\dots,8 </math>. Para calcular los errores correspondientes, hemos elaborado un código en Matlab. Sin embargo, este código incluye estudios que realizaremos posteriormente, por lo que lo explicaremos al final de esta subsección. En concreto, hemos obtenido la siguiente gráfica del error:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2.png|500px|thumb|center| Representación del error para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> en escala logarítmica]]

En primer lugar, es importante mencionar que el método del trapecio es un método de aproximación numérica, y la precisión de la aproximación aumenta a medida que se aumenta el número de subintervalos. En la imagen se puede observar cómo los errores disminuyen drásticamente cuando tomamos una discretización lo suficientemente precisa, como es <math> 10^ {3} </math> puntos. Aun así, hay que destacar lo pequeños que son estos errores, incluso el obtenido para una discretización de <math> 10^1 </math> puntos, cuyo valor es <math> 0.21 </math>. De hecho, el error incluso llega a alcanzar el valor de <math> 6,66 \cdot 10^{-16} </math> cuando se toman <math> 10^6 </math> puntos en la discretización. Por último, es llamativo como a pesar de que aumentamos el número de puntos para la discretización en la fórmula del trapecio, los errores aumentan ligeramente en alguno de los puntos. Esto puede observarse en valores como <math> n=7 </math> u <math> n=8 </math>. Realmente, no tenemos una explicación fundamentada para este fenómeno. La hipótesis que barajamos es que se trata de valores tan pequeños que es posible que la versión de Matlab de la que disponemos no sea lo suficientemente precisa para manejar dichos datos, dando lugar a estas posibles contradicciones.

Además, podemos comparar los errores obtenidos con la estimación del error máximo usando la fórmula del error teórica que se obtiene para la fórmula del trapecio, que es la siguiente:

<center> <math> \frac{(b-a)^3}{12n^{2}} |f’’(c)| </math> </center>

donde en nuestro caso <math> \left[a,b\right]=\left[0,2\pi \right] </math> es el dominio de integración, <math> n</math> el número de subintervalos, <math>c</math> un número cualquiera del intervalo <math> \left[0,2\pi \right] </math> y <math> f </math> es el integrando de la integral que resolvemos por la fórmula del trapecio. Es decir,

<center> <math> f(s)=\dfrac{\left(1-r^2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)}{2{\pi}\cdot\left(-2r\cos\left(s-{\theta}\right)+r^2+1\right)} </math> </center>

Para más información con respecto a la fórmula del error del trapecio, consultar la primera referencia citada al final del trabajo.

Teniendo esto en cuenta, lo primero que debemos calcular es <math> f’’(s) </math>, que es:

<center><math> \dfrac{\left(r^2-1\right)\left(4r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\sin^2\left(s-{\theta}\right)+\left(\left(4r^2\cos^2\left(s\right)-4r^2\sin^2\left(s\right)\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(2r^3+2r\right)\sin^2\left(s\right)+\left(-2r^3-2r\right)\cos^2\left(s\right)\right)\sin\left(s-{\theta}\right)-6r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos^2\left(s-{\theta}\right)+\left(7r^3+7r\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(-2r^4-4r^2-2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\right)}{{\pi}\cdot\left(2r\cos\left(s-{\theta}\right)-r^2-1\right)^3} </math> </center>

A continuación, vamos a estimar el error máximo a partir de esta fórmula. Para ello, debemos acotar la misma. Teniendo en cuenta las expresiones del seno y el coseno del ángulo doble, y que <math> sin(\phi) \leq 1 </math> y <math> cos(\phi) \leq 1 </math> para cualquier ángulo <math> \phi </math>, podemos acotar el valor absoluto de la segunda derivada por:

<center><math> |f’’(s)| \leq \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por otro lado, es muy importante mencionar que en la fórmula del trapecio hemos optado por evaluar la segunda derivada en el punto crítico que hace máximo su valor absoluto. Sin embargo, hemos calculado dicho máximo de manera numérica. Esta elección implica correr ciertos riegos, pues el cálculo numérico siempre va acompañado de un cierto error de cálculo. En busca de minimizar este error, hemos optado por hacer una discretización con <math> 10^7 </math> puntos para calcular dicho máximo.

Una vez hemos estimado el error máximo a partir del error teórico de la fórmula del trapecio, hemos representado todos en una gráfica para lograr comparalos.

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2a.png|500px|thumb|center| Representación error para el punto <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> y de la cota]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2b.png|500px|thumb|center| Diferencias de los errores numéricos y teóricos para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math>]]

En la primera gráfica, se ha representado el error numérico, ya estudiado anteriormente, el error teórico y la cota calculada. En primer lugar, recordamos que la fórmula del trapecio es un método de aproximación numérica y, por lo tanto, la precisión de la aproximación ha de aumentar a medida que se aumenta el número de subintervalos. Ya habíamos comentado que esto sí sucedía con el error numérico, pero gracias a esta gráfica también podemos apreciar que esto también ocurre para el error teórico.

Con respecto a la cota, recordamos que la expresión obtenida depende únicamente de la variable <math> r </math> y como en este estudio, <math> r </math> toma un valor fijo, es lógico que dicha cota sea constante con respecto al número de puntos de las discretizaciones. Sin embargo, al dividir entre <math> \frac{(2 \pi)^3}{12 \cdot n^2} </math> presente en la fórmula del error teórica para la fórmula del trapecio se obtiene la gráfica vista previamente.

Otro punto que debemos mencionar es que el error teórico siempre es mayor que el error numérico, pues hemos tomado el máximo de <math> f’’(s) </math>.

Con respecto a la última gráfica, esta representa la diferencia entre ambos errores. En ella, se puede apreciar claramente como dicha diferencia se acerca a cero a medida que aumentamos el número de puntos en la discretización. De hecho, el error numérico apenas disminuye a partir de los <math> 10^3 </math> puntos en la discretización, mientras que el error teórico no deja de disminuir.

Para terminar esta subsección, vamos a explicar el código elaborado para obtener todos los resultados presentados. Dicho código es el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar
erres=0.9;
thetas=pi/4;
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Definimos las distintas discretizaciones para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=[1,2,3,4,5,6,7,8];

% Definimos el coeficiente
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-erres.^2);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)/(pi.*(1-erre).^6);

errores_numericos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
errores_teoricos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
coeficientes=[];

% Calculamos la solución
for discr=1:length(num_puntos_trapz)
eses=linspace(0,2*pi,10^num_puntos_trapz(discr));
G=g(eses);
sol=zeros(size(thetas));
integral=zeros(size(thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos(discr)=abs(solucion-u(erres,thetas));
errores_teoricos(discr)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres,thetas,discretizacion_maximo)));
coeficientes=[coeficientes,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))];
end

diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos);

% Representamos gráficamente los errores numéricos
figure(1)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para el punto con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Error en escala logarítmica')

% Representamos gráficamente los errores numéricos y teóricos
figure(2)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-', 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(num_puntos_trapz,errores_teoricos,'o-','LineWidth',1.5)
semilogy(num_puntos_trapz,coeficientes.*cotaerror(0.9),'g','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintas discretizaciones en escala logarítmica')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota calculada')

figure(3)
semilogy(num_puntos_trapz,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia del error con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Diferencia de los errores en escala logarítmica')

}}

En primer lugar, definimos los datos necesarios: la solución exacta (expresada en coordenadas polares), el radio de la bola y la condición frontera. A continuación, definimos el número de puntos para la discretización, los puntos a estudiar y un vector para las distintas discretizaciones que usaremos para el método del trapecio. Seguidamente, definimos el coeficiente que acompaña a la integral dado que no depende del parámetro <math> s </math> y, por tanto, no influirá a la hora de derivar la expresión. Por último, definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico.

Cabe destacar que puesto que la variable <math> \theta </math> y la variable <math> s </math> pertenecen al mismo dominio <math> [0, 2\pi] </math>, podríamos haber definido ambas como la misma variable en el código. Sin embargo, el objetivo de este código es estudiar lo que ocurre cuando aumentamos el número de puntos en la discretización de la variable sobre la que integramos, <math> s </math>, llegando a tomar valores muy altos de ese valor. Por ello, tomar <math> s </math> y <math> \theta </math> como la misma variable, aumenta mucho la complejidad y el tiempo de ejecución, es por eso por lo que hemos optado por definirlas en variables distintas, con distinto número de puntos para sus respectivas discretizaciones.

Posteriormente, calculamos la solución de manera análoga a la anterior sección, tomando en este caso como solución la integral obtenida multiplicada por el coeficiente definido anteriormente. Además, vamos guardando registro de los errores cometidos (numérica y teóricamente). Por último, representamos los errores numéricos gráficamente en escala logarítmica y los comparamos gráficamente con los errores teóricos.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson cerca de la frontera ====

En último lugar nos interesa estudiar los errores cometidos en los puntos cercanos a la frontera de la bola unidad <math> \mathbb{B}_1(0) </math>. Para ello, fijaremos un número concreto de puntos en la fórmula del trapecio. Por ejemplo, para <math> n=2 </math>. Es decir, <math> 10^2=100 </math> puntos.

Dado que la integral de la fórmula de Poisson cuenta con una singularidad en su frontera, estudiaremos dicho error en puntos lo suficientemente cercanos a esta. Tomamos entonces puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>.

Para ello hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo=clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar y la matriz de mallado
erres=[1-10^-1,1-10^-2,1-10^-3,1-10^-4,1-10^-5,1-10^-6,1-10^-7];
thetas=pi/4;
[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Fijamos el valor de la discretización para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=10^2;
eses=linspace(0,2*pi,num_puntos_trapz);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)./(pi.*(1-erre).^6);

% Calculamos la solución
G=g(eses);
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
errores_teoricos=zeros(size(Thetas));

for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
errores_teoricos(j)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres(j),thetas,discretizacion_maximo)));
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos=abs(solucion-u(Erres,Thetas));
diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos)

% Dibujamos los errores en función de los valores de r
figure(1)
semilogy(erres,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Error en escala logarítmica')

figure(2)
semilogy(erres,errores_numericos, 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,errores_teoricos,'LineWidth',1.5)
semilogy(erres,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2))).*cotaerror(erres),'g--','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota del error')

figure(3)
semilogy(erres,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia de los errores con theta=pi/4 para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Diferencia de los errores error en escala logarítmica')

}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2c.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2d.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error teórico y númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2e.png|500px|thumb|center| Representación de la diferencia entre el error numérico y teórico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

Primero de todo, establecemos los datos necesarios: la solución exacta en coordenadas polares, el radio de la bola y la condición frontera. Seguidamente definimos el número de puntos para la discretización y definimos los puntos cercanos a la frontera de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math> con <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>. Posteriormente definimos la discretización elegida para el método del trapecio y calculamos la solución de manera análoga a la realizada en la sección <math> 3.1 </math>. Restando esta solución a la exacta obtenemos los errores numéricos.

Con respecto al error teórico seguimos el mismo proceso realizado anteriormente. Definimos la segunda derivada y la vamos calculando en cada una de nuestras discretizaciones. Tomamos el valor máximo, y almacenamos estos resultados en una lista. Además, tomamos la misma cota de error teórica del apartado anterior:
<center><math> \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por último, se representa gráficamente el error teórico, el error numérico, la diferencia de ambas y la cota teórica.

En las gráficas de los errores, estos van aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Cuando la función es suave y continua, los métodos de integración numérica son bastante precisos. Sin embargo, cerca de la frontera, la singularidad de la función dificulta la aproximación precisa de la integral.

Además, a pesar de que ambos errores aumentan, el error teórico alcanza valores más significativos. Tanto que hemos optado por representar el error numérico en una sola gráfica para apreciarla mejor. Los valores tan altos del error teórico se deben a que estamos tomando el máximo de la segunda derivada del integrando. Estos valores tienden a infinito cada vez que nos vamos acercando más a la frontera. Asimismo, sucede con la cota del error; al establecer una cota superior para nuestro error teórico, esta diverge a una velocidad mayor.

Con respecto a la gráfica de la diferencia, esta va aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Como se ha explicado, el error teórico toma valores cada vez más cercanos a infinito, demostrando así la dificultad que presenta la fórmula de Poisson cerca de la frontera, el principal inconveniente que describimos al principio de esta sección.

=== Solución de la ecuación de Laplace usando series de Fourier ===

En esta sección, vamos a calcular la solución de la ecuación de Laplace por series de Fourier. Consideramos nuevamente el problema

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

La resolución de este apartado está basada en la prueba vista en clase para demostrar que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson. Nuevamente, esta puede encontrarse como el ''Teorema <math> 3.13 </math>'' de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

En primer lugar, es importante destacar que vamos a trabajar en coordenadas polares, por lo que reescribimos el problema usando que <math> u(x,y)=U(r,\theta) </math> y <math> g(x,y)=G(\theta) </math>:

<center> <math> \begin{cases}
U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\theta \theta}= 0 \quad \text{para } r \in [0,1), \theta \in [0, 2\pi]\\
U(1,\theta) = G(\theta) = cos(\theta) sin (\theta) \quad \text{para } \theta \in [0, 2\pi] \\
\end{cases}</math> </center>

La primera expresión equivale al laplaciano expresado en coordenadas polares. Esta expresión y otras fórmulas así expresadas pueden consultarse en el ''Apéndice B.1'' en la página <math> 665 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

Regresando al problema, puesto que <math> u </math> debe de ser continua en <math> \overline{\mathbb{B}_1(0)} </math>, entonces <math> U </math> y <math> G </math> tienen que ser continuas en <math> [0,1] \times [0, 2 \pi] </math> y <math> [0,2 \pi] </math> respectivamente. Por lo tanto, se concluye que <math> G(\theta) </math> y <math> U(r,\theta) </math> tienen que ser <math> 2\pi </math>-periódicas y <math> U(0, \theta) </math> no puede depender del parámetro <math> \theta </math>.

A continuación, aplicamos separación de variables de manera que <math> U(r,\theta)=R(r) \cdot T(\theta) </math> y obtenemos un sistema para cada una de las funciones <math> T(\theta) </math> y <math> R(r) </math>. Por un lado,

<center> <math> \begin{cases}
T'' + \lambda T\\
T~~\mathrm{es}~~2\pi-\mathrm{periódica} \\
\end{cases}</math> </center>

Estudiando los casos en función del signo de <math> \lambda </math>, obtenemos como solución para este sistema la familia de funciones <math> \left\{sin(k \theta),cos(k\theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>, habiendo tomado <math> \sqrt \lambda=k \in \mathbb{N}</math>.

Con respecto al caso de <math> R(r) </math>, tenemos la ecuación

<center><math> R''r^{2}+rR'-\lambda_{k}R=0</math> </center>

Teniendo en cuenta que en el origen nuestra función solución tiene que ser continua, obtenemos el conjunto de funciones <math> \left\{ \frac{1}{2}, r^{k}cos(k \theta),r^{k}sin(k \theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>. Notar que, dicha familia forma una base de las funciones <math> L^2([-\pi,\pi]) </math>. Seguidamente, aplicamos el principio de superposición obteniendo la siguiente expresión:

<center> <math> U(r,\theta)= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left[a_k\cos(k \theta)r^{k}+ b_k\sin(k\theta)r^{k}\right]</math> con <math> a_0,a_k,b_k \in \mathbb{R}</math></center>

Finalmente, ajustamos la condición frontera, que recordamos que era <math>U(1,\theta)=\sin(\theta)\cos(\theta)</math>. A continuación, teniendo en cuenta que <math> U(1,\theta)=sin(\theta)cos(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>, los coeficientes de Fourier que debemos imponer para que se verifique la condición frontera son <math> a_0=0, ~~ a_k=0 ~~ \forall k \in \mathbb{N}</math> y <math> b_k=0 ~~ \forall k \neq 2 ~~\mathrm{con}~~ k \in \mathbb{N} </math> y <math> b_2 = \frac{1}{2} </math>.
Por lo tanto, la solución al sistema original es:

<center> <math> U(r,\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math></center>

Por último, hay que destacar que la serie de Fourier tiene solo un número finito de términos, y por tanto no tiene mucho sentido comparar, en este caso, los errores cometidos término a término con la solución exacta.

=== Desigualdad de Harnack ===
En esta última subsección vamos a analizar la desigualdad de Harnack para nuestro problema. Como hemos mencionado en los conceptos previos, para que se verifique dicha desigualdad se tiene que cumplir que <math> u </math> sea una función armónica con <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. La desigualdad se verifica en puntos dentro de una bola <math>\overline{\mathbb{B}_{r}(z)}\subset \Omega </math>.

En nuestro caso, la dimensión es <math>n=2</math>. Consideramos ahora la bola <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>. En ella se verifica que la función armónica <math>v :=u-M \geq 0 </math>, siendo <math>u</math> la solución a nuestro problema y <math>M</math> el mínimo de <math>u(x,y)=x \cdot y </math>. Sin embargo, como <math>u</math> es armónica y por tanto, verifica el Principio del máximo, para buscar el mínimo de <math>u(x,y) </math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>, basta limitarnos a buscar el mínimo en su frontera, es decir, el mínimo de <math> g(x,y) </math> en <math> \partial \mathbb{B}_{1}(0)</math>.

Para ello, expresaremos la condición frontera <math> g(x,y) = x \cdot y </math> en polares resultando así que <math>g(\theta)=cos(\theta)sin(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>.

Calculamos ahora los puntos críticos de dicha función y evaluamos en su segunda derivada para comprobar cuáles de dichos puntos críticos son mínimos, obteniendo finalmente que el mínimo se encuentra en <math>g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2} </math>.

Por lo tanto, podemos definir nuestra función <math> v </math> como <math> v:=u+\frac{1}{2}\geq 0</math>. Aplicando ahora la desigualdad de Harnack a <math> v </math> en la bola <math> B_{1}(0)</math> obtenemos:

<center><math>v(0) \cdot \left (\frac{1-|x|}{1+|x|} \right ) \leq v(x)\leq v(0) \cdot \left (\frac{1+|x|}{1-|x|} \right ) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{1}(0) </math> </center>

Sustituyendo <math>v(0)=u(0)+\frac{1}{2}</math> y generalizando la desigualdad para cualquier función armónica <math>w(x) </math> con <math>w(0)=u(0)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> logramos la desigualdad:

<center><math>\left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{1-|x|}\right)-\frac{1}{2} </math></center>

Una vez obtenidas estas desigualdades, podemos representar en Matlab la región en las que están todas las soluciones armónicas <math>w(x)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> que valen lo mismo que <math> u </math> en el punto <math> (0,0) </math>. Cabe destacar que durante toda esta sección vamos a emplear continuamente dos códigos distintos y ambos se explican brevemente al final de esta.

Tomando las dos funciones de los extremos de la desigualdad obtenemos:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

En la primera gráfica, la región no se puede apreciar bien pues cuando r es próximo a 1, la función que constituye la frontera superior de la región tiende a infinito. Por ese mismo motivo hemos representado una segunda gráfica tomando valores de <math>r \in [0,0.9]</math>. Como se puede apreciar en esta segunda gráfica, la región sigue el mismo comportamiento al analizado en clase.

Se puede apreciar como, tomando <math>r=0</math>, ambas fronteras coinciden en <math>u(0)=0</math>. Esto tiene sentido lógico con la teoría, pues estamos estudiando la región en la que se encuentran todas las funciones armónicas que pasan por <math>u(0)=0</math>. Sin embargo, en la segunda gráfica se puede apreciar como la función que ejerce de frontera inferior de la región toma valores negativos. Esto se debe a que si recordamos la expresión de dicha función:

<center> <math> \left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} </math> </center>

Esta comienza valiendo <math> u(0)=0 </math> cuando <math> |x|=0 </math> y a medida que el módulo de <math> |x| </math> aumenta, la función disminuye, es de hecho estrictamente decreciente, tomando así siempre valores negativos. Finalmente, cuando <math> |x| =1</math>, alcanza el mínimo <math> M=-\frac{1}{2} </math>.

Para apreciar la región mejor empleamos escala logarítmica, pero para ello, tendremos que desplazar las funciones frontera para que tomen valores positivos. Tal y como hemos explicado en el párrafo anterior, el mínimo de la región se alcanza en <math>M=-\frac{1}{2}</math>, por lo que bastará con desplazar la región dicho valor para así no obtener valores negativos y que el logaritmo quede bien definido. Obtenemos la siguiente gráfica:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Ahora, vamos a comparar las gráficas para distintos dominios: <math> \mathbb{B}_{2}(0)</math>, <math> \mathbb{B}_{10}(0)</math>. En este caso, nuestra solución queda como <math>u(r,\theta)=r^{2}cos(\theta)sin(\theta)</math>.

Para <math> \mathbb{B}_{2}(0) </math> con <math> r=2</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-2 </math>. De manera análoga al caso anterior, obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 2) \cdot \left (\frac{2-r}{2+r} \right) -2 \leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot \left (\frac{2+r}{2-r} \right )-2</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes representaciones gráficas:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Para la bola <math> \mathbb{B}_{10}(0) </math> con <math> r=10</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-50 </math>. Por lo tanto, en este caso obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 50) \cdot \left(\frac{10-r}{10+r}\right) -50 \leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot \left (\frac{50+r}{50-r} \right)-50</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes gráficas como resultado:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Prestando atención a las soluciones obtenidas se puede observar como la curva descrita por la frontera límite superior es más pronunciada a medida que aumentamos los radios. Además, hay que destacar que a simple vista puede parecer que restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math> las regiones definidas para las bolas de radio mayor estén incluidas en las de radio menor. Sin embargo, esto no es así. Para ello, hemos representado la comparación de dichas regiones en una misma gráfica restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math>. En ella se observan perfectamente estas diferencias

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 n2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=2 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Por último, vamos a comparar con las cotas que se obtendrían en dimensión <math> n=3 </math>. La región de la solución <math> w(x) </math> en <math> \mathbb{B}_{R}(0)</math> es la siguiente:

<center><math>(u(0)-M) \cdot R \cdot \left(\frac{R-|x|}{(R+|x|)^{2}} \right) +M \leq w(x) \leq (u(0)-M)\cdot R \cdot \left(\frac{R+|x|}{(R-|x|)^{2}} \right)+M</math></center>

En este caso <math> M </math> es el mínimo de nuestra función frontera <math>g(x,y)=x \cdot y</math> evaluada sobre los puntos <math> (x_{0},y_{0},z_{0}) </math> de la esfera <math> S_{1}(0) </math>.

Como la función no depende de la variable <math> z </math>, calcular el mínimo es equivalente a calcularlo sobre el plano <math> (x_{0}, y_{0},0) </math>. Este plano representa la proyección de la esfera en el espacio tridimensional con respecto al plano <math> z=0 </math>, el cual equivale al disco unidad de dimensión <math> n=2 </math>. Por consiguiente, el mínimo en la esfera es idéntico al calculado en el disco previamente. Por tanto, tenemos:

Para el caso <math> R=1 </math>

<center><math> \left(u(0)+\frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{(1+|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{(1-|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2}</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Tomando <math> R=2 </math> obtenemos la siguiente desigualdad

<center><math>(u(0)+2) \cdot 2 \cdot \left(\frac{2-|x|}{(2+|x|)^{2}} \right) -2
\leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot 2 \cdot \left(\frac{2+|x|}{(2-|x|)^{2}} \right) -2</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Para el caso <math> R=10 </math> obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+50) \cdot 10 \cdot \left(\frac{10-|x|}{(10+|x|)^{2}} \right) -50
\leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot 10 \cdot \left(\frac{10+|x|}{(10-|x|)^{2}} \right) -50</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Comparando los resultados obtenidos para dimensión <math> n=3 </math> obtenemos las mismas conclusiones que para <math> n=2 </math> dado que el comportamiento es análogo. La principal diferencia con respecto a la dimensión anterior se produce en los valores que se alcanzan en el eje <math> y </math> de definición. De nuevo, si nos restringimos al dominio <math> x \in [0,1] </math> podemos observar como las regiones definidas para las bolas de radio mayor no están incluidas en las de radio menor. La comparación de dichas regiones es la siguiente:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4_n3.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=3 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Analizando ahora las regiones obtenidas para distintas dimensiones, pero mismo radio, en este caso, si se puede observar como las regiones de definición de las funciones armónicas en dimensión <math> n=2 </math> están incluidas en las de dimensión <math> n=3 </math>. Realicemos una comparativa de dichas regiones en escala logarítmica para los tres radios considerados:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R1.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=1 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R2.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=2 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R10.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=10 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

Hay que destacar que estas comparaciones pueden realizarse en escala logarítmica dado que se alcanzan los mismos mínimos en las regiones, y por tanto son desplazadas por la misma constante <math> M </math> para conseguir así una correcta definición a la hora de aplicar logaritmos.

A continuación, se incluyen los códigos empleados durante esta sección. Por una parte, el primer código es el empleado para representar las regiones con los distintos radios y dimensiones y, el segundo código para las comparaciones entre estas. Estos son los siguientes:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

% Representamos gráficamente la región sin escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+(2*i-1))
sgtitle('Representación de la región')
subplot(1,2,1)
w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
xlabel('r')
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(erres(end))+"]")
subplot(1,2,2)
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
xlabel('r')
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(R-0.1)+"]")
xlim([0,R-0.1])

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+2*i)
w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;
semilogy(erres,w1_rM,'r','linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,'b','LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8])
sgtitle('Representación de la región desplazada en escala logarítmica')
end
end

}}

Con respecto a este primer código empleado, lo primero que hacemos es definir los datos necesarios: la solución en la frontera de la bola (<math> g(x,y) </math>) un vector de radios (<math> R=1,2,10 </math> en nuestro caso) y otro de dimensiones (<math> n=2,3 </math>). Además, denotamos como <math>u_0</math> al punto <math>u(0,0)</math>.

Posteriormente empleamos coordenadas polares en la solución en la frontera y calculamos los valores de <math> M </math> para cada uno de los radios. A continuación, definimos la desigualdad de Harnack en función de los radios y dimensiones y representamos las regiones obtenidas, incluyendo también para cada una de ellas la región en escala logarítmica.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

% Definimos los colores
colores=['b','r','g'];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);

w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure(i)
semilogy(erres,w1_rM,colores(j),'linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,colores(j),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],colores(j))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para R= "+num2str(R)+" en dimensiones n=2 y n=3")
legend('','','n=2','','','n=3')
alpha(0.5)

% Representamos la región
figure(n+2)
plot(erres,w1_r,colores(i),'linewidth',1.5)
hold on
plot(erres,w2_r,colores(i),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],colores(i))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para n="+num2str(n)+" para los radios R=1,2,10")
alpha(0.5)
xlim([0,0.9])
legend('','','R=1','','','R=2','','','R=10')

end
end }}

Este último código tiene un funcionamiento similar al citado anteriormente. En primer lugar, definimos los datos necesarios para el problema: la solución exacta, los radios de las bolas y las dimensiones deseadas. Posteriormente, aplicamos coordenadas polares a la solución exacta, calculamos el mínimo de dicha función (definido previamente como <math> M </math>) y definimos los parámetros necesarios para la discretización requerida. A continuación, definimos las funciones cota de nuestra desigualdad de Harnack, las evaluamos en nuestra discretización y las trasladamos dicho coeficiente <math> M </math> calculado para así poder realizar posteriormente una escala logarítmica. Por último, representamos las regiones comparativas.

== Ecuación de Poisson en <math> \mathbb{R}^2 </math>==

En esta sección nos centraremos en el estudio de la solución de la ecuación de Poisson. Para ello, planteamos el siguiente problema:

<center><math> \{\Delta u = -f ~~~: x \in \mathbb{R}^2 </math></center>

Donde <math> f </math> es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>. Observamos como la función <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> que hemos definido tiene soporte compacto.

Conocemos que si <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> es una función con soporte compacto, entonces la única solución del problema:

<center><math>\begin{cases}
\Delta u = -f \quad \text{en } \mathbb{R}^3\\
u(x) \rightarrow 0 \quad \text{si } |x| \rightarrow \infty \\
\end{cases}</math> </center>

Viene dada por el potencial Newtoniano:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^3} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{4 \pi} \cdot \frac{f(y)}{|x-y|} \cdot dy </math></center>

La demostración de esta prueba puede encontrarse como el Teorema <math> 3.33 </math> en la sección <math> 3.6.2 </math> de la página <math> 149 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

Sin embargo, en dimensión <math> n=2 </math> existe una versión de dicho teorema sustituyendo el potencial newtoniano por el potencial logarítmico. De esta manera:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy </math></center>

Donde en ambos casos, la aplicación <math> \phi(x) </math> se define como la solución fundamental del laplaciano en dimensiones <math> 3 </math> y <math> 2 </math> respectivamente. En dimensión <math> n=3 </math>: <math> \phi(x)=\frac{1}{4 \pi |x|} </math>, y en dimensión <math> n=2 </math> : <math> \phi(x)=\frac{-1}{2 \pi} \cdot log |x|</math>.

Estas soluciones verifican que son singulares en <math> x=0 </math> y <math> \Delta \phi = 0 </math> fuera de <math> x=0 </math>.

Como la función f es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math> podemos escribir <math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy =\int_{\mathbb{B}_{1}(0)} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot dy </math>.

Ahora, vamos a calcular en Matlab como sería la representación de la función <math> u(x) </math> para distintos dominios:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.png|700px|thumb|center|Representación de la solución <math> u(x) </math> para las regiones <math> (x_1,x_2) \in [-10000000000,10000000000] \times [-10000000000,10000000000] </math> y <math> (x_1,x_2) \in [-10,10] \times [-10,10] </math> .]]</center>

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar el comportamiento en el infinito
x2s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos);
y1s=linspace(-10,10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar con más precisión el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
y2s=linspace(-10,10,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos las soluciones para ambas discretizaciones
matrizx=zeros(num_puntos,num_puntos);
matrizy=zeros(num_puntos,num_puntos);

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
y1=y1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
y2=y2s(z);
integralx_r=[];
integraly_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
intx_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
inty_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((y1-erres.*cos(theta)).^2+(y2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integralx_r=[integralx_r,intx_r];
integraly_r=[integraly_r,inty_r];
end
matrizx(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integralx_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
matrizy(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integraly_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1) % Representación para estudiar el comportamiento en el infinito
surf(x1s,x2s,matrizx,'EdgeColor','none')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title('x_1')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
subplot(1,2,2)
surf(y1s,y2s,matrizy,'EdgeColor','none') % Representación para estudiar el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(y1s(1))+","+num2str(y1s(end))+"] \times ["+num2str(y2s(1))+","+num2str(y2s(end))+"]")
sgtitle('Representación de la solución en distintos dominios')

}}

En el código, se discretizan las variables <math>x_{1}, x_{2},y_{1}, y_{2}</math> para tomar dos conjuntos de puntos, uno espaciado para estudiar el comportamiento en <math> \mathbb{R}^2 </math> y otro más denso para estudiarlo cerca del origen. Se hace el cambio a polares de la función a integrar y se calcula la solución numérica de esta utilizando el método del trapecio, iterando sobre los puntos discretizados y almacenando los resultados en matrices. Finalmente, se visualizan las soluciones en dos subgráficas utilizando la función “surf”.

En la primera imagen, la función resulta adecuada para estudiar el comportamiento de la solución en valores de <math> x </math> muy alejados del origen. Esto se podría interpretar como su comportamiento en el “infinito”. Sin embargo, esta gráfica es inadecuada para estudiar el comportamiento con respecto al origen ya que no se representa bien el comportamiento alrededor de este. La inmensa anchura de la región hace que las discretizaciones en las que se toman los valores estén muy espaciadas. Además, la alta pendiente presente en la vecindad del origen requiere una mayor densidad de puntos para capturar su comportamiento. En la segunda imagen se toma una región más limitada cerca del origen, la cual si que facilita un estudio más preciso de su comportamiento.

Por otro lado, hay que destacar que el potencial logarítmico no ‘desaparece’ en el infinito, Su comportamiento asintótico, como indica la observación <math>3.35</math> del Teorema <math > 3.33 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'' ,viene dado por:

<center><math> u(x) = \frac{-M}{2 \pi} log|x| + O \left (\frac{1}{|x|} \right ) ~~: |x| \rightarrow \infty </math></center>

Donde definimos <math> M </math> como:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy </math></center>

que aplicado a nuestro problema inicialmente planteado con <math> f </math> la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>, tendríamos que:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy = \int_{\mathbb{B}_1} 1 \cdot dy = \pi </math></center>

Buscamos ahora comparar el comportamiento asintótico teórico con el obtenido numéricamente. En primer lugar, vamos a hacer una representación gráfica de ambas en el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> y para ello, hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a1.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=400;
x1s=linspace(-1,1,num_puntos);
x2s=linspace(-1,1,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,1000);
thetas=linspace(0,2*pi,1000);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta; % Añadimos la solución a la matriz
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1)
surf(x1s,x2s,matriz,'EdgeColor','none') % Representación de la solución
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la solución")
[X1_meshgrid,X2_meshgrid]=meshgrid(x1s,x2s);
subplot(1,2,2)
surf(x1s,x2s,limite(X1_meshgrid,X2_meshgrid),'EdgeColor','none') % Representación de la función que describe el comportamiento asintótico
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la función que describe el comportamiento asintótico")
sgtitle("Comparación de la solucion con la función que describe el comportamiento asintótico para (x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
}}
Primero de todo, en el código se define la función asintótica. A continuación, se discretizan las variables <math>(x_{1},x_{2})</math> para su representación y se establece otra discretización para las variables <math>r</math> y <math>\theta</math>. Seguidamente, mediante un bucle, se calculan las integrales respecto de <math>r</math> y respecto de <math>\theta</math> utilizando el método del trapecio. Estos resultados se almacenan en una matriz y, por último, se representan gráficamente la solución numérica y el comportamiento asintótico descrito teóricamente.

En las gráficas obtenidas no se pueden apreciar bien las diferencias entre ambas funciones. Para poder apreciar la magnitud de esta diferencia, hemos ejecutado el código anterior pero con un dominio más cercano al punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math>. En particular, para el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> las gráficas obtenidas son las siguientes:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a2.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> ]]

De esta manera, al restringir el dominio de representación, si se aprecian con claridad las diferencias entre ambas. En concreto, se observa una singularidad en el punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math> para la función del comportamiento asintótico <math> u(x) = -\frac{1}{2} \cdot log|x| </math>, mientras que la solución calculada de manera numérica no presenta dicha singularidad. Esto último contradice lo citado anteriormente ya que mencionamos que ambas funciones eran singulares en <math> x=0 </math>. Sin embargo, esta contradicción es consecuencia de realizar los cálculos de manera numérica.

Para poder estudiar el comportamiento asintótico de la solución calculada por el método del trapecio, hemos tenido en cuenta que ésta es simétrica con respecto al eje <math> x_1</math> y, por lo tanto, basta con estudiar lo que sucede para el semieje positivo. Para ello, hemos elaborado otro código en Matlab:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=[0.001];
for h=1:num_puntos-1
x1s=[x1s,x1s(end)*1.1]; % Hacemos una discretización no equidistribuida para x1s
end
%x1s=linspace(0.0001,10^10,num_puntos)
x2s=linspace(-10,10,num_puntos-1);
x2s=[x2s,0]; % Añadimos el valor x2=0, pues es donde más diferencia se va a producir entre ambas funciones
x2s=sort(x2s);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej5','MPEG-4'); % creo el video
pelicula.FrameRate=10; % controla velocidad
open(pelicula); % abrimos el vídeo

error=[];
for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
figura=figure(1);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta;
end
error=[error,max(abs(matriz(w,:)-limite(x1,x2s)))]; % Calculamos el máximo del error
plot(x2s,limite(x1,x2s),'r','LineWidth',1.5)
hold on
plot(x2s,matriz(w,:),'b--','LineWidth',1.5)
hold off
ylim([-25,5])
xlabel('Valores de x_2')
title("Representación de ambas funciones para x_1="+num2str(x1))
legend('Función que describe el comportamiento asintótico','Solución usando método del trapecio','Location','southeast')

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); % inserto la imagen
end

% Representación gráfica del error con respecto a los valores de x1
figure(2)
sgtitle('Representación del error máximo para distintos valores de x_1')
semilogx(x1s,error,'bo-','LineWidth',1.5)
xlim([10^(-3),10^5])
xlabel('Valores de x_1 en escala logarítmica')
ylabel('error')

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

Este código representa la solución calculada usando el método del trapecio y la función <math> u(x) = \frac{-1}{2} log|x| </math> para <math> x_2 \in [-10,10] </math> y valores fijos de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math>.

Con respecto al código, en primer lugar definimos la función <math> u(x) </math>, a la que hemos denominado '' limite ''. A continuación, hemos discretizado las variables <math> x_1 </math> y <math> x_2 </math>, así como las variables <math> r </math> y <math> \theta </math>, recordando que para resolver las integrales correspondientes para calcular la solución hemos hecho uso de coordenadas polares. Cabe destacar que puesto que para valores de <math>x_{1}</math> cercanos a <math> 0 </math> la solución sufre cambios mucho más notorios, hemos llevado a cabo una discretización de esta variable para que tenga muchos puntos cercanos a dicho valor y a medida que aumenta el mismo, estén más espaciados. Además, hemos optado por el método del trapecio para calcular numéricamente dichas integrales, la primera con respecto a la variable <math> r </math> y la segunda con respecto a la variable <math> \theta </math>. Finalmente, hemos graficado ambas funciones para cada uno de los valores de <math> x_1 </math> y hemos añadido cada una de esas imagenes a un vídeo, que es el siguiente:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.gif|550px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico para <math> x_2 \in [-10,10] </math> para cada valor de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math> ]].

Al comienzo de este vídeo, cuando el valor de <math> x_1 </math> es próximo a <math> 0 </math> , se puede apreciar como ambas funciones sí presentan diferencias en un entorno del punto <math> x_2=0 </math> (para cada valor fijado de <math> x_1 </math>). En concreto, la solución obtenida al integrar de manera numérica no presenta la singularidad que sí presenta la función <math> u(x) </math>. Sin embargo, el objetivo de este vídeo es comprobar que la función <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución y, efectivamente, a medida que crece <math>x_1 </math>, la diferencia entre estas funciones disminuye. En particular, a partir del valor <math> x_1=0.86 </math>, ambas funciones se solapan y decrecen hacia <math> - \infty </math> a la misma velocidad.

Para comprobar este hecho recién explicado, el código también devuelve la siguiente gráfica:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5b.png|600px|thumb|center| Representación del error máximo entre ambas funciones para <math> x_2 \in [-10,10] </math> con respecto a los valores de <math>x_1</math>]]

Es imprescindible mencionar que debido a la discretización llevada a cabo para la variable <math> x_1 </math>, hemos considerado más oportuno poner el eje <math>x</math> de esta gráfica en escala logarítmica, pues de la otra manera la mayoría de los puntos se almacenan en un intervalo muy pequeño y es muy complicado extraer conclusiones.

Con respecto a esta gráfica, es muy llamativo como el error inicial, para <math> x_1=0.001 </math> es realmente elevado, tomando el valor de <math> 3.2 </math>. Aunque este valor pueda parecer muy alto, realmente concuerda con los resultados analizados en el vídeo, pues está directamente relacionado con la singularidad que se produce en la función <math> u(x) </math>. Además, esta última gráfica confirma que a partir de <math> x_1=0.86 </math>, la diferencia entre ambas funciones es realmente pequeña y, por lo tanto, concluimos que efectivamente <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución.

== Aplicaciones==

Hasta el momento, se ha realizado un estudio exhaustivo de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, abordando su comportamiento, sus soluciones y sus aproximaciones tanto en <math> \mathbb{R}^{2}</math> como en <math>\mathbb{R}^{3}</math>. No obstante, utilizando estas ecuaciones, los científicos e ingenieros pueden modelar y resolver una variedad de problemas prácticos con precisión y eficacia.

* Electrostática y Magnetostática:
En el contexto de la electrostática, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el campo y el potencial eléctricos en sistemas sin cargas y con cargas distribuidas, respectivamente. Estas ecuaciones son fundamentales para comprender el comportamiento de circuitos eléctricos, condensadores, líneas de transmisión y muchos otros dispositivos eléctricos.
* Transferencia de Calor:
En problemas de transferencia de calor, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se aplican para modelar la distribución de temperatura en sistemas estacionarios y transitorios. Estas ecuaciones son utilizadas en el diseño de sistemas de refrigeración, análisis de aislamiento térmico, y optimización de procesos de fabricación que involucran calor.
* Mecánica de Fluidos y Aerodinámica:
En la mecánica de fluidos, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el potencial de flujo. Estas ecuaciones son esenciales en el diseño de cuerpos sumergidos y sistemas de tuberías.
En aerodinámica, estas ecuaciones se aplican para calcular el potencial de velocidad y la distribución de presión alrededor de objetos en movimiento, como aviones, automóviles y cuerpos aerodinámicos.

==Referencias==

* [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio. Wikipedia. Regla del trapecio]
* [Partial differential equations in action from modelling to theory. Sandro Salsa]
*[https://www.electricity-magnetism.org/es/ecuacion-de-laplace-uso-y-ejemplos/Ecuación de Laplace | Ecuación. Usos y Ejemplos ]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Ecuación de Laplace y Poisson (equipo LUA)

2024-04-19T20:31:44Z

Alejandra Hernández:

Ecuación de Laplace y Poisson (equipo LUA)

2024-04-19T17:09:56Z

Alejandra Hernández:

{{TrabajoED | Ecuación de Laplace y Poisson. Grupo LUA | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Luis Carreras Hoyos, Lucía Gil Ruiz y Alejandra Hernández Sieber}}
==Introducción==

Las ecuaciones de Poisson y Laplace son dos conceptos fundamentales en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas disciplinas, desde la física y la ingeniería hasta las matemáticas aplicadas y la ciencia de datos; y son herramientas poderosas para comprender y analizar una variedad de problemas del mundo real.

Comencemos con la ecuación de Laplace, que aparece con frecuencia en el estudio de fenómenos de estado estacionario. Sus soluciones se denominan armónicas. La ecuación de Laplace matemáticamente se expresa como:

<center><math> \Delta u = 0 </math></center>

donde <math> u </math> es una función escalar que representa el potencial y <math> \Delta </math> es el operador laplaciano, que es la suma de las segundas derivadas parciales de <math> u </math> con respecto a las coordenadas espaciales. En otras palabras, la ecuación de Laplace establece que el laplaciano del potencial es igual a cero en un dominio dado.

Por otro lado, la ecuación de Poisson es una generalización de la ecuación de Laplace y es muy importante en la teoría de los campos conservativos, como el campo eléctrico, magnético o gravitatorio. Matemáticamente, se expresa como:

<center><math> \Delta u = f </math></center>

En este trabajo, exploraremos en detalle la teoría detrás de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, examinando sus propiedades fundamentales, métodos de resolución y aplicaciones.

==Conceptos previos==

* ''Funciones armónicas:'' Diremos que una función <math> u(x) \in \mathcal{C}^2 (\Omega) </math> es armónica si <math> \Delta u(x)=0 </math>. Las funciones armónicas verifican la propiedad del valor medio (¡y viceversa!), esto es: Sea <math> u </math> armónica en <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math>, con <math> u \in \mathcal{C}^2(\Omega) </math> y <math> u \in \mathcal{C}(\bar{\Omega}) </math>. Entonces, para cualquier bola de centro <math> x \in \Omega </math> y radio <math> R </math> tal que <math> \mathbb{B}_R(x) \in \Omega </math> se verifica:

<center><math> u(x) = \frac{1}{|\mathbb{B}_R(x)|} \cdot \int_{\mathbb{B}_R (x)} u(y)\,\mathrm{d}y </math></center>

* ''Unicidad del problema de Laplace y de Poisson en un dominio acotado'': Se puede demostrar que siendo <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> un dominio suave y acotado, entonces existe a lo sumo una solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\Omega) \cap \mathcal{C}^1(\bar{\Omega}) </math>, que satisface en <math> \partial \Omega </math> una condición del tipo Dirichlet, Robin o mixta. En caso de la condición Neumann, la solución del problema es única salvo constante. Si se desea conocer más al respecto se recomienda consultar la sección <math> 3.2 </math> de la página <math> 116 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

* ''Desigualdad de Harnack'': Sea <math> u(x) </math> una función armónica y <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. Supongamos que <math>\overline{ \mathbb{B}_{R}}(z)\subset \Omega </math>, entonces se verifica:

<center> <math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}}u(z)\leq u(x)\leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{R}(z) </math> y <math> r=|z-x| </math></center>.

* ''Principio del máximo'': Sea <math> \Omega \subset \mathbb{R}^n </math> y <math> u \in \mathcal{C} (\Omega) </math>. Si <math> u </math> satisface la propiedad del valor medio y alcanza un máximo o mínimo en <math> \Omega </math>, entonces <math> u </math> es constante. Como consecuencia, si <math> \Omega </math> es acotado y la función <math> u </math> no es constante, entonces:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u < u(x) ~~~\mathrm{y}~~~ \max \limits_{\partial \Omega} u > u(x) ~~~\forall x \in \Omega </math></center>

== Ecuación de Laplace==
Planteamos ahora el siguiente sistema en dimensión <math> n </math>:

<center><math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_R(p)\\
u = g \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_R(p)\\
\end{cases}</math></center>

Con <math> R \in \mathbb{R} </math>, <math> p </math> un punto de <math> \mathbb{R}^n </math> y <math> w_n </math> la medida de la esfera de radio <math> 1 </math>. La solución <math> u(x) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{B}_{R}(p)) \cap \mathcal{C}(\overline{\mathbb{B}_{R}(p)})</math> del sistema anterior viene dada por la fórmula de Poisson. Esta es:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x-p|^2} {w_n \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_R (p)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^n}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_R (p)</math></center>

Cabe destacar que esta fórmula es válida cuando la función <math> g </math> es continua y para una dimensión <math> n \geq 2 </math>. La demostración de ello puede encontrarse en la sección <math> 3.3.5 </math> de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

=== Solución de la ecuación de Laplace por la fórmula de Poisson en un caso particular ===

Particularizamos el sistema anterior para el caso de la esfera unitaria con <math> R=1 </math>, centrada en el punto <math> p= (0,0) </math>, en dimensión <math> n=2 </math> y la función <math> g(\theta) =max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} </math> expresada en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math>. Para dicho caso, tendríamos el siguiente sistema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\theta - \pi|\right\} \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Calculamos ahora la solución de la ecuación de Laplace usando la fórmula de Poisson. Notar que, para dimensión <math> n=2 </math>, la expresión <math> w_2 = 2 \pi </math>. Por tanto, la fórmula de Poisson en este caso será:

<center><math> u(x)=\frac{R^2-|x|^2} {2 \cdot \pi \cdot R} \cdot \int_{\partial \mathbb{B}_1 (0)} \frac{\mathrm{g(\sigma)}}{|x-\sigma|^2}\,\mathrm{d}\sigma ~~~ x \in \mathbb{B}_1 (0) </math></center>

Siguiendo la demostración del ''Teorema <math> 3.13 </math>'' en la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'', al aplicar coordenadas polares, de manera que <math> x_1= r \cdot cos (\theta) </math> y <math> x_2= r \cdot sen (\theta) </math> se llega a que:

<center> <math> u(r,\theta) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi}max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |s - \pi|\right\} \cdot \frac{1 – r^2}{1 + r^2 -2r \cdot cos(s - \theta)} ds </math></center>

Volviendo a las coordenadas cartesianas, deshaciendo el cambio, esto equivale a:

<center><math> u(x)=\frac {1-|x|^{2}}{2 \pi} \int_{\partial \mathbb{B}_1(0)} max \left\{0, 1- \frac {2} {\pi} |\sigma - \pi|\right\} \cdot \frac{1}{|\sigma|^2 + r^2 -2 \cdot x \cdot \sigma} d \sigma </math></center>

Hay que destacar que, en la frontera no se puede usar la fórmula mencionada previamente debido a la singularidad de la integral. Es por ello por lo que hay que imponer directamente la condición frontera. Representamos ahora estos resultados en Matlab con el siguiente código:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas polares <math> (r, \theta) </math> ]]
[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1A.png|400px|thumb|center| Representación de la solución mediante la fórmula de Poisson en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(phi) max(0,1-2/pi.*abs(phi-pi));

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

erres=linspace(0,radio_bola,num_puntos_r);
thetas=linspace(0,2*pi,num_puntos_theta);
eses=thetas;
G=g(eses);

[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);

% Calculamos la solución
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Sustituimos los valores para r=1 por la condición frontera
solucion(end,:)=g(thetas);

% Dibujamos el resultado
figure(1)
colormap(jet)
surf(Thetas,Erres,solucion,'EdgeColor','none')
sgtitle('Representación de la solución')
colorbar
colormap('jet')
hold on
xlabel('theta')
ylabel('r')

figure(2)
sgtitle('Representación de la solución')
surf(Erres.*cos(Thetas), Erres.*sin(Thetas), solucion,'EdgeColor','none');
colorbar
colormap('jet')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')

}}

En primer lugar, definimos los datos: el radio de la bola y la función establecida en la condición frontera. A continuación, realizamos la discretización del dominio pasando así de un problema continuo a un problema discreto. Posteriormente definimos y calculamos la solución dada por la fórmula de Poisson habiendo aplicado coordenadas polares, aproximando dichas integrales mediante la fórmula del trapecio. Después, como se ha mencionado previamente, se establece la condición frontera directamente como solución en la frontera. Por último, representamos los resultados, siendo la primera figura la solución en coordenadas polares <math> (r,\theta) </math> y la segunda figura en coordenadas cartesianas <math> (x_1,x_2) </math> una vez deshecho el cambio.

En la gráfica representada en coordenadas polares, resulta destacable como la solución obtenida es continua pero no derivable en la frontera de la bola de radio <math> r=1 </math>. Esto también se puede apreciar con claridad en la gráfica representada en coordenadas cartesianas, en concreto en el punto <math> (x_1,x_2)=(-1,0) </math>. Este comportamiento se debe directamente a la imposición de la condición frontera como solución en la frontera, pues ésta no es derivable y sus propiedades se traspasan a la solución.

Por último, se puede observar cómo se verifica el principio del máximo en ambas gráficas. En este caso, la solución obtenida no es constante, lo cual indica que el máximo y el mínimo de la misma se encuentran en la frontera de su dominio de definición, pues dicho dominio es acotado y, por ello, se puede aplicar el principio del máximo. Es decir, se cumple que:

<center><math> \min \limits_{\partial \Omega} u< u(x) < \max \limits_{\partial \Omega} u, ~~~ \forall (x) \in \Omega </math> </center>

Siendo <math> \Omega </math> el dominio de definición de la solución, en este caso, la esfera unitaria <math> \mathbb{B}_1(0) </math>.

===Cálculo de los errores con la fórmula de Poisson===

La fórmula de Poisson no es del todo precisa. Cuenta así con algunas limitaciones, como la ya mencionada previamente acerca del carácter singular de la integral cerca de la frontera del dominio. Recordamos que para solucionar este problema imponíamos directamente la condición frontera en la solución.

Por otro lado, con respecto al cálculo de la solución empleando la fórmula de Poisson, también se producen algunos errores. Estos se deben principalmente a la incorporación del método del trapecio para calcular dichas integrales, ya que al fin y al cabo sigue siendo un método de aproximación numérica. Este inconveniente será el objetivo de esta sección.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson variando discretizaciones ====
Para estudiar exactamente la magnitud de dichos errores, vamos a elegir una solución exacta, <math> u(x,y)=x \cdot y </math>. Es sencillo comprobar que dicha función es armónica dado que

<center><math>\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 x}= \frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial^2 y}=0 </math></center>

Además, su valor en la frontera de la bola <math> \mathbb{B}_1(0) </math> también es <math> g(x,y)=x \cdot y </math>. Es decir, la función <math> u(x,y) </math> es la solución exacta del problema:

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

Usando el código de la sección anterior, podemos visualizar esta solución para una mayor comprensión del problema:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2 sol.png|400px|thumb|center| Representación de la solución exacta en <math> \mathbb{B}_1(0) </math>]]

Sin embargo, al igual que ocurría en el problema anterior, sabemos que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson.

En primer lugar, vamos a expresar la solución exacta <math> u(x,y) </math> en coordenadas polares por cuestión de comodidad, quedando así que <math> u(r,\theta)= r^2 \cdot cos(\theta) \cdot sin(\theta) </math> y la fórmula de Poisson en coordenadas polares es:

<center> <math> u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} cos(s) \cdot sin(s) \frac{1-r^2}{1+r^2-2r \cdot cos(s-\theta)} ds </math> </center>

Esta integral la vamos a resolver de forma numérica usando la fórmula del trapecio y calcularemos el error tomando diferentes discretizaciones para dicha fórmula, por lo que en primer lugar debemos obtener la solución dada por la fórmula de Poisson tomando todas esas discretizaciones.

Por lo tanto, en este estudio podemos fijar un punto concreto de la bola <math> \mathbb{B}_1 (0) </math>. En particular, hemos tomado el punto de estudio (en coordenadas polares) <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math>. Además, hemos estudiado los errores tomando <math> 10^n </math> puntos al evaluar el integrando aplicando la fórmula del trapecio para <math> n=1,\dots,8 </math>. Para calcular los errores correspondientes, hemos elaborado un código en Matlab. Sin embargo, este código incluye estudios que realizaremos posteriormente, por lo que lo explicaremos al final de esta subsección. En concreto, hemos obtenido la siguiente gráfica del error:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2.png|500px|thumb|center| Representación del error para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> en escala logarítmica]]

En primer lugar, es importante mencionar que el método del trapecio es un método de aproximación numérica, y la precisión de la aproximación aumenta a medida que se aumenta el número de subintervalos. En la imagen se puede observar cómo los errores disminuyen drásticamente cuando tomamos una discretización lo suficientemente precisa, como es <math> 10^ {3} </math> puntos. Aun así, hay que destacar lo pequeños que son estos errores, incluso el obtenido para una discretización de <math> 10^1 </math> puntos, cuyo valor es <math> 0.21 </math>. De hecho, el error incluso llega a alcanzar el valor de <math> 6,66 \cdot 10^{-16} </math> cuando se toman <math> 10^6 </math> puntos en la discretización. Por último, es llamativo como a pesar de que aumentamos el número de puntos para la discretización en la fórmula del trapecio, los errores aumentan ligeramente en alguno de los puntos. Esto puede observarse en valores como <math> n=7 </math> u <math> n=8 </math>. Realmente, no tenemos una explicación fundamentada para este fenómeno. La hipótesis que barajamos es que se trata de valores tan pequeños que es posible que la versión de Matlab de la que disponemos no sea lo suficientemente precisa para manejar dichos datos, dando lugar a estas posibles contradicciones.

Además, podemos comparar los errores obtenidos con la estimación del error máximo usando la fórmula del error teórica que se obtiene para la fórmula del trapecio, que es la siguiente:

<center> <math> \frac{(b-a)^3}{12n^{2}} |f’’(c)| </math> </center>

donde en nuestro caso <math> \left[a,b\right]=\left[0,2\pi \right] </math> es el dominio de integración, <math> n</math> el número de subintervalos, <math>c</math> un número cualquiera del intervalo <math> \left[0,2\pi \right] </math> y <math> f </math> es el integrando de la integral que resolvemos por la fórmula del trapecio. Es decir,

<center> <math> f(s)=\dfrac{\left(1-r^2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)}{2{\pi}\cdot\left(-2r\cos\left(s-{\theta}\right)+r^2+1\right)} </math> </center>

Para más información con respecto a la fórmula del error del trapecio, consultar la primera referencia citada al final del trabajo.

Teniendo esto en cuenta, lo primero que debemos calcular es <math> f’’(s) </math>, que es:

<center><math> \dfrac{\left(r^2-1\right)\left(4r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\sin^2\left(s-{\theta}\right)+\left(\left(4r^2\cos^2\left(s\right)-4r^2\sin^2\left(s\right)\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(2r^3+2r\right)\sin^2\left(s\right)+\left(-2r^3-2r\right)\cos^2\left(s\right)\right)\sin\left(s-{\theta}\right)-6r^2\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos^2\left(s-{\theta}\right)+\left(7r^3+7r\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\cos\left(s-{\theta}\right)+\left(-2r^4-4r^2-2\right)\cos\left(s\right)\sin\left(s\right)\right)}{{\pi}\cdot\left(2r\cos\left(s-{\theta}\right)-r^2-1\right)^3} </math> </center>

A continuación, vamos a estimar el error máximo a partir de esta fórmula. Para ello, debemos acotar la misma. Teniendo en cuenta las expresiones del seno y el coseno del ángulo doble, y que <math> sin(\phi) \leq 1 </math> y <math> cos(\phi) \leq 1 </math> para cualquier ángulo <math> \phi </math>, podemos acotar el valor absoluto de la segunda derivada por:

<center><math> |f’’(s)| \leq \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por otro lado, es muy importante mencionar que en la fórmula del trapecio hemos optado por evaluar la segunda derivada en el punto crítico que hace máximo su valor absoluto. Sin embargo, hemos calculado dicho máximo de manera numérica. Esta elección implica correr ciertos riegos, pues el cálculo numérico siempre va acompañado de un cierto error de cálculo. En busca de minimizar este error, hemos optado por hacer una discretización con <math> 10^7 </math> puntos para calcular dicho máximo.

Una vez hemos estimado el error máximo a partir del error teórico de la fórmula del trapecio, hemos representado todos en una gráfica para lograr comparalos.

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2a.png|500px|thumb|center| Representación error para el punto <math> (r, \theta) = \left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math> y de la cota]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2b.png|500px|thumb|center| Diferencias de los errores numéricos y teóricos para el punto <math> (r, \theta) =\left(0.9, \frac{\pi}{4}\right) </math> para distintas discretizaciones <math> n \in [1,2,3,4,5,6,7,8] </math>]]

En la primera gráfica, se ha representado el error numérico, ya estudiado anteriormente, el error teórico y la cota calculada. En primer lugar, recordamos que la fórmula del trapecio es un método de aproximación numérica y, por lo tanto, la precisión de la aproximación ha de aumentar a medida que se aumenta el número de subintervalos. Ya habíamos comentado que esto sí sucedía con el error numérico, pero gracias a esta gráfica también podemos apreciar que esto también ocurre para el error teórico.

Con respecto a la cota, recordamos que la expresión obtenida depende únicamente de la variable <math> r </math> y como en este estudio, <math> r </math> toma un valor fijo, es lógico que dicha cota sea constante con respecto al número de puntos de las discretizaciones. Sin embargo, al dividir entre <math> \frac{(2 \pi)^3}{12 \cdot n^2} </math> presente en la fórmula del error teórica para la fórmula del trapecio se obtiene la gráfica vista previamente.

Otro punto que debemos mencionar es que el error teórico siempre es mayor que el error numérico, pues hemos tomado el máximo de <math> f’’(s) </math>.

Con respecto a la última gráfica, esta representa la diferencia entre ambos errores. En ella, se puede apreciar claramente como dicha diferencia se acerca a cero a medida que aumentamos el número de puntos en la discretización. De hecho, el error numérico apenas disminuye a partir de los <math> 10^3 </math> puntos en la discretización, mientras que el error teórico no deja de disminuir.

Para terminar esta subsección, vamos a explicar el código elaborado para obtener todos los resultados presentados. Dicho código es el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar
erres=0.9;
thetas=pi/4;
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Definimos las distintas discretizaciones para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=[1,2,3,4,5,6,7,8];

% Definimos el coeficiente
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-erres.^2);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)/(pi.*(1-erre).^6);

errores_numericos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
errores_teoricos=zeros(1,length(num_puntos_trapz));
coeficientes=[];

% Calculamos la solución
for discr=1:length(num_puntos_trapz)
eses=linspace(0,2*pi,10^num_puntos_trapz(discr));
G=g(eses);
sol=zeros(size(thetas));
integral=zeros(size(thetas));
for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
end
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos(discr)=abs(solucion-u(erres,thetas));
errores_teoricos(discr)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres,thetas,discretizacion_maximo)));
coeficientes=[coeficientes,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))];
end

diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos);

% Representamos gráficamente los errores numéricos
figure(1)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para el punto con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Error en escala logarítmica')

% Representamos gráficamente los errores numéricos y teóricos
figure(2)
semilogy(num_puntos_trapz,errores_numericos,'o-', 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(num_puntos_trapz,errores_teoricos,'o-','LineWidth',1.5)
semilogy(num_puntos_trapz,coeficientes.*cotaerror(0.9),'g','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintas discretizaciones en escala logarítmica')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota calculada')

figure(3)
semilogy(num_puntos_trapz,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia del error con r=0.9 y theta=pi/4 para distintas discretizaciones')
xlabel('Valores de n para las 10^n discretizaciones')
ylabel('Diferencia de los errores en escala logarítmica')

}}

En primer lugar, definimos los datos necesarios: la solución exacta (expresada en coordenadas polares), el radio de la bola y la condición frontera. A continuación, definimos el número de puntos para la discretización, los puntos a estudiar y un vector para las distintas discretizaciones que usaremos para el método del trapecio. Seguidamente, definimos el coeficiente que acompaña a la integral dado que no depende del parámetro <math> s </math> y, por tanto, no influirá a la hora de derivar la expresión. Por último, definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico.

Cabe destacar que puesto que la variable <math> \theta </math> y la variable <math> s </math> pertenecen al mismo dominio <math> [0, 2\pi] </math>, podríamos haber definido ambas como la misma variable en el código. Sin embargo, el objetivo de este código es estudiar lo que ocurre cuando aumentamos el número de puntos en la discretización de la variable sobre la que integramos, <math> s </math>, llegando a tomar valores muy altos de ese valor. Por ello, tomar <math> s </math> y <math> \theta </math> como la misma variable, aumenta mucho la complejidad y el tiempo de ejecución, es por eso por lo que hemos optado por definirlas en variables distintas, con distinto número de puntos para sus respectivas discretizaciones.

Posteriormente, calculamos la solución de manera análoga a la anterior sección, tomando en este caso como solución la integral obtenida multiplicada por el coeficiente definido anteriormente. Además, vamos guardando registro de los errores cometidos (numérica y teóricamente). Por último, representamos los errores numéricos gráficamente en escala logarítmica y los comparamos gráficamente con los errores teóricos.

==== Errores cometidos con la fórmula de Poisson cerca de la frontera ====

En último lugar nos interesa estudiar los errores cometidos en los puntos cercanos a la frontera de la bola unidad <math> \mathbb{B}_1(0) </math>. Para ello, fijaremos un número concreto de puntos en la fórmula del trapecio. Por ejemplo, para <math> n=2 </math>. Es decir, <math> 10^2=100 </math> puntos.

Dado que la integral de la fórmula de Poisson cuenta con una singularidad en su frontera, estudiaremos dicho error en puntos lo suficientemente cercanos a esta. Tomamos entonces puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>.

Para ello hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo=clear all
close all
format long

% Definimos la solución exacta en coordenadas polares
u=@(r,theta) r.^2.*cos(theta).*sin(theta);

% Añadimos el radio de la bola
radio_bola=1;

% Añadimos la condición frontera
g=@(theta) u(radio_bola,theta);

% Definimos el número de puntos para la discretización
num_puntos_theta=600;
num_puntos_r=100;

% Definimos los puntos a estudiar y la matriz de mallado
erres=[1-10^-1,1-10^-2,1-10^-3,1-10^-4,1-10^-5,1-10^-6,1-10^-7];
thetas=pi/4;
[Thetas,Erres]=meshgrid(thetas,erres);
discretizacion_maximo=linspace(0,2*pi,10^7);

% Fijamos el valor de la discretización para la fórmula del trapecio
num_puntos_trapz=10^2;
eses=linspace(0,2*pi,num_puntos_trapz);

% Definimos la segunda derivada para la fórmula del error teórico
f2=@(erre,theta,ese) ((erre.^2-1).*(4.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*sin(ese-theta).^2+((4.*erre.^2.*cos(ese).^2-4.*erre.^2.*sin(ese).^2).*cos(ese-theta)+(2.*erre.^3+2.*erre).*sin(ese).^2+(-2.*erre.^3-2.*erre).*cos(ese).^2).*sin(ese-theta)-6.*erre.^2.*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta).^2+(7.*erre.^3+7.*erre).*cos(ese).*sin(ese).*cos(ese-theta)+(-2.*erre.^4-4.*erre.^2-2).*cos(ese).*sin(ese)))./(pi.*(2.*erre.*cos(ese-theta)-erre.^2-1).^3);
cotaerror=@(erre) (1-erre.^2).*(erre.^4+11/2.*erre.^3+7.*erre.^2+11/2.*erre+1)./(pi.*(1-erre).^6);

% Calculamos la solución
G=g(eses);
sol=zeros(size(Thetas));
integral=zeros(size(Thetas));
errores_teoricos=zeros(size(Thetas));

for j=1:length(erres)
for i=1:length(thetas)
aux=G./(radio_bola^2+erres(j)^2-2*erres(j)*radio_bola*cos(eses-thetas(i)));
integral(j,i)=trapz(eses,aux);
end
errores_teoricos(j)=(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2)))*max(abs(f2(erres(j),thetas,discretizacion_maximo)));
end
coef=1/(2*pi)*(radio_bola^2-Erres.^2);
solucion=coef.*integral;

% Calculamos los errores
errores_numericos=abs(solucion-u(Erres,Thetas));
diferencia_errores=abs(errores_numericos-errores_teoricos)

% Dibujamos los errores en función de los valores de r
figure(1)
semilogy(erres,errores_numericos,'o-','LineWidth',1.5);
title('Error para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Error en escala logarítmica')

figure(2)
semilogy(erres,errores_numericos, 'LineWidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,errores_teoricos,'LineWidth',1.5)
semilogy(erres,(((2*pi)^3/(12*(length(eses)-1)^2))).*cotaerror(erres),'g--','LineWidth',1.5)
title('Errores para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Errores en escala logarítmica')
legend('Error númerico','Error teórico','Cota del error')

figure(3)
semilogy(erres,diferencia_errores,'o-','LineWidth',1.5);
title('Diferencia de los errores con theta=pi/4 para distintos valores de r')
xlabel('Valores de r')
ylabel('Diferencia de los errores error en escala logarítmica')

}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2c.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2d.png|500px|thumb|center| Representación en escala logarítmica del error teórico y númerico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2e.png|500px|thumb|center| Representación de la diferencia entre el error numérico y teórico para puntos de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math>, con 100 puntos en la fórmula del trapecio y <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>.]]

Primero de todo, establecemos los datos necesarios: la solución exacta en coordenadas polares, el radio de la bola y la condición frontera. Seguidamente definimos el número de puntos para la discretización y definimos los puntos cercanos a la frontera de la forma <math> (r, \theta) = (1-10^ {-n}, \pi / 4) </math> con <math> n=1,2,3,4,5,6,7 </math>. Posteriormente definimos la discretización elegida para el método del trapecio y calculamos la solución de manera análoga a la realizada en la sección <math> 3.1 </math>. Restando esta solución a la exacta obtenemos los errores numéricos.

Con respecto al error teórico seguimos el mismo proceso realizado anteriormente. Definimos la segunda derivada y la vamos calculando en cada una de nuestras discretizaciones. Tomamos el valor máximo, y almacenamos estos resultados en una lista. Además, tomamos la misma cota de error teórica del apartado anterior:
<center><math> \frac{(1-r^2)\cdot (r^4+\frac{11}{2}r^3+7r^2+\frac{11}{2}r+1)}{\pi (1-r)^6} </math> </center>

Por último, se representa gráficamente el error teórico, el error numérico, la diferencia de ambas y la cota teórica.

En las gráficas de los errores, estos van aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Cuando la función es suave y continua, los métodos de integración numérica son bastante precisos. Sin embargo, cerca de la frontera, la singularidad de la función dificulta la aproximación precisa de la integral.

Además, a pesar de que ambos errores aumentan, el error teórico alcanza valores más significativos. Tanto que hemos optado por representar el error numérico en una sola gráfica para apreciarla mejor. Los valores tan altos del error teórico se deben a que estamos tomando el máximo de la segunda derivada del integrando. Estos valores tienden a infinito cada vez que nos vamos acercando más a la frontera. Asimismo, sucede con la cota del error; al establecer una cota superior para nuestro error teórico, esta diverge a una velocidad mayor.

Con respecto a la gráfica de la diferencia, esta va aumentando a medida que nos acercamos a la frontera. Como se ha explicado, el error teórico toma valores cada vez más cercanos a infinito, demostrando así la dificultad que presenta la fórmula de Poisson cerca de la frontera, el principal inconveniente que describimos al principio de esta sección.

=== Solución de la ecuación de Laplace usando series de Fourier ===

En esta sección, vamos a calcular la solución de la ecuación de Laplace por series de Fourier. Consideramos nuevamente el problema

<center> <math> \begin{cases}
\Delta u = 0 \quad \text{en } \mathbb{B}_1(0)\\
u = g(x,y)=xy \quad \text{en } \partial \mathbb{B}_1(0)\\
\end{cases}</math> </center>

La resolución de este apartado está basada en la prueba vista en clase para demostrar que la solución de este problema viene dada por la fórmula de Poisson. Nuevamente, esta puede encontrarse como el ''Teorema <math> 3.13 </math>'' de la página <math> 127 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

En primer lugar, es importante destacar que vamos a trabajar en coordenadas polares, por lo que reescribimos el problema usando que <math> u(x,y)=U(r,\theta) </math> y <math> g(x,y)=G(\theta) </math>:

<center> <math> \begin{cases}
U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\theta \theta}= 0 \quad \text{para } r \in [0,1), \theta \in [0, 2\pi]\\
U(1,\theta) = G(\theta) = cos(\theta) sin (\theta) \quad \text{para } \theta \in [0, 2\pi] \\
\end{cases}</math> </center>

La primera expresión equivale al laplaciano expresado en coordenadas polares. Esta expresión y otras fórmulas así expresadas pueden consultarse en el ''Apéndice B.1'' en la página <math> 665 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa''.

Regresando al problema, puesto que <math> u </math> debe de ser continua en <math> \overline{\mathbb{B}_1(0)} </math>, entonces <math> U </math> y <math> G </math> tienen que ser continuas en <math> [0,1] \times [0, 2 \pi] </math> y <math> [0,2 \pi] </math> respectivamente. Por lo tanto, se concluye que <math> G(\theta) </math> y <math> U(r,\theta) </math> tienen que ser <math> 2\pi </math>-periódicas y <math> U(0, \theta) </math> no puede depender del parámetro <math> \theta </math>.

A continuación, aplicamos separación de variables de manera que <math> U(r,\theta)=R(r) \cdot T(\theta) </math> y obtenemos un sistema para cada una de las funciones <math> T(\theta) </math> y <math> R(r) </math>. Por un lado,

<center> <math> \begin{cases}
T'' + \lambda T\\
T~~\mathrm{es}~~2\pi-\mathrm{periódica} \\
\end{cases}</math> </center>

Estudiando los casos en función del signo de <math> \lambda </math>, obtenemos como solución para este sistema la familia de funciones <math> \left\{sin(k \theta),cos(k\theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>, habiendo tomado <math> \sqrt \lambda=k \in \mathbb{N}</math>.

Con respecto al caso de <math> R(r) </math>, tenemos la ecuación

<center><math> R''r^{2}+rR'-\lambda_{k}R=0</math> </center>

Teniendo en cuenta que en el origen nuestra función solución tiene que ser continua, obtenemos el conjunto de funciones <math> \left\{ \frac{1}{2}, r^{k}cos(k \theta),r^{k}sin(k \theta) \right\}_{k \in \mathbb{N}} </math>. Notar que, dicha familia forma una base de las funciones <math> L^2([-\pi,\pi]) </math>. Seguidamente, aplicamos el principio de superposición obteniendo la siguiente expresión:

<center> <math> U(r,\theta)= \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty\left[a_k\cos(k \theta)r^{k}+ b_k\sin(k\theta)r^{k}\right]</math> con <math> a_0,a_k,b_k \in \mathbb{R}</math></center>

Finalmente, ajustamos la condición frontera, que recordamos que era <math>U(1,\theta)=\sin(\theta)\cos(\theta)</math>. A continuación, teniendo en cuenta que <math> U(1,\theta)=sin(\theta)cos(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>, los coeficientes de Fourier que debemos imponer para que se verifique la condición frontera son <math> a_0=0, ~~ a_k=0 ~~ \forall k \in \mathbb{N}</math> y <math> b_k=0 ~~ \forall k \neq 2 ~~\mathrm{con}~~ k \in \mathbb{N} </math> y <math> b_2 = \frac{1}{2} </math>.
Por lo tanto, la solución al sistema original es:

<center> <math> U(r,\theta)=\frac{1}{2}\sin(2\theta)</math></center>

Por último, hay que destacar que la serie de Fourier tiene solo un número finito de términos, y por tanto no tiene mucho sentido comparar, en este caso, los errores cometidos término a término con la solución exacta.

=== Desigualdad de Harnack ===
En esta última subsección vamos a analizar la desigualdad de Harnack para nuestro problema. Como hemos mencionado en los conceptos previos, para que se verifique dicha desigualdad se tiene que cumplir que <math> u </math> sea una función armónica con <math>u \geq 0 </math> en <math> \Omega \subset R^n</math>. La desigualdad se verifica en puntos dentro de una bola <math>\overline{\mathbb{B}_{r}(z)}\subset \Omega </math>.

En nuestro caso, la dimensión es <math>n=2</math>. Consideramos ahora la bola <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>. En ella se verifica que la función armónica <math>v :=u-M \geq 0 </math>, siendo <math>u</math> la solución a nuestro problema y <math>M</math> el mínimo de <math>u(x,y)=x \cdot y </math>. Sin embargo, como <math>u</math> es armónica y por tanto, verifica el Principio del máximo, para buscar el mínimo de <math>u(x,y) </math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math>, basta limitarnos a buscar el mínimo en su frontera, es decir, el mínimo de <math> g(x,y) </math> en <math> \partial \mathbb{B}_{1}(0)</math>.

Para ello, expresaremos la condición frontera <math> g(x,y) = x \cdot y </math> en polares resultando así que <math>g(\theta)=cos(\theta)sin(\theta)=\frac{sin(2\theta)}{2}</math>.

Calculamos ahora los puntos críticos de dicha función y evaluamos en su segunda derivada para comprobar cuáles de dichos puntos críticos son mínimos, obteniendo finalmente que el mínimo se encuentra en <math>g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2} </math>.

Por lo tanto, podemos definir nuestra función <math> v </math> como <math> v:=u+\frac{1}{2}\geq 0</math>. Aplicando ahora la desigualdad de Harnack a <math> v </math> en la bola <math> B_{1}(0)</math> obtenemos:

<center><math>v(0) \cdot \left (\frac{1-|x|}{1+|x|} \right ) \leq v(x)\leq v(0) \cdot \left (\frac{1+|x|}{1-|x|} \right ) </math> para todo <math>x \in \mathbb{B}_{1}(0) </math> </center>

Sustituyendo <math>v(0)=u(0)+\frac{1}{2}</math> y generalizando la desigualdad para cualquier función armónica <math>w(x) </math> con <math>w(0)=u(0)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> logramos la desigualdad:

<center><math>\left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{1-|x|}\right)-\frac{1}{2} </math></center>

Una vez obtenidas estas desigualdades, podemos representar en Matlab la región en las que están todas las soluciones armónicas <math>w(x)</math> en <math> \mathbb{B}_{1}(0)</math> que valen lo mismo que <math> u </math> en el punto <math> (0,0) </math>. Cabe destacar que durante toda esta sección vamos a emplear continuamente dos códigos distintos y ambos se explican brevemente al final de esta.

Tomando las dos funciones de los extremos de la desigualdad obtenemos:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

En la primera gráfica, la región no se puede apreciar bien pues cuando r es próximo a 1, la función que constituye la frontera superior de la región tiende a infinito. Por ese mismo motivo hemos representado una segunda gráfica tomando valores de <math>r \in [0,0.9]</math>. Como se puede apreciar en esta segunda gráfica, la región sigue el mismo comportamiento al analizado en clase.

Se puede apreciar como, tomando <math>r=0</math>, ambas fronteras coinciden en <math>u(0)=0</math>. Esto tiene sentido lógico con la teoría, pues estamos estudiando la región en la que se encuentran todas las funciones armónicas que pasan por <math>u(0)=0</math>. Sin embargo, en la segunda gráfica se puede apreciar como la función que ejerce de frontera inferior de la región toma valores negativos. Esto se debe a que si recordamos la expresión de dicha función:

<center> <math> \left (u(0)+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{1+|x|} \right) -\frac{1}{2} </math> </center>

Esta comienza valiendo <math> u(0)=0 </math> cuando <math> |x|=0 </math> y a medida que el módulo de <math> |x| </math> aumenta, la función disminuye, es de hecho estrictamente decreciente, tomando así siempre valores negativos. Finalmente, cuando <math> |x| =1</math>, alcanza el mínimo <math> M=-\frac{1}{2} </math>.

Para apreciar la región mejor empleamos escala logarítmica, pero para ello, tendremos que desplazar las funciones frontera para que tomen valores positivos. Tal y como hemos explicado en el párrafo anterior, el mínimo de la región se alcanza en <math>M=-\frac{1}{2}</math>, por lo que bastará con desplazar la región dicho valor para así no obtener valores negativos y que el logaritmo quede bien definido. Obtenemos la siguiente gráfica:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Ahora, vamos a comparar las gráficas para distintos dominios: <math> \mathbb{B}_{2}(0)</math>, <math> \mathbb{B}_{10}(0)</math>. En este caso, nuestra solución queda como <math>u(r,\theta)=r^{2}cos(\theta)sin(\theta)</math>.

Para <math> \mathbb{B}_{2}(0) </math> con <math> r=2</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-2 </math>. De manera análoga al caso anterior, obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 2) \cdot \left (\frac{2-r}{2+r} \right) -2 \leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot \left (\frac{2+r}{2-r} \right )-2</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes representaciones gráficas:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Para la bola <math> \mathbb{B}_{10}(0) </math> con <math> r=10</math>, el mínimo de la función es <math>u\left(\frac{3\pi}{4}\right)=u\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-50 </math>. Por lo tanto, en este caso obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+ 50) \cdot \left(\frac{10-r}{10+r}\right) -50 \leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot \left (\frac{50+r}{50-r} \right)-50</math></center>

Obtenemos con ello las siguientes gráficas como resultado:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=2 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Prestando atención a las soluciones obtenidas se puede observar como la curva descrita por la frontera límite superior es más pronunciada a medida que aumentamos los radios. Además, hay que destacar que a simple vista puede parecer que restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math> las regiones definidas para las bolas de radio mayor estén incluidas en las de radio menor. Sin embargo, esto no es así. Para ello, hemos representado la comparación de dichas regiones en una misma gráfica restringiéndonos al dominio <math> x \in [0,1] </math>. En ella se observan perfectamente estas diferencias

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 n2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=2 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Por último, vamos a comparar con las cotas que se obtendrían en dimensión <math> n=3 </math>. La región de la solución <math> w(x) </math> en <math> \mathbb{B}_{R}(0)</math> es la siguiente:

<center><math>(u(0)-M) \cdot R \cdot \left(\frac{R-|x|}{(R+|x|)^{2}} \right) +M \leq w(x) \leq (u(0)-M)\cdot R \cdot \left(\frac{R+|x|}{(R-|x|)^{2}} \right)+M</math></center>

En este caso <math> M </math> es el mínimo de nuestra función frontera <math>g(x,y)=x \cdot y</math> evaluada sobre los puntos <math> (x_{0},y_{0},z_{0}) </math> de la esfera <math> S_{1}(0) </math>.

Como la función no depende de la variable <math> z </math>, calcular el mínimo es equivalente a calcularlo sobre el plano <math> (x_{0}, y_{0},0) </math>. Este plano representa la proyección de la esfera en el espacio tridimensional con respecto al plano <math> z=0 </math>, el cual equivale al disco unidad de dimensión <math> n=2 </math>. Por consiguiente, el mínimo en la esfera es idéntico al calculado en el disco previamente. Por tanto, tenemos:

Para el caso <math> R=1 </math>

<center><math> \left(u(0)+\frac{1}{2} \right) \cdot \left(\frac{1-|x|}{(1+|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2} \leq w(x) \leq \left(u(0)+ \frac{1}{2} \right)\cdot \left(\frac{1+|x|}{(1-|x|)^{2}} \right) -\frac{1}{2}</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,1]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Tomando <math> R=2 </math> obtenemos la siguiente desigualdad

<center><math>(u(0)+2) \cdot 2 \cdot \left(\frac{2-|x|}{(2+|x|)^{2}} \right) -2
\leq w(x) \leq (u(0)+ 2)\cdot 2 \cdot \left(\frac{2+|x|}{(2-|x|)^{2}} \right) -2</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,2]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]]</center>

Para el caso <math> R=10 </math> obtenemos la siguiente desigualdad:

<center><math>(u(0)+50) \cdot 10 \cdot \left(\frac{10-|x|}{(10+|x|)^{2}} \right) -50
\leq w(x) \leq (u(0)+ 50)\cdot 10 \cdot \left(\frac{10+|x|}{(10-|x|)^{2}} \right) -50</math></center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f1.png|700px|thumb|center|Representación de la región solución <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f2.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución desplazada <math>w(x) </math> para <math>x \in [0,10]</math> y <math> n=3 </math> en escala logarítmica .]] </center>

Comparando los resultados obtenidos para dimensión <math> n=3 </math> obtenemos las mismas conclusiones que para <math> n=2 </math> dado que el comportamiento es análogo. La principal diferencia con respecto a la dimensión anterior se produce en los valores que se alcanzan en el eje <math> y </math> de definición. De nuevo, si nos restringimos al dominio <math> x \in [0,1] </math> podemos observar como las regiones definidas para las bolas de radio mayor no están incluidas en las de radio menor. La comparación de dichas regiones es la siguiente:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4_n3.png|400px|thumb|center|Representación de la región solución en <math> n=3 </math> para radios <math> R=1,2 </math> y <math> R=10 </math>.]]</center>

Analizando ahora las regiones obtenidas para distintas dimensiones, pero mismo radio, en este caso, si se puede observar como las regiones de definición de las funciones armónicas en dimensión <math> n=2 </math> están incluidas en las de dimensión <math> n=3 </math>. Realicemos una comparativa de dichas regiones en escala logarítmica para los tres radios considerados:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R1.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=1 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R2.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=2 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R10.png|400px|thumb|center| Representación de la región solución en <math> R=10 </math> en escala logarítmica para dimensiones <math> n=2 </math> y <math> n=3 </math>.]]</center>

Hay que destacar que estas comparaciones pueden realizarse en escala logarítmica dado que se alcanzan los mismos mínimos en las regiones, y por tanto son desplazadas por la misma constante <math> M </math> para conseguir así una correcta definición a la hora de aplicar logaritmos.

A continuación, se incluyen los códigos empleados durante esta sección. Por una parte, el primer código es el empleado para representar las regiones con los distintos radios y dimensiones y, el segundo código para las comparaciones entre estas. Estos son los siguientes:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

% Representamos gráficamente la región sin escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+(2*i-1))
sgtitle('Representación de la región')
subplot(1,2,1)
w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
xlabel('r')
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(erres(end))+"]")
subplot(1,2,2)
plot(erres,w1_r,'b','linewidth',2)
xlabel('r')
hold on
plot(erres,w2_r,'r','LineWidth',2)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8]) % Rellenamos el área entre las dos funciones
title("r=[0,"+num2str(R-0.1)+"]")
xlim([0,R-0.1])

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure((n-2)*2*length(Rs)+2*i)
w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;
semilogy(erres,w1_rM,'r','linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,'b','LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],[0.8 0.7 0.8])
sgtitle('Representación de la región desplazada en escala logarítmica')
end
end

}}

Con respecto a este primer código empleado, lo primero que hacemos es definir los datos necesarios: la solución en la frontera de la bola (<math> g(x,y) </math>) un vector de radios (<math> R=1,2,10 </math> en nuestro caso) y otro de dimensiones (<math> n=2,3 </math>). Además, denotamos como <math>u_0</math> al punto <math>u(0,0)</math>.

Posteriormente empleamos coordenadas polares en la solución en la frontera y calculamos los valores de <math> M </math> para cada uno de los radios. A continuación, definimos la desigualdad de Harnack en función de los radios y dimensiones y representamos las regiones obtenidas, incluyendo también para cada una de ellas la región en escala logarítmica.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función u(x,y), solución exacta
u=@(x,y) x*y;
u_0=u(0,0);

% Definimos los radios de las bolas en las que vamos a analizar la desigualdad de Harnack
Rs=[1,2,10];

% Definimos los valores de n para analizar la desigualdad para distintas dimensiones
enes=[2,3];

% Definimos los colores
colores=['b','r','g'];

for j=1:length(enes)
n=enes(j);

for i=1:length(Rs)
R=Rs(i);

% Definimos la función g(x,y)=x*y en coordenadas polares, G(theta)
G=@(theta) R^2*cos(theta)*sin(theta);

% Calculamos el mínimo de dicha función en la bola de radio R
minimo=fminbnd(G,0,2*pi);
M=G(minimo);

% Definimos la discretización de r=[0,R)
erres=linspace(0,R,1000);
erres=erres(1:end-1);

% Definimos las dos funciones cotas
w1=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R-r)./((R+r).^(n-1))+M;
w2=@(r) (u_0-M)*R^(n-2)*(R+r)./((R-r).^(n-1))+M;

w1_r=w1(erres); % Evaluamos las funciones w1 y w2 en los valores de r obtenidos a partir de la discretización
w2_r=w2(erres);

w1_rM=w1_r-M; % Desplazamos las funciones w1 y w2 para que ambas sean positivo y aplicamos escala logarítmica
w2_rM=w2_r-M;

% Representamos la región desplazada con escala logarítmica
figure(i)
semilogy(erres,w1_rM,colores(j),'linewidth',1.5)
hold on
semilogy(erres,w2_rM,colores(j),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_rM,w2_rM(length(erres):-1:1)],colores(j))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para R= "+num2str(R)+" en dimensiones n=2 y n=3")
legend('','','n=2','','','n=3')
alpha(0.5)

% Representamos la región
figure(n+2)
plot(erres,w1_r,colores(i),'linewidth',1.5)
hold on
plot(erres,w2_r,colores(i),'LineWidth',1.5)
fill([erres,erres(length(erres):-1:1)],[w1_r,w2_r(length(erres):-1:1)],colores(i))
xlabel('r')
sgtitle("Representación de la región para n="+num2str(n)+" para los radios R=1,2,10")
alpha(0.5)
xlim([0,0.9])
legend('','','R=1','','','R=2','','','R=10')

end
end }}

Este último código tiene un funcionamiento similar al citado anteriormente. En primer lugar, definimos los datos necesarios para el problema: la solución exacta, los radios de las bolas y las dimensiones deseadas. Posteriormente, aplicamos coordenadas polares a la solución exacta, calculamos el mínimo de dicha función (definido previamente como <math> M </math>) y definimos los parámetros necesarios para la discretización requerida. A continuación, definimos las funciones cota de nuestra desigualdad de Harnack, las evaluamos en nuestra discretización y las trasladamos dicho coeficiente <math> M </math> calculado para así poder realizar posteriormente una escala logarítmica. Por último, representamos las regiones comparativas.

== Ecuación de Poisson en <math> \mathbb{R}^2 </math>==

En esta sección nos centraremos en el estudio de la solución de la ecuación de Poisson. Para ello, planteamos el siguiente problema:

<center><math> \{\Delta u = -f ~~~: x \in \mathbb{R}^2 </math></center>

Donde <math> f </math> es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>. Observamos como la función <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> que hemos definido tiene soporte compacto.

Conocemos que si <math> f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^3) </math> es una función con soporte compacto, entonces la única solución del problema:

<center><math>\begin{cases}
\Delta u = -f \quad \text{en } \mathbb{R}^3\\
u(x) \rightarrow 0 \quad \text{si } |x| \rightarrow \infty \\
\end{cases}</math> </center>

Viene dada por el potencial Newtoniano:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^3} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^3} \frac{1}{4 \pi} \cdot \frac{f(y)}{|x-y|} \cdot dy </math></center>

La demostración de esta prueba puede encontrarse como el Teorema <math> 3.33 </math> en la sección <math> 3.6.2 </math> de la página <math> 149 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa.''

Sin embargo, en dimensión <math> n=2 </math> existe una versión de dicho teorema sustituyendo el potencial newtoniano por el potencial logarítmico. De esta manera:

<center><math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \phi (x-y) \cdot f(y)=\int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy </math></center>

Donde en ambos casos, la aplicación <math> \phi(x) </math> se define como la solución fundamental del laplaciano en dimensiones <math> 3 </math> y <math> 2 </math> respectivamente. En dimensión <math> n=3 </math>: <math> \phi(x)=\frac{1}{4 \pi |x|} </math>, y en dimensión <math> n=2 </math> : <math> \phi(x)=\frac{-1}{2 \pi} \cdot log |x|</math>.

Estas soluciones verifican que son singulares en <math> x=0 </math> y <math> \Delta \phi = 0 </math> fuera de <math> x=0 </math>.

Como la función f es la función característica de la bola de radio <math> 1 </math> podemos escribir <math> u(x)= \int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot f(y) \cdot dy =\int_{\mathbb{B}_{1}(0)} \frac{-1}{2 \pi} \cdot log|x-y| \cdot dy </math>.

Ahora, vamos a calcular en Matlab como sería la representación de la función <math> u(x) </math> para distintos dominios:

<center>[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.png|700px|thumb|center|Representación de la solución <math> u(x) </math> para las regiones <math> (x_1,x_2) \in [-10000000000,10000000000] \times [-10000000000,10000000000] </math> y <math> (x_1,x_2) \in [-10,10] \times [-10,10] </math> .]]</center>

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar el comportamiento en el infinito
x2s=linspace(-10^10,10^10,num_puntos);
y1s=linspace(-10,10,num_puntos); % Esta discretización la hacemos para estudiar con más precisión el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
y2s=linspace(-10,10,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos las soluciones para ambas discretizaciones
matrizx=zeros(num_puntos,num_puntos);
matrizy=zeros(num_puntos,num_puntos);

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
y1=y1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
y2=y2s(z);
integralx_r=[];
integraly_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
intx_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
inty_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((y1-erres.*cos(theta)).^2+(y2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integralx_r=[integralx_r,intx_r];
integraly_r=[integraly_r,inty_r];
end
matrizx(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integralx_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
matrizy(w,z)=-1/(2*pi)*trapz(thetas,integraly_r); % Añadimos la solución a la matriz haciendo la integral respecto de theta
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1) % Representación para estudiar el comportamiento en el infinito
surf(x1s,x2s,matrizx,'EdgeColor','none')
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title('x_1')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
subplot(1,2,2)
surf(y1s,y2s,matrizy,'EdgeColor','none') % Representación para estudiar el comportamiento en un dominio más cercano al (x1,x2)=(0,0)
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("(x_1, x_2) \in ["+num2str(y1s(1))+","+num2str(y1s(end))+"] \times ["+num2str(y2s(1))+","+num2str(y2s(end))+"]")
sgtitle('Representación de la solución en distintos dominios')

}}

En el código, se discretizan las variables <math>x_{1}, x_{2},y_{1}, y_{2}</math> para tomar dos conjuntos de puntos, uno espaciado para estudiar el comportamiento en <math> \mathbb{R}^2 </math> y otro más denso para estudiarlo cerca del origen. Se hace el cambio a polares de la función a integrar y se calcula la solución numérica de esta utilizando el método del trapecio, iterando sobre los puntos discretizados y almacenando los resultados en matrices. Finalmente, se visualizan las soluciones en dos subgráficas utilizando la función “surf”.

En la primera imagen, la función resulta adecuada para estudiar el comportamiento de la solución en valores de <math> x </math> muy alejados del origen. Esto se podría interpretar como su comportamiento en el “infinito”. Sin embargo, esta gráfica es inadecuada para estudiar el comportamiento con respecto al origen ya que no se representa bien el comportamiento alrededor de este. La inmensa anchura de la región hace que las discretizaciones en las que se toman los valores estén muy espaciadas. Además, la alta pendiente presente en la vecindad del origen requiere una mayor densidad de puntos para capturar su comportamiento. En la segunda imagen se toma una región más limitada cerca del origen, la cual si que facilita un estudio más preciso de su comportamiento.

Por otro lado, hay que destacar que el potencial logarítmico no ‘desaparece’ en el infinito, Su comportamiento asintótico, como indica la observación <math>3.35</math> del Teorema <math > 3.33 </math> del libro ''Partial Differential Equations in Action. Springer. Sandro Salsa'' ,viene dado por:

<center><math> u(x) = \frac{-M}{2 \pi} log|x| + O \left (\frac{1}{|x|} \right ) ~~: |x| \rightarrow \infty </math></center>

Donde definimos <math> M </math> como:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy </math></center>

que aplicado a nuestro problema inicialmente planteado con <math> f </math> la función característica de la bola de radio <math> 1 </math>, tendríamos que:

<center> <math> M:= \int_{\mathbb{R}^2} f(y) dy = \int_{\mathbb{B}_1} 1 \cdot dy = \pi </math></center>

Buscamos ahora comparar el comportamiento asintótico teórico con el obtenido numéricamente. En primer lugar, vamos a hacer una representación gráfica de ambas en el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> y para ello, hemos elaborado el siguiente código en Matlab:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a1.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-100,100] \times [-100,100] </math> ]]

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=400;
x1s=linspace(-1,1,num_puntos);
x2s=linspace(-1,1,num_puntos);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,1000);
thetas=linspace(0,2*pi,1000);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta; % Añadimos la solución a la matriz
end
end

% Representación gráfica
figure(1)
subplot(1,2,1)
surf(x1s,x2s,matriz,'EdgeColor','none') % Representación de la solución
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la solución")
[X1_meshgrid,X2_meshgrid]=meshgrid(x1s,x2s);
subplot(1,2,2)
surf(x1s,x2s,limite(X1_meshgrid,X2_meshgrid),'EdgeColor','none') % Representación de la función que describe el comportamiento asintótico
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
title("Representación de la función que describe el comportamiento asintótico")
sgtitle("Comparación de la solucion con la función que describe el comportamiento asintótico para (x_1, x_2) \in ["+num2str(x1s(1))+","+num2str(x1s(end))+"] \times ["+num2str(x2s(1))+","+num2str(x2s(end))+"]")
}}
Primero de todo, en el código se define la función asintótica. A continuación, se discretizan las variables <math>(x_{1},x_{2})</math> para su representación y se establece otra discretización para las variables <math>r</math> y <math>\theta</math>. Seguidamente, mediante un bucle, se calculan las integrales respecto de <math>r</math> y respecto de <math>\theta</math> utilizando el método del trapecio. Estos resultados se almacenan en una matriz y, por último, se representan gráficamente la solución numérica y el comportamiento asintótico descrito teóricamente.

En las gráficas obtenidas no se pueden apreciar bien las diferencias entre ambas funciones. Para poder apreciar la magnitud de esta diferencia, hemos ejecutado el código anterior pero con un dominio más cercano al punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math>. En particular, para el dominio <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> las gráficas obtenidas son las siguientes:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a2.png|700px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico en <math> (x_1,x_2) \in [-1,1] \times [-1,1] </math> ]]

De esta manera, al restringir el dominio de representación, si se aprecian con claridad las diferencias entre ambas. En concreto, se observa una singularidad en el punto <math> (x_1,x_2)=(0,0) </math> para la función del comportamiento asintótico <math> u(x) = -\frac{1}{2} \cdot log|x| </math>, mientras que la solución calculada de manera numérica no presenta dicha singularidad. Esto último contradice lo citado anteriormente ya que mencionamos que ambas funciones eran singulares en <math> x=0 </math>. Sin embargo, esta contradicción es consecuencia de realizar los cálculos de manera numérica.

Para poder estudiar el comportamiento asintótico de la solución calculada por el método del trapecio, hemos tenido en cuenta que ésta es simétrica con respecto al eje <math> x_1</math> y, por lo tanto, basta con estudiar lo que sucede para el semieje positivo. Para ello, hemos elaborado otro código en Matlab:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la función que describe su comportamiento asintótico
limite=@(x1,x2) -1/2*log(sqrt(x1.^2+x2.^2));

% Definimos la discretización de x1 y x2
num_puntos=200;
x1s=[0.001];
for h=1:num_puntos-1
x1s=[x1s,x1s(end)*1.1]; % Hacemos una discretización no equidistribuida para x1s
end
%x1s=linspace(0.0001,10^10,num_puntos)
x2s=linspace(-10,10,num_puntos-1);
x2s=[x2s,0]; % Añadimos el valor x2=0, pues es donde más diferencia se va a producir entre ambas funciones
x2s=sort(x2s);

% Definimos la discretización para r y theta
erres=linspace(0,1,300);
thetas=linspace(0,2*pi,300);

% Inicializamos las matrices en las que almacenaremos la solución
matriz=zeros(length(x1s),length(x2s));

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej5','MPEG-4'); % creo el video
pelicula.FrameRate=10; % controla velocidad
open(pelicula); % abrimos el vídeo

error=[];
for w=1:num_puntos
x1=x1s(w);
figura=figure(1);
for z=1:num_puntos
x2=x2s(z);
integral_r=[];
for i=1:length(thetas)
theta=thetas(i);
int_r=trapz(erres,erres.*log(sqrt((x1-erres.*cos(theta)).^2+(x2-erres.*sin(theta)).^2))); % Calculamos la integral respecto de r
integral_r=[integral_r,int_r];
end
integral_theta=trapz(thetas,integral_r); % Calculamos la integral respecto de theta
matriz(w,z)=-1/(2*pi)*integral_theta;
end
error=[error,max(abs(matriz(w,:)-limite(x1,x2s)))]; % Calculamos el máximo del error
plot(x2s,limite(x1,x2s),'r','LineWidth',1.5)
hold on
plot(x2s,matriz(w,:),'b--','LineWidth',1.5)
hold off
ylim([-25,5])
xlabel('Valores de x_2')
title("Representación de ambas funciones para x_1="+num2str(x1))
legend('Función que describe el comportamiento asintótico','Solución usando método del trapecio','Location','southeast')

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); % inserto la imagen
end

% Representación gráfica del error con respecto a los valores de x1
figure(2)
sgtitle('Representación del error máximo para distintos valores de x_1')
semilogx(x1s,error,'bo-','LineWidth',1.5)
xlim([10^(-3),10^5])
xlabel('Valores de x_1 en escala logarítmica')
ylabel('error')

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

Este código representa la solución calculada usando el método del trapecio y la función <math> u(x) = \frac{-1}{2} log|x| </math> para <math> x_2 \in [-10,10] </math> y valores fijos de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math>.

Con respecto al código, en primer lugar definimos la función <math> u(x) </math>, a la que hemos denominado '' limite ''. A continuación, hemos discretizado las variables <math> x_1 </math> y <math> x_2 </math>, así como las variables <math> r </math> y <math> \theta </math>, recordando que para resolver las integrales correspondientes para calcular la solución hemos hecho uso de coordenadas polares. Cabe destacar que puesto que para valores de <math>x_{1}</math> cercanos a <math> 0 </math> la solución sufre cambios mucho más notorios, hemos llevado a cabo una discretización de esta variable para que tenga muchos puntos cercanos a dicho valor y a medida que aumenta el mismo, estén más espaciados. Además, hemos optado por el método del trapecio para calcular numéricamente dichas integrales, la primera con respecto a la variable <math> r </math> y la segunda con respecto a la variable <math> \theta </math>. Finalmente, hemos graficado ambas funciones para cada uno de los valores de <math> x_1 </math> y hemos añadido cada una de esas imagenes a un vídeo, que es el siguiente:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.gif|550px|thumb|center| Comparación de la solución obtenida usando el método del trapecio y la función que describe el comportamiento asintótico para <math> x_2 \in [-10,10] </math> para cada valor de <math> x_1 </math> entre <math> 0.001 </math> y <math> 1.72 \cdot 10^5 </math> ]].

Al comienzo de este vídeo, cuando el valor de <math> x_1 </math> es próximo a <math> 0 </math> , se puede apreciar como ambas funciones sí presentan diferencias en un entorno del punto <math> x_2=0 </math> (para cada valor fijado de <math> x_1 </math>). En concreto, la solución obtenida al integrar de manera numérica no presenta la singularidad que sí presenta la función <math> u(x) </math>. Sin embargo, el objetivo de este vídeo es comprobar que la función <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución y, efectivamente, a medida que crece <math>x_1 </math>, la diferencia entre estas funciones disminuye. En particular, a partir del valor <math> x_1=0.86 </math>, ambas funciones se solapan y decrecen hacia <math> - \infty </math> a la misma velocidad.

Para comprobar este hecho recién explicado, el código también devuelve la siguiente gráfica:

[[Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5b.png|600px|thumb|center| Representación del error máximo entre ambas funciones para <math> x_2 \in [-10,10] </math> con respecto a los valores de <math>x_1</math>]]

Es imprescindible mencionar que debido a la discretización llevada a cabo para la variable <math> x_1 </math>, hemos considerado más oportuno poner el eje <math>x</math> de esta gráfica en escala logarítmica, pues de la otra manera la mayoría de los puntos se almacenan en un intervalo muy pequeño y es muy complicado extraer conclusiones.

Con respecto a esta gráfica, es muy llamativo como el error inicial, para <math> x_1=0.001 </math> es realmente elevado, tomando el valor de <math> 3.2 </math>. Aunque este valor pueda parecer muy alto, realmente concuerda con los resultados analizados en el vídeo, pues está directamente relacionado con la singularidad que se produce en la función <math> u(x) </math>. Además, esta última gráfica confirma que a partir de <math> x_1=0.86 </math>, la diferencia entre ambas funciones es realmente pequeña y, por lo tanto, concluimos que efectivamente <math> u(x) </math> describe el comportamiento asintótico de la solución.

== Aplicaciones==

Hasta el momento, se ha realizado un estudio exhaustivo de la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, abordando su comportamiento, sus soluciones y sus aproximaciones tanto en <math> \mathbb{R}^{2}</math> como en <math>\mathbb{R}^{3}</math>. No obstante, utilizando estas ecuaciones, los científicos e ingenieros pueden modelar y resolver una variedad de problemas prácticos con precisión y eficacia.

* Electrostática y Magnetostática:
En el contexto de la electrostática, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el campo y el potencial eléctricos en sistemas sin cargas y con cargas distribuidas, respectivamente. Estas ecuaciones son fundamentales para comprender el comportamiento de circuitos eléctricos, condensadores, líneas de transmisión y muchos otros dispositivos eléctricos.
* Transferencia de Calor:
En problemas de transferencia de calor, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se aplican para modelar la distribución de temperatura en sistemas estacionarios y transitorios. Estas ecuaciones son utilizadas en el diseño de sistemas de refrigeración, análisis de aislamiento térmico, y optimización de procesos de fabricación que involucran calor.
* Mecánica de Fluidos y Aerodinámica:
En la mecánica de fluidos, la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson se utilizan para modelar y resolver problemas relacionados con el potencial de flujo. Estas ecuaciones son esenciales en el diseño de cuerpos sumergidos y sistemas de tuberías.
En aerodinámica, estas ecuaciones se aplican para calcular el potencial de velocidad y la distribución de presión alrededor de objetos en movimiento, como aviones, automóviles y cuerpos aerodinámicos.

==Referencias==

* [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio. Wikipedia. Regla del trapecio]
* [Partial differential equations in action from modelling to theory. Sandro Salsa]
*[https://www.electricity-magnetism.org/es/ecuacion-de-laplace-uso-y-ejemplos/Ecuación de Laplace | Ecuación. Usos y Ejemplos ]
[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.gif

2024-04-17T10:24:10Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5b.png

2024-04-17T10:16:50Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a2.png

2024-04-17T10:16:30Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5a1.png

2024-04-17T10:16:09Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej5.png

2024-04-17T10:15:50Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R10.png

2024-04-17T10:15:33Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R2.png

2024-04-17T10:15:19Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4R1.png

2024-04-17T10:15:04Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 n3.png

2024-04-17T10:14:49Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 n2.png

2024-04-17T10:14:31Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f2.png

2024-04-17T10:14:16Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 f1.png

2024-04-17T10:13:58Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e2.png

2024-04-17T10:13:31Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 e1.png

2024-04-17T10:13:09Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d2.png

2024-04-17T10:12:54Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 d1.png

2024-04-17T10:12:36Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c2.png

2024-04-17T10:12:17Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 c1.png

2024-04-17T10:11:36Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b2.png

2024-04-17T10:11:20Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 b1.png

2024-04-17T10:11:02Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a2.png

2024-04-17T10:10:37Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap4 a1.png

2024-04-17T10:09:58Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2e.png

2024-04-17T10:09:42Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2d.png

2024-04-17T10:09:25Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2c.png

2024-04-17T10:09:05Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2b.png

2024-04-17T10:08:50Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2a.png

2024-04-17T10:08:33Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2.png

2024-04-17T10:08:15Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap2 sol.png

2024-04-17T10:07:37Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1A.png

2024-04-17T10:07:19Z

Alejandra Hernández:

Archivo:EquipoLUA Pr3 Ej4 Ap1.png

2024-04-17T10:07:01Z

Alejandra Hernández:

Ecuación del calor, equipo LUA

2024-03-07T20:17:38Z

Alejandra Hernández:

{{TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo LUA | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Luis Carreras Hoyos, Lucía Gil Ruiz y Alejandra Hernández Sieber}}
==Introducción==
La ecuación del calor es una de las ecuaciones diferenciales parciales más fundamentales en la física y la ingeniería, utilizada para modelar la difusión del calor en sólidos, líquidos y gases. Su estudio proporciona una comprensión profunda de los procesos de transferencia de calor y la evolución temporal de la temperatura en sistemas físicos. En este trabajo, nos enfocamos inicialmente en la ecuación del calor en una dimensión, explorando su formulación matemática y calculando soluciones para diversas condiciones iniciales y de frontera, además de examinar las implicaciones físicas de estas soluciones. En concreto, estudiaremos la variación temporal de la temperatura en función de la posición a lo largo de una varilla metálica, considerando condiciones iniciales y de frontera diversas, como condiciones de contorno de tipo Dirichlet y Neumann.
Posteriormente, ampliaremos nuestro enfoque para abordar la ecuación del calor en dos dimensiones. Aunque este estudio será menos extenso en comparación con el caso unidimensional, nos permitirá explorar cómo se extienden los conceptos y métodos desarrollados previamente a sistemas bidimensionales.

==Conceptos previos==
Antes de comenzar con el trabajo, en esta sección vamos a definir algunos conceptos previos necesarios para la completa comprensión del mismo.
===Contextualización y deducción de la ecuación del calor===
Procedemos a deducir la ecuación del calor. En primer lugar, la Ley de enfriamiento de Newton lleva el nombre de Isaac Newton, quien la formuló en el siglo XVII. Esta es una ley empírica cuya idea es que la velocidad a la que disminuye (o aumenta) la temperatura <math> T(t) </math> de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura ambiental <math> T_a </math> y la del cuerpo. Es decir,

<center> <math> \frac{dT(t)}{dt} = K \cdot (T(t)-T_a) ,~~ T(0)=T_0, ~~~ K <0 </math> </center>

Posteriormente, J.Fourier estableció que dichas temperaturas no eran constantes. Consideró <math> V </math> un volumen de control y definió <math> e(\mathbf{x},t) </math> como la densidad de energía calorífica, siendo esta la cantidad de energía térmica por unidad de volumen en un medio, con unidades <math> \frac{cal}{m^3} </math>.

Dado que el calor es una forma de energía, es natural hacer uso de la ley de conservación de la energía durante la deducción de la ecuación del calor. Esta postula que sobre <math> V </math>, la variación de la energía calorífica se debe al balance entre el calor que entra y el que sale, más la consideración de una posible producción externa. Por tanto, se deduce:

<center> <math> \frac{d}{dt} \int_V e(\mathbf{x},t) \cdot d\mathbf{x} = - \int_{\partial V} \overrightarrow{q} \cdot d\overrightarrow{S} + \int_V r \cdot d\mathbf{x} </math> </center>

Siendo <math> \overrightarrow{q} </math> el flujo de calor, medido en <math> \frac{cal}{m^2s} </math> y <math> r </math> una posible fuente externa de calor, medida en <math> \frac{cal}{m^3s} </math>.

A continuación, por el Teorema de la divergencia se tiene que sea <math> \Omega \in \mathbb{R^3} </math> un dominio Lipschitz, entonces:

<center> <math> \int \int \int_{\Omega} div(\overrightarrow{u} )\cdot dV = \int \int_{\partial \Omega} \overrightarrow{u} \cdot d\overrightarrow{S}</math> </center>

Aplicando a la Ley de conservación de la energía el Teorema de la divergencia, obtenemos

<center> <math> \frac{d}{dt} \int_V e(\mathbf{x},t) \cdot d\mathbf{x} = - \int_V div(\overrightarrow{q}) \cdot d\mathbf{x} + \int_V r \cdot d\mathbf{x} ~~ \Longrightarrow ~~ \int_V \left[ \frac{\partial e(\mathbf{x},t)}{\partial t} + div(\overrightarrow{q}) – r \right] d\mathbf{x} = 0 ~~ \forall V \in \Omega</math> </center>

Como se cumple para todo volumen <math> V \in \Omega</math>, el integrando debe ser nulo, llegando a que <math> \frac{\partial e(\mathbf{x},t)}{\partial t} + div(\overrightarrow{q})=r </math>.

Para continuar, asumimos lo siguiente:

* ''Ley de Fourier de la conducción del calor:'' el flujo de calor <math> \overrightarrow{q} </math> a través de un material es directamente proporcional al producto del gradiente de temperatura <math>T(\mathbf{x},t)</math> y la conductividad térmica <math> k </math> del material. En términos de fórmulas, sería <math> \overrightarrow{q} = -k \cdot \nabla T(\mathbf{x},t) </math>

* La energía térmica es proporcional a la temperatura, esto es <math> e(\mathbf{x},t) = c \cdot T(\mathbf{x},t) </math>, siendo <math> c </math> la constante de calor específico.

Con ello, hemos llegado a que

<center> <math> \frac{\partial e(\mathbf{x},t)}{\partial t} + div(\overrightarrow{q})=r ~~ \Longrightarrow ~~ c \cdot \frac{\partial T (\mathbf{x},t)}{t} – div(k \cdot \nabla T(\mathbf{x},t)) = r ~~ \Longrightarrow ~~ c \cdot \frac{\partial T (\mathbf{x},t)}{t} – k \cdot \Delta T(\mathbf{x},t) = r</math> </center>

Donde en la última igualdad hemos empleado que <math> div(\nabla F) = \Delta F </math>. Agrupando términos, se concluye que la ecuación del calor </math> sería:

<center><math> \frac{T(\mathbf{x},t)}{dt} - \frac{k}{c} \cdot \frac{\partial^2 T(\mathbf{x},t)}{\partial^2 x} = r </math> </center>

===Constante de conductividad térmica y calor específico===
A continuación, introducimos tres definiciones:
* Constante de conductividad térmica: La constante de conductividad térmica, a la que hemos denotado como <math> k </math>, es una propiedad intrínseca de los materiales la cual describe su capacidad para conducir el calor y se mide en <math> \frac{cal}{ºC s m}</math>. Cuanto mayor sea la constante de conductividad térmica, mayor será la capacidad del material para conducir el calor.
* Calor específico: El calor específico, denotado previamente como <math> c </math>, es una propiedad de cada material que indica cuánto calor es necesario para elevar la temperatura de una unidad de masa de esa sustancia en una unidad de temperatura, medida <math> \frac{cal}{ºC g}</math>. Cuanto mayor sea el calor específico de una sustancia, más calor se requiere para aumentar su temperatura.
*Constante de difusión térmica: La constante de difusión térmica, a la que hemos denotado como <math> D </math>, es el cociente de la constante de conductividad térmica entre el calor específico.

===Principio del máximo===
El principio del máximo para la ecuación del calor establece que si la función <math>u(x,t) \in C^{2,1}(Q_{T}) \cap C(\overline{Q}_{T}) </math> cumple la condición <math>u_{t}-D\Delta u \leq 0 </math> para <math>(x,t) \in Q_{T}</math>. Entonces <math> u(x,t) </math> verifica <math> \max_{x\in \partial_p Q_{T}} u(x,t)= \max_{x\in \overline{Q_{T}}} u(x,t) </math>.

Donde <math>Q_{T}= \Omega \times (0,T) </math>, siendo <math> \Omega \subset R^{3}</math>.

===Convolución===
La convolución es una operación matemática que combina dos funciones para describir la superposición entre ambas. La convolución de las funciones <math> f </math> y <math> g </math> se denota por <math> f *g </math> y se define por:
<center> <math> (f*g) (t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\eta) g(t-\eta) d\eta </math> </center>
En este trabajo, usaremos esta operación para obtener una solución de la ecuación del calor dado un dato inicial concreto, como veremos posteriormente.

==Modelización de la ecuación del calor con una dimensión==

Para estudiar el comportamiento de la ecuación del calor, vamos a comenzar tratando el siguiente problema:

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo <math> [0,1] </math> y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es <math> 0 °C </math>. En el extremo izquierdo se consigue mantener la temperatura a <math> 0 °C</math> mientras que en el derecho la temperatura es siempre de <math> 1°C </math>.

Aplicando la fórmula de la ecuación del calor, definiendo <math> u(x,t) </math> como la función que determina la temperatura y tomando como constante de conductividad térmica <math> k=1~\frac{cal}{ºC s m} </math> y calor específico <math> c=1~\frac{cal}{ºC g} </math>, modelizamos el comportamiento de la temperatura mediante el correspondiente sistema de EDP:
<math> \begin{cases}
u_t-u_{xx}=0 & x\in(0,1),t>0\\
u(x,0)=0&x\in(0,1)\\
u(0,t)=0&t>0\\
u(1,t)=1&t>0

\end{cases}</math>

En primer lugar, cuando <math> t \rightarrow \infty</math>, <math> u_t \sim 0 </math> y por ello, la solución no varía en tiempo, es decir, <math> u(t,x) \sim v(x) </math>, siendo <math> v(x) </math> la solución estacionaria y cumpliendo que:

<math> \begin{cases}
v_{xx}=0 & x\in(0,1)\\
v(0)=0\\
v(1)=1\\
\end{cases}</math>

Resolviendo el sistema obtenemos <math> v(x)=x </math>, cuya representación es:
[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap1v3.png|400px|thumb|center| Representación de la solución estacionaria, <math> v(x)=x </math> ]]
{{matlab|codigo=clear all
close all

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) x;

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=1;
numero_puntos=100;

% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
X=linspace(extremo_izquierdo,extremo_derecho,numero_puntos); % vector del mallado espacial

plot(X,sol_estacionaria(X))
xlabel('Espacio');
ylabel('Temperatura');
title("Solución estacionaria")
}}

Esta solución estacionaria se resta a la solución original obteniendo el cambio de variable <math> w(x,t)=u(x,t)-v(x) </math>. Mediante este cambio, obtenemos nuestro sistema de EDP’s homogeneizado:

<math> \begin{cases}
w_t-w_{xx}=0 & x\in(0,1),t>0\\
w(x,0)=-x&x\in(0,1)\\
w(0,t)=0&t>0\\
w(1,t)=0&t>0
\end{cases}</math>

Tomamos ahora el cambio <math> z(x,t)=-w(x,t) </math>, donde obtenemos el sistema final:
<math> \begin{cases}
z_t-z_{xx}=0 & x\in(0,1),t>0\\
z(x,0)=x&x\in(0,1)\\
z(0,t)=0&t>0\\
z(1,t)=0&t>0
\end{cases}
</math>

Resolviendo el sistema por separación de variables, obtenemos como solución <math> z(x,t)=\sum_{k=1}^\infty\frac{2(-1)^{k+1}}{k\pi}\sin(k\pi x)e^{-k^2\pi^2 t} </math>. Deshaciendo los cambios que hemos realizado, obtenemos la solución al problema original, <math> u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty(-1)\frac{2(-1)^{k+1}}{k\pi}\sin(k\pi x)e^{-k^2\pi^2 t}+x </math>. Representamos la solución <math> u(x,t) </math> para <math>x \in [0,1] </math> en el intervalo de tiempo <math>t \in [0,1] </math> tomando solo los 10 primeros términos de la serie.
[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap2.png|1200px|thumb|center| Representación de los <math> 10 </math> primeros términos de la solución <math> u(x,t) </math> para <math> (x,t)\in [0,1] \times [0,1] </math>]]

En la imagen, podemos ver como a medida que agregamos términos, la solución se vuelve más precisa. Además, vamos a comprobar como las condiciones iniciales de nuestro sistema concuerdan con la solución obtenida. En la posición <math> x=0 </math> la solución es la constante <math> 0 </math> y en la posición <math> x=1</math> la solución es constantemente <math> 1 </math> . Sin embargo, a medida que aumenta la posición <math> x </math> en el tiempo inicial, la solución no vale constantemente 0, sino que oscila temporalmente. Esto es debido a que la solución original no es una función continua cerca de <math>(x,t)=(1,0) </math>. Por un lado, tenemos la condición <math>u(x,0)=0</math>, mientras que por el otro lado <math>u(1,t)=1</math>. Debido a la incapacidad de las series de Fourier para representar de manera precisa las discontinuidades, las sumas parciales de Fourier tienden a "sobrepasar" la discontinuidad en un intento de ajustarse a la función. Este suceso es conocido como el fenómeno de Gibbs y es el responsable de las fluctuaciones mencionadas.

A continuación, aumentamos el valor de la serie hasta <math>k=1000</math> para ver cómo varia:

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap3.png|600px|thumb|center| Solución <math>u(x,t) </math>, para <math> t \in [0,1]</math> tomando los k primeros términos de la solución.]]

Como se puede apreciar en esta imagen, cuando <math> k=1000 </math>, este último caso no se aprecian estas oscilaciones. A medida que se agregan más términos a la serie, las oscilaciones disminuyen en amplitud.

Además, esta discontinuidad en el instante inicial provoca que la función no sea diferenciable en <math> t=0 ~s </math>. De hecho, si calculamos la derivada espacial en la solución término a término de manera analítica en dicho instante, obtenemos que <math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{d}{dx} u_{k}(x,0) + \frac{d}{dx} x=1+\sum_{k=1}^{\infty} 2(-1)^{k} cos(k\pi x) </math>. En particular, si evaluamos en <math> x=0 </math>

<center> <math> 1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{d}{dx} u_{k}(0,0) =1+\sum_{k=1}^{\infty} 2(-1)^{k} </math> </center>

Esta es una serie que no converge, pues toma los valores <math> -1 </math> y <math> 1 </math> alternadamente. De manera equivalente, evaluando en <math> x=1 </math>

<center> <math> 1+\sum_{k=1}^{\infty} u_{k ~ x}(1,0) =1+\sum_{k=1}^{\infty} 2(-1)^{k} cos(k\pi) =1+\sum_{k=1}^{\infty} 2</math> </center>

Esta última serie tampoco converge, pues el límite de sus términos es claramente no nulo.

Sin embargo, para instantes de tiempo no nulos la solución converge uniformemente y, por ello, se verifica que
<center> <math> u_x(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{d}{dx} u_{k}(x,t) + \frac{d}{dx} x, ~\quad t>0 </math> </center>
Por lo tanto, concluimos que no tiene sentido analítico calcular la derivada espacial en <math> t=0 </math>.

Asimismo, se ve con claridad como la solución obtenida se aproxima al estado estacionario, pues converge a la función <math> v(x)=x </math> cuando el tiempo es suficientemente grande.

===Flujo del calor===
Ahora vamos a analizar cómo varía el flujo del calor entrante y saliente en los extremos de la varilla a lo largo del tiempo. Para ello, conocemos que el flujo sigue la ecuación <math> \overrightarrow{q} = - \nabla u(x,t) </math>, teniendo en cuenta que el coeficiente de difusión vale <math> 1 </math> en este caso. Considerando la solución con <math> 10 </math> y <math> 1000 </math> términos y evaluando el flujo en Matlab para ambos extremos, obtenemos las siguientes gráficas:

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap3a.png|750px|thumb|center| Representación del flujo en los extremos con respecto al tiempo, tomando los k primeros términos de la serie.]]

Recordamos que en el extremo izquierdo, la temperatura vale constantemente <math> 0°C </math>, mientras que en el extremo derecho queda fijada a <math> 1°C </math>. Por ello, a medida que va transcurriendo el tiempo, el calor se difunde desde donde más temperatura hay a donde menos, es decir, del extremo izquierdo de la varilla al derecho.

Como en el instante inicial, toda la varilla se encuentra a temperatura <math> 0°C </math>, excepto el extremo derecho, el flujo del extremo izquierdo para instantes próximos al inicial debe valer <math> 0 ~ \frac{cal}{m^2 s} </math> aproximadamente pues los puntos próximos a él tienen la misma temperatura. Tal y como se cumple cuando aumentamos la precisión para k=1000. A medida que transcurre el tiempo, el valor absoluto de este flujo irá aumentando pues los puntos próximos al extremo izquierdo irán adquiriendo temperatura. Sin embargo, el flujo en el extremo derecho tiene un comportamiento totalmente contrario. En el instante inicial, hay una discontinuidad abrupta de temperatura en el extremo derecho, lo que provoca un flujo cuyo valor absoluto es realmente elevado. Además, el calor se irá transmitiendo lentamente a lo largo de la varilla, provocando que cada vez el valor absoluto del flujo sea más pequeño.

Por otra parte, cabe destacar que, ambos flujos toman valores negativos, lo cual indica que su sentido es opuesto al propio eje direccional, provocando que sea saliente en el extremo izquierdo y entrante en el derecho.

Cabe destacar que, tal y como hemos mencionado antes, la solución no es derivable con respecto al espacio en el instante inicial, y por ello, no tiene sentido estudiar el flujo en <math> t=0 </math>.

Finalmente, es imprescindible mencionar que esta gráfica es excelente a la hora de estudiar la convergencia de la solución a la solución estacionaria. El instante de tiempo en el que ambos flujos se estabilizan tomando el mismo valor simboliza que, en la varilla, el calor que entra por un extremo es el mismo que el que sale por el otro extremo, lo que obviamente es una consecuencia de haber alcanzado el estado estacionario.

===Código de Matlab===
Todas las gráficas que se han representado en esta sección, son resultado del siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER
c_k=@(x,k) (-1).*(((2.*(-1).^(k+1))./(k.*pi)));

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) x;

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.01;

punto_espacio_estudio=1/2; % punto del espacio concreto (entre extremo_izquierdo y extremo_derecho) que queremos estudiar

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=0;
tiempo_final=1;
paso_tiempo=0.0001;

% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal

w=zeros(size(X)); % inicializamos la variable w (solución del problema habiendo restado la solución estacionaria)

% SOLUCIÓN EN EL INTERVALO DE TIEMPO [0,1] TOMANDO LOS k_end PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE
k_end=1000; % último valor de k del sumatorio, siendo k el índice del sumatorio de la solución

for ks=1:k_end % queremos resolver el problema para distintos valores de k
w=w+w_k(X,T,ks,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(X(1,:),ks));
u=w+sol_estacionaria(X); % deshacemos el cambio de variable sumando la solución estacionaria
if ks <= 10 % representamos las gráficas de a lo sumo los 10 primeros términos de la solución
figure(1)
sgtitle("Solución en el intervalo de tiempo ["+num2str(tiempo_inicial)+","+num2str(tiempo_final)+"] tomando los k primeros términos de la serie")
subplot(2,min(ceil(k_end/2),5),ks)
hold on
mesh(X,T,u)
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)
colormap('jet')
colorbar
end

% COMPARACIÓN DE LA SOLUCIÓN PARA k=10 Y k=k_end
if (k_end>10) & (ks==10)
figure(2)
sgtitle("Solución en el intervalo de tiempo ["+num2str(tiempo_inicial)+","+num2str(tiempo_final)+"] tomando los k primeros términos de la serie")
subplot(1,2,1)
mesh(X,T,u)
colorbar
colormap('jet')
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
title("k = "+num2str(ks))

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
sgtitle('Representación del flujo con respecto al tiempo en los extremos para distintos valores de k')
subplot(1,2,1)
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))

elseif (ks==k_end)
figure(2)
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
mesh(X,T,u)
colorbar
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
axis([0,1,-100,0])
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))
end
end

}}

En el código, lo primero que hemos hecho ha sido definir los coeficientes de Fourier, ''c_k'', y el término k-ésimo de la solución del problema después de haber restado la solución estacionaria,''w_k''. Además, se define la solución estacionaria del problema, ''sol_estacionaria''.

Luego hemos establecido valores para los coeficientes de conductividad térmica y el calor específico y se ha discretizado tanto el tiempo como el espacio para crear una malla espaciotemporal ''X'' y ''T'' mediante la función ''meshgrid''. De esta manera, pasamos de un problema continuo a un problema discreto con un conjunto finito de puntos. Esta discretización nos permite representar la función gráficamente y utilizar métodos numéricos para el cálculo de los coeficientes de Fourier, como veremos posteriormente.

A continuación, calculamos la solución ''w'' homogeneizada con k-ésimos términos <math> (k=1,\dots,100) </math>, mostrando en gráficas las distintas soluciones y su evolución con respecto al espacio y tiempo. Además, graficamos la solución para <math> k=10 </math> y <math> k=1000 </math> y calculamos los flujos en los extremos, empleando la función ''gradient''. Aunque analíticamente no es posible calcular dichos flujos en el instante inicial, hemos hecho uso de esta función para calcular la derivada de manera numérica. Esto permite que el lector no se vea obligado a calcular dicha derivada por sí mismo, pero puede cometer errores como esta aproximación, así siempre debemos corroborar los resultados obtenidos en estas gráficas con la base teórica.

Cabe destacar que todos estos datos están al comienzo del programa con la idea de que sean fácilmente identificables y modificables para el lector, y así poder estudiar distintas situaciones iniciales que no abordamos en este trabajo.

===Simulación===
Para comprender mejor el comportamiento de la varilla, hemos realizado una simulación en la que se representa una varilla de longitud <math> 1 m </math> y se puede apreciar cómo se transmite el calor a lo largo del tiempo. Para ello, hemos elaborado el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=clear all
close all

% Coeficientes de Fourier
c_k=@(x,k) (-1).*(((2.*(-1).^(k+1))./(k.*pi)));

% Término k-ésimo de la solución del problema habiendo restado la solución estacionaria
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% Definimos la solución estacionaria
sol_estacionaria=@(x) x;

% Valores de los coeficientes
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 1;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 1001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 1;
paso_tiempo = 0.005;
tiempo = 0:paso_tiempo:tiempo_final;

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(0, longitud, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej1_Ap1_5_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=14; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
title(['Varilla en t = ' num2str(t)]);
figura=figure(1);

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
w = zeros(size(Longitudinal));
for k = 1:1000
w = w + w_k(Longitudinal,t,k,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(Longitudinal(1,:),k));
end
u=w+sol_estacionaria(Longitudinal);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Longitud');
axis([0 longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);

}}
Al igual que en el otro código elaborado en esta sección, lo primero que definimos es la solución estacionaria del problema, así como los coeficientes de Fourier y los términos de la solución homogeneizada. Además, lo siguiente que debemos determinar son el coeficiente de conductividad térmica y el calor específico. En este caso, tomaremos ambos valores iguales a <math> 1 </math>. Sin embargo, en la próxima sección estudiaremos el efecto que tienen estos valores en la solución.

A continuación, pasamos a introducir los datos que nos ayudarán a la representación de la varilla metálica, como son la longitud y el radio de esta o el número de puntos que pondremos a lo largo del eje x y el número de puntos que tomaremos para formar las circunferencias alrededor del eje longitudinal. Con estos datos generamos la malla de puntos de la varilla. Por otra parte, es fundamental definir los tiempos inicial y final, así como la longitud del intervalo temporal.

Para poder almacenar el resultado en un vídeo, hacemos uso de los comandos correspondientes propios de Matlab, entre los que destacan ''VideoWriter'' y ''FrameRate''. Para cada uno de los tiempos definidos, debemos sumar los k-términos de la solución, siendo k el número que deseemos. A este resultado debemos añadirle la solución estacionaria para deshacer el cambio de variable y almacenamos el resultado en la variable ''u'', que representa la temperatura de cada punto de la malla. Esta variable nos permitirá definir la escala de colores con la que vamos a representar la varilla metálica, por lo que a continuación, representamos la varilla haciendo uso de los datos de temperatura en cada punto para asignarle un color. Finalmente, añadimos la imagen generada al vídeo que se está creando y repetimos el proceso hasta haber recorrido todos los instantes de tiempo.

Cabe destacar que, el código realizado puede dar error en su ejecución si no se cuenta con una versión de Matlab de <math> 2022 </math> o superior. En caso de no contar con dicha versión, basta sustituir en la línea 43 del código ''clim'' por ''caxis''.

El resultado obtenido con este código es la siguiente simulación:
[[Archivo:EquipoLUA_Pr2_Ej1_Ap4.gif|600px|thumb|center|Simulación que representa cómo se distribuye el calor a lo largo de la varilla a medida que transcurre el tiempo]]
En esta simulación, apreciamos como la temperatura, partiendo de <math>0 °C </math>, aumenta de derecha a izquierda de acuerdo con las condiciones impuestas en el sistema de EDP’s y acorde a lo deducido del comportamiento del flujo en las gráficas anteriores.

== Cambio de coeficientes ==

Planteamos ahora el mismo escenario anterior pero con coeficiente de conductividad térmica distintos: <math> k_1 =\frac{1}{2} \frac{cal}{ºC s m}, k_2=\frac{1}{6} \frac{cal}{ºC s m}</math>, en lugar de <math> k=1 \frac{cal}{ºC s m} </math>. El calor específico <math> c </math> continuará siendo igual a <math> 1 \frac{cal}{ºC g} </math>. Por tanto, los sistemas quedarían como:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{ki}{c} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 & \quad 0 < x < 1, 0 < t < 1, i = 1,2 \\
u(x,0)=0, & \quad 0 < x < 1, \\
u(0,t)=0, & \quad 0 < t < 1, \\
u(1,t)=1 & \quad 0 < t < 1.
\end{array} \right.
</math></center>

De manera análoga a los casos anteriores, obtenemos que la solución es de la forma

<center><math> u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)\frac{2 \cdot (-1)^{k+1}}{k \pi} \sin{(k \pi x)} e^{-k^2 \pi^2 t \frac{k_i}{c} } </math></center>

En primer lugar, es imprescindible recordar para la comparación que cuanto mayor sea el coeficiente de conductividad térmica <math> k </math>, mayor será la capacidad del material para conducir el calor. Además, estudiaremos cómo se comporta la solución del sistema homogeneizado en el punto intermedio de la barra, en <math> x = \frac{1}{2} </math>, y la compararemos para los coeficientes de conductividad térmica <math> k=1 </math> y <math> k_1=\frac{1}{2} </math>. Notar que, la solución del sistema homogeneizado equivale a <math> u \left(\frac{1}{2}, t\right) –v\left(\frac{1}{2}\right) </math>.

Para ello, hemos realizado el código presentado a continuación.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER
c_k=@(x,k) (-1).*(((2.*(-1).^(k+1))./(k.*pi)));

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) x;

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=[1,1/2,1/6];
calor_especifico=[1,1,1];

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.01;

punto_espacio_estudio=1/2; % punto del espacio concreto (entre extremo_izquierdo y extremo_derecho) que queremos estudiar

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=0;
tiempo_final=1;
paso_tiempo=0.0001;

% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X1,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal
X1(:,end+1)=punto_espacio_estudio*ones(length(X1(:,1)),1); % vector con el punto del espacio a estudiar
X=transpose(sortrows(transpose(X1))); % añadimos el punto del espacio a estudiar en la matriz de mallado espacial
T(:,end+1)=T(:,end); % redimensionamos la matriz de mallado temporal

% SOLUCIÓN EN EL INTERVALO DE TIEMPO [0,1] TOMANDO LOS k_end PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE
k_end=200; % último valor de k del sumatorio, siendo k el índice del sumatorio de la solución

for coefi=1:length(coeficiente_conductividad_termica)
w_coef=zeros(size(X)); % inicializamos la variable w_coef1 (solución del problema con el primer coeficiente habiendo restado la solución estacionaria)
for ks=1:k_end % resolvemos el problema con los primeros k_end términos.
w_coef=w_coef+w_k(X,T,ks,coeficiente_conductividad_termica(coefi)/calor_especifico(coefi),c_k(X(1,:),ks));
end
u=w_coef+sol_estacionaria(X); % deshacemos el cambio de variable sumando la solución estacionaria

% REPRESENTACIONES DE LAS SOLUCIONES PARA LOS DOS COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD
figure(1)
subplot(1,length(coeficiente_conductividad_termica),coefi)
mesh(X,T,u)
colormap('jet')
colorbar
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
title("D = "+num2str(coeficiente_conductividad_termica(coefi)/calor_especifico(coefi)))
sgtitle("Representación de los primeros "+num2str(k_end)+" términos de la solución según los valores de D")

% REPRESENTAMOS LA DIFERENCIA ENTRE LA SOLUCIÓN Y LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA EN punto_espacio_estudio
figure(2)
plot(T(:,1),w_coef(:,ceil(length(w_coef(1,:))/2)),'linewidth',1.5,'DisplayName',"Solución con D="+num2str(coeficiente_conductividad_termica(coefi)/calor_especifico(coefi)))
hold on
xlabel('Tiempo')
ylabel('Temperatura')
title("Diferencia entre la solución y la solución estacionaria en x="+num2str(punto_espacio_estudio)+" con respecto al tiempo")

end

figure(2)
legend('Location','southeast')

}}

De nuevo, en primer lugar se definen los coeficientes de Fourier de la extensión impar de la función <math> x </math> (solución estacionaria) como ''<math> c_k </math>'', además del k-ésimo término de la solución homogeneizada y la solución estacionaria del sistema.

Posteriormente se incluyen distintos datos o parámetros modificables según las condiciones que deseemos establecer. Entre ellos se encuentran los valores de los coeficientes de conductividad térmica <math> k </math>, en forma de vector, que busquemos comparar.

Por otro lado, tenemos el dominio espaciotemporal que busquemos establecer. Al igual que en todos los códigos anteriores, de cara a aproximar los resultados continuos de una manera discreta, debemos establecer una malla espaciotemporal. Cuantos más puntos tenga esta malla, mayor precisión tendrá la aproximación al caso continuo.

Es destacable la definición de ''punto_espacio_estudio''. Este punto es un punto específico dentro del dominio espacial en el cual queremos realizar el estudio. En dicho punto calcularemos cómo evoluciona la solución homogeneizada a medida que avanza el tiempo. Para añadir este punto estudio a la malla espaciotemporal, añadimos una columna con el punto repetido en todas las filas a dicha matriz de mallado, y posteriormente ordenamos la matriz por columnas.

Por último, realizamos una construcción análoga a la ya mencionada en el código de la sección anterior, a diferencia de que el proceso se debe repetir para cada uno de los coeficientes <math> k </math> para los que deseemos conocer la solución.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap6.png|1000px|thumb|center| Representación de los <math> 200 </math> primeros términos de la solución para los coeficientes de conductividad térmica <math> k=1 \frac{cal}{ºC s m} </math> y <math> k_1=\frac{1}{2} \frac{cal}{ºC s m} , k_2=\frac{1}{6} \frac{cal}{ºC s m}</math> en el intervalo de tiempo <math> [0,1] </math>. ]]

Con respecto a esta primera imagen, como se puede observar, los dos primeros casos son muy similares, aunque hayamos cambiado el coeficiente de conductividad térmica ligeramente. Sin embargo, si comparamos los casos <math> k=1 \frac{cal}{ºC s m} </math> y <math> k_2=\frac{1}{6} \frac{cal}{ºC s m}</math>, sí se observa una diferencia en el comportamiento. La superficie representada con <math> k_2= \frac{1}{6} \frac{cal}{ºC s m} </math> presenta una mayor curvatura en el instante de tiempo final representado (<math> t=1 s</math>).

Esto se debe a que aunque las tres soluciones se aproximan a la solución estacionaria <math> v(x,t)=x </math>, el coeficiente de conductividad térmica influye en la velocidad de convergencia de la solución hacia la solución estacionaria. Por ello, para un instante de tiempo <math> t=1 s</math> se observan diferentes curvaturas en las superficies. En caso de aumentar el intervalo de tiempo lo suficiente, las diferencias en el instante final serían despreciables. Se anima al lector a cambiar el valor del parámetro ''tiempo_final'' por <math> 3’5 s</math> en el código recién explicado.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap6a.png|600px|thumb|center| Representación de la solución del sistema homogeneizado en <math> x=\frac{1}{2} </math> con los coeficientes de conductividad térmica <math> k=1 \frac{cal}{ºC s m}</math> en color azul, <math> k_1=\frac{1}{2} \frac{cal}{ºC s m}</math> en color rojo y <math> k_2=\frac{1}{6} \frac{cal}{ºC s m}</math> en color amarillo.]]

Esta conclusión se puede observar perfectamente en esta segunda gráfica, en la que se muestra la solución del sistema homogeneizado en <math> x=\frac{1}{2} </math> con los diferentes coeficientes de conductividad térmica. Como en la gráfica se representa la diferencia entre la solución y la estacionaria, cuanto más cercanos a cero sean estos valores, menos tiempo quedará para la convergencia de la solución.

Si prestamos atención a la gráfica, se puede observar a simple vista como, a medida que disminuimos los valores de los coeficientes de conductividad térmica <math> k </math>, el tiempo necesario para llegar a una temperatura nula es cada vez mayor. Luego, la velocidad de convergencia de la solución a la estacionaria aumenta a medida que aumenta el coeficiente de conductividad térmica.

Todo ello tiene sentido con el concepto de coeficiente de conductividad térmica dado que, los coeficientes de conductividad térmica altos conducen mejor el calor y, por tanto, tardan una menor cantidad de tiempo en ''estabilizar'' la temperatura del cuerpo con respecto a la temperatura ambiental.
===Simulación===
En esta sección, también se ha elaborado un código para la simulación y visualización del problema en el caso de la varilla metálica.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Coeficientes de Fourier
c_k=@(x,k) (-1).*(((2.*(-1).^(k+1))./(k.*pi)));

% Término k-ésimo de la solución del problema habiendo restado la solución estacionaria
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% Definimos la solución estacionaria
sol_estacionaria=@(x) x;

% Valores de los coeficientes
coeficiente_conductividad_termica=[1,1/2,1/6];
calor_especifico=[1,1,1];

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 1;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 1001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 1;
paso_tiempo = 0.005;
tiempo = 0:paso_tiempo:tiempo_final;

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(0, longitud, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej1_Ap6_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=14; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);
sgtitle("Varilla en t = "+num2str(t)+" para distintos valores de D")
figura.Position=[100,100,1550,550]
for coefi=1:length(coeficiente_conductividad_termica)

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
w = zeros(size(Longitudinal));
for k = 1:1000
w = w + w_k(Longitudinal,t,k,coeficiente_conductividad_termica(coefi)/calor_especifico(coefi),c_k(Longitudinal(1,:),k));
end
u=w+sol_estacionaria(Longitudinal);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
subplot(1,length(coeficiente_conductividad_termica),coefi)
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title("D="+coeficiente_conductividad_termica(coefi)/calor_especifico(coefi));
xlabel('Longitud');
axis([0 longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

end
% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

La construcción del código es análoga a la ya mencionada en la sección 3.3, pero con una pequeña diferencia. Se define un vector de coeficientes de conductividad térmica <math> k </math> y se repite el proceso de representación para cada uno de los valores.

[[Archivo: Ej1 Ap6 Tuberia2.gif|900px|thumb|center| Simulación de la solución en la varilla metálica. Nota: Si no se visualiza la animación de este archivo gif, pinchar en el archivo para su visualización.]]

En este caso, se aprecian perfectamente las observaciones realizadas. El coeficiente de conductividad térmica afecta principalmente a la velocidad con la que se transmite el calor. Si observamos el primer y tercer video, la velocidad a la que se transmite el calor es muy distinta. En el primer caso, con coeficiente de difusión <math> D=1 </math>, el sistema alcanza el estado estacionario mucho más rápido. De hecho, el caso en el que el coeficiente de difusión <math> D=1/6 </math>, el sistema aún no ha alcanzado el estado estacionario cuando finaliza el vídeo.

== Cambio de condiciones ==

Una vez hemos estudiado cómo influye el realizar un cambio en el coeficiente de conductividad térmica en el problema original, nos planteamos cómo varía la solución si suponemos que la temperatura en el extremo derecho es también de <math> 0 °C</math> pero inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por la función <math> u_0(x)=max\{0,1-4|x-1/2|\}</math>.

Por tanto, tendríamos el siguiente sistema:

<center><math> \left \{ \begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial t}- \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 & \quad 0 < x < 1, 0 < t < 1\\
u(x,0)= u_0(x)=max\{0,1-4|x-1/2|\}, & \quad 0 < x < 1, \\
u(0,t)=0, & \quad 0 < t < 1, \\
u(1,t)=0 & \quad 0 < t < 1.
\end{array} \right.
</math></center>

La solución general de este sistema permanece igual que en sistema original a diferencia de que, en este caso, al tener las condiciones frontera homogeneizadas, la solución particular es nula. Es decir, la solución general es de la forma:

<center> <math> u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty c_k \sin(k \pi x)e^{-k^2\pi^2 t} </math> </center>

La única diferencia es la determinación de los coeficientes de Fourier <math> c_k </math>, en este caso, resulta mucho más sencillo aproximar el valor de las integrales de dichos coeficientes por la fórmula del trapecio.

A continuación, se presenta un código en Matlab que sigue la misma estructura que el presentado en las secciones <math> 3.2 </math>. A diferencia de este, al haber cambiado la condición inicial por la función <math> u_0(x) </math> y la condición frontera en el extremo derecho a una temperatura inicial nula, únicamente cambia que ''sol_estacionaria(x)'' es un vector de ceros y la determinación de los coeficientes de Fourier, en este caso calculados por la fórmula del trapecio.

{{matlab|codigo= clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER CALCULADOS MEDIANTE LA APROXIMACIÓN POR LA FÓMULA DEL TRAPECIO
c_k=@(x,k) trapz(x,max(0,1-4.*abs(x-1/2*ones(size(x)))).*sin(k*pi.*x))./trapz(x,(sin(k*pi.*x)).^2);

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) zeros(size(x));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.001;

punto_espacio_estudio=1/2; % punto del espacio concreto (entre extremo_izquierdo y extremo_derecho) que queremos estudiar

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=0;
tiempo_final=1;
paso_tiempo=0.001;

% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal

w=zeros(size(X)); % inicializamos la variable w (solución del problema habiendo restado la solución estacionaria)

% SOLUCIÓN EN EL INTERVALO DE TIEMPO [0,1] TOMANDO LOS k_end PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE
k_end=400; %último valor de k del sumatorio, siendo k el índice del sumatorio de la solución

for ks=1:k_end % queremos resolver el problema para distintos valores de k
w=w+w_k(X,T,ks,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(X(1,:),ks));
u=w+sol_estacionaria(X); % deshacemos el cambio de variable sumando la solución estacionaria
if ks <= 10 % representamos las gráficas de a lo sumo los 10 primeros términos de la solución
figure(1)
subplot(2,min(ceil(k_end/2),5),ks)
hold on
mesh(X,T,u)
colormap('jet')
colorbar
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)
end

% COMPARACIÓN DE LA SOLUCIÓN PARA k=10 Y k=k_end
if (k_end>10) & (ks==10)
figure(2)
sgtitle("Solución en el intervalo de tiempo ["+num2str(tiempo_inicial)+","+num2str(tiempo_final)+"] tomando los k primeros términos de la serie")
subplot(1,2,1)
mesh(X,T,u)
colormap('jet')
colorbar
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
sgtitle('Representación del flujo con respecto al tiempo en los extremos para distintos valores de k')
subplot(1,2,1)
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))

elseif (ks==k_end)
figure(2)
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
mesh(X,T,u)
colormap('jet')
colorbar
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))
end
end
figure(4)
scatter(X(1,:),u(1,:),5, u(1,:),'filled')
colormap('jet')
title("Solución para k="+ num2str(k_end)+ " y t=0")
xlabel('Espacio')
ylabel('Temperatura')

}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7.png|1200px|thumb|center| Representación de los <math> 10 </math> primeros términos de la solución con condiciones de frontera nulas y condición inicial la función <math> u_0(x)=max\{0,1-4|x-1/2|\} </math>representada en el intervalo de tiempo <math> [0,1] </math>. ]]

Cómo se puede observar, la solución obtenida en la primera representación cumple con las condiciones establecidas en el sistema. Además, a medida que aumenta la precisión de la solución (introduciendo un mayor número de términos en la suma), esta alcanza un máximo de temperatura mayor y en un intervalo espacial más pequeño con respecto al punto medio de la varilla. Por otro lado, es destacable como la solución es estrictamente positiva si <math> t>0 </math>. Esto se puede interpretar como que la difusión transporta energía con velocidad infinita de propagación.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7a.png|900px|thumb|center| Representación de la solución para los k=10 primeros términos (primera imagen) y para los primeros k=400 (segunda imagen)]]

La mejor manera de entender este fenómeno es observando esta segunda gráfica, en la que se ha representado la solución para los <math> k=10 </math> y los <math> k=400 </math> primeros términos. La solución para <math> k=400 </math> tiene forma ''de pico''. Esto es llamativo dado que la solución no es diferenciable en el instante inicial <math> t=0 </math>.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7b.png|600px|thumb|center| Representación de la solución para los k=400 primeros términos en el instante de tiempo inicial <math> t=0 </math>]]

Sin embargo, en cuanto <math> t </math> alcanza valores positivos, el calor que se encontraba acumulado en la zona central de la varilla se difunde a los extremos de la misma, provocando que la temperatura en los puntos en los que era nula en el instante inicial, pase a no serla. Cómo esto sucede para cualquier incremento de tiempo tan pequeño como deseemos, esto indica que la velocidad de propagación de calor es infinita.

En relación con la tercera gráfica obtenida con el código citado anteriormente, se puede observar como el flujo en ambos extremos comienza en 0. Esto se debe a que la condición inicial verifica que en los puntos próximos a dichos extremos la temperatura es también cero. Sin embargo, a medida que el calor concentrado alrededor del punto medio se dispersa hacia los extremos de la varilla, el flujo en ambos extremos se ve aumentado en valor absoluto. Cabe destacar que el flujo en el extremo izquierdo de la varilla (representado en color rojo) es negativo y, por ello, saliente; mientras que el flujo en el extremo derecho (en color azul) es positivo y, por ello, también saliente. El hecho de que ambos flujos en los extremos sean salientes indica que la varilla se enfría en su interior. Además, ambos flujos tienden a cero cuando se alcanza la solución estacionaria, lo que indica que la temperatura en la varilla es constante a lo largo de toda ella.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7d.png|1000px|thumb|center| Representación del flujo con respecto al tiempo en los extremos. En color rojo el flujo en el lado izquierdo de la varilla, y en color azul aparece representado el flujo en el lado derecho de la varilla]]

De nuevo, hemos implementado un código en Matlab de la varilla metálica para mejorar su comprensión. El código realizado es idéntico al realizado en la sección 3.3, únicamente se diferencian en las funciones y condiciones iniciales que las establecemos acordes a este nuevo problema. El código sería el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER CALCULADOS MEDIANTE LA APROXIMACIÓN POR LA FÓMULA DEL TRAPECIO
c_k=@(x,k) trapz(x,max(0,1-4.*abs(x-1/2*ones(size(x)))).*sin(k*pi.*x))./trapz(x,(sin(k*pi.*x)).^2);

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin(k.*pi.*x).*exp(-D.*(k.^2.*pi.^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) zeros(size(x));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 1;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 1001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 0.55;
paso_tiempo = 0.001;
tiempo = 0:paso_tiempo:tiempo_final;

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(0, longitud, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej1_Ap7_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=37; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
w = zeros(size(Longitudinal));
for k = 1:200
w = w + w_k(Longitudinal,t,k,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(Longitudinal(1,:),k));
end
u=w+sol_estacionaria(Longitudinal);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Longitud');
axis([0 longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
if t==0
imwrite(imagen.cdata,"Ej1_Ap7_Tuberia_Inicio.png") % guardamos la imagen en el instante inicial
end

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7 Tuberia.gif|600px|thumb|center| Representación de la simulación de la varilla metálica para la solución con condiciones de frontera nulas y condición inicial la función <math> u_0(x)=max \{0,1-4|x-1/2| \} </math> representada en el intervalo de tiempo <math> [0,55] </math>.]]

Como se puede observar, la varilla comienza con una temperatura inicial más alta en el interior, pero con el trascurso del tiempo, se va enfriando hasta alcanzar el estado estacionario con temperatura nula en toda la varilla.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap7f.png|600px|thumb|center| Representación de la simulación de la varilla metálica para la solución en el instante <math> t=0 </math>]]

Por último, dado que la condición inicial establecida (a la que hemos denotado como <math> u_0(x) </math>), puede resultar algo difícil de visualizar, hemos realizado una representación gráfica de dicha varilla en el instante inicial. Con esta representación gráfica podemos hacernos a la idea de cómo se distribuye la temperatura en <math> t=0 </math> de una manera más sencilla para así acabar de entender este caso.

==Cambios de condiciones de frontera==
Ahora, en vez de suponer que la temperatura en el extremo derecho es de <math>0ºC </math>, suponemos que la barra está aislada térmicamente en dicho extremo. El sistema de EDP’s quedaría de la siguiente manera:
<center><math> \begin{cases}
u_t-Du_{xx}=0 & x\in(0,1),t>0\\
u(x,0)= max\{0,1-4|x-1/2|\}, & 0 < x < 1, \\
u(0,t)=0&t>0\\
u_x(1,t)=0 &t>0
\end{cases}</math> </center>

Resolviendo el sistema por separación de variables obtenemos como solución la serie
<math> u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty c_{k} sin\left(\left(k \pi-\frac{\pi}{2}\right)x\right)e^{(k \pi -\frac{\pi}{2})^2 Dt }+x </math>. Esta solución no queda en función de la base trigonométrica usual, no obstante el conjunto de funciones <math>\left\{ sin\left(\left(k \pi-\frac{\pi}{2}\right)x\right)\right\} _{k \in \mathbb{N}} </math> es un conjunto completo en <math> x\in [0,1] </math> y es un conjunto ortogonal:

<math> \int^{1}_{0} \sin\left(\left(n \pi-\frac{\pi}{2}\right)x\right) \sin\left(\left(m \pi-\frac{\pi}{2}\right)x\right)dx= \int^{1}_{0} \frac{\cos\left(\left(n\pi-m\pi\right)x\right) -\cos\left(\left(n\pi+m\pi - \pi\right)x\right)}{2}=0</math>, para <math> n,m \in \mathbb{N}</math>

Por consiguiente, podemos aproximar el dato inicial usando los coeficientes de Fourier asociados a esta nueva base. Calculando estos coeficientes en Matlab mediante la fórmula del trapecio, obtenemos el correspondiente comportamiento de la solución para distinto número de términos de la solución, es decir, valores de k:
{{matlab|codigo= clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER CALCULADOS MEDIANTE LA APROXIMACIÓN POR LA FÓMULA DEL TRAPECIO
c_k=@(x,k) trapz(x,max(zeros(size(x)),1-4.*abs(x-1/2*ones(size(x)))).*sin((k*pi-pi/2).*x))./trapz(x,(sin((k*pi-pi/2).*x)).^2);

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin((k*pi-pi/2).*x).*exp(-D.*((-pi/2+k*pi)^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) zeros(size(x));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.001;

punto_espacio_estudio=1/2; % punto del espacio concreto (entre extremo_izquierdo y extremo_derecho) que queremos estudiar

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=0;
tiempo_final=2;
paso_tiempo=0.001;

% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal

w=zeros(size(X)); % inicializamos la variable w (solución del problema habiendo restado la solución estacionaria)

% SOLUCIÓN EN EL INTERVALO DE TIEMPO [0,1] TOMANDO LOS k_end PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE
k_end=1000; %último valor de k del sumatorio, siendo k el índice del sumatorio de la solución

for ks=1:k_end % queremos resolver el problema para distintos valores de k
w=w+w_k(X,T,ks,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(X(1,:),ks));
u=w+sol_estacionaria(X); % deshacemos el cambio de variable sumando la solución estacionaria
if ks <= 10 % representamos las gráficas de a lo sumo los 10 primeros términos de la solución
figure(1)
subplot(2,min(ceil(k_end/2),5),ks)
hold on
mesh(X,T,u)
colorbar
colormap('jet')
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)
end

% COMPARACIÓN DE LA SOLUCIÓN PARA k=10 Y k=k_end
if (k_end>10) & (ks==10)
figure(2)
sgtitle("Solución en el intervalo de tiempo ["+num2str(tiempo_inicial)+","+num2str(tiempo_final)+"] tomando los k primeros términos de la serie")
subplot(1,2,1)
mesh(X,T,u)
colorbar
colormap('jet')
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
sgtitle('Representación del flujo con respecto al tiempo en los extremos para distintos valores de k')
subplot(1,2,1)
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))

elseif (ks==k_end)
figure(2)
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
mesh(X,T,u)
colorbar
colormap('jet')
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
titulo="k = "+num2str(ks);
title(titulo)

figure(3) % CALCULAR EL FLUJO ENTRANTE Y SALIENTE EN AMBOS EXTREMOS A LO LARGO DEL TIEMPO
if (ks>10)
subplot(1,2,2)
end
deriv=gradient(u,paso_espacio); % derivada de la solución con respecto al espacio
flujo0=-deriv(:,1); % calculamos el flujo en el extremo izquierdo
flujo1=-deriv(:,end);% calculamos el flujo en el extremo derecho
plot(T(:,1),flujo0,'r','linewidth',1.5)
hold on
plot(T(:,1),flujo1,'b','linewidth',1.5)
xlabel('Tiempo')
ylabel('Flujo')
legend('Flujo en el extremo izquierdo','Flujo en el extremo derecho','Location','Southeast')
title("k="+num2str(ks))
end
end

}}
[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap8.png|1200px|thumb|center|Representación de la solución para los k primeros término, con k=1,…,10.]]

En primer lugar, para valores suficientemente altos de k, en el espacio <math>x=0 </math> la solución se mantiene constantemente nula como indica la condición frontera. Por otra parte, en los espacios intermedios de la varilla para <math> t=0 </math> la solución toma valores más elevados acorde a la condición inicial <math> u(x,0)= max\{0,1-4|x-1/2|\}, \quad 0 < x < 1</math>. Sin embargo, vamos a aumentar el número de términos hasta<math>k=1000</math> para analizar con mayor precisión el fenómeno que sucede en el extremo derecho

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap8a.png|800px|thumb|center| Representación la solución para los 10 y 100 primeros términos.]]

En comparación con el caso anterior, el calor no se transmite en ambos extremos de la varilla de manera uniforme, sino que hay mayor transporte de calor hacia el lado izquierdo. Esto se debe a que hemos impuesto que el extremo derecho esté aislado térmicamente. Observando la gráfica con detalle, se aprecia que en el extremo izquierdo hay una clara diferencia de temperatura con respecto a los puntos próximos, por lo que en este extremo sí habrá flujo. Sin embargo, cerca del extremo derecho la temperatura se mantiene constante como consecuencia directa de que la derivada espacial en ese extremo sea nula, es decir, el flujo sea nulo.
Para comprobar estas ideas, representamos el flujo en ambos extremos de la varilla:
[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap8b.png|800px|thumb|center| Representación del flujo en los extremos de la varilla con respecto al tiempo.]]
Podemos ver al igual que en la otra gráfica como en el extremo derecho no existe flujo y en el extremo izquierdo, el flujo será saliente. Como vimos en la primera gráfica, el flujo empieza en <math> 0 </math> debido a su condición inicial. Rápidamente aumenta a valores más negativos acorde al aumento de la pendiente. En tiempo <math> t=0.2 ~s</math> el flujo se reduce rápidamente, hasta que en <math> t=2~s </math> el flujo desaparece y se llega a la solución estacionaria.

===Simulación===
Como hemos hecho en los casos anteriores, modelizamos el cambio de temperatura que se produce en la varilla:

{{matlab|codigo=clear all
close all

% COEFICIENTES DE FOURIER CALCULADOS MEDIANTE LA APROXIMACIÓN POR LA FÓMULA DEL TRAPECIO
c_k=@(x,k) trapz(x,max(zeros(size(x)),1-4.*abs(x-1/2*ones(size(x)))).*sin((k*pi-pi/2).*x))./trapz(x,(sin((k*pi-pi/2).*x)).^2);

% TÉRMINO K-ÉSIMO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA HABIENDO RESTADO LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
w_k=@(x,t,k,D,coef_fourier) coef_fourier.*sin((k*pi-pi/2).*x).*exp(-D.*((-pi/2+k*pi)^2.*t));

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN ESTACIONARIA
sol_estacionaria=@(x) zeros(size(x));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 1;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 1001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 2;
funcion_velocidad_t=@(t) t*1.05;
tiempo=[0,0.001];
while tiempo(end)<tiempo_final
tiempo(end+1)=funcion_velocidad_t(tiempo(end));
end

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(0, longitud, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej1_Ap8_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=11; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
w = zeros(size(Longitudinal));
for k = 1:1000
w = w + w_k(Longitudinal,t,k,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico,c_k(Longitudinal(1,:),k));
end
u=w+sol_estacionaria(Longitudinal);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Longitud');
axis([0 longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
if t==0
imwrite(imagen.cdata,"Ej1_Ap8_Tuberia_Inicio.png") % guardamos la imagen en el instante inicial
end

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);

}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej1 Ap8tuberia.gif|600px|thumb|center| Representación la temperatura en la varilla]]

Esta animación nos afirma todas las conclusiones obtenidas a raíz de las otras gráficas. En concreto, se puede apreciar con claridad como cerca del extremo derecho la temperatura se mantiene constante. Con respecto a los cambios realizados en este código con respecto a las anteriores simulaciones, se han modificado los tiempos para que el video capture más imágenes al principio, donde ocurren cambios significativos con mayor frecuencia, y luego tome imágenes en intervalos más espaciados de tiempo, ya que los cambios son menos notorios.

===Principio del máximo===
Por último, vamos a comprobar que el principio del máximo se verifica para este problema, con las condiciones tomadas en el apartado anterior.

Para este último caso, el espacio es <math>Q_{T}=(0,1)\times(0,2) </math> y se verifica que la solución <math> u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty c_{k} sin\left(\left(k \pi-\frac{\pi}{2}\right)x\right)e^{(k \pi -\frac{\pi}{2})^2 Dt }+x :=\sum_{k=1}^\infty u_k (x,t)</math> converge uniformemente y las derivadas de <math>u_k (x,t)</math> también. Por tanto, podemos afirmar que:

<math> u_x(x,t) =\sum_{k=1}^\infty \frac{d}{dx} u_k (x,t) </math>

<math> u_t(x,t) =\sum_{k=1}^\infty \frac{d}{dt}u_k (x,t) </math>

Como podemos derivar para cualquier orden, se concluye que <math> u(x,t) \in C^{\infty}(Q_{T}) </math>.

Además, <math> u_t(x,t)-u_{xx}(x,t)= \sum_{k=1}^\infty \frac{d}{dt} u_k (x,t)- \frac{d^2}{dx^2}u_k (x,t) =0 \leq 0</math>. Como las condiciones del principio del máximo se verifican, el máximo de la función ha de estar en la frontera parábolica de <math> Q_T </math>. En nuestro caso, se puede apreciar como el máximo de la solución es el valor <math>1</math>, que se alcanza en el tiempo inicial<math>t=0 s</math> y espacio <math>x=0.5 m</math>, perteneciendo claramente a la frontera parábolica de nuestro problema.

==Solución fundamental de la ecuación del calor==
En esta sección vamos a estudiar una solución al sistema
<center> <math> \begin{cases}
u_t(x,t)-u_{xx}=0 & x \in \mathbb{R}, t>0\\
u(x,0)=f(x) & x \in \mathbb{R}
\end{cases} </math>
</center>
Para ello, vamos a usar la solución fundamental de la ecuación del calor.
Cabe destacar que como este sistema no tiene condiciones frontera, pues <math> x \in \mathbb{R} </math>, es posible que no haya unicidad de las soluciones.

===Definición solución fundamental===
La solución fundamental de la ecuación del calor viene dada por

<center><math> \Gamma_D (x,t) = \frac{1}{(4 \pi Dt)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4Dt}}, \quad t>0 </math></center>

Si el lector lo desea, puede consultar la deducción de esta solución en la página 42 del libro ''Partial differential equations in action from modelling to theory'' de Sandro Salsa.

Destacamos que, buscando la conservación de la masa total para cualquier tiempo, es lógico que se verifique que <math>\int_{\mathbb{R^{n}}} u(x,t) d\mathbf{x} =q</math> , con <math> q </math> constante para todo tiempo. Sin embargo, en la deducción de esta fórmula se ha impuesto la condición <math> q=1 </math>, dando como resultado una familia de funciones Gaussianas parametrizadas en el tiempo.

===Caso unidimensional===
En concreto, en el caso unidimensional, la solución fundamental de la ecuación del calor es
<center><math> \Gamma_D (x,t) = \frac{1}{\sqrt{4 D \pi t}}e^{-\frac{|x|^2}{4Dt}}, \quad t>0 </math>.</center>
Tomando el valor de la constante de difusión <math> D=1 </math>, <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [10^{-2},1] </math>; hemos elaborado el siguiente código de Matlab para representar la solución
{{matlab|codigo=clear all
close all

%DEFINIMOS LA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
sol_fundamental=@(x,t,D) 1./(sqrt(4.*pi.*D.*t)).*exp((-x.^2)./(4.*D.*t));

%VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
conduccion_calor=1;

%DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=-1;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.001;

%DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=10^(-2);
tiempo_final=1;
paso_tiempo=0.001;

%DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal

%REPRESENTAMOS LA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
mesh(X,T,sol_fundamental(X,T,coeficiente_conductividad_termica/conduccion_calor))}}

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej2 Ap1.png|600px|thumb|center| Representación de la solución fundamental en una dimensión para <math> x \in [-1,1] </math> y <math> t \in [10^{-2},1] </math> . ]]

En este código, lo primero que definimos es la solución fundamental en una dimensión. A continuación, simplemente añadimos los valores del coeficiente de conductividad térmica y del calor específico, que en este caso ambos son iguales a <math> 1 </math>. Además, al igual que sucedía en los códigos anteriormente explicados, en Matlab trabajamos de manera discreta. Por ello, lo siguiente a definir son los datos que vamos a necesitar para la discretización del espacio y del tiempo y el mallado espaciotemporal haciendo uso de la función de Matlab ''meshgrid'', para así poder hacer la representación gráfica de la solución con respecto al espacio y al tiempo con la función de Matlab ''mesh''.

En la gráfica obtenida como resultado, se aprecian claramente algunas propiedades. La primera de ellas es la paridad de la función en la variable <math> x </math>. De hecho, de manera analítica se puede comprobar que:

<center><math> \Gamma_D (x,t) = \frac{1}{(4 \pi Dt)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4Dt}}=\frac{1}{(4 \pi Dt)^{n/2}}e^{-\frac{|-x|^2}{4Dt}}=\Gamma_D (-x,t) </math> </center>

Demostrándose así la simetría. Además, lo más destacable de la gráfica es el fenómeno que se produce cuando nos aproximamos a <math> t=0 </math>. Para poder realizar un mejor estudio de este fenómeno, hemos representado la solución fundamental para <math> x \in [-10,10] </math> y para <math> t \in [10^{-2},5] </math>.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej2 Ap1a.png|600px|thumb|center| Representación de la solución fundamental en una dimensión para <math> x \in [-10,10] </math> y <math> t \in [10^{-2},5] </math> . ]]

En esta gráfica, se aprecia perfectamente que cuando <math> t </math> tiende a <math> 0 </math>, la solución fundamental tiende a <math> 0 </math> en cualquier <math> x \neq 0 </math> y tiende a <math> \infty </math> en <math> x=0 </math>. Esta distribución se conoce como la Delta de Dirac.

Se define la Delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones <math> \{f^{n}\}_{n \in \mathbb{N}} </math> que tienden a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual diverge a infinito. Concretamente, llamaremos Delta de Dirac al siguiente límite: <math> \delta = \lim_{n \to \infty} f^n(x) </math> con <math> \lim_{n \to \infty} f^n(0)=\infty </math> y <math> \lim _{n \to \infty} f^n(x)=0 </math> para <math> x \neq 0</math> que además verifica <math> \int_{\mathbb{R}} f^n(x) \cdot dx =1 </math>.

Además, vemos como el máximo de la solución fundamental se alcanza en <math> (x,t)=(0,0) </math>, cumpliéndose así el principio del máximo. Además, el valor de la función disminuye rápidamente a medida que nos alejamos de este punto en ambas direcciones.
Finalmente, cabe destacar que la solución esatacionaria correspondiente a este problema es <math> v(x)=0 </math>. De hecho,
<center> <math> \lim_{t \to \infty} \Gamma_1= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}=0 </math> </center>
Sin embargo, la solución fundamental nunca se anula si <math> t>0 </math>. Esto quiere que el sistema tiende a la solución estacionaria, pero no la alcanza en tiempo finito.
====Simulación====
A continuación, se presenta un código correspondiente a la simulación de una varilla metálica sobre la que se difunde el calor según la solución fundamental. El funcionamiento y construcción de este código es análogo a los ya mencionados en otras secciones. El código sería el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% Definimos la solución fundamental
sol_fundamental=@(x,t,D) 1./(sqrt(4.*pi.*D.*t)).*exp((-x.^2)./(4.*D.*t));

% Valores de los coeficientes
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud_positiva = 1;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 1001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 2;
paso_tiempo = 0.005;
tiempo = 10^(-3):paso_tiempo:tiempo_final;

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(-longitud_positiva, longitud_positiva, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej2_Ap1_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=27; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
u=sol_fundamental(Longitudinal,t,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla con temperatura en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Espacio');
axis([-longitud_positiva longitud_positiva -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
if t==0
imwrite(imagen.cdata,"Ej2_Ap1_Tuberia_Inicio.png") % guardamos la imagen en el instante inicial
end

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

[[Archivo: Ej2 Ap1 Tuberia.gif|600px|thumb|center| Representación de la varilla metálica con la solución fundamental.]]

Este caso se da en la vida real cuando el radio de la varilla es despreciable en comparación con la longitud de esta. Sin embargo, en esta simulación, hemos representado una varilla de longitud <math> 2m </math> para que coincidan los resultados con la primera gráfica de la solución fundamental expuesta.

Como se puede observar, el tiempo inicial del video es <math> t=10^{-2} ~s</math>, puesto que la solución fundamental tiende a la delta de Dirac cuando <math> t \rightarrow 0 </math>, y por lo tanto, la varilla tendría temperatura infinita en sus puntos centrales y cero en el resto de puntos. Por otro lado, se puede ver como las temperaturas más elevadas inicialmente se distribuyen en el centro de la varilla y con el tiempo se van difundiendo hacia los extremos tendiendo la temperatura de la varilla a <math> 0 ºC </math>, aunque nunca alcanzando el estado estacionario.

===Resolución de la ecuación del calor con la solución fundamental ===
En esta sección, buscamos resolver el siguiente problema:
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
u_t-u_{xx}=0& \quad x>0, t>0 \\
u(0,t)=1 & \quad t>0 \\
u(x,t)=0 & \quad t>0 , x \rightarrow \infty \\
u(x,0)=0 & \quad x>0
\end{array} \right.
</math></center>

Llamamos soluciones autosemejantes a aquellas para las que existe <math> \alpha \in \mathbb{R} </math> tal que <math> u(\lambda x, \lambda^2 t)= \lambda ^{\alpha} u(x,t) \quad \forall \lambda > 0, \forall (x,t) \in Q_{T} </math>.

En primer lugar, vamos a buscar las soluciones autosemejantes de la ecuación del calor <math> u_t-u_{xx}=0 </math> de la forma <math> u(x,t)=U\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) </math>.
De esta manera, se tiene que
<center> <math> u_t(x,t)=-\frac{x}{2 t^{3 / 2}} U’\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) </math> </center>
<center> <math> u_{xx}(x,t)= \frac{1}{t} U’’\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right)</math> </center>
Y, por lo tanto,
<center> <math> u_t(x,t)-u_{xx}=0 \Rightarrow -\frac{x}{2 t^{3 / 2}} U’\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) - \frac{1}{t} U’’\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right)=0</math> </center>
Llamando <math> \xi=\frac{x}{\sqrt{t}} </math>, podemos simplificar al expresión
<center> <math> -\frac{1}{2t} \xi U’\left( \xi \right) - \frac{1}{t} U’’\left( \xi \right) =0 \Rightarrow \frac{1}{t} \left[ \frac{1}{2} \xi U’\left( \xi \right) + U’’\left( \xi \right) \right] =0</math> </center>
Definiendo <math> f(\xi)= U’\left( \xi \right) </math> y aplicando el método de separación de variables, se llega a que
<center> <math> \frac{df}{d \xi}=-\frac{1}{2} \xi f \Rightarrow \int \frac{df}{f}=-\frac{1}{2} \int \xi d\xi \Rightarrow U’\left( \xi \right) = f(\xi)=D e^{-\xi^2 /4}</math> , con <math> D \in \mathbb{R} </math></center>
A continuación, aplicando el teorema fundamental del cálculo, se deduce que
<center> <math> U(\xi)=D \int_{0}^{\xi} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta +E, \quad D,E \in \mathbb{R} </math> </center>
Para calcular los valores de <math> D,E \in \mathbb{R} </math>, debemos hacer uso de las condiciones iniciales y de frontera de las que disponemos.
En primer lugar, se debe cumplir que <math> u(0,t)=1 </math> o, lo que es lo mismo,
<center> <math> U(0)= D \int_{0}^{0} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta +E=E=1 </math> </center>
Por lo tanto, <math> U(\xi)=D \int_{0}^{\xi} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta +1, \quad D \in \mathbb{R} </math>.
Por otra parte, el ejercicio exige que <math> u(x,t) \rightarrow 0 </math> cuando <math> x \rightarrow \infty </math>. Esto es equivalente a que <math> U(\xi) \rightarrow 0 </math> cuando <math >\xi \rightarrow \infty </math> y haciendo uso de la paridad de la función <math> e^{-\frac{\eta^2}{4}}, ~\eta \in \mathbb{R} </math>, se obtiene la siguiente serie de igualdades:
<center> <math>0= \lim_{\xi \to \infty } U(\xi)= \lim_{\xi \to \infty} D \int_{0}^{\xi} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta + 1= \frac{D}{2} \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta +1 </math> </center>

Además, si aplicamos el cambio de variable <math> z=\frac{\eta}{2} </math> y sabiendo que <math> \int_{\mathbb{R}} e^{-z^2} dz= \sqrt{\pi} </math>, llegamos a que

<center> <math> D \sqrt{\pi}+1=0 \Rightarrow D=-\frac{1}{\sqrt{\pi}} </math> </center>

De esta manera, concluimos que la solución buscada es

<center> <math> U(\xi)=-\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\xi} e^{-\frac{\eta^2}{4}} d\eta +1=1-\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\xi/2} e^{-z^2} dz=1-erf\left(\frac{\xi}{2}\right) </math> </center>

siendo <math> erf(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-z^2} dz </math>.

Por lo tanto, deshaciendo el cambio de variable,
<center> <math> u(x,t)=U\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)=1-erf\left(\frac{x}{2\sqrt{t}}\right) </math> </center>

Cabe destacar que esta solución también verifica la condición inicial que faltaba por verificar, pues <math> \lim_{t \to 0} u(x,t)= \lim_{t \to 0} 1- \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{x}{2 \sqrt{t}}} e^{-z^2} dz=1- \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} e^{-z^2} dz=1- \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{2} \sqrt{\pi}=0 </math>.

Además,
<center> <math> \lim_{t \to \infty} u(x,t)= \lim_{t \to \infty} 1-erf\left(\frac{x}{2\sqrt{t}}\right)= 1 </math> </center>
Sin embargo, de nuevo ocurre que la función solución nunca toma el valor 1, pues <math> erf\left(\frac{x}{2\sqrt{t}}\right) </math> nunca se anula. Esto indica que a pesar de que el sistema tienda a la solución estacionaria <v(x)=1>, esta no se alcanza en tiempo finito.

Una vez calculada la solución al problema, hemos elaborado un código en Matlab para representarla:
{{matlab|codigo= clear all
close all
% SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 10b
sol_erfc=@(x,t) 1-erf(x./(2.*sqrt(t)));
% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=0;
extremo_derecho=20;
paso_espacio=0.1;
% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL TIEMPO
tiempo_inicial=0;
tiempo_final=10;
paso_tiempo=0.001;
% DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO Y DEL TIEMPO
[X,T]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,tiempo_inicial:paso_tiempo:tiempo_final); % matrices de mallado espacio-temporal
% REPRESENTAMOS LA SOLUCIÓN
figure(1)
mesh(X,T,sol_erfc(X,T))
title('Representación de la solución')
xlabel('Espacio')
ylabel('Tiempo')
zlabel('Temperatura')
}}
[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej2 Ap2.png|600px|thumb|center| Representación de la solución obtenida de la forma <math> u(x,t)=U\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) </math> con <math>x \in (0,20)</math> y <math> t \in (0,10) </math>. ]]

En este código, primero hemos definido la solución del ejercicio como una función. A continuación, como en el resto de los programas, hemos definido los datos necesarios para poder hacer una discretización del tiempo y del espacio. En este caso, se ha representado la función en <math> (x,t) \in [0,20] \times [0,10] </math>.
Con respecto a la gráfica obtenida como resultado, se puede apreciar a la perfección que se cumple que <math> u(0,t)=1, t>0 </math> y <math> u(x,t) \rightarrow 0 </math> cuando <math> x \rightarrow \infty </math>. Además, <math> u(x,0)=0, x>0 </math>. En esta gráfica, es importante destacar que se produce una discontinuidad en <math> (x,t)=(0,0)</math>. Esta discontinuidad se debe a que las propias condiciones iniciales y de frontera no coinciden en dicho punto. A pesar de esto, Matlab hace una representación continua de la función.
====Simulación====
De nuevo, hemos hecho la simulación en una varilla metálica para poder ver visualmente cómo se comporta el calor. Como en este caso la solución está definida para todo <math> \forall x>0 </math>, hemos representado un trozo de la varilla metálica con una longitud de <math> 100m </math> con un radio <math> 0.25m </math>.
{{matlab|codigo= clear all
close all

% SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 10b
sol=@(x,t) 1-erf(x./(2.*sqrt(t)));

% Valores de los coeficientes
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 100;
radio = 0.25;

% Definir el número de puntos en la varilla
num_puntos_longitudinal = 5001; % Número de puntos a lo largo de la longitud
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 500;
paso_tiempo = 1;
tiempo = 0:paso_tiempo:tiempo_final;

% Generar la malla de puntos en la varilla
longitudinal = linspace(0, longitud, num_puntos_longitudinal);
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(longitudinal, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej2_Ap2_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=34; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
u=sol(Longitudinal,t);

% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla con temperatura en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Espacio');
axis([0 longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
if t==0
imwrite(imagen.cdata,"Ej2_Ap2_Tuberia_Inicio.png") % guardamos la imagen en el instante inicial
end

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

[[Archivo:Ej2 Ap2 Tuberia.gif|600px|thumb|center|Evolución de la solución en una varilla de longitud <math> 100~m </math> para tiempos <math> t </math> comprendidos entre <math> 0 ~s </math> y <math> 500 ~s</math>]]
Este caso es muy distinto a los estudiados con anterioridad. El calor se concentra en el extremo izquierdo de la varilla en el instante inicial y con el paso del tiempo, se desplaza hacia la derecha constantemente. Recordamos que el radio de la varilla es despreciable en comparación con su longitud. Si tenemos en cuenta esto, podemos considerar dicha longitud infinita y, por ello, la solución estacionaria no se alcanza en tiempo finito. De hecho, destacamos que el vídeo recién introducido alcanza el tiempo <math> t=500~s</math> y en dicho instante el calor se ha difundido muy poco en comparación con la longitud de la varilla.

===Solución de la ecuación del calor empleando la convolución===
Planteamos ahora un nuevo escenario. En este caso, partimos de la ecuación del calor <math> u_t-u_{xx}=0 </math> en <math> x \in \mathbb{R} </math> asociada al dato inicial <math> u_0(x)=1_{[-1,1]} </math>.

En este caso, la solución de dicha ecuación viene dada por la convolución:

<center> <math> u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \Gamma_D(x-y,t) \cdot u_0(y) \cdot dy </math> </center>

Como la condición inicial es <math> u_0(x)=1_{[-1,1]} </math>, la integral de la convolución de la solución fundamental y la condición inicial será nula fuera del dominio de integración <math> [-1,1] </math>, por lo que es más sencillo reducir el cálculo de dicha convolución en todo <math> \mathbb{R} </math> a únicamente el intervalo <math> [-1,1] </math>.

De esta manera, podemos dibujar la solución <math> u(x,t) </math> en diferentes instantes de tiempo. Para ello, hemos implementado el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
sol_fundamental=@(x,t,D) 1./(sqrt(4.*pi.*D.*t)).*exp((-x.^2)./(4.*D.*t));

% DEFINIMOS LA FUNCIÓN SOLUCIÓN EN EL INSTANTE INICIAL
u_0=@(x) 1*((-1<=x)&(x<=1));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% DEFINIMOS Y COMO LA VARIABLE SOBRE LA QUE VAMOS A INTEGRAR
Y=linspace(-1,1,100);

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=-5;
extremo_derecho=5;
paso_espacio=0.001;
X=[extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho];

% TIEMPOS A ESTUDIAR
T=[0.001,0.01,0.1];
t_final=100000;

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN u(x,t)
figure(1)
u=zeros(length(T),length(X));
for j=1:length(T)
for i=1:length(X)
u(j,i)=trapz(Y,sol_fundamental(X(i)-Y,T(j),coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico).*u_0(Y));
end
subplot(1,length(T),j)
plot(X,u(j,:),'b','LineWidth',1.5)
axis([-2,2,0,1.001])
xlabel('Espacio')
ylabel('Temperatura')
title("t="+num2str(T(j)))
end
sgtitle('Representación de la solución para distintos instantes de tiempo t')

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Solucion_reales','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=15; %controla velocidad
open(pelicula); %lo abro

funcion_velocidad_t=@(t) t*1.1;
vector_t=[0,0.001];
while vector_t(end)<t_final
vector_t(end+1)=funcion_velocidad_t(vector_t(end));
end

for j=1:length(vector_t)
figura=figure(2);
for i=1:length(X)
u(j,i)=trapz(Y,sol_fundamental(X(i)-Y,vector_t(j),coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico).*u_0(Y));
end
plot(X,u(j,:),'b','LineWidth',1.5)
axis([extremo_izquierdo,extremo_derecho,0,1.001])
view(2);
xlabel('Espacio')
ylabel('Temperatura')
title("t="+num2str(vector_t(j)))

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
end

close(pelicula);
}}

Primero de todo, se define la solución fundamental y la condición inicial, es decir, la función <math> u_0(x) </math> y los valores de los coeficientes de conductividad térmica y de calor específico.

Se define la variable <math> Y </math> como la variable sobre la que vamos a integrar. A continuación, se discretiza el espacio definiendo por tanto los extremos donde está definida la solución y el paso de discretización deseado entre dichos puntos. Por último, antes de definir la solución se establece un vector de tiempos <math> T </math> donde se quiere realizar un estudio de la solución obtenida en dichos instantes de tiempo.

Seguidamente, se define la solución dada por la convolución de las dos funciones ya mencionadas y se aproxima haciendo uso de la fórmula del trapecio en el intervalo espacial definido. En último lugar, se definen los comandos adecuados requeridos para la realización de un video que muestre las soluciones de la ecuación en distintos instantes de tiempo. Concretamente, desde <math>t= 0.0011 ~s </math> a <math> t=97451 ~s</math>.

En relación con los resultados obtenidos al implementar el código, son destacables varios aspectos.

[[Archivo:Pr2 Ej2 Ap3.png|800px|thumb|center| Representación de la solución <math> u(x,t) </math> dada por la convolución de la solución fundamental y la condición inicial <math> u_0(x) </math> para los instantes de tiempo <math> t=0.001~s, ~ t=0.01~s </math> y <math> t=0.1~s</math>.]]

En primer lugar, como era de esperar, para valores de <math> t </math> muy cercanos al valor <math> t=0 </math> la solución <math> u(x,t) </math> obtenida es muy similar a la condición inicial <math> u_0(x) </math>.

[[Archivo:Solucion_reales.gif|600px|thumb|center|Evolución de la solución para tiempos <math> t </math> comprendidos entre <math> t=0 ~s </math> y <math> t=97451.4 ~s</math>]]

En segundo lugar, se puede apreciar como a medida que aumenta el tiempo, la solución <math> u(x,t) </math> tiende a cero, la solución estacionaria de la ecuación, aunque no la alcanza en tiempo finito. Conceptualmente esto quiere decir que para tiempos lo suficientemente grandes se produce una variación despreciable de la temperatura en el objeto de estudio.
====Simulación====
Calculada la nueva solución, se presenta el código correspondiente a la simulación de la difusión del calor sobre la varilla. Su construcción es análoga a los anteriores.
{{matlab|codigo= clear all
close all

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
sol_fundamental=@(x,t,D) 1./(sqrt(4.*pi.*D.*t)).*exp((-x.^2)./(4.*D.*t));

% DEFINIMOS LA FUNCIÓN SOLUCIÓN EN EL INSTANTE INICIAL
u_0=@(x) 1*((-1<=x)&(x<=1));

% Valores de los coeficientes
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% Definir la longitud y radio de la varilla
longitud = 1;
radio = 0.25;

% DEFINIMOS Y COMO LA VARIABLE SOBRE LA QUE VAMOS A INTEGRAR
Y=linspace(-1,1,100);

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=-longitud;
extremo_derecho=longitud;
paso_espacio=0.001;
X=[extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho];

% Definir el tiempo y el paso de tiempo
tiempo_final = 10;
funcion_velocidad_t=@(t) t*1.05;
tiempo=[0.001];
while tiempo(end)<tiempo_final
tiempo(end+1)=funcion_velocidad_t(tiempo(end));
end

% DEFINIMOS Y COMO LA VARIABLE SOBRE LA QUE VAMOS A INTEGRAR
Y=linspace(-1,1,100);

% Generar la malla de puntos en la varilla
num_puntos_circunferencia = 200; % Número de puntos alrededor de la circunferencia
circunferencia = linspace(0, 2*pi, num_puntos_circunferencia);
[Longitudinal, Circunferencia] = meshgrid(X, circunferencia);

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Ej2_Ap3_Tuberia','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=13; %controla velocidad
open(pelicula); %abrimos el vídeo

% Bucle para cada paso de tiempo
for t = tiempo
figura=figure(1);

u=zeros(size(Longitudinal));

% Calcular la temperatura en cada punto de la varilla en el tiempo t
for i=1:length(Longitudinal(1,:))
u(1,i)=trapz(Y,sol_fundamental(X(i)-Y,t,coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico).*u_0(Y));
end
for j=1:length(Longitudinal(:,1))
u(j,:)=u(1,:);
end
% Graficar la varilla con los colores según la temperatura
colormap(jet); % Mapa de colores de azul (frío) a rojo (caliente)
surf(Longitudinal, radio * cos(Circunferencia), radio * sin(Circunferencia), u,'EdgeColor','none');
colorbar;
clim([0, 1]); % Fijar el rango de colores

% Añadir etiquetas y ajustes de la figura
title(['Varilla con temperatura en t = ' num2str(t)]);
xlabel('Espacio');
axis([-longitud longitud -radio radio -radio radio]);
view(3);

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
if t==0
imwrite(imagen.cdata,"Ej2_Ap3_Tuberia_Inicio.png") % guardamos la imagen en el instante inicial
end

end

% Cerrar el vídeo
close(pelicula);
}}

Como se puede observar en el vídeo, la varilla metálica está definida en el dominio espacial <math> [-1,1] </math>. En el instante <math> t=0 </math> se verifica la condición inicial y, por ello, toda la varilla comienza con una temperatura de <math> 1ºC </math>. Con el transcurso del tiempo, el calor comienza a difundirse por el resto de la varilla. Es destacable que se ha establecido el tiempo de ejecución de manera que se reproduce mucho más lento y detallado los instantes de tiempo iniciales y, de una manera más rápida a medida que pasa el tiempo. Por último, la temperatura de la varilla tiende a estabilizarse a una temperatura nula.

=== Solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2 ===

Una vez hemos estudiado y analizado cómo se comporta la solución fundamental del calor en una dimensión vamos a analizar brevemente el caso de la solución fundamental en dimensión <math> 2 </math>. La solución, tal y como hemos mencionado previamente, sería:

<center><math> \Gamma_D (x,t) = \frac{1}{(4 \pi Dt)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4Dt}} ~t>0 </math></center>

En dos dimensiones, la geometría del problema puede ser más representativa, especialmente en sistemas bidimensionales como placas o láminas. Por otro lado, el sistema y soluciones pueden resultar más complejos. Este aspecto gana importancia cuando tenemos casos con propiedades significativas del medio o condiciones de contorno o iniciales más elaboradas.

Asimismo, en dimensión <math> 2 </math> es posible modelar fenómenos que no se pueden capturar en una dimensión, como la difusión del calor a lo largo de un plano sin necesidad de que el flujo sea uniforme en todos los puntos de una misma sección y que la difusión se produzca únicamente en una dirección fijada.

Por último, cabe destacar que la solución estacionaria de la solución fundamental es:
<center> <math> \lim_{t \to \infty} \Gamma_D (x,t) = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{(4 \pi t)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}=0 </math> </center>

Sin embargo, de nuevo vuelve a ocurrir que la solución fundamental no se anula en ningún punto para t>0. Esto quiere decir que la solución fundamental tiende a la solución estacionaria, pero no la alcanza en tiempo finito.

La manera más sencilla de entenderlo es con una representación gráfica. Por tanto, hemos realizado un código en Matlab que implementa dicha solución en distintos instantes de tiempo. El código es el siguiente:

{{matlab|codigo= clear all
close all

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN FUNDAMENTAL
sol_fundamental=@(x1,x2,t,D) 1./((4.*pi.*D.*t)).*exp((-sqrt(x1.^2+x2.^2).^2)./(4.*D.*t));

% VALORES DE LOS COEFICIENTES
coeficiente_conductividad_termica=1;
calor_especifico=1;

% DATOS PARA LA DISCRETIZACIÓN DEL ESPACIO
extremo_izquierdo=-1;
extremo_derecho=1;
paso_espacio=0.001;
[X1,X2]=meshgrid(extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho,extremo_izquierdo:paso_espacio:extremo_derecho);

% TIEMPOS A ESTUDIAR
T=[0.00001,0.001,0.01,0.1];
t_final=0.001;

% DEFINIMOS LA SOLUCIÓN u(x,t)
figure(1)
for j=1:length(T)
subplot(1,length(T),j)
mesh(X1,X2,sol_fundamental(X1,X2,T(j),coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico))

xlabel('Valores de x_1')
ylabel('Valores de x_2')
zlabel('Temperatura')
title("t="+num2str(T(j)))
end
sgtitle('Representación de la solución fundamental bidimensional para distintos instantes de tiempo t')

% Crear un vídeo
pelicula=VideoWriter('Solucion_fundamental_bidimensional','MPEG-4'); %creo el video
pelicula.FrameRate=10; %controla velocidad
open(pelicula); %lo abro

funcion_velocidad_t=@(t) t*0.95;
vector_t=[0.05];
while vector_t(end)>t_final
vector_t(end+1)=funcion_velocidad_t(vector_t(end));
end

for j=1:length(vector_t)
figura=figure(2);
mesh(X1,X2,sol_fundamental(X1,X2,vector_t(j),coeficiente_conductividad_termica/calor_especifico))
axis([-1,1,-1,1,0,90])
view(3);
xlabel('Valores de x_1')
ylabel('Valores de x_2')
zlabel('Temperatura')
colormap(jet);
colorbar
clim([0,90])

title("t="+num2str(vector_t(j)))

% Añadir el frame al vídeo
imagen=getframe(figura);
writeVideo(pelicula,imagen); %inserto la imagen
end

close(pelicula);

}}

La construcción de este código es análoga a la ya realizada en la sección 7.2. La única diferencia sería la definición de la solución fundamental, ya que habría que introducir la correspondiente a dimensión <math> 2 </math>, además de ajustar la definición de los mallados, que ahora sería un mallada únicamente espacial. Además, se hace una gráfica en 3 dimensiones para cada valor del tiempo.

[[Archivo:EquipoLUA Pr2 Ej2 Ap4.png|1100px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación del calor <math> \Gamma_D (x,t) </math> en dimensión <math> n=2 </math> para los instantes de tiempo <math> t=0.00001~s, ~ t=0.001~s,~t=0.01~s </math> y <math> t=0.1</math>.]]

Como conclusión de estas representaciones se puede observar que cuanto más cerca es el valor de la <math> t </math> a cero, más singular es la solución. Este fenómeno se aprecia a la perfección en el siguiente vídeo, en el que el tiempo se va aproximando a <math> 0 ~s </math>:

[[Archivo:Solucion fundamental bidimensional.gif|600px|thumb|center| Representación de la solución fundamental de la ecuación del calor bidimensional con una sucesión decreciente de tiempos]]

Concretamente, al igual que en el caso unidimensional, la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> n=2 </math> coincide con la delta de Dirac (bidimensional) para <math> t=0 </math>. Esta observación se aprecia perfectamente en el vídeo realizado. La delta de Dirac en dos dimensiones se define de manera similar a la delta de Dirac unidimensional:

<center><math> \delta(x, y) = \begin{cases}
\infty & \text{si } (x, y) = (0, 0) \\
0 & \text{en cualquier otro lugar del plano}
\end{cases}</math></center>

Por otra parte, recordando que en el vídeo el tiempo decrece, se aprecia claramente cómo tiende a la solución estacionaria, <math> v(\mathbf{x})=0 </math> cuando <math> t </math> crece.

==Referencias==
* [https://www.ucl.ac.uk/~ucahhwi/LTCC/sectionB-similarity.pdf SectionB. Similarity solutions.]
* [https://personal.us.es/pmr/images/pdfs/edp-apuntes-anteriores.pdf Ecuaciones en derivadas parciales Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla]
* [https://webs.um.es/gustavo.garrigos/tfg/Milonga_TFG_sept2020.pdf. Mauro Milonga Miguel. Trabajo de fin de grado: Ecuación del calor. Universidad de Murcia]
*[Partial differential equations in action from modelling to theory. Sandro Salsa]

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP23/24]]